Dr. O. Wittich Aachen, 12. September 2017 S. Bleß, M. Sc. Analysis. Übungsaufgaben. im Vorkurs Mathematik 2017, RWTH Aachen University

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1 Dr. O. Wittich Aachen,. September 7 S. Bleß, M. Sc. Analysis Übungsaufgaben im Vorkurs Mathematik 7, RWTH Aachen University Intervalle, Beschränktheit, Maxima, Minima Aufgabe Bestimmen Sie jeweils, ob es sich bei den angegebenen Mengen um Intervalle handelt. Geben Sie in diesem Fall bitte die Intervallschreibweise an. a) [, ] (, ], b) [, ] [, 3] c) [, 3] (, 4), d) (, 5] \ (4, 5], e) (, 5] (, 6), f) {x : x R}, g) { n : n N}, h) {, 7}, i) {x R : x < }, j) (, ) Q, k) {x R : x < }, l) {x R : x > 7}. Aufgabe Bestimmen Sie jeweils, ob die angegebenen Mengen beschränkt sind. Geben Sie falls diese existieren auch die Maxima und Minima der Mengen an. a) [, ], b) (, ), c) {, 7}, d) {π, e} } e) { + n : n N, f) {}, g) [, ] [, 3], h) {r Q : r < } i) {r Q : r < 4}, j) {r Q : r < }, k) {, π 3, π, } l) {p : p Primzahl}, m) {( ) n n : n N}, n) {x + : x R}, o) {x R : x = x}, p) {3 n : n N}. Folgen, Häufungspunkte, Konvergenz Aufgabe 3 Untersuchen Sie die Folgen (a n ) n N auf Monotonie und Beschränktheit.

2 a) a n = n, b) a n = n + 5n, c) a n = n n +, d) a n = ( )n n + 3, e) a n = n 3n n, f) a n = n n +, 5n g) a n =, h) a n = n n + n + n, i) a n = n + n. Aufgabe 4 Bestimmen Sie den Grenzwert a der Folgen (a n ) n, n N. Beweisen Sie Ihre Vermutung, indem Sie zu jedem ε > ein n = n (ε) R bestimmen mit a n a < ε für alle n N mit n > n (ε). a) a n = n n +, b) a n = 3 n, c) a n = 5 +, n d) a n = + n, e) a n = e n, f) a n = sin(n). n Sie dürfen in der nächsten Aufgabe die folgenden Grenzwertsätze ohne Beweis verwenden: Satz: Seien (a n ) n, (b n ) n konvergente reelle Folgen mit lim n a n = a und lim n b n = b. Weiter sei c R. Dann sind auch die Folgen (c a n ) n, (a n + b n ) n, (a n b n ) n konvergent und es gilt lim c a n = ca, n lim a n + b n = a + b, n Gilt zusätzlich b n, b = für alle n, dann ist auch ( an b n ) n lim a n b n = a b. n konvergent mit lim n a n b n = a b. Aufgabe 5 Bestimmen Sie den Grenzwert a (falls er existiert) der angegebenen Folgen (a n ) n. a) a n = n + n, b) a n = n n + n 3, c) a n = ( ) n n + 3, d) a n = n3 n + n 3 + 3n, e) a n = n 4 n 3n + 5, f) a n = n 5 n+, g) a n = (n 3 ) n 3, h) a n = n + n n, i) a n = 3 ( n j) a n = n n, k) a n = n + n n, l) a n = ( )n. n! ),

3 Funktionen Aufgabe 6 Bestimmen Sie jeweils den Definitionsbereich von f /g. Untersuchen Sie, ob sich f /g in den Definitionslücken noch sinnvoll erklären lässt. Falls ja, mit welchem Funktionswert? a) f : R R, f (x) = x, g : R R, g(x) = x 7x + b) f : R R, f (x) = x 3, g : R R, g(x) = x x + c) f : R R, f (x) =, g : R R, g(x) = x 5 d) f : R R, f (x) = x, g : R R, g(x) = x 3 Aufgabe 7 Gegeben seien die Funktionen f : R R, f (x) = x und g : R + R, g(x) = x. Bestimmen Sie die Definitionsbereiche D( f g) und D(g f ) und geben Sie f g und g f explizit an. Aufgabe 8 Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf ihrem Definitionsbereich auf (strenge) Monotonie. Bestimmen Sie die maximalen Monotoniebereiche ohne Zuhilfenahme von Methoden der Differentialrechnung. Versuchen Sie dabei möglichst die jeweils voranstehenden Aufgabenteile zu benutzen. a) f : R R, f (x) = x 3, b) f : R \ {} R, f (x) = x, c) f : R R, f (x) = x, d) f : R + R, f (x) = x, e) f : R R, f (x) = x, f) f : R R, f (x) = x + x +, g) f : [, ] R, f (x) = x, h) f : R \ {3, 4} R, f (x) = (x 7x + ). Hinweis: Benutzen Sie in Teil a) den Binomischen Lehrsatz und in Teil d) die 3. Binomische Formel. Aufgabe 9 Seien D, E R nichtleere Teilmengen. Zeigen Sie: a) Ist f : D R eine (streng) monoton wachsende Funktion, so ist f : D R mit ( f )(x) := f (x) (streng) monoton fallend. b) Seien f, g : D R monoton wachsende Funktionen mit f, g auf D, so ist auch f g : D R mit ( f g)(x) := f (x) g(x) monoton wachsend. c) Seien f : D R und g : E R monoton mit g(e) D. Zeigen Sie, dass dann auch f g : E R monoton ist. Welche Art von Monotonie liegt jeweils vor? 3

4 d) Sei f : D W streng monoton und bijektiv. Zeigen Sie, dass dann auch f : W D streng monoton ist. Aufgabe Bestimmen Sie den Wertebereich der folgenden Funktionen. a) f : R \ {} R, f (x) =, b) f : [, ] R, f (x) = x x 3 c) f : ( 4, ] R, f (x) = x + x +, d) f : [, ] R, f (x) = x e) f : R R, f (x) = + x, f) f : (, ) R, f (x) = x g) f : (4, 5] R, f (x) = (x 7x + ). Aufgabe Betrachten Sie die Funktion f : [, ] R, welche gegeben ist durch x +, falls x f (x) := x, falls < x < x, falls x. Untersuchen Sie die Funktion auf lokale und globale Maxima und Minima. Aufgabe Betrachten Sie die Funktion f : (, ] R, welche gegeben ist durch x +, falls x < f (x) := x, falls x x, falls x >. Untersuchen Sie die Funktion auf lokale und globale Maxima und Minima. Aufgabe 3 Betrachten Sie die Funktion f : (, ) R, welche gegeben ist durch x + falls x < f (x) := x falls x x falls x >. Untersuchen Sie die Funktion auf lokale und globale Maxima und Minima. 4

5 Elementare Funktionen A. Exponentialabbildung und Logarithmus Aufgabe 4 Es seien a, u, v > und r R. Beweisen Sie : Aufgabe 5 Bestimmen Sie die folgende Logarithmen. log a (u r ) = r log a (u). a) log (4), b) log 4 (64), c) log ( 8 ), d) log 4 (), e) log 7 (7 x ), x R. Aufgabe 6 a) Drücken Sie log 3 (4) als Logarithmus einer einzigen Zahl aus. b) Vereinfachen Sie ( ) ( ) ( ) log log 6 + log c) Vereinfachen Sie für a > den Ausdruck log a ( 3) log a (7). Aufgabe 7 Bestimmen Sie jeweils Definitionsbereich und Lösungsmenge der folgenden logarithmischen Gleichungen. a) log (x) = log (), b) log (x) = log (5) log (4), c) log 3 (x ) =, d) ln(3x 3) =, e) log 4 (x) = log 4 (6), f) log (x ) =, g) log (x + ) log () =, h) log (x) = log 3 (x), i) log (x + ) =. Aufgabe 8 Bestimmen Sie jeweils den Definitionsbereich der folgenden Terme. Drücken Sie im Anschluss die Terme durch einen Logarithmus aus. a) log a (x + ) 3 log a ( x) + log a (x), ( ) ( ) b) log a x + log x+ a x. Aufgabe 9 Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der folgenden Gleichungssysteme. 5

6 a) { x y = x 3 y = 43 }, b) log (x) + log (y) = ( ) 5 log (x) log (y) = log, x, y > c) { 4 x = 5 y 4 x = 7 y }. Aufgabe Wieviele Dezimalstellen besitzt die Primzahl p = ? Trigonometrische Funktionen Aufgabe Beweisen Sie die Additionstheoreme für Tangens und Cotangens. Bestimmen Sie auch den Definitionsbereich der Gleichungen. a) tan(α + β) = Aufgabe Zeigen Sie mit Hilfe der Addtionstheoreme: tan(α) + tan(β) cot(α) cot(β), b) cot(α + β) = tan(α) tan(β) cot(α) + cot(β). a) sin ( α + π ) = cos(α), b) cos ( α + π ) = sin(α), c) tan ( α + π ) = cot(α), d) cot ( α + π ) = tan(α). Aufgabe 3 Bestimmen Sie die Definitionsbereiche der folgenden Gleichungen. Bestimmen Sie im Anschluß die Lösungsmenge. a) tan(x) = sin(x), b) tan(x) = 3 cos(x), c) sin(x) = tan(x), 6

7 d) cos(3x) = 5 4 cos (x). Hinweis: Beweisen Sie für die Aufgabenteile c) bzw. d) zunächst die Identitäten sin(x) = tan(x) + tan (x), cos(3x) = 4 cos3 (x) 3 cos(x). Aufgabe 4 Es seien α, β, γ R mit α + β + γ = π. Zeigen Sie: a) sin(β) cos(γ) + cos(β) sin(γ) = sin(α), b) sin(α) sin(β) cos(β) cos(α) = cos(γ). Aufgabe 5 In einiger Entfernung zu einer Antenne wird ein Lichstrahl vom Boden (Meßebene) auf die Spitze der Antenne gerichtet. Der Winkel des Strahls zur Meßebene wird mit α bezeichnet. Nun geht man a Meter auf den Antennenmast zu und wiederholt die Messung. Man erhält nun einen Winkel β. Es ist insbesondere < α < β < π. Wie hoch ist der Mast? Stetigkeit Aufgabe 6 Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit in den angegebenen Punkten. a) f : R R, f (x) = x in x =. b) c) d) in x = in x = f : R R, f (x) = f : R R, f (x) = f : R R, f (x) = { x, x =, x = { x x+ x, x =, x = { x, x x, x < in x =. 7

8 Aufgabe 7 Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit in ihrem Definitionsbereich. a) f : R R, f (x) = x + 4 b) f : R \ {4} R, f (x) = x 6 x 4 { x + 4, < x 4 c) f : R R, f (x) = x + 6, 4 < x < x 6 d) f : R R, f (x) = x 4, x = 4, x = 4 Differentialrechnung Aufgabe 8 Zeigen Sie durch vollständige Induktion und mit Hilfe der Definition der Ableitung, dass für die Funktionen f n : R R, x x n gilt: Hinweis: Produktformel. f n(x) = nx n. Aufgabe 9 Bestimmen Sie jeweils die Ableitung f der Funktionen f, welche auf geeigneten Definitionsbereichen durch folgende Abbildungsvorschriften gegeben sind: a) f (x) = 5x 3 + 7x 4x + 9, b) f (x) = 3 x6 + x + x, c) f (x) = 4x 4 4x, d) f (x) = 8x x x 4, e) f (x) = x + x 3 3x 4, f) f (x) = x + x + 3 x 5, g) f (x) = e x x + 3x 5, h) f (x) = 4x 4 4 x, i) f (x) = x ln(x) + ln(x 3 ), j) f (x) = 3x 4 sin(x), k) f (x) = (e x + 4 x ), l) f (x) = ln(x) e x, m) f (x) = 3x + 4, n) f (x) = x o) f (x) = 7x + 3x + q) f (x) = + x, x, p) f (x) = (5x 3) 5 ( + x 3x 4 ) 4 x + 7, r) f (x) = 3 (x 3 + 3x) 5. 8

9 Aufgabe 3 Untersuchen Sie die Funktion f : R R, x x auf Differenzierbarkeit. Aufgabe 3 Untersuchen Sie die Funktion f : R R, x x x auf Differenzierbarkeit im Nullpunkt. Bestimmen Sie gegebenenfalls f (). Aufgabe 3 Bestimmen Sie zunächst die Definitionsbereiche der Funktionen f, welche durch die folgenden Abbildungsvorschriften gegeben sind. Bestimmen Sie im Anschluss f. a) f (x) = x 3x + x, b) f (x) = + (x 4) 3, c) f (x) = x (x 4x + 3). Aufgabe 33 Bestimmen Sie die maximalen Definitionsbereiche der Funktionen f, welche durch die folgenden Abbildungsvorschriften gegeben sind. Bestimmen Sie in jedem Punkt, in welchem f differenzierbar ist, die Ableitung. (Randpunkte des Definitionsbereichs sind dabei zu vernachlässigen.) a) f (x) = 3 x 3 + 4x 5, b) x + 4 x + 5 x, c) f (x) = cos ( tan( + x ) ). Aufgabe 34 Bestimmen Sie die lokalen und globalen Maxima und Minima der Funktionen aus Aufgabe 3. Aufgabe 35 Betrachten Sie die Funktion f : R R, f (x) = 3x 5 5x 3 + 6x 3. a) Bestimmen Sie die lokalen Maxima und Minima von f. b) Bestimmen Sie die größten Intervalle, auf denen f streng monoton wachsend ist. c) Fertigen Sie eine Skizze von f an. Aufgabe 36 Untersuchen Sie analog zu vorigen Aufgabe die Funktion f : R \ { } R, f (x) = 3x (x ). (x + ) Hinweis: Die einzige reelle Nullstelle von f ist x = 3. 9

10 Aufgabe 37 Untersuchen Sie die Funktionen a) f : [, 3] R, f (x) = 4 x, b) f : [, 4] R, f (x) = x 5 5x 4 + 5x auf lokale und globale Maxima und Minima. Bestimmen Sie auch die entsprechenden Extremalwerte. Aufgabe 38 Seien a R, m, n Z mit m = n und m, n =. a) Zerlegen Sie a so in zwei Summanden, dass deren Produkt möglichst groß wird. b) Zerlegen Sie a so in zwei Summanden, dass das Produkt der m-ten Potenz des einen Summanden und der n-ten Potenz des anderen Summanden möglichst groß wird. Aufgabe 39 Die Summe der Kathetenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks ergibt k. Wie groß müssen die einzelnen Kathetenlängen gewählt werden, damit die Hypothenusenlänge möglichst klein wird? Aufgabe 4 Der Querschnitt eines Tunnels habe die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. Sein Umfang sei U. Für welchen Halbkreisradius wird der Flächeninhalt des Querschnitts am größten? Integralrechnung Aufgabe 4 Bestimmen Sie ohne Rechnung und nur mit der Definition des bestimmten Integrals (6x + )dx, x dx. 4 x dx, Aufgabe 4 Bestimmen Sie jeweils eine Stammfunktion F der Funktionen f, welche durch folgende Abbildungsvorschriften gegeben sind. a) f (x) = 4x 3 + 3x +, b) f (x) = 5 x 3, c) f (x) = e x, d) f (x) = 4 4 x, e) f (x) = 5x x + 3, f) f (x) =, x x g) f (x) = (x ), h) f (x) = 4 x.

11 Aufgabe 43 Bestimmen Sie: a) d) f) i) (3x + ) dx, b) x 4 dx 3 ( x 4 + x 5 ) x 4 dx x 4 dx, e) dx, g) 5 x dx, j) ( x + x) dx, c) x(x + x) dx x dx, h) 4 x dx. 4 ( x) dx + (x 3 + x ) dx 7 (x ) dx, (x 3 + x ) dx, ( e x 3 + 3x ) dx, Aufgabe 44 Bestimmen Sie mit Hilfe der Substitutionsmethode jeweils eine Stammfunktion F der Funktionen f, welche durch folgende Abbildungsvorschriften gegeben sind. a) f (x) = (x + 3) 3, b) f (x) = ex 3 + e x, c) f (x) = x x + 3, d) f (x) = 9x + x(3x + ), e) f (x) = 3 3x ln(x) + x, f) f (x) = (x + ) ln(x + ). Aufgabe 45 Bestimmen Sie den Wert I der folgenden Integrale mit Hilfe der Substitutionsmethode. a) d) (x + 3) 4 dx, b) x dx, e) x + 5 ( + x 3 ) 3x dx, c) (6x + 5) e 3x +5x dx, f) x + 4 x + 4x dx, 4x 4 x + 4 dx. Aufgabe 46 Bestimmen Sie mit Hilfe der partiellen Integration jeweils eine Stammfunktion F der Funktionen f, welche durch folgende Abbildungsvorschriften gegeben sind. a) f (x) = x e x, b) f (x) = e x (x + 3x), c) f (x) = ln(x), d) f (x) = x ln(x), e) f (x) = log (x), f) f (x) = ln(x).

12 Aufgabe 47 Bestimmen Sie die folgenden Integrale unter Benutzung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. a) d) g) / π/3 dx, b) 3 + 7x x dx, e) x 5 sin(x) dx, h) + 3 cos(x) / 3 3 π/6 dx, c) 4 + 9x 3 4x dx, f) 5x + cos(x) sin(x) dx. Aufgabe 48 Bestimmen Sie mit Hilfe partieller Integration die folgenden Integrale. a) c) π/4 π/6 cos(x) ln(sin(x)) dx, b) x 5 ln(x 3 + ) dx, d) π x sin(x) dx, x 3 e x dx. 6 x x 5 dx, 8x 5 4x 5x + dx,