Abi Know-How Mathematik

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1 Mathe bis zum Abitur Abi Know-How Mathematik Olaf Schneider

2 Liebe Schüler, Das Abi Know-How Mathematik ist als Lernhilfe für meine Nachhilfeschüler entstanden. Es ist geeignet für die Oberstufe bis zum Abitur. Die Themen werden erklärt und durch Beispiele mit Lösungen veranschaulicht. Ich hoffe, es kann etwas dabei helfen, Mathe bis zum Abi gut zu verstehen! Olaf Schneider Mühlweg 7566 Althütte

3 Inhaltsverzeichnis Analysis 4. Funktionen Allgemeine Funktionen Lineare Funktionen Ganzrationale Funktionen Gebrochenrationale Funktionen Exponentialfunktionen Logarithmusfunktion Gleichungen allgemeiner Lösungsplan Lineare Gleichungen Quadratische Gleichungen Biquadratische Gleichungen Potenzgleichungen Produktgleichungen Algebraische Gleichungen ohne Absolutglied Algebraische Gleichungen mit einer bekannten Lösung Exponentialgleichungen Newtonsches Näherungsverfahren Ableitung Anschauliche Bedeutung Bestimmung der Ableitung Kurvendiskussion Symmetrie Schnittpunkte mit der y-achse Schnittpunkte mit der x-achse Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) Wendepunkte Senkrechte Asymptoten Grenzwerte und waagrechte Asymptoten Schiefe Asymptoten Monotonie Stammfunktion und Integral Anschauliche Bedeutung der Stammfunktion Bestimmung der Stammfunktion Berechnung von Flächen mit Integralen Volumenberechnung von Rotationskörpern Durchschnittswert von Funktionswerten Uneigentliche Integrale Keplersche Fassregel Beziehungen zwischen Kurven Schnittpunkte

4 .6. Berührpunkte Tangenten Senkrechter Schnitt Normalen Schnittwinkel Bestimmung von Funktionsgleichungen Ansatz Aufstellen der Gleichungen Lösung des Gleichungssystems Extremwertaufgaben Bestimmung der Zielfunktion Bestimmung des Extremwerts der Zielfunktion Funktionenscharen Ortskurven Bestimmung von Parametern Parameterunabhängige Eigenschaften Geometrie 48. Begriffe und Formeln Lineare Gleichungssysteme Einführung Matrix Darstellung Additionsverfahren allgemeines Lösungsverfahren für Gleichungssysteme Umwandlung der Darstellungsformen Parameterform in Koordinatenform Koordinatenform in Parameterform Koordinatenform in Normalenform Normalenform in Koordinatenform Parameterform in Normalenform und umgekehrt Quadratische Form in Kugelform Aufstellen von Geraden- und Ebenengleichungen Gerade durch zwei Punkte Ebene durch drei Punkte Ebene durch einen Punkt und eine Gerade Ebene durch zwei Geraden Koordinatenachsen und -ebenen Ebene senkrecht zu zwei Ebenen durch einen Punkt Ebene senkrecht zu einer Geraden und durch einen Punkt Lotgerade auf eine Ebene durch einen Punkt Tangentialebene und Schnittkreisebene bei Kugeln Lagebeziehungen und Schnittberechnung Punkt - Gerade Punkt - Ebene

5 .5.3 Punkt - Kugel Gerade - Gerade Gerade - Ebene Gerade - Kugel Ebene - Ebene Ebene - Kugel Kugel - Kugel Spurpunkte einer Geraden Spurpunkte einer Ebene Spurgeraden einer Ebene Abstände Abstand Punkt-Punkt Abstand Punkt-Ebene Abstand Punkt-Gerade Abstand Gerade-Gerade Abstand Gerade-Ebene Abstand Ebene-Ebene Spiegelungen Punkt an Ebene Punkt an Gerade Gerade an Ebene Ebene an Ebene Kugel an Ebene Winkel Winkel zwischen zwei Vektoren Winkel zwischen zwei Geraden Winkel zwischen Gerade und Ebene Winkel zwischen zwei Ebenen Scharen Geradenscharen Ebenenscharen Kugelscharen Geometrische Figuren und Körper Dreiecke Vierecke Körper

6 Analysis. Funktionen.. Allgemeine Funktionen Eine Funktion ist eine Zuordnungsvorschrift (in Form einer Funktionsgleichung), die jeder Zahl x aus einer bestimmten Teilmenge der reellen Zahlen wieder eine reelle Zahl, den Funktionswert y = f(x) zuordnet. Dabei heißt x unabhängige Variable (Argument, Abszisse) und y abhängige Variable (Ordinate). Die Menge der Ausgangswerte x heißt Definitionsmenge D, und die Menge der Funktionswerte y heißt Wertemenge W. Funktionen kann man sich so veranschaulichen, dass man sich jedes Zuordnungspaar (x f(x)) als Punkt mit diesen beiden Koordinaten in einem Koordinatensystem vorstellt. Alle solchen Punkte bilden dann eine Kurve, die Schaubild oder Graph der Funktion genannt wird. Um zu sehen, wie das Schaubild einer Funktion aussieht, legt man oft eine Wertetabelle an, in der man zu so vielen x-werten die Funktionswerte ausrechnet bis man genügend Punkte ins Koordinatensystem eintragen kann, um den Kurvenverlauf zu erkennen... Lineare Funktionen Lineare Funktionen sind Funktionen mit Geraden als Schaubildern, die nicht senkrecht zur x- Achse sind. Zu Geraden, die senkrecht zur x-achse sind, gibt es keine Funktion, da ja hier zu einem x-wert unendlich viele y-werte gehören (Solche Geraden werden durch Gleichungen der Form x = c beschrieben, wenn die Gerade senkrecht durch den Wert c auf der x-achse gehen soll). Die linearen Funktionen haben die Menge der reelen Zahlen als Definitionsmenge und können durch eine der drei folgenden Formen beschrieben werden. Normalform: y = mx + b. Dabei wird m Steigung, und b y-achsenabschnitt genannt. Für positive Werte von m steigt die Gerade bei zunehmenden x-werten um so steiler an, je größer m ist, und für negative Werte fällt sie um so steiler ab, je kleiner m ist. Für m = hat die Gleichung die Form y = c. So eine Gerade ist parallel zur x-achse. Der Wert für b ist immer dafür verantwortlich, an welcher Stelle die Gerade die y-achse schneidet. Um die Gerade zu einer gegebenen Normalform zu zeichnen, reicht es, wenn Du eine Wertetabelle mit zwei Werten für x anlegst, zum Beispiel mit x = und x =. Die Gerade ist durch diese zwei Punkte festgelegt. Punkt-Steigungsform: y = m(x x ) + y Diese ist praktisch bei Geraden, die mit einer vorgegebenen Steigung m durch einen Punkt P (x y ) gehen sollen. Du setzt dann m, x und y ein und erhältst durch Auflösen der Klammer wieder die Normalform. 6

7 Eine Gerade hat die Steigung m = 3 und geht durch P ( ). Damit lässt sich die Punkt-Steigungsform y = 3(x + ) + aufstellen, was umgeformt die Normalform y = 3x ergibt. Zwei-Punkteform: y y x x = y y x x. Sind zwei Punkte P (x y ) und P (x y ) vorgegeben, durch die die gesuchte Gerade gehen soll, dann setzt Du zuerst alle Koordinaten in die Zwei-Punkteform ein, und löst das ganze nach y auf, um die Normalform zu bekommen. Eine Gerade soll durch die zwei Punkte P ( ) und P ( ) gehen. Dann sieht die Zwei-Punkteform so aus: y x + = +. Es gilt also y x+ = 3, bzw. y = 3 (x + ), was nach y aufgelöst die Normalform y = 3 x ergibt...3 Ganzrationale Funktionen Funktionen, die Potenzen von x enthalten und auf die Form f(x) = a n x n + a n x n a x + a gebracht werden können, nennt man ganzrationale Funktionen vom Grad n, wobei n die größte vorkommende Potenz von x ist. Alle ganzrationalen Funktionen haben als Definitionsmenge die Menge der reellen Zahlen. Die Funktion f(x) = (x x )(x 3) kann durch Ausmultiplizieren der Klammern auf die Form f(x) = x 3 4x + x + 6 gebracht werden und ist deshalb eine ganzrationale Funktion vom Grad n = 3 mit a 3 =, a = 4, a = und a = Gebrochenrationale Funktionen Das sind Funktionen, die aus einem Bruch bestehen, bei dem der Zähler und Nenner jeweils ganzrationale Funktionen sind. Die Definitionsmenge besteht aus der Menge der reellen Zahlen, mit Ausnahme der Werte für x, bei denen die Nennerfunktion den Wert annimmt. Solche Werte heißen Definitionslücken. Für die Definitionsmenge D von f(x) = 3x+ x(6 5x) gilt D =IR \{; 6 5 } also alle reellen Zahlen mit Ausnahme von x = und x =

8 ..5 Exponentialfunktionen Funktionen der Form f(x) = e ax+b werden Exponentialfunktionen genannt. Dabei steht e für die Eulersche Zahl und hat den Wert a und b sind fest vorgegebene reelle Zahlen ohne bestimmten Namen. Für die Definitionsmenge D gilt D =IR. Ist a positiv, dann steigt die Exponentialfunktion in Richtung wachsender x-werte an und nimmt dabei beliebig hohe Werte an. In Richtung abnehmender x-werte kommt sie der x-achse beliebig nahe. Für negative Werte von a ist das Verhalten in Richtung zu- bzw. abnehmender x-werte vertauscht. Ist a =, dann liegt eine waagrechte Gerade mit der Gleichung y = e b vor, die bei diesem Wert durch die y-achse geht...6 Logarithmusfunktion Die ln-funktion ( logarithmus naturalis ) mit der Gleichung f(x) = ln(x) ordnet jeder Zahl x ihren sogenannten natürlichen Logarithmus y = ln(x) zu. Damit ist diejenige Zahl y gemeint, für die e y = x gilt, wobei e die Eulersche Zahl mit dem Wert ist. Es gibt nur für positive x-werte eine solche Zahl y, für die Definitionsmenge gilt also D = {x IR x > } = IR +. Die Wertemenge ist W = IR, es kommen also alle reellen Zahlen als Funktionswerte vor. Die Logarithmusfunktion ist in Richtung wachsender x-werte ansteigend. Für x < gilt ln(x) <, in diesem Bereich verläuft das Schaubild unterhalb der x-achse. Für x = gilt ln(x) = ln() =, an dieser Stelle geht das Schaubild durch die x-achse. Für x > gilt ln(x) >, hier verläuft das Schaubild oberhalb der x-achse. Die Logarithmusfunktion hat folgende drei Eigenschaften, die bei Umformungen verwendet werden dürfen: ln(a b) = ln(a) + ln(b), ln( a b ) = ln(a) ln(b), ln(ac ) = c ln(a) für a, b > 8

9 . Gleichungen.. allgemeiner Lösungsplan Beim Lösen von Gleichungen gehst Du am besten systematisch nach folgendem Plan vor:. Bring alles auf die linke Seite der Gleichung, so dass rechts steht.. Kommen Brüche vor, dann multipliziere die Gleichung mit dem Hauptnenner. 3. Vereinfache die Gleichung so weit wie möglich, so dass Du sie einer der Gleichungen aus diesem Kapitel zuordnen kannst. 4. Löse die jeweilige Gleichung mit der beschriebenen Methode und mach auf jeden Fall am Schluss die Probe!.. Lineare Gleichungen Lineare Gleichungen sind Gleichungen, die auf die Form ax + b = (a ) gebracht werden können. Sie haben die Lösung x = b a. Die Gleichungen x + 3 = und 5x + 6 = haben die Lösungen x = 3 x = 6 5 = 6 5. = 3, bzw...3 Quadratische Gleichungen Gleichungen, die auf die Form ax + bx + c = (a ) gebracht werden können, heißen quadratische Gleichungen. Sie können mit der Lösungsformel x / = b ± b 4ac a nach x aufgelöst werden, falls der Ausdruck b 4ac (die sogenannte Diskriminante D) unter der Wurzel nicht negativ ist. Dabei gibt es zwei Lösungen x und x für D >, und nur eine Lösung für x, wenn D = ist. Bei negativer Diskriminante hat die Gleichung keine Lösung. Du musst beim Einsetzen von den Zahlen a, b und c in die Lösungsformel unbedingt ihre Vorzeichen richtig beachten, deshalb kommen in den Beispielen gleich viele Minuszeichen vor. Wenn Brüche vorkommen ist es gut, die Gleichung zuerst mit dem Hauptnenner durchzumultiplizieren, dann ist die Anwendung der Lösungsformel weniger fehlerträchtig. Beispiele: Für die Gleichung x + x 5 = bekommen wir die Lösungen x / = ± 4 ( ) ( 5) ( ) = ±, 4 9

10 also x = + 4 = 5 und x = 4 = 3. Die Gleichung 4 9 x 3 x + 4 = wird zuerst mit dem Hauptnenner 36 durchmultipliziert, so dass wir die Gleichung 6x 4x + 9 = bekommen, die dann reif für die Lösungsformel ist: x / = ( 4) ± ( 4) = 4 ±. 3 In diesem Fall ist also die Diskriminante, und es gibt nur die eine Lösung x = 4 3 = 3 4. Als Letztes noch ein Beispiel für eine quadratische Gleichung, die keine Lösung hat: x x 5 =. Dabei ergibt die Formel x / = ( ) ± ( ) 4 ( ) ( 5) ( ) = ± 6, mit negativer Diskriminante D = 6. Das bedeutet, dass die Gleichung keine reellen Lösungen hat...4 Biquadratische Gleichungen Biquadratische Gleichungen haben die Form ax 4 + bx + c = und lassen sich durch die Substitution u = x auf die quadratische Gleichung au + bu + c = zurückführen. Du löst also zuerst diese Gleichung mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen. Gibt es dabei keine Lösung, dann hat auch die biquadratische Ausgangsgleichung keine. Bekommst Du mit der Lösungsformel eine Lösung u, dann folgen daraus wegen u = x die Lösungen x / = ± u falls u >, x = = für u =, oder es gibt gar keine Lösung für x für den Fall u <. Wenn die Lösungsformel zwei Lösungen u und u hat, bekommst Du entsprechend für jede davon keine, eine oder zwei Lösungen für x. Beispiele: Wir berechnen die Lösungen der Gleichungen x 4 6x + 7 = und x 4 x + =. Mit u = x bekommen wir aus der ersten Gleichung u 6u + 7 =. Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen ergibt dann u / = ( 6)± ( 6) 4 ( ) 7 ( ), also u = = 9 und u = 6 44 = 3. Daraus folgen dann aus u = x keine Lösungen für x, wegen u = 9 <. Aus u = x folgen für x die Lösungen x / = ± 3. Mit u = x bei der zweiten Gleichung gilt u u + =. Daraus folgt u / = ( )± ( ) 4, also u = = 4 und u = 5 4 = 3. Für x gibt es dann vier Lösungen: x / = ± 4 = ± und x 3/4 = ± 3.

11 ..5 Potenzgleichungen Potenzgleichungen sind Gleichungen der Form x n c = x n = c und können durch Wurzelziehen gelöst werden. Dabei gibt es ein paar Fälle zu unterscheiden. Bei geraden Exponenten n gibt es die Lösungen x / = ± n c für c und keine Lösung für c <. Bei ungeraden Exponenten gibt es immer genau eine Lösung, nämlich entweder x = n c für c, oder x = n c für c <. Beispiele: x = 5 x / = ± 5 = ± 4 5 x 4 = 3 Es gibt keine Lösung x 3 = 8 7 x = = 3 x 5 = 64 x = 5 64 = 5 64 = 5..6 Produktgleichungen Produktgleichungen haben die Form T (x) T (x) =. Daraus folgt T (x) = oder T (x) =. Alle Lösungen ergeben sich also aus den Lösungen der beiden Einzelgleichungen. Das Entsprechende gilt natürlich auch für Produkte aus mehreren Termen. Aus x(x 5) (x + 5x + 7) = folgt x = oder x = 5. Das sind alle Lösungen, da nach..3 die Gleichung x + 5x + 7 = keine Lösung hat...7 Algebraische Gleichungen ohne Absolutglied Eine Gleichung der Form a n x n + a n x n a x + a = nennt man algebraische Gleichung vom Grad n, falls n der größte vorkommende Exponent von x ist. Wenn das Absolutglied a fehlt (d.h. es gilt a = ), dann können wir die Gleichung umformen, indem wir x ausklammern. Dann sieht die Gleichung so aus: ) x (a n x n + a n x n a =.

12 Diese Gleichung hat auf jeden Fall die Lösung x =. Um alle Lösungen zu bekommen, musst Du außerdem noch den Term in der Klammer setzen und nach x auflösen, wobei diese Gleichung um einen Grad kleiner ist. Die Lösungen der Gleichung x 3 + 9x + x = bekommen wir durch Ausklammern: x(x + 9x + ) =. Daraus folgt x = als erste Lösung. Die anderen bekommen wir aus der Gleichung x + 9x + =, die nach..3 die Lösungen x = und x 3 = 5 liefert...8 Algebraische Gleichungen mit einer bekannten Lösung Musst Du eine algebraische Gleichung a n x n + a n x n a x + a = lösen, die nicht linear, quadratisch, biquadratisch oder ohne Absolutglied ist und die auch keine Potenzgleichung darstellt, dann gibt es nur noch eine Möglichkeit. Du musst dann mindestens eine Lösung x entweder schon kennen oder durch Probieren (Einsetzen von x =,,,, 3, 3,...) erraten. Mit Hilfe von dieser Lösung erhältst Du durch Polynomdivision auch noch die restlichen Lösungen. Nimmst Du nämlich die bekannte Lösung x, geht die folgende Polynomdivision mit dem Ergebnis T (x) ohne Rest auf: (a n x n + a n x n a x + a ) : (x x ) = T (x), bzw. (a n x n + a n x n a x + a ) = (x x ) T (x). Das bedeutet, dass die zu lösende Gleichung äquivalent ist zu (x x ) T (x) =. Die Gleichung ist also erfüllt für x = x, was sowieso schon bekannt ist, oder wenn T (x) = ist, was bei Auflösen nach x die restlichen Lösungen ergibt. Beispiele: Um die Gleichung x 3 x 36x 45 = zu lösen, setzen wir für x ganze Zahlen ein. Dabei ergibt sich, dass x = 3 wegen ( 3) 3 ( 3) 36( 3) 45 = eine Lösung ist. Die Polynomdivision sieht dann so aus: (x 3 x 36x 45) (x 3 + 6x ) 7x 36x 45 ( 7x x) 5x 45 ( 5x 45) : (x + 3) = x 7x 5. Die übrigen Lösungen folgen jetzt mit..3 aus x 7x 5 =, und zwar gilt x = 5 und x 3 = 3.

13 Wir betrachten noch die Gleichung 4x 3 x + =. Dabei erraten wir wieder eine Lösung x =, und führen eine Polynomdivision durch: (4x 3 x + ) (4x 3 8x ) 8x x + (8x 6x) 5x + ( 5x + ) : (x ) = 4x + 8x 5. Aus 4x + 8x 5 = ergeben sich dann weiter die Lösungen x = und x 3 = Exponentialgleichungen Zur Beschreibung der Lösung wird der sogenannte natürliche Logarithmus verwendet, wobei ln (c) als derjenige Wert definiert ist, der die Eulersche Zahl e so potenziert, dass sich c ergibt. Der natürliche Logarithmus ist also die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion und es gilt y = e x x = ln y Tritt die Unbekannte x bei einer Exponentialgleichung in mehreren Exponenten auf, dann substituiere mit u = e x. Alle Terme der Form e ax+b können dabei so mit u ausgedrückt werden: e ax+b = e b e ax = e b (e x ) a = e b u a Löse dann die Gleichung nach u auf. Ist u > Lösung der substituierten Gleichung, dann erhältst du mit der Rücksubstitution x = ln(u) die Lösung der ursprünglichen Gleichung. Für u ergibt die Rücksubstitution keine Lösung für x. Beispiele:. Die Lösung der Gleichung e ax+b = c mit c > erhalten wir durch Logarithmieren und anschließendes Auflösen nach x: e ax+b = c ax + b = ln(c) x = ln(c) b a Für c existiert natürlich auch hier keine Lösung.. Bei der Gleichung e x+ e x = 3 tritt x in zwei Exponenten auf. Wir substituieren deshalb u = e x und mit e x+ = e e x = eu bzw. e x = e e x = e u folgt: eu e u = 3 (e e )u = 3 u = 3 e e > 3

14 Die Rücksubstitution liefert also die Lösung x = ln(u) = ln( 3 e e ) 3. Die Exponentialgleichung 6e x e x = führt nach der Substitution u = e x mit e x = (e x ) = u auf die Gleichung 6u u = Diese hat die Lösungen u = und u = 3. Aus u ergibt sich bei der Rücksubstitution die Lösung x = ln( ) und wegen u gibt es keine weitere Lösung. 4. Die Gleichung 5e x 7 + e x = lösen wir ebenfalls mit Substitution. Aus u = e x folgt mit e x = (e x ) = u = u : 5u 7 + u = u 5u 7u + = Diese quadratische Gleichung hat die Lösungen u = 5 und u =. Da beide Werte positiv sind, bekommen wir diesmal zwei Lösungen: x = ln( 5 ) und x = ln() =.. Newtonsches Näherungsverfahren Wenn sich eine Gleichung der Form f(x) = nicht nach einer der genannten Methoden auflösen lässt, dann gibt es noch die Möglichkeit die gesuchte Lösung x näherungsweise zu ermitteln. Dazu gibt es das Newtonsche Näherungsverfahren. Dieses funktioniert so, dass Du ausgehend von einem Startwert x, den Du in die Formel x n+ = x n f(x n) f (x n ) einsetzt, einen ersten Näherungswert x erhältst. Diesen setzt Du wieder ein und bekommst daraus einen zweiten Näherungswert x, usw.. Wir berechnen eine Näherungslösung für die Gleichung e x = x. Diese muss erst auf die Form f(x) = gebracht werden: e x + x =. Dabei ist f(x) = e x + x und f (x) = e x +. Die Näherungsvorschrift ist also gegeben durch x n+ = x n exn + x n. e xn + Wir berechnen damit jetzt eine Näherungslösung mit dem Startwert x =. Dabei wird das Verfahren abgebrochen, wenn sich die dritte Stelle hinter dem Komma erstmals nicht mehr ändert. x = x ex + x e x = e + + e,

15 x = x ex + x e x x 3 = x ex + x e x +, 449 x 4 = x 3 ex 3 + x 3 e x 3 +, 449 x =, 443 ist also eine auf drei Stellen gerundete Näherungslösung. 5

16 .3 Ableitung.3. Anschauliche Bedeutung Zu einer gegebenen Funktion f lässt sich oft eine Ableitungsfunktion f finden, die so wie die Steigung bei Geraden ein Maß dafür ist, wie f an jeder Stelle x ansteigt oder abfällt. Ist f (x) positiv, dann steigt f an der Stelle x an, und zwar umso steiler, je größer der Wert für f (x) ist. Bei negativem f (x) fällt sie dagegen umso steiler ab, je kleiner der Wert ist. Für f (x) = bewegt sich die Funktion an der Stelle x gerade in waagrechter Richtung. Wenn man f bestimmt hat, dann kann man davon wieder die Ableitung ausrechnen, die dann die zweite Ableitung f ist, dann die dritte und so weiter..3. Bestimmung der Ableitung Ableitung von konstanten Funktionen: Ableitung der Exponentialfunktion: Ableitung der Logarithmusfunktion: Ableitung von Potenzfunktionen: Beispiele: [x] = [x ] = x = x = [x 7 ] = 7x 7 = 7x 6 [ x] = [x ] = x = x = [c] =. [e x ] = e x. [ln (x)] = x. [x n ] = nx n. x = x [ x ] = [x ] = ( ) x = x = x [ x 5 ] = [x 5 ] = ( 5) x 5 = 5x 6 = 5 x 6 Ableitung einer mit einer Zahl c multiplizierten Funktion: [cf(x)] = cf (x). Beispiele: [ 3x ] = 3 [x ] = ( 3) x = 6x [ 4 ] x = 4 [x 3 ] = ( 4) ( 3) x 4 = x 4 = 3 x 4 [x 4 ] = [x 4 ] = 4x 3 = 8x 3 [ 5t x] = 5t [x] = 5t [ 5e x ] = 5[e x ] = 5e x ln (x) [ 5 ] = 5 [ln (x)] = 5 x = 5x 6

17 Ableitung der Summe/Differenz von zwei (oder mehr) Funktionen: [f(x) ± g(x)] = f (x) ± g (x). Beispiele: [6 x ] = [6] [ x ] = x = x [tx 4 x + x ] = [tx 4 ] [x ] + [ x] [] = 4tx 3 4x + [ke x 7 x7 ] = [ke x ] [ 7 x7 ] = ke x x 6 Ableitung der Verkettung von zwei Funktionen (Kettenregel): [f(g(x))] = g (x)f (g(x)). Beispiele: h(x) = e ax+b lässt sich schreiben als Verkettung der inneren Funktion g(x) = ax + b mit der äußeren Funktion f(x) = e x. Mit g (x) = a und f (x) = e x also f (g(x)) = e ax+b erhält man h (x) = g (x)f (g(x)) = ae ax+b. Für a = und b = gilt z.b. [e x ] = e x. h(x) = ( x x 5)7 schreiben wir zum Ableiten wieder als Verkettung von g(x) = x x 5 mit f(x) = x7. Dann gilt g (x) = x + 3 4, f (x) = 7x 6, d.h. f (g(x)) = 7( x x 5)6 und insgesamt: ( h (x) = g (x)f (g(x)) = 7 x + 3 ) ( x + 3 ) x 5. Genauso kann man ein bißchen allgemeiner für h(x) = (ax + bx + c) n die Ableitung h (x) bestimmen: h (x) = n(ax + b)(ax + bx + c) n. Für die Logarithmusfunktion h(x) = ln (ax + b) erkennen wir die innere Funktion g(x) = ax + b und die äußere Funktion f(x) = ln (x). Aus g (x) = a, f (x) = x und f (g(x)) = ax+b folgt dann endlich h (x) = g (x)f (g(x)) = a ax + b = Ableitung des Produkts aus zwei Funktionen (Produktregel): Beispiele: [f(x)g(x)] = f (x)g(x) + g (x)f(x) a ax + b [( x + 3)e x+ ] = [ x + 3] e x+ + [e x+ ] ( x + 3) = 4xe x+ + ( )e x+ ( x + 3) = 4xe x+ + (4x 6)e x+ = (4x 4x 6)e x+ 7

18 [ ( x)(3x x)] = [ x] [3x x] + [3x x] [ x] [3x e x] = ( )(3x x) + (6x )( x) = 6x + x + 6x x + x = 8x + x = [3x ] e x + [e x ] 3x = 6xe x + ( )e x 3x = (6x 3x )e x [ 7x ln(8x)] = [ 7x] ln(8x) + [ln(8x)] ( 7x) = 7 ln(8x) + 8 8x ( 7x) = 7 ln(8x) 7 *Hier ist auch noch die Kettenregel beteiligt. Ableitung des Quotienten aus zwei Funktionen (Quotientenregel): Beispiele: [ ] f(x) = f (x)g(x) g (x)f(x) g(x) g(x). [ 3 x ] = [3] x 3[x ] (x ) = 6x x 4 = 6 x [ ] 3 3x ( 5x) = [3x] ( 5x) [( 5x) ] 3x (( 5x) ) = 3( 5x) ( 5)( 5x)3x ( 5x) 4 3( 5x) ( 5)3x = ( 5x) 3 = 5x + 3 ( 5x) 3 Bei dem zweiten Beispiel ist im zweiten Schritt mit ( 5x) gekürzt worden, das geht immer, wenn bei der Funktion die abgeleitet wird, der Nenner insgesamt eine Potenz mit dem Grad n ist. Das ist zum Beispiel jedesmal der Fall, wenn Du die zweite Ableitung irgendeiner gebrochen-rationalen Funktion ausrechnest. Nicht vergessen, das ist eine wichtige Vereinfachung! 8

19 Zuletzt noch zwei Beispiele mit einem Exponential- bzw. Logarithmusterm: [ e 3 x x 4 ] = [e 3 x ] (x 4) [x 4] e 3 x = (x 4) 3 e 3 x (x 4) xe 3 x (x 4) = ( 3 x x 8 3 )e 3 x (x 4). [ ] ln(x) = [ln(x)] (5x + ) [5x + ] ln(x) 5x + (5x + ) = x (5x + ) 5 ln(x) (5x + ) = = = 5x+ x 5x+ x 5 ln(x) (5x + ) 5x ln(x) x (5x + ) 5x + 5x ln(x) x(5x + ) 9

20 .4 Kurvendiskussion.4. Symmetrie Achsensymmetrie Eine Funktion heißt achsensymmetrisch (zur y-achse), wenn gilt f( x) = f(x). Beispiele: Ganzrationale Funktionen, in denen nur gerade Hochzahlen vorkommen (Dazu gehören auch von x unabhängigen Konstanten) sind achsensymmetrisch. Zum Beispiel gilt für f(x) = 3x 4 x + 5 f( x) = 3( x) 4 ( x) + 5 = 3x4 x + 5 = f(x). Gebrochenrationale Funktionen, in denen entweder nur gerade, oder nur ungerade Hochzahlen vorkommen sind auch achsensymmetrisch. Das sieht bei f(x) = so aus: f( x) = ( x) ( x) 3 + ( x) = ( x) x 3 x = ( x) (x 3 + x) = Punktsymmetrie Eine Funktion heißt punktsymmetrisch (zum Ursprung), wenn gilt f( x) = f(x). x x 3 +x x x 3 + x = f(x). Beispiele: Ganzrationale Funktionen in denen nur ungerade Hochzahlen vorkommen, sind punktsymmetrisch. Zum Beispiel gilt für f(x) = x3 + 5x: f( x) = ( x)3 + 5( x) = x3 5x = ( x3 + 5x) = f(x). Gebrochenrationale Funktionen, die im Zähler nur gerade Hochzahlen haben und im Nenner nur ungerade (oder umgekehrt), sind auch immer punktsymmetrisch. Bei f(x) = +x 4x sind die Exponenten im Zähler alle gerade, der Exponent im Nenner ist ungerade (x = x ), und es gilt f( x) = + ( x) 4( x) = + x 4x + x = 4x = f(x). Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen und ganzrationale Funktionen, in denen gleichzeitig gerade und ungerade Exponenten auftauchen, sind nicht symmetrisch.

21 .4. Schnittpunkte mit der y-achse Punkte haben immer zwei Koordinaten: Die erste Koordinate ist der x-wert und die zweite der y-wert. Bei Schnittpunkten von Funktionen mit der y-achse gilt x =. Um y zu bekommen, setzt Du also x = in die Funktionsgleichung ein. Der Funktionswert f() ist dann der y-wert des Schnittpunktes. Beispiele: Für f(x) = (x + )e x ist f() = ( + )e =, also ist S( ) Schnittpunkt von f mit der y-achse. Die Funktion f(x) = x hat bei x = den Funktionswert f() = =, d.h. f schneidet x die y-achse im Ursprung ( ). Bei f(x) = (t )x 3 x + t 3 gilt f() = (t )3 + t 3 = t 3, f schneidet die y-achse also in S( t 3 )..4.3 Schnittpunkte mit der x-achse Schnittpunkte von Funktionen mit der x-achse haben immer den y-wert. Die x-werte, auch Nullstellen genannt, berechnest Du indem Du die Gleichung f(x) = nach x auflöst, wie in. beschrieben. Beispiele: Die Nullstellen der Funktion f(x) = x 5 5 x+3 sind die Lösungen der Gleichung x x+3 =. Nach. wird diese zuerst mit x + 3 durchmultipliziert und danach vereinfacht, so dass sie schließlich zu der quadratischen Gleichung x + 3x 5 = führt, mit den Lösungen x = und x = 5. Damit sind N ( ) und N ( 5 ) die beiden Schnittpunkte von f mit der x- Achse. Die Schnittpunkte von f(x) = 3e 3x+ bekommen wir aus 3e 3x+ =, bzw. e 3x+ = 3, was nach..9 die Lösung x = 3 ( ln 3 ) ergibt. Der Schnittpunkt ist also N( 3 ( ln 3 ) ). Bei der Bestimmung der Nullstellen von f(x) = x(x + t) stoßen wir auf die Produktgleichung x(x + t) =, bei der wir nach..6 die beiden Lösungen x = und x = t, bzw. die Schnittpunkte N ( ) und N ( t ) mit der x-achse ablesen können..4.4 Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) Hoch- bzw. Tiefpunkte einer Funktion sind Kurvenpunkte, die in einer gewissen Umgebung die größten bzw. kleinsten Funktionswerte haben. Extremstellen sind die x-koordinaten solcher Extrempunkte. Um die Extrempunkte einer Funktion f zu bestimmen, gehst Du am besten so vor:. Löse die Gleichung f (x) = nach x auf (s..). Die Lösungen bezeichnen wir der Größe nach mit x, x usw. bis x n, so dass x der kleinste Wert ist: x < x <... < x n.. Jede Lösung von x bis x n setzt Du jetzt in die zweite Ableitung f ein. Ergibt sich dann f (x k ) < für x k, dann hat f an der Stelle x k einen Hochpunkt. Gilt f (x) >, dann ist bei x k ein Tiefpunkt. Bei f (x k ) = untersuchst Du ob f bei x k einen Vorzeichenwechsel hat. Dazu nimmst

22 Du einen Wert a, der zwischen x k und der nächstkleineren Stelle x k liegt, und einen Wert b zwischen x k und der nächstgrößeren Stelle x k+. Gibt es keine nächstkleinere bzw. -größere Stelle, dann reicht es, wenn Du a < x k bzw. x k < b wählst. Ist jetzt f (a) > und f (b) <, dann ist bei x k ein Hochpunkt. Gilt f (a) < und f (b) >, dann hat f bei x k einen Tiefpunkt. Haben f (a) und f (b) dasselbe Vorzeichen, dann ist an der Stelle x k kein Extremwert. 3. Berechne zu jeder Extremstelle x k den Funktionswert f(x k ) und schreib den dazugehörigen Extrempunkt als H(x k f(x k )) oder T (x k f(x k )) auf, je nachdem, ob dort ein Hochoder Tiefpunkt ist. Beispiele: Wir sehen uns die Funktion f(x) = x 4 + 4x 3 mit f (x) = 4x 3 + x und f (x) = x + 4x an. Es gilt f (x) = 4x 3 + x = x (4x + ) = mit den Lösungen x = 3 und x = (s...7). Wegen f ( 3) = 36 > hat f an der Stelle 3 einen Tiefpunkt. Für x = gilt f () =, und wir schauen deshalb, ob f bei einen Vorzeichenwechsel hat: Für a = (liegt zwischen x und x ) und b = gilt f (a) = 8 > und f (b) = 6 >, d.h. f hat bei x = keinen Vorzeichenwechsel, und deshalb hat f dort keine Extremstelle. Der Funktionswert von x = 3 ist f( 3) = 7. Ergebnis: f hat genau einen Extrempunkt, nämlich den Tiefpunkt T ( 3 7). Als Nächstes untersuchen wir f(x) = e x auf Extrempunkte. Die Ableitung ist f (x) = e x und f (x) = somit äquivalent zu e x = e x =. Diese Gleichung hat nach..9 keine Lösung, also hatf keine Extrempunkte..4.5 Wendepunkte Wendepunkte sind anschaulich gesehen solche Kurvenpunkte, bei denen die Funktion von einer Linkskurve in eine Rechtskurve übergeht, oder umgekehrt. Die Wendepunkte einer Funktion erhältst Du mit dem selben Schema wie bei den Extrempunkten, nur wird statt f jetzt f genommen, und f wird durch f ersetzt:. Berechne die Nullstellen x k von f.. Setze die Nullstellen in f ein. Ist f (x k ), dann ist dort ein Wendepunkt. Im Fall f (x k ) = prüfst Du wie bei den Extrempunkten beschrieben, ob f hier einen Vorzeichenwechsel hat. Falls ja, dann ist bei x k ein Wendepunkt, wenn nicht, dann gibt es keinen. 3. Setze alle erhaltenen Wendestellen x k in die Funktion f ein, und schreibe jeden Wendepunkt als W (x k f(x k )) auf. Beispiele: Eine Funktion f ist gegeben durch f(x) = (x + )e x und hat die Ableitungen f (x) = ( x )e x, f (x) = 4xe x und f (x) = ( 8x + 4)e x. Mit f (x) = 4xe x = folgt dann nach..9 x =. Wegen f () = 4e ist dann bei x = eine Wendestelle mit dem Funktionswert f() =, also der Wendepunkt W ( ).

23 Jetzt kommt noch ein Beispiel für eine Funktion ohne jeglichen Wendepunkt: f(x) = 3x. x Die ersten drei Ableitungen sind f (x) = 3 + 4, f x (x) = und f 3 x (x) = 48. Aus f 4 x (x) = 5 = folgt nach Durchmultiplizieren mit dem Nenner =, d.h. es gibt keine Lösung x 4 und damit keinen Wendepunkt..4.6 Senkrechte Asymptoten Kommt eine Funktion f einer senkrechten Geraden mit der Gleichung x = x beliebig nahe ohne sie zu schneiden, dann nennt man diese Gerade eine senkrechte Asymptote der Funktion f. Man sagt dann auch die Funktion hat für x x keinen Grenzwert und schreibt f(x) (bzw. f(x) ) für x x. Dabei wird + bzw. verwendet, wenn die Funktion an der Asymptote nach oben bzw. unten wegstrebt, und beide Vorzeichen wenn sie auf einer Seite nach oben und auf der anderen Seite nach unten wegstrebt. Besitzt eine gebrochenrationalen Funktion eine Stelle x, bei der der Nenner (aber nicht der Zähler) den Wert Null annimmt, dann besitzt sie an dieser Stelle eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung x = x. Logarithmusfunktionen der Form f(x) = ln(g(x)) haben an den Nullstellen von g(x) senkrechte Asymptoten. Beispiele: Die Funktion f(x) = hat eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung x = 3. (x+3) bekommst Du, indem Du den Nenner Null setzt und nach x auflöst: x = x =. Daraus folgen für die Asymptoten die Gleichungen x = und x =. Die beiden senkrechten Asymptoten von f(x) = x Die Funktion f(x) = ln( x ) hat die Nullstellen von x, also x = und x = als senkrechte Asymptoten..4.7 Grenzwerte und waagrechte Asymptoten Eine Funktion f hat eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung y = y, wenn die Funktionswerte von in positiver oder negativer Richtung anwachsenden x-werten dem Wert y beliebig nahe kommen. Man sagt dann, die Funktion hat den Grenzwert y für x + (bzw. x ). Schreibweisen sind: f(x) y für x ±, oder lim f(x) = y. x ± Dabei wird +, bzw. verwendet, wenn der Grenzwert bei wachsenden, bzw. fallenden x-werten angestrebt wird, und beide Vorzeichen werden genommen, wenn der Grenzwert für wachsende und fallende x-werte gilt. Der Grenzwert von konstanten Funktionen der Form y = c, also von waagrechten Geraden ist c. Außerdem gibt es noch zu sagen, dass eine Funktion, die die Summe aus mehreren Funktionen mit verschiedenen Grenzwerten ist, als Grenzwert die Summe der einzelnen Grenzwerte hat. 3

24 Beispiele: Exponentialfunktionen Wir schauen uns jetzt das Grenzwertverhalten von verallgemeinerten Exponentialfunktionen an, das heißt von solchen Funktionen, bei denen außer dem Exponentialterm e ax+b noch ein anderer Term im Spiel ist. Diese Funktionen sollen die Form f(x) = g(x)e ax+b haben, wobei g(x) für irgendeine ganzrationale Funktion stehen soll. Funktionen dieser Form haben entweder für x + oder für x den Grenzwert, je nachdem ob a < oder a > ist. Das heißt, alle solche Funktionen haben die waagrechte Asymptote y =. Zum Beispiel hat f(x) = e x+ (mit g(x) = ) den Grenzwert für x + und f(x) = e 4x 3 (auch mit g(x) = ) hat den Grenzwert für x. Beide Funktionen besitzen eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung y =, was übrigens die Gleichung der x-achse ist. f(x) = x e x hat als Grenzwert die Summe der Grenzwerte der konstanten Funktion y = und der Funktion y = x e x (mit g(x) = x ). Es gilt also f(x) + = für x + und damit existiert eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung y =. f(x) = ( 3x)e x (mit g(x) = 3x) hat den Grenzwert für x und damit wieder die x-achse mit der Gleichung y = als waagrechte Asymptote. Gebrochenrationale Funktionen Ist bei einer gebrochenrationalen Funktion f der Zählergrad (das ist die Hochzahl der größten im Zähler vorkommenden Potenz) kleiner als der Nennergrad, dann gilt f(x) für x ±, und f hat die x-achse mit der Gleichung y = als waagrechte Asymptote. Sind Zählergrad und Nennergrad gleichgroß, wird die Funktion mit der höchsten Potenz von x gekürzt und es gilt: f(x) = a nx n + a n x n a x + a b n x n + b n x n b x + b = a n + a n x a + a x n x n b n + b n x b + b x n x n a n b n für x ±, da alle übrigen Terme gegen streben. f hat also eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung y = an b n, wobei a n und b n die beiden Faktoren vor den höchsten Potenzen im Zähler und im Nenner sind. Das war jetzt noch ein wenig allgemein, wir schauen uns jetzt deshalb drei konkrete Funktionen dazu an. Da der Nennergrad der Funktion f(x) = 4x+5 größer als der Zählergrad ist ( > ), 3x gilt f(x) für x ±, und die x-achse mit der Gleichung y = ist waagrechte Asymptote von f. Der Grenzwert von f(x) = + ist die Summe der Grenzwerte der Funktionen y = x + und y = x +. Das heißt f(x) + = für x ±, da der Nennergrad von x + größer als der Zählergrad ist. Damit ist y = waagrechte Asymptote. 4

25 Bei der Funktion f(x) = f(x) = 3x x + = waagrechte Asymptote. 3x x + 3x x + = 3 + x sind Zähler- und Nennergrad gleich: 3 = 3 für x ±. Also ist y = 3 Ganzrationale Funktionen Ganzrationale Funktionen haben nur eine waagrechte Asymptote, wenn es sich um konstante Funktionen der Form y = c handelt. Dann ist auch der Grenzwert c, und die Funktion ist identisch mit ihrer waagrechten Asymptote..4.8 Schiefe Asymptoten Nähert sich eine Funktion einer (nicht waagrechten) Geraden immer mehr an, je größer x wird, dann nennt man diese Gerade eine schiefe Asymptote. Gebrochenrationale Funktionen können schiefe Asymptoten haben, und zwar dann, wenn die höchste im Zähler vorkommende Potenz von x, also der Zählergrad, um eins größer ist als der Nennergrad. Die Geradengleichung der Asymptote bekommst Du dann mit Hilfe einer Polynomdivision, indem Du die Zählerfunktion durch die Nennerfunktion dividierst. Der Ausdruck vor dem Restterm (falls es einen gibt) ergibt dann die Asymptotengleichung. Beispiele: Um die schiefe Asymptote der Funktion f(x) = 3x3 x +x auszurechnen wird zuerst x +x die folgende Polynomdivision durchgeführt: (3x 3 x + x ) (3x 3 + 6x ) 7x + x ( 7x 4x) 4x : (x + x) = 3x 7 + 4x x +x. Die Geradengleichung der schiefen Asymptote kannst Du jetzt aus dem Ausdruck im Ergebnis vor dem Restterm ablesen: y = 3x 7. Hat die gebrochenrationale Funktion einen besonders einfach gebauten Nenner, nämlich nur eine einzige Potenz von x, dann kommst Du auch ohne die Polynomdivision klar. Du spaltest dann den Bruch in seine Einzelbestandteile auf und kürzt. Die Funktion f(x) = x3 5x + 4 x = x3 x 5x x + 4 x = x 5 + x hat z.b. die Asymptote y = x Monotonie Eine Funktion f ist in einem Bereich monoton steigend (fallend), wenn für alle x aus diesem Bereich f (x) ( ) gilt. 5

26 Beispiele Die Funktion f(x) = e x ist wegen f (x) = e x > für alle x monoton steigend in ganz IR. f(x) = x 3 ist auf IR monoton fallend, wegen f (x) = 3x. Das Schaubild der Funktion f(x) = steigt auf der negativen x-achse monoton an, da für x negative x-werte f (x) = gilt. Für positive x-werte fällt es monoton, wegen f x (x) 3. 6

27 .5 Stammfunktion und Integral.5. Anschauliche Bedeutung der Stammfunktion Geht man von einer Funktion f aus, dann kann man sich fragen, ob es eine dazugehörige Funktion F gibt, die abgeleitet wieder f ergibt. So eine Funktion F wird dann Stammfunktion oder unbestimmtes Integral von f genannt und auch oft mit f(x) dx bezeichnet. Die Stammfunktion oder das Integral zu einer Funktion f zu bestimmen, d.h. f zu integrieren, ist also der Umkehrvorgang zum Ableiten von f. Die Bedeutung der Stammfunktion liegt darin, dass sie einem hilft, Flächen oder Volumen zu berechnen, die von Funktionen begrenzt werden. Dabei ist das sogenannte bestimmte Integral (mit den Grenzen a und b) von f wichtig, das definiert wird durch b f(x) dx = F (b) F (a). a Man berechnet das bestimmte Integral von f also durch die Differenz der Werte, die man erhält, wenn man die Grenzen a und b in eine Stammfunktion F von f einsetzt. Als Abkürzung dafür wird auch die Schreibweise [F (x)] b a benützt..5. Bestimmung der Stammfunktion Zu jeder Funktion f gibt es nicht nur eine Stammfunktion F. Für jede Konstante C ist nämlich die Funktion F (x)+c genauso eine Stammfunktion, da ja die Ableitung von F +C auch wieder f ergibt: [F +C] = [F ] +[C] = f + = f. Deshalb steht bei den folgenden Integrationsregeln die Konstante C hinter den Integralen (Bei den Beispielen wurde C weggelassen). Stammfunktion der konstanten Funktion f(x) = a: a dx = ax + C Stammfunktion von (verallgemeinerten) Potenzfunktionen: (ax + b) n (ax + b)n+ dx = + C für n a(n + ) Beispiele: x n dx = xn+ n+ (Spezialfall der obigen Formel für a = und b = ) x 4 dx = x4+ 4+ = 5 x5 dx = x x dx = x + + = x = x x = x = x + (5x + ) 3 dx = (5x+)3+ + = x 3 3 5(3+) = = 3 x 3 = 3 x x (5x + )4 ( 3 x)3 dx = ( 3 x) 3 dx = ( 3 x) ( 3+) = 4 3 ( = 3 x) 4( 3 x) Stammfunktion von Exponentialfunktionen: e ax+b dx = a eax+b + C 7

28 Beispiele: e x dx = e x e 7 x dx = e 7 x dx = 7e 7 x 7 e 6x dx = 6 e 6x Stammfunktion einer mit einer Zahl k multiplizierten Funktion f: kf(x) dx = k f(x) dx + C Beispiele: x dx = x dx = x dx = x + 5e x+ dx = 5 e x+ dx = 5e x+ + = x = x 6x 5 dx = 6 x 5 dx = 6 x6 6 = x6 Stammfunktion einer Summe f(x) + g(x) dx = f(x) dx + g(x) dx + C Beispiele: 5x 4 kx + 3 dx = x 5 kx + 3x e x+ 5 x3 dx = e x+ x4 kx 4 5x + dx = kx 4 5x + dx = k 3x 3x 3x 3x 3 x dx = k 3x 9 x3 5 3 x 3x Stammfunktion eines Produkts f (x)g(x) dx = f(x)g(x) f(x)g (x) dx + C Beim Integrieren eines Produkts (auch partielle Integration genannt) bezeichnest du einen Faktor des Produkts mit f (x) und den anderen Faktor mit g(x). Danach bestimmst du f(x) (das ist die Stammfunktion von f (x)) und die Ableitung g (x) von g(x) und wendest damit die obige Formel an. Von deiner Bezeichnung der Faktoren hängt auch das zweite Integral in der Formel ab. Du musst die Bezeichnung der Faktoren also so wählen, dass du dieses dann auch noch bestimmen kannst. Beispiele: Beim Integral xe 3x dx wählen wir zunächst f (x) = x und g(x) = e 3x. Damit folgt f(x) = x und g (x) = 3e 3x und dann mit obiger Formel: xe 3x dx = x e 3x x 3e 3x dx Das zweite Integral ist übler als das ursprünglich zu bestimmende - falscher Weg! Deshalb bezeichnen wir die Faktoren jetzt mit f (x) = e 3x und g(x) = x. Daraus folgt f(x) = 3 e3x, g (x) = und damit xe 3x dx = 3 e3x x 3 e3x dx = 3 xe3x 3 e3x dx = 3 xe3x 9 e3x Im nächsten Beispiel knacken wir mit einem Trick das Integral ln(x) dx der Logarithmusfunktion. 8

29 Der Trick besteht darin, ln(x) künstlich als das Produkt ln(x) zu schreiben und bei der partiellen Integration f (x) = und g(x) = ln(x) festzulegen. Mit f(x) = x und g (x) = x ergibt sich dann ln(x) dx = ln(x) dx = x ln(x) x x dx = x ln(x) dx = x ln(x) x.5.3 Berechnung von Flächen mit Integralen Die Fläche A, die in einem Koordinatensystem nach oben und unten durch zwei sich nicht schneidende Funktionen begrenzt wird und nach links und rechts durch zwei senkrechte Geraden x = a und x = b, lässt sich berechnen mit b A = f(x) g(x) dx. a Schneiden sich die Funktionen in zwei oder mehr Punkten, dann werden bei der Bestimmung der eingeschlossenen Gesamtfläche alle Einzelflächen zwischen jeweils zwei Schnittpunkten berechnet und addiert, wobei Du jedesmal die x-werte der Schnittpunkte als Grenzen a und b verwendest. Wenn es um die Fläche zwischen einer Funktion und der x-achse geht, dann kannst Du g(x) weglassen, weil g(x) = die Gleichung der x-achse ist. Beispiele: Die Funktion f(x) = x schließt mit den Geraden x = (Das ist übrigens die y-achse), x = 3 und der x-achse eine Fläche ein. Dabei schneiden sich f und die x-achse bei x = und es gibt zwei Teilflächen: A = = = = = 3 f(x) dx + f(x) dx x 3 dx + x dx [ [ 3 x3 x] x3 x] ( ) = 3. ( ) 3 3 Als Nächstes soll die Fläche zwischen den Funktionen f(x) = x+9 und g(x) = x 3 +5x x berechnet werden, wobei diese sich in den Punkten P ( 7) und P (3 5) schneiden. Mit a = und b = 3 ergibt sich dann für die eingeschlossene Fläche: 9

30 3 A = f(x) g(x) dx 3 = x + 9 ( x 3 + 5x x) dx 3 = x 3 5x + 3x + 9 dx [ = 4 x4 5 3 x x + 9x] = ( ( )4 5 3 ( )3 + 3 ) ( ) + 9 ( ) = Volumenberechnung von Rotationskörpern Lässt man eine Funktion f innerhalb der Grenzen x = a und x = b räumlich um die x-achse rotieren, dann entsteht dabei ein Rotationskörper mit der x-achse als Symmetrieachse. Dabei wird der Körper bei x = a und x = b begrenzt durch zwei Kreise mit den Radien f(a) und f(b). Sein Volumen ist gegeben durch die Formel V = π b a f(x) dx. Durch Rotation der Geraden mit der Gleichung f(x) = x + um die x-achse mit den Grenzen a = und b = entsteht ein Kegelstumpf, der bei x = von einem Kreis mit dem Radius f() = und bei x = von einem mit Radius f() = 3 begrenzt wird. Für sein Volumen gilt [ ] ( V = π (x + ) dx = π 3 (x + )3 = π 3 33 ) 3 3 = 6 3 π..5.5 Durchschnittswert von Funktionswerten Zur Berechnung des Durchschnittswerts oder Mittelwerts d von Funktionswerten einer Funktion f im Intervall [a; b] gilt: d = b f(x) dx b a a Die Normalparabel mit der Gleichung f(x) = x hat im Bereich [; ] positive Funktionswerte zwischen f() = und f() = 4. Der Durchschnittswert d aller Funktionswerte wird also ebenfalls zwischen und 4 liegen. Wir berechnen konkret: d = [ ] x dx = 3 x3 = = 7 3 3

31 .5.6 Uneigentliche Integrale Integrale, die einen Grenzwert haben wenn die obere oder untere Grenze variabel ist und gegen Unendlich läuft, nachdem sie in die Stammfunktion eingesetzt worden ist, sind sogenannte uneigentliche Integrale. Die Berechnung läuft dann darauf raus, dass man die Stammfunktion auf Grenzwerte bzw. waagrechte Asymptoten untersucht (vgl..4.7). Mit uneigentlichen Integralen lassen sich z.b. Flächen ausrechnen, die sich unendlich weit ausdehnen, aber trotzdem einen endlichen Inhalt haben, weil sie immer schmaler werden. Für die Fläche A zwischen zwei aufeinander zulaufenden Funktionen f und g, die sich von der Geraden x = a bis ins Unendliche erstreckt, wird dann die Schreibweise A = f(x) g(x) dx a verwendet. Beispiele: Es wird die Fläche berechnet, die zwischen der x-achse und der Exponentialfunktion f(x) = e x liegt, nach links durch die y-achse begrenzt ist und sich nach rechts unendlich weit ausdehnt. Dazu berechnen wir zuerst das bestimmte Integral mit der variablen oberen Grenze t: t e x dx = [ e x] t = e t +. Für die Fläche bzw. das uneigentliche Integral gilt dann A = e x dx = lim ( e t + ) = t..5.7 Keplersche Fassregel a Oft ist es schwierig, für eine Funktion f die dazugehörige Stammfunktion zu finden. In solchen Fällen ermöglicht die Keplersche Fassregel die Berechnung eines Näherungswertes für das bestimmte Integral b a f(x) dx. Die Näherungsformel hat die Form b f(x) dx b a [ ( ) ] a + b f(a) + 4f + f(b). 6 Du setzt also die Grenzen a und b und deren Mittelwert a+b in die rechte Seite der Formel ein, und erhältst ohne eine Stammfunktion suchen zu müssen einen Näherungswert für das bestimmte Integral. 3

32 Wir berechnen einen Näherungswert für das bestimmte Integral und a+b = ergibt sich x + dx [ ( ) + + ] + Zum Vergleich: Der exakte Wert ist dx = arctan, x + dx. Mit a =, b = x + = 47 =,

33 .6 Beziehungen zwischen Kurven.6. Schnittpunkte Um die Schnittpunkte zweier Funktionen f und g zu berechnen, setzt Du die beiden Funktionsterme gleich und löst dann die Gleichung f(x) = g(x) bzw. f(x) g(x) = nach x auf (s..). Die Lösungen dieser Gleichung sind die x-koordinaten der Schnittpunkte. Gibt es keine Lösung, dann schneiden sich die Kurven nicht. Jetzt setzt Du die verschiedenen x-werte noch in f(x) oder g(x) ein (wo ist egal, es kommt sowieso dasselbe raus), um die y-koordinate von jedem Schnittpunkt auszurechnen. Am Schluss schreibst Du alle zueinander gehörenden x- und y-werte als Koordinatenpaare der Schnittpunkte auf. Beispiele: Gesucht ist der Schnittpunkt der beiden Funktionen g(x) = (x + )e x und f(x) = x e x. Durch Gleichsetzen der Funktionsterme ergibt sich eine Gleichung, die durch den Exponentialterm geteilt werden kann, und dann auf die quadratische Gleichung x x = mit den beiden Lösungen x = und x = führt. Für die Funktionswerte ergibt sich g( ) = f( ) = e und g() = f() = 4e = 4 e. Es gibt also die zwei Schnittpunkte S ( e) und S ( 4 e ). Die Funktionen g(x) = 3 4+x 4x und f(x) = x haben keinen Schnittpunkt, da f(x) = g(x) nach Durchmultiplizieren mit x und Vereinfachung auf die quadratische Gleichung 3 4 x + 3x + 4 = führt, die keine Lösung hat (s...3)..6. Berührpunkte Zwei Funktionen f und g haben einen Berührpunkt an der Stelle x, wenn sie dort denselben Funktionswert und dieselbe Ableitung haben, wenn also f(x ) = g(x ) und f (x ) = g (x ) gilt. Diese beiden Bedingungen müssen also nachgeprüft werden, wenn Du zeigen sollst, dass ein vorgegebener Punkt ein Berührpunkt ist. Wenn Du selber die Berührpunkte von zwei Funktionen bestimmen sollst, löst Du zuerst von den Gleichungen f(x) = g(x) und f (x) = g (x) die einfachere nach x auf (s..), und schaust, ob mit der Lösung oder den Lösungen auch noch die andere Gleichung erfüllt ist. Für Berührpunkte kommen also nur solche Lösungen in Frage, die beide Gleichungen erfüllen. Am Schluss rechnest Du zu allen erhaltenen x-werten die Funktionswerte aus und schreibst die Koordinatenpaare als Berührpunkte auf. Beispiele: Es soll gezeigt werden, dass sich die Funktionen f(x) = 3 4x und g(x) = x in B( ) berühren. Die Ableitungen sind f (x) = 8x und g (x) =, es gilt also f x ( ) = 8 = 4 und g ( ) = = 4. Die Ableitungen sind damit gleich und genauso die Funktionswerte, ( ) denn wir haben f( ) = 3 4 = und g( ) = =. Wir berechnen den Berührpunkt von f(x) = e x 3 und g(x) = x 4. Da sich die Gleichung f(x) = g(x) nicht gut auflösen lässt, versuchen wir es mit der anderen Bedingung f (x) = g (x), bzw. e x 3 =, die nach Division durch und Logarithmieren zur Lösung x = 3 führt. Damit ist auch die andere Bedingung erfüllt, es gilt nämlich f(3) = e = und g(3) = 3 4 =. B(3 ) ist also ein Berührpunkt der Funktionen f und g. 33

34 .6.3 Tangenten Tangente durch einen Kurvenpunkt Eine Tangente an eine Kurve f im Kurvenpunkt P (x f(x )) ist eine Gerade, die f in diesem Punkt berührt. Um an einer vorgegebene Stelle x eine Tangente an die Funktion f anzulegen, berechnest Du den Funktionswert f(x ) und die Ableitung f (x ) an dieser Stelle und setzt alles ein in die Tangentengleichung t : y = f (x )(x x ) + f(x ). Das ergibt dann nach kurzer Umformung die Geradengleichung der Tangente durch den Kurvenpunkt (x f(x )). Wendetangenten sind einfach Tangenten durch einen Kurvenpunkt, der gleichzeitig auch noch ein Wendepunkt der Funktion f ist. Wir bestimmen die Gleichung der Tangente an die Funktion f(x) = an der Stelle x + x =. Der Funktionswert ist dann f() = und mit f (x) = x haben wir noch (x +) die Steigung f () =. Also hat die Tangente t im Kurvenpunkt ( ) die Gleichung y = (x ) +, bzw. y = x +. Tangente durch einen Punkt außerhalb der Kurve Wir bezeichnen jetzt mit (x y ) einen Punkt, der nicht auf der Funktion f liegen soll. Dabei suchen wir Geraden, die durch diesen Punkt gehen, und außerdem die Funktion f tangieren (berühren). Um den Berührpunkt (x f(x )) zu finden, wird x und y in die Tangentengleichung (s.o.) für x bzw. y eingesetzt: y = f (x )(x x ) + f(x ). Diese Gleichung wird jetzt nach x aufgelöst. Wenn x dann bekannt ist, wird wie oben die Tangente an f im Kurvenpunkt (x f(x )) berechnet, diese enthält dann automatisch auch den Punkt (x y ). An die Funktion f(x) = x + sollen alle Tangenten durch den Punkt ( ) (der nicht auf f liegt) gefunden werden. Wir setzen also für x und y in der Tangentengleichung die Werte und ein: = x ( x ) + x + x x =. Die quadratische Gleichung hat die zwei Lösungen x = bzw. x =. Das bedeutet, durch den Punkt ( ) können zwei Tangenten an die Funktion f angelegt werden. Die Gleichungen ergeben sich durch Einsetzen von und für x in die Tangentengleichung: t : y = f ()(x ) + f() = 4(x ) + 5 = 4x 3 und t : y = f ( )(x + ) + f( ) = (x + ) + = x. 34

35 .6.4 Senkrechter Schnitt Zwei Kurven f und g schneiden sich senkrecht bei x, wenn die Gleichungen f(x ) = g(x ) und f (x ) g (x ) = (Orthogonalitätsbedingung) erfüllt sind. Die Geraden f(x) = 3x + 5 und g(x) = 3 x schneiden sich im Punkt ( ) rechtwinklig wegen f( ) = g( ) = und f ( ) g ( ) = 3 ( 3 ) =..6.5 Normalen Eine Normale an eine Kurve f im Kurvenpunkt P (x f(x )) ist eine Gerade durch P, die das Schaubild von f in P senkrecht (orthogonal) schneidet. Deshalb gilt für die Normalensteigung m n = f (x ) (vgl..6.4). Wie bei der Tangentengleichung setzt Du nur die Werte für x, f(x ) und f (x ) in die Normalengleichung n : y = f (x ) (x x ) + f(x ) ein, und formst die Gleichung noch ein wenig um. Wir stellen die Gleichung der Normalen durch die Funktion f(x) = im Kurvenpunkt x ( ) auf. Es gilt also x =, f(x ) = f() = und mit f (x) = 4 noch f x (x 3 ) = f () = 4. Das ergibt dann alles zusammen für die Normalengleichung n : y = 4 (x ) = 4 x Schnittwinkel Zwei Kurven f und g, die sich in einem Punkt an der Stelle x schneiden, schließen einen Winkel α ein, den Du mit der Formel tan α = f (x ) g (x ) + f (x )g (x ) berechnen kannst. Dazu setzt Du x in f (x) und g (x) ein, und berechnest den Wert der rechten Seite der Gleichung. Mit der INVERS oder SHIFT Taste vom Taschenrechner und der TAN- Funktion bekommst Du dann α. Für f (x )g (x ) = funktioniert die Formel nicht, weil dann der Nenner den Wert annimmt. In diesem Fall schneiden sich f und g rechtwinklig mit α = 9 (s..6.4). Die Funktionen f(x) = e x und g(x) = (3x )e x schneiden sich im Punkt S( ) und es gilt f () = und g () =. Das ergibt dann in die Formel eingesetzt tan α = +( ) = 3 und mit der Umkehrfunktion auf dem Taschenrechner α 7, 6. 35

36 .7 Bestimmung von Funktionsgleichungen.7. Ansatz Bei der Bestimmung von Funktionsgleichungen geht es darum, eine (meistens ganzrationale) Funktion zu finden, die bestimmten Bedingungen genügt. Dazu ist es notwendig, zuerst einen unbestimmten Ansatz für die Funktion zu machen, der die später zu bestimmenden Koeffizienten a, b, c usw. enthält. Dabei solltest Du Symmetrieangaben über die Funktion schon im Ansatz berücksichtigen. Nachdem Du den Ansatz gemacht hast, schreibst Du am besten auch noch die erste und zweite Ableitung davon auf. Beispiele: Ganzrationale Funktionen. Grades: Ganzrationale Funktionen 3. Grades: f(x) = ax + bx + c, f (x) = ax + b, f (x) =. f(x) = ax 3 + bx + cx + d, f (x) = 3ax + bx + c, f (x) = 6ax + b. Alle achsensymmetrische ganzrationale Funktionen haben nur gerade Potenzen von x und ein Absolutglied (der Term ohne x) im Ansatz. Zum Beispiel sieht eine achsensymmetrische ganzrationale Funktion 4. Grades so aus: f(x) = ax 4 + bx + c, f (x) = 4ax 3 + bx, f (x) = ax + b. Punktsymmetrische ganzrationale Funktionen haben nur ungerade Potenzen von x und kein Absolutglied im Ansatz. Für eine punktsymmetrische ganzrationale Funktion 5. Grades ergibt sich dabei f(x) = ax 5 + bx 3 + cx, f (x) = 5ax 4 + 3bx + c, f (x) = ax 3 + 6bx..7. Aufstellen der Gleichungen Der nächste Schritt besteht im Aufstellen von genau soviel Gleichungen, wie es Koeffizienten bzw. Unbekannte a, b, c usw. gibt. Dabei entsteht jede Gleichung dadurch, dass Du in einer der drei Gleichungen aus dem Ansatz für x und für f(x) (bzw. f (x) oder f (x)) konkrete Zahlenwerte einsetzt, die aus der Aufgabe hervorgehen. Du musst dann immer eine Gleichung bekommen, in der nur noch die Unbekannten a, b, c usw. vorkommen, auf keinen Fall darf hier noch x, f(x), f (x) oder f (x) stehen. Werden Punkte (Koordinatenpaare) angegeben, die auf der Funktion liegen sollen, dann kannst Du x und f(x) mit diesen Werten ersetzen. Kommen Begriffe wie parallel, Steigung, Ableitung, waagrecht, Hoch- bzw. Tiefpunkt, Tangente, Normale oder Berührung vor, musst Du f (x) durch die entsprechenden Werte ersetzen. Bei Wendepunkten oder Wendetangenten wird für f (x) immer eingesetzt. 36

37 Beispiele: Wir gehen jetzt bei allen Beispielen vom Ansatz einer ganzrationalen Funktion 3. Grades aus: f(x) = ax 3 + bx + cx + d, f (x) = 3ax + bx + c, f (x) = 6ax + b. Jede Bedingung an die Funktion wird dann als Gleichung für die Unbekannten aufgeschrieben. Der Punkt mit den Koordinaten ( 5) liegt auf f: f hat an der Stelle x = die Steigung 3: f() = 5 8a + 4b + c + d = 5. f ( ) = 3 a 4b + c = 3. Der Punkt mit den Koordinaten ( 4) ist ein Hochpunkt (Tiefpunkt): (5 ) ist ein Wendepunkt von f: f( ) = 4 a + b c + d = 4 f ( ) = 3a b + c =. f(5) = 5a + 5b + 5c + d = f (5) = 3a + b =. f hat an der Stelle x = 4 eine zur Geraden y = 5x 3 parallele Tangente: f ( 4) = 5 48a 8b + c = 5. f hat an der Stelle x = 3 die Tangente y = 9x 7: f( 3) = 9 ( 3) 7 7a + 9b 3c + d = 34 f ( 3) = 9 7a 6b + c = 9. f hat an den Stellen x = 3 und x = 6 parallele Tangenten: f ( 3) = f (6) 7a 6b + c = 8a + b + c. f hat an der Stelle x = eine waagrechte Tangente: f ( ) = 3a b + c =. f berührt die Funktion g(x) = 4 an der Stelle x = (Dazu muss erst noch die x Ableitung von g mit g (x) = 8 berechnet werden): x 3 f() = g() 8a + 4b + c + d = f () = g () a + 4b + c =. 37

38 f hat and der Stelle x = 7 die Wendetangente y = 3x + 5: f(7) = ( 3) a + 49b + 7c + d = 6 f (7) = 3 47a + 4b + c = 3 f (7) = 4a + b =. f berührt die x-achse im Ursprung (die x-achse hat die Steigung ): f() = d = f () = c =. f hat an der Stelle x = die Normale y = x + 3 (s..6.5): f() = + 3 a + b + c + d = 5 = f () f () = 3a + b + c =. f hat an der Stelle x = 4 eine zur Geraden y = 3x + 4 senkrechte Tangente (s..6.4): f (4) ( 3) = f (4) = 3 48a + 8b + c = 3. f hat an der Stelle x = 4 eine zur Geraden y = 3x + 4 parallele Normale (s..6.5): m n = f (4) = 3 f (4) = 3 48a + 8b + c = Lösung des Gleichungssystems Du hast jetzt also soviele Gleichungen gesammelt, wie es Unbekannte gibt. Jetzt musst Du das Gleichungssystem noch nach den Unbekannten auflösen. Dabei geht es meistens um ein System mit drei Gleichungen und drei Unbekannten. Wenn es mal vier Gleichungen geben sollte, ist eine davon praktisch immer schon die Lösung für eine Variable (z.b. a=), die dann in die anderen drei eingesetzt wird, so dass es sich auch wieder um drei Gleichungen mit drei Unbekannten handelt. Wie du allgemein Gleichungssysteme löst, wird unter..4 genau beschrieben. Hier ist schonmal eine Kurzfassung speziell für den Fall von 3 Gleichungen und 3 Unbekannten: Vereinfache die einzelnen Gleichungen, so dass auf der linken Seite die Variablen a, b und c in geordneter Reihenfolge stehen und rechts einfache Zahlenwerte Wähle zwei Gleichungen, aus denen Du mit dem Additionsverfahren eine Variable eliminierst, und eliminiere dieselbe Variable nochmal aus zwei anderen Gleichungen. Aus den beiden neu entstandenen Gleichungen (die nur noch zwei verschiedene Unbekannte haben) eliminierst Du wieder eine Variable. 38

39 Aus der zuletzt entstandenen Gleichung bekommst Du die erste Lösung, die durch Einsetzen in frühere Gleichungen dann die anderen Lösungen liefert. Wir gehen schon von einem Gleichungssystem in vereinfachter und geordneter Form aus: a 4b + c = () 3a + 5b c = () 4a 6b + 7c = 3. (3) Zuerst eliminieren wir aus () und () die Variable a und dann aus () und (3) nochmal a: 3 () () ergibt b + 7c = 3 (4) () + (3) ergibt 4b + 9c =. (5) Jetzt wird aus (4) und (5) noch c eliminiert, was die Lösung für b ergibt: 9 (4) 7 (5) ergibt b = 34, bzw. b = 7 5. Durch Einsetzen von b = in (4) oder (5) bekommen wir für c die Lösung c = 5, und am Schluss durch Einsetzen von b und c in (), () oder (3) noch a = 7 5. Wenn jetzt der Ansatz für die Funktionsgleichung f(x) = ax + bx + c gewesen wäre, dann hätten wir die Funktion mit f(x) = 7 5 x 7 5 x 6 5 vollständig bestimmt. 39

40 .8 Extremwertaufgaben.8. Bestimmung der Zielfunktion Bei Extremwertaufgaben wird oft von einem variablen Kurvenpunkt P (u v) einer vorgegebenen Funktion f ausgegangen, für den durch jede Position ein Körper, eine Fläche oder eine Strecke festgelegt ist. Dann kann man versuchen die Position zu finden, bei der zum Beispiel das Volumen oder die Oberfläche des Körpers, der Flächeninhalt bzw. der Umfang der Fläche oder der Abstand zu irgendeinem anderen Punkt maximal oder minimal wird. Die jeweilige Größe wird dann durch eine bestimmte Funktion z (die sogenannte Zielfunktion) beschrieben, die von den Koordinaten u und v des variablen Kurvenpunktes abhängt. Dabei musst Du alle waagrechten Streckenlängen, die zur Bestimmung der Zielgröße nötig sind, mit u und die senkrechten mit v ausdrücken. Anschließend kannst Du im Funktionsterm Deiner Zielfunktion noch die Variable v durch f(u) ersetzen, da ja P (u v) ein Punkt auf der Kurve der Funktion f ist. Wird zur Definition der Zielfunktion statt einem Kurvenpunkt eine senkrechte Gerade mit der Geradengleichung x = u variiert, dann kann diese auch mehrere Punkte erzeugen, indem man die Schnittpunkte mit verschiedenen gegebenen Funktionen f, g, usw. betrachtet. Die zum Aufstellen der Zielfunktion nötigen Streckenlängen können dann aber genauso mit Hilfe von u in waagrechter Richtung und f(u), g(u) usw. in senkrechter Richtung ausgedrückt werden. Beispiele: Abstand Es sind die zwei Funktionen f(x) = e x und g(x) = (x + )e x gegeben. Die Gerade mit der Gleichung x = u (u ) schneidet das Schaubild von f in P und das von g in Q. Wir bestimmen die Abstandsfunktion z zwischen den beiden Punkten. P und Q haben die Koordinaten P (u f(u)) und Q(u g(u)). Sie liegen übereinander und zwar liegt Q über P, denn für u gilt g(u) > f(u) (was man nach Division der Ungleichung durch e u sehen kann). Für den Abstand, der eine senkrechte Strecke ist, gilt deshalb z(u) = g(u) f(u) = (u + )e u e u = ue u. Umfang Gegeben ist die Funktion f(x) = + 4 x. Die Parallelen zu den Koordinatenachsen durch einen Kurvenpunkt P (u v) (u > ) begrenzen mit den Achsen ein Rechteck. Der Umfang des Rechtecks soll durch eine Zielfunktion in Abhängigkeit von u beschrieben werden. Dabei gilt allgemein für den Umfang von Rechtecken U = a + b, wenn a und b die Seitenlängen sind. Die Seiten von dem beschriebenen Rechteck sind direkt durch die Koordinaten von P gegeben, es gilt also für die Zielfunktion z(u) = u + v = u + ( + 4 u ) = u u. Flächeninhalt Gegeben sind die Funktionen f(x) = ( + x )e x und g(x) = e x. Die senkrechte 4

41 Gerade mit der Gleichung x = u (u ) schneidet die Schaubilder von f und g in den Punkten P und Q. Der Ursprung O und die Punkte P und Q bilden ein Dreieck. Wie sieht dann die Zielfunktion aus, die den Flächeninhalt des Dreiecks beschreibt? Für die Fläche A von beliebigen Dreiecken gilt die Formel A = g h. Bei unserem Dreieck können wir als Grundseite die Strecke P Q verwenden, die sich aus der Differenz der y-werte von P und Q ergibt, da P über Q liegt (f(u) = ( + u )e u ist für u > nämlich größer als g(u) = e u ). Es gilt also g = (u + )e u e u = u e u. Für die Höhe h zu dieser Grundseite gilt h = u, und so sieht dann die Zielfunktion aus: z(u) = g h = u e u u = u3 e u. Im zweiten Beispiel geht es um eine Dreiecksfläche, die von einer Tangente an eine Funktion begrenzt wird. Und zwar nehmen wir die Funktion f(x) = +x und einen Kurvenpunkt P (u v) mit u >. Die Tangente an f durch den Punkt P begrenzt mit den Koordi- x natenachsen ein Dreieck, dessen Fläche durch die Zielfunktion beschrieben werden soll. Dazu wird zuerst nach.6.3 die Tangentengleichung an der Stelle u aufgestellt: t : y = f (u)(x u) + f(u) y = 4 u 3 (x u) + u + y = 4 u 3 x + 6 u +. Die Tangente schneidet die y-achse bei y = 6 + und die x-achse bei x = 3 u u + 4 u3 (s..4. und.4.3). Diese beiden Werte können als Grundseite g bzw. Höhe h des Dreiecks verwendet werden, d.h. die Zielfunktion für die Fläche hat die Form z(u) = g h = ( 6 u + ) ( 3 u + 4 u3 ) = 8 u3 + 3 u + 9 u. Oberfläche Der Punkt P (u v) (u > ) soll ein Punkt auf der Kurve der Funktion f(x) = 3 x 3 sein. Die Punkte P, Q(u ), R( ) und S( v) bilden ein Rechteck. Die Zielfunktion soll die Oberfläche des Zylinders beschreiben, der entsteht, wenn sich das Rechteck um die Seite RS dreht (die auf der y-achse liegt). Die Oberfläche eines Zylinders hat die Formel O = πr + πrh, wobei r der Grundkreisradius und h die Höhe ist. Hier in unserem Fall ist r = u. Wegen v = f(u) = 3 > liegt P (u v) über Q(u ), d.h. die Höhe h des Zylinders u 3 ergibt sich aus h = v ( ) = v + = 3. In die Oberflächenformel eingesetzt ergibt u 3 das die Zielfunktion z(u) = πu + πu 3 u 3 = πu + 6π u. 4

42 Volumen Für u soll P (u v) ein Kurvenpunkt von f(x) = x 4 4x + 4 sein und Q der Punkt mit den Koordinaten ( u v). P und Q begrenzen mit dem Ursprung O ein Dreieck, das bei Rotation um die y-achse einen Kegel erzeugt. Gesucht ist die Zielfunktion, die das Volumen des Kegels beschreibt. Dazu wieder zuerst die allgemeine Formel für das Volumen von Kegeln: V = 3 πr h. Hier bezeichnet r den Grundkreisradius, und h die Höhe des Kegels. Weil das Dreieck um die y-achse rotiert, entspricht u dem Radius und v der Höhe. Eingesetzt in die Volumenformel bedeutet das für die Zielfunktion: z(u) = 3 πu v = 3 πu (u 4 4u + 4) = 3 π(u6 4u 4 + 4u ). Kurvenfläche Im letzten Beispiel bewegt sich kein Punkt auf einer Kurve, sondern es ist die Funktion f u (x) = (u u )x + (u u + )x gegeben. Sie schneidet eine zweite Funktion g(x) = x unabhängig von u im Ursprung und im Punkt ( ), so dass dadurch eine Fläche eingeschlossen wird. Die Frage ist, wie der Flächeninhalt durch eine Zielfunktion in Abhängigkeit von u beschrieben werden kann. Nach.5.3 gilt für die Fläche A zwischen den Funktionen A = = = = f u (x) g(x) dx (u u )x + (u u + )x dx [ 3 (u u )x 3 + ] (u u + )x 6 u 3 u + 3. Die Zielfunktion ist also festgelegt durch z(u) = 6 u 3 u + 3, wobei der Betrag weggelassen werden kann, da z nur positive Werte annimmt..8. Bestimmung des Extremwerts der Zielfunktion Zur Bestimmung des Punktes P (u v) (oder der senkrechten Geraden x = u) auf der Kurve von f, für den die Zielfunktion extremal (also maximal oder minimal) wird und zur Bestimmung dieses Extremwerts rechnest Du wie in.4.4 beschrieben die Extrempunkte von z aus. Gibt es im Inneren des Definitionsbereichs von z (das ist der Definitionsbereich ohne den Rand) nur einen Extrempunkt E(u z(u )), dann ist z(u ) das Minimum oder Maximum der Zielfunktion (je nachdem ob E ein Tief- oder Hochpunkt ist). 4

43 Der Punkt P (u v) (bzw. die Gerade x = u) bei dem die Zielfunktion ihren Extremwert annimmt, hat dann die Koordinaten P (u f(u )) (bzw. die Gerade die Gleichung x = u ). Beispiele: Wir gehen der Reihe nach alle Zielfunktionen aus den Beispielen von.8. durch. Die Ableitungen von z(u) = ue u mit dem Definitionsbereich u sind z (u) = ( u)e u und z (u) = (u )e u. Aus z (u) = folgt u =. An dieser Stelle ist wegen z () = e < ein Hochpunkt von z. Da das der einzige Extrempunkt im Inneren des Definitionsbereichs ist, hat z mit der Geraden x = den maximalen Wert z() = e. Die Zielfunktion für den Umfang ist z(u) = u++ 8 u mit u > und hat als Ableitungen z (u) = 8 u und z (u) = 6 u 3. z (u) = hat die Lösungen u = ±. Davon liegt nur u = im Inneren des Definitionsbereichs, was wegen z () = > den einzigen Tiefpunkt für z ergibt. Daraus folgt mit f() = 3, dass z beim Punkt P ( 3) den minimalen Wert z() = annimmt. Die Flächen-Zielfunktion z(u) = u3 e u mit u als Definitionsbereich hat die Ableitungen z (u) = ( 3 u u3 )e u und z (u) = ( u3 3u + 3u)e u. Hier gibt es für z (u) = die Lösungen u = und u = 3, wobei aber u = auf dem Rand des Definitionsbereichs (also nicht im Inneren) liegt. z hat deshalb im Inneren nur einen Extrempunkt bei u = 3 und zwar wegen z (3) = 9 e 3 < einen Hochpunkt. Das ergibt dann mit der Geraden x = 3 für die Zielfunktion den maximalen Wert z(3) = 7 e 3. 43

44 Die zweite Flächen-Zielfunktion hatte die Form z(u) = 8 u3 + 3 u + 9 u mit den beiden Ableitungen mit u > und z (u) = 3 8 u u und z (u) = 3 4 u + 9 u 3. Die Extrempunktbedingung z (x) = hat als Lösungen u = und u = 6, wobei die zweite nichts zu sagen hat weil u > gelten soll. Die andere Lösung ist aber wegen z () = 8 > die Stelle für einen Tiefpunkt von z, und zwar für den einzigen im Inneren des Definitionsbereichs. Deshalb nimmt z für den Punkt P ( f()) (mit f() = 3 ) den minimalen Wert z() = 5 4 an. Für die Zielfunktion z(u) = πu + 6π u z (u) = 4πu π u 3 mit u > gilt und z (u) = 4π + 36π u 4. Wir rechnen wieder die Lösungen der Gleichung z (u) = aus, nämlich u = 4 3 und u = 4 3, von denen sich wieder nur eine einzige (u = 4 3) im Inneren des Definitionsbereichs aufhält. Für diese gilt z ( 4 3) = 6π >, d.h. z hat dort einen minimalen Wert z( 4 3) = 4 3π. Dabei ist der Punkt P (u v), für den z minimal wird, bestimmt durch die beiden Koordinaten u = 4 3 und v = f(u) = ( 4 3) 3. Im vorletzten Beispiel ist die Volumen-Zielfunktion gegeben durch die Gleichung z(u) = 3 π(u6 4u 4 + 4u ) mit u. Es gilt z (u) = 3 π(6u5 6u 3 + 8u) und z (u) = 3 π(3u4 48u + 8). Die Extremalbedingung z (x) = hat dieses Mal sogar fünf Lösungen: u =, u = ± 3 und u = ± (vgl...4). Davon liegt aber nur u = 3 im Inneren der Definitionsmenge, die anderen Lösungen liegen entweder ganz außerhalb, oder auf dem Rand. Wegen z ( 3 ) = 3 9 π < hat z dann dort den maximalen Wert z( 3 ) = 3 8π. Das Volumen wird also maximal für den Punkt P (u v) mit u = 3 und v = f(u) = 6 9. Zur Berechnung des Extremwerts der Zielfunktion z(u) = 6 u 3 u + 3 werden wieder die ersten beiden Ableitungen benützt: mit u IR, z (u) = 3 u 3 und z (u) = 3. Aus z (u) = folgt die einzige Lösung u =, was wegen z () = 3 minimalen Wert für z ergibt, nämlich z() = 6. > einen 44

45 .9 Funktionenscharen Funktionenscharen sind Funktionen, in denen außer der Variablen x noch ein Parameter (z.b. t) steckt. Durch Einsetzen beliebiger Werte für t bekommt man dann verschiedene konkrete Funktionen der Schar. Bei Funktionen mit so einem Parameter kann ganz normal eine Kurvendiskussion durchgeführt werden, nur hängen alle Ergebnisse noch vom Parameter t ab. Viele Aufgaben zu Funktionenscharen zielen darauf ab, dass man zu einer bestimmten Bedingung die Funktion aus der Schar findet (d.h. den dazugehörigen Parameter t bestimmt), die diese Bedingung erfüllt. Oft geht es auch darum zu zeigen, dass eine Bedingung oder Gleichung von allen Funktionen unabhängig vom Scharparameter erfüllt wird, das sind dann Invarianten der Schar. Außerdem gibt es noch die Ortskurven zu berechnen, das sind diejenigen Kurven, auf denen z.b. sämtliche Hochpunkte (oder Tief- bzw. Wendepunkte) einer Funktionenschar liegen..9. Ortskurven Wenn Du für jede Funktion einer Funktionenschar f t die Hoch-, Tief- oder Wendepunkte in Abhängigkeit von t ausgerechnet hast, ist es möglich, die Kurve zu bestimmen, auf der alle diese Punkte liegen. Du hast z.b. den Hochpunkt H(a(t) b(t)), wobei a(t) und b(t) die x-koordinate bzw. die y-koordinate der Hochpunkte in Abhängigkeit von t darstellen. Mit x = a(t) und y = b(t) kannst Du dann die erste Gleichung nach t auflösen und das Ergebnis in die zweite Gleichung einsetzen, was eine Gleichung mit y und x ergibt. Das ist dann die Funktionsgleichung der Ortskurve aller Hochpunkte. Es wird die Ortskurve aller Hochpunkte der Funktionenschar f t (x) = x + tx + t bestimmt, wobei H( t 4 t + t) alle Hochpunkte der Schar sind (s..4.4). Es gilt also für den x- bzw. y-wert: x = t und y = 4 t + t. Die erste Gleichung ergibt nach t aufgelöst t = x, was beim Einsetzen in die zweite Gleichung zur Ortskurve y = 4 (x) + x = x + x führt..9. Bestimmung von Parametern Hier wird nach dem Parameter t gefragt, für den f t eine bestimmte Bedingung erfüllt. Die Bedingung an die Funktion musst Du also irgendwie in eine Gleichung (oder in mehrere) bringen und dann nach t auflösen. Dazu lässt sich allgemein wenig sagen, deshalb kommen jetzt ein paar Beispiele zu möglichen Bedingungen. 45

46 Beispiele: f t schneidet g zweimal Zu bestimmen sind alle t, für die f t (x) = t 8 x die Gerade g(x) = x zweimal schneidet. Aus der Schnittbedingung f t (x) = g(x) folgt t 8 x = x bzw. x tx + 8 =. Nach..3 hat diese Gleichung zwei Lösungen, wenn die Diskriminante positiv ist, d.h. wenn t 64 > gilt. Das bedeutet, dass es für t > 64, also für t > 8 oder für t < 8 zwei Schnittpunkte von f t und g gibt. f t berührt g Gesucht ist dasjenige t, für welches f t mit f t (x) = x + (t + )x + 3 die Funktion g(x) = x berührt. Nach.6. bedeutet Berührung soviel wie f t(x) = g (x) und f t (x) = g(x), d.h. es muss gelten: x + t + = x und x + (t + )x + 3 = x. Um die beiden Gleichungen nach t und x aufzulösen, können wir z.b. t = 4x (erste Gleichung) in die zweite Gleichung einsetzen. Aus der entstandenen Gleichung folgen dann die Lösungen x = ±. Das ergibt dann wieder nach Einsetzen in die erste Gleichung für t die Lösungen t = 5 und t = 3. Das Ergebnis sieht dann so aus: f 3 berührt g an der Stelle x =, und f 5 berührt g an der Stelle x =. f t schneidet g senkrecht Für welches t schneidet f t (x) = x + t die Funktion g(x) =.6.4 ist das der Fall, falls f t(x) g (x) = und f t (x) = g(x) gilt: x + senkrecht? Nach x x (x + ) = und x + t = x +. Die erste Gleichung führt nach Umformung auf eine biquadratische Gleichung für x mit den Lösungen x = ± (vgl...4). Beide Lösungen können dann in die zweite Gleichung eingesetzt werden, wobei sich jeweils t = ergibt. Das bedeutet, dass f die Funktion g an den Stellen x = ± senkrecht schneidet. Der Hochpunkt von f t liegt auf der x-achse Wir gehen aus von der Funktionenschar f t (x) = t3 + x + 3 mit t <. Dabei hat f x t den Hochpunkt H(t 3 t+3) (vgl..4.4). Soll der Hochpunkt auf der x-achse liegen, dann muss seine y-koordinate den Wert Null haben: 3 t + 3 = bzw. t =. Damit hat die Funktion f ihren Hochpunkt auf der x-achse. 46

47 f t hat zwei zueinander senkrechte Wendetangenten Bestimme t so, dass f t (x) = tx 4 3x (t > ) zwei zueinander senkrechte Wendetangenten besitzt. Zuerst werden die Wendestellen bestimmt (vgl..4.5). Dabei ergeben sich x = t und x = t. Die Steigungen der Wendetangenten sind dann m = f t(x ) = 4 t und m = f t(x ) = 4 t. Sie schneiden sich nach.6.4 senkrecht, wenn die Orthogonalitätsbedingung m m = erfüllt ist: 4 4 = 6 = t = 8. t t t Somit hat f 8 zwei senkrecht aufeinanderstehende Wendetangenten..9.3 Parameterunabhängige Eigenschaften Manche Scharen haben Eigenschaften, die nicht von vom Parameter t abhängen, d.h. alle Funktionen, die man für verschiedene Parameterwerte erhält, haben etwas gemeinsam. Um zu sehen, ob eine Eigenschaft unabhängig von t ist, musst Du sie als Gleichung für f t formulieren und durch Vereinfachung zeigen, dass t rausfällt. Eine kleine Beispielschar dazu erhellt die Sache vielleicht ein wenig. Beispiele: Gemeinsame Punkte Zeige, dass P ( 6) und Q( 4) die gemeinsamen Punkte der Funktionenschar f t (x) = tx 3 + ( t)x + 3x 6 sind. Dazu wird die Punktprobe gemacht, und es ergibt sich f t () = t + ( t) = 6, bzw. f t () = 8t + 4( t) = 4 unabhängig von t, was zu zeigen war. Es kann auch gefragt werden, ob die obige Schar gemeinsame Punkte hat, ohne dass sie angegeben werden. In diesem Fall schneidest Du zwei verschiedene Funktionen aus der Schar miteinander, bei denen Du die Parameter z.b. mit s und t bezeichnest. Wenn Du dann Schnittpunkte berechnest, die nicht von s oder t abhängen, dann sind das die gemeinsamen Punkte der Schar: sx 3 + ( s)x + 3x 6 = tx 3 + ( t)x + 3x 6 (s t)x 3 (s t)x = (s t)(x 3 x ) = x 3 x =. Die Division durch s t ist erlaubt, weil wir verschiedene Scharfunktionen miteinander schneiden, d.h. es gilt s t s t. Die letzte Gleichung hat die von s und t unabhängigen Lösungen x = und x = (s...7). Mit f t () = 6 und f t () = 4 ergeben sich dann die gemeinsamen Punkte P ( 6) und Q( 4) der Funktionenschar. 47

48 Flächenverhältnisse Für t > schneidet f t (x) = tx 3 + 3x die x-achse bei x = 3 t, x = und x 3 = 3 t. Die von f t und der x-achse zwischen x und x 3 begrenzte Fläche A wird durch die erste Winkelhalbierende in zwei Flächenstücke A und A zerlegt. Zu zeigen ist, dass das Flächenverhältnis A A nicht von t abhängt. Wir berechnen zuerst nach.5.3 die Gesamtfläche zwischen f t und der x-achse: 3 t A = tx 3 + 3x dx = [ t 4 x4 + 3 ] 3 t x = 9 4t = 9 4t. Um das Flächenstück A zu berechnen, das von der Winkelhalbierenden mit der Gleichung g(x) = x und f t begrenzt wird, berechnen wir zuerst ihre Schnittstellen, mit dem Resultat x = bzw. x = t. Für das Flächenstück ergibt sich dann t A = tx 3 + 3x x dx = [ t ] 4 x4 + x t = t = t. A bestimmen wir mit A = A A = 9 4t t = 5 4t. Jetzt kann man sehen, dass das Flächenverhältnis A A = t : 5 4t = 4 5 nicht von t abhängt. f t berührt g für jedes t in P Zeige, dass f t (x) = ( + t)x + t x + t für jedes t die erste Winkelhalbierende (g(x) = x) in demselben Punkt P berührt. Nach.6. berühren sich die beiden Kurven, wenn die beiden Bedingungen f t (x) = g(x) und f t(x) = g (x) erfüllt sind: ( + t)x + t x + t = x und + t t x =. Die zweite Gleichung ist äquivalent zu t(x ) = mit den von t unabhängigen Lösungen x = und x =. Aber nur für x = ist auch die erste Gleichung unabhängig von t erfüllt. Damit ist P ( f t ( )), also P ( ) der Punkt, in dem f t für jedes t die erste Winkelhalbierende berührt. Invariante Tangentennullstelle Wir zeigen, dass die Nullstelle der Tangente an f t (x) = tx im Kurvenpunkt P (4 6t) unabhängig von t ist. Dazu wird zuerst nach.6.3 die Tangentengleichung der Tangente durch P an f t aufgestellt: t : y = f t (4) + f t(4)(x 4) = 8tx 6t. Setzt man jetzt y = ein und löst nach x auf, dann erhält man die von t unabhängige Nullstelle der Tangente x =. 48

49 Steigung im Wendepunkt Es soll gezeigt werden, dass die Steigung von f t (x) = 3 x3 + tx + (t )x im Wendepunkt unabhängig von t ist. Für die beiden ersten Ableitungen gilt f t(x) = x + tx + t und f t (x) = x + t. Aus f t (x) = folgt dann die Wendestelle x = t (f t (x) =, vgl..4.5). Die Ableitung an dieser Stelle gibt dann den Wert der Steigung im Wendepunkt an und hat den Wert f t( t) = ( t) t + t =, der nicht von t abhängt. 49

50 Geometrie. Begriffe und Formeln Punkt,Vektor Anschauliche Punkte im dreidimensionalen Raum werden mathematisch durch ihre drei Koordinaten bezüglich eines vorgegebenen Koordinatensystems beschrieben. Dabei fasst man diese Koordinaten zu Zahlentripel zusammen, die dann auch Vektoren genannt werden. Vektor und Punkt sind letztlich also nur verschiedene Namen für das mathematische Objekt Zahlentripel. Als Variablennamen für Vektoren (bzw. Punkte) werden Kleinbuchstaben mit Pfeilen (bzw. Großbuchstaben) verwendet, für Koordinaten Kleinbuchstaben mit Indizes. Die Koordinaten können in Spalten oder Zeilen zusammengefasst werden: x = Addition/Subtraktion x y x ± y = x 3 y 3 x ± y x ± y x 3 ± y 3 Multiplikation mit einer Zahl t x tx t x = tx x 3 tx 3 Vektor- oder Kreuzprodukt x x y y = x 3 y 3 x y 3 x 3 y x 3 y x y 3 x y x y Skalarprodukt x y x y = x y + x y + x 3 y 3 x 3 y 3 Betrag eines Vektors x x = x + x + x 3 x 3 x x x 3 ; A( ). 5

51 Mittelpunkt zweier Punkte Der Mittelpunkt M der beiden Punkte A(a a a 3 ) und B(b b b 3 ) hat die Koordinaten M( a +b a +b a 3+b 3 ) Lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit Zwei Vektoren x und y heißen linear abhängig, wenn es eine Zahl t gibt, mit x = t y oder y = t x. Gibt es keine solche Zahl, dann heißen sie linear unabhängig. Orthogonalität Zwei Vektoren heißen zueinander orthogonal, wenn gilt: Winkel zwischen zwei Vektoren x y = x y + x y + x 3 y 3 =. Für den Winkel α zwischen zwei Vektoren x und y gilt Geraden cos α = x y x y. Sind zwei Vektoren u und v gegeben, dann versteht man unter einer Geraden die Menge aller Vektoren x mit x = u + t v, wobei der Parameter t alle reelen Zahlen durchläuft. Diese Gleichung wird als Parameterform der Geraden bezeichnet, u und v als Stütz- bzw. Richtungsvektor der Geraden. Dabei ergibt sich für jeden konkreten Wert, der für t gewählt wird ein Punkt auf der Geraden. Ebenen Unter einer Ebene versteht man eine Menge von Vektoren x, die durch eine der folgenden Gleichungen dargestellt wird. Parameterform: x = u + s v + t w. Die vorgegebenen Vektoren u bzw. v und w heißen Stütz- bzw. Richtungsvektoren, die Parameter s und t durchlaufen alle reellen Zahlen. 5

52 Koordinatenform: ax + bx + cx 3 + d =. a, b, c und d sind vorgegebene reelle Zahlen, x, x und x 3 sind die Koordinaten von x. Hessesche Normalform: ax + bx + cx 3 + d a + b + c =. Das entspricht der durch a + b + c geteilten Koordinatenform. Normalenform: n ( x p) =. Dabei heißt p Stützvektor und n Normalenvektor der Ebene. Normalenvektor einer Ebene a Die Vektoren b c aus der Koordinatenform bzw. der Hesseschen Normalform und n aus der Normalenform heißen Normalenvektoren der Ebene. Außerdem sind beliebige (von null verschiedene) Vielfache dieser Vektoren ebenfalls Normalenvektoren. Kugeln Eine Kugel ist eine Menge von Vektoren x, die auf folgende Arten beschrieben werden kann. quadratische Form: x + b x + c = (vektorielle Schreibweise) x + x + x 3 + b x + b x + b 3 x 3 + c = (Koordinatenschreibweise) b ist ein Vektor mit den Komponenten b, b und b 3. c ist eine Zahl. Unter x ist das Skalarprodukt von x mit sich selbst zu verstehen. Jede der beiden Schreibweisen kann aus der anderen abgelesen werden. Kugelform: ( x m) = r (vektorielle Schreibweise) (x m ) + (x m ) + (x 3 m 3 ) = r (Koordinatenschreibweise) Dabei heißt m Mittelpunktvektor der Kugel mit den Komponenten m, m und m 3, und r ist der Radius. Mit ( x m) ist wieder das Skalarprodukt des Vektors x m mit sich selbst gemeint. 5

53 Lagebeziehungen Zwei Geraden heißen parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear ab hängig sind und wenn sie keinen Schnittpunkt haben. Ebene und Gerade heißen parallel, wenn sie sich nicht schneiden. Zwei Ebenen heißen parallel, wenn ihre Normalenvektoren linear abhängig sind und wenn sie keinen Schnittpunkt haben. Zwei Geraden heißen orthogonal, wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal sind. Ebene und Gerade heißen orthogonal, wenn der Normalenvektor und der Richtungsvektor linear abhängig sind. Zwei Ebenen heißen zueinander orthogonal, wenn ihre Normalenvektoren orthogonal sind. Zwei Geraden heißen windschief, wenn sie keinen Schnittpunkt haben und nicht parallel sind. Spurpunkte Die Schnittpunkte einer Ebene E mit den Koordinatenachsen und die Schnittpunkte einer Geraden g mit den Koordinatenebenen heißen Spurpunkte von E, bzw. g. Spurgeraden Die Schnittgeraden einer Ebene E mit den Koordinatenebenen heißen Spurgeraden von E. Lotgerade und Lotfußpunkt Eine Gerade l, die durch einen Punkt P geht und orthogonal zu einer Ebene E ist, heißt Lotgerade von E durch P. Der Schnittpunkt der Lotgeraden mit E heißt Lotfußpunkt der Lotgeraden. Ist n ein Normalenvektor von E, dann ist eine Parameterdarstellung von l gegeben durch l : x = p + t n. Tangentialebenen Ist eine Kugel K mit dem Mittelpunkt M gegeben und ein Punkt P, der auf K liegt, dann heißt die Ebene T mit der Normalengleichung T : ( m p) ( x p) = Tangentialebene an K durch den Punkt P. Dabei ist m p ein Normalenvektor von T. 53

54 Abstand zwischen zwei Punkten Für den Abstand d zwischen zwei Punkten Q und P gilt Abstand zwischen Punkt und Ebene d(q; P ) = q p = p q. Für den Abstand d zwischen einem Punkt P und einer Ebene E gilt d(p ; E) = ap + bp + cp 3 + d. a + b + c Das ist der Betrag des linken Gleichungsterms der Hesseschen Normalform von E, wobei für x, x und x 3 die Koordinaten von P eingesetzt wurden. Abstand zwischen Punkt und Gerade Für den Abstand d zwischen einem Punkt P und einer Geraden g : x = u + t v gilt Abstand zwischen zwei Geraden d(p ; g) = v ( p u) u + v v p. Sind g : x = u + s v und h : x = u + t v zwei Geraden mit linear unabhängigen Richtungsvektoren, dann gilt für den Abstand: Winkel zwischen zwei Geraden d(g; h) = ( v v ) ( u u ) v v Für den Winkel α zwischen zwei Geraden mit den Richtungsvektoren v und v gibt es die Formel cos α = v v v v. Winkel zwischen zwei Ebenen Aus den Normalenvektoren n und n zweier Ebenen lässt sich der Winkel α zwischen ihnen bestimmen mit cos α = n n n n. 54

55 Winkel zwischen Gerade und Ebene Für den Winkel α zwischen einer Geraden mit dem Richtungsvektor v und einer Ebene mit dem Normalenvektor n gilt n v sin α = n v. 55

56 . Lineare Gleichungssysteme.. Einführung Ein lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus linearen Gleichungen für beliebig viele Variablen x, x,..., x n (auch Unbekannte genannt). Dabei muss nicht in jeder Gleichung des Systems jede Variable vorkommen, es darf sogar Variablen geben, die in gar keiner Gleichung auftauchen. Gibt es bestimmte Werte für die Variablen x, x,..., x n eines LGS, so dass alle Gleichungen erfüllt sind, dann sind diese Werte eine Lösung des LGS. Ein LGS kann gar keine, genau eine, oder unendlich viele Lösungen besitzen. Beispiele. LGS mit Unbekannten und Gleichungen x + 3x = 4x 5x = 3 Dieses LGS hat genau eine Lösung: mit den Werten x = 7 und x = 5 sind beide Gleichungen erfüllt.. LGS mit Unbekannten und 3 Gleichungen x + 3x = 4x 5x = 3 x + x = Bei diesem LGS stimmen die ersten beiden Gleichungen mit dem ersten Beispiel überein. Wenn das LGS eine Lösung hätte, dann also x = 7 und x = 5. Weil damit aber die dritte Gleichung nicht erfüllt ist ( ), hat das LGS keine Lösung. 3. LGS mit 3 Unbekannten und Gleichungen x + x x 3 = x 3x + x 3 = Dieses LGS hat unendlich viele Lösungen. Es geht uns jetzt aber erstmal noch nicht darum, wie man auf diese kommt. Wir schauen uns nur an, wie man unendlich viele Lösungen überhaupt darstellen kann. Das ist möglich indem man die Unbekannten x, x und x 3 mithilfe eines neuen Parameters t angibt. Hier gilt für die Lösung: x = + t, x = + t, x 3 = t. Da man für jeden Wert von t eine andere Lösung für das LGS bekommt, sind so unendlich viele Lösungen angegeben. Z.B. erhält man für t = die Lösung x =, x =, x 3 = oder für t = die Lösung x =, x = 3, x 3 = 4. 56

57 .. Matrix Darstellung Beim Lösen von Gleichungssystemen verwenden wir die Matrix Darstellung, mit der man sich das unnötige Schreiben von Variablen erspart und die Darstellung einfacher und übersichtlicher wird. Zum Beispiel wird das LGS als Matrix so notiert: x 4x + x 3 = 5x + x 3 = 8 x x 3 = Kommt also eine Unbekannte in einer Gleichung des LGS nicht vor, spiegelt sich das in einer an der entsprechenden Stelle in der Matrix wieder. Substraktionen in Gleichungen entsprechen negativen Werten in der Matrix. Die n-te Zeile einer Matrix bezeichnen wir im Weiteren mit z n, bei obiger Matrix hat also z.b. z 3 die Werte,, - und Additionsverfahren Das allgemeine Lösungsverfahren für Gleichungssystemen besteht im ersten Schritt aus der wiederholten Anwendung des Additionsverfahrens. Beim Additionsverfahren wird von zwei beliebigen Zeilen z m und z n einer Matrix ausgegangen, bei denen an derselben Stelle zwei von verschiedene Werte stehen. Den Wert in z m bezeichnen wir mit w m und den Wert in z n mit w n. Multipliziert man jetzt alle Werte von z m mit w n und alle Werte von z n mit w m und addiert die multiplizierten Zeilen, dann entsteht eine neue Zeile z neu = w n z m + ( w m ) z n. z neu hat an der Stelle, wo w m bzw. w n stehen den Wert und wird an Stelle von z m oder z n in die Matrix geschrieben. Das Additionsverfahren bewirkt also die Eliminierung einer Unbekannten aus einer Gleichung des LGS. Bei der folgenden Matrix stehen in z und z jeweils an erster Stelle die von verschiedenen Werte w = 4 und w = 3: ( Wir multiplizieren die Werte von z mit w = 3 und die Werte von z mit w = 4. Dann addieren wir die Ergebnisse und erhalten dabei für die neue Zeile z neu die drei Werte, 4 und -8. Damit ersetzen wir z.b. z und erhalten die umgeformte Matrix z neu = ( 3) z + ( 4) z : 6 ) 8 4 ( ) 57

58 ..4 allgemeines Lösungsverfahren für Gleichungssysteme Es gibt eine systematische Methode, mit der man bei jedem LGS herausfinden kann, ob es keine, eine oder unendlich viele Lösungen hat und mit der man alle möglichen Lösungen bestimmen kann. Dieses Verfahren heißt Gaußsches Eliminationsverfahren (nach dem Mathematiker Carl Friedrich Gauß) und wird im folgenden erklärt.. Schritt: Bestimme in jeder Matrixzeile die Stelle, an welcher der erste von verschiedene Wert auftritt. Dabei gibt es die folgenden zwei Möglichkeiten. a) es gibt zwei Matrixzeilen, bei denen dieser Wert an derselben Stelle auftritt: in diesem Fall bestimmst du mit dem Additionsverfahren eine neue Zeile, bei der an dieser Stelle eine steht. Stehen in der neuen Zeile überall Nullen, außer an der letzten Stelle, dann endet das Lösungsverfahren. Das LGS hat dann keine Lösung. Stehen in der neuen Zeile überall Nullen, dann entferne eine der beiden Zeilen aus der Matrix und führe Schritt erneut durch. Ansonsten ersetzt du eine der beiden Zeilen in der Matrix durch die neue Zeile und führst Schritt erneut durch. b) es gibt keine zwei solchen Matrixzeilen: in diesem Fall führst du Schritt durch.. Schritt: Bestimme in jeder Matrixzeile die Stelle, an welcher der erste von verschiedene Wert auftritt und notiere die dazugehörige Unbekannte. Entsprechend den notierten Unbekannten gibt es die folgenden zwei Möglichkeiten. a) du hast alle Unbekannten des LGS notiert: in diesem Fall hat das LGS genau eine Lösung. Um diese zu bestimmen, gehst du wieder von der Matrix Darstellung zur ausführlichen Schreibweise mit Gleichungen und Unbekannten über. Es gibt dann immer eine Gleichung mit nur einer Unbekannten, nach der du auflösen kannst. Danach gibt es immer eine Gleichung, in der du alle schon bestimmten Unbekannten einsetzen und damit die nächste Unbekannte bestimmen kannst, bis alle Unbekannten bestimmt sind. b) du hast nicht alle Unbekannten des LGS notiert: in diesem Fall hat das LGS unendlich viele Lösungen. Auch hier wieder das LGS in ausführlicher Form schreiben. Jetzt weist du allen nicht notierten Unbekannten des LGS neue Parameter zu und ersetzt die betreffenden Unbekannten im LGS mit diesen neuen Parametern. Danach löst du das LGS schrittweise wie bei a) nach den notierten Unbekannten auf. Die Anzahl der neuen Parameter bezeichnet man als die Dimension der Lösungsmenge, bei Parametern ist die Lösungsmenge z.b. -dimensional. 58

59 Beispiele:. LGS mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten (genau eine Lösung) Die ersten von verschiedenen Werte von z und z sind jeweils an. Stelle. Wir bestimmen also mit dem Additionsverfahren eine neue Zeile, bei der an. Stelle eine steht. Ebenso verfahren wir mit z und z 3. Die beiden neuen Zeilen werden statt z und z 3 in die Matrix geschrieben und wir erhalten die neue Matrix z + ( 3) z : ( ) z + ( 3) z : Hier haben z und z 3 den ersten von verschiedenen Wert beide an. Stelle. Das Additionsverfahren liefert uns eine Zeile, wo an. Stelle eine steht: z + 6 z 3 : 7 89 An dieser Stelle erfolgt Schritt des Lösungsverfahrens, weil es keine zwei Matrixzeilen gibt, wo der erste von verschiedene Wert an derselben Stelle steht. Bei z, z und z 3 kommen die ersten von verschiedenen Werte an.,. und 3. Stelle vor, das entspricht den Unbekannten x, x und x 3. Das sind alle Unbekannten des LGS, wir haben also genau eine Lösung. Um diese zu ermitteln gehen wir zur ausführlichen Schreibweise über: 3x x + 3x 3 = 6x + 3x 3 = 7x 3 = 89 Aus der dritten Gleichung folgt x 3 = 7. Das in die zweite Gleichung eingesetzt führt zu x = und setzen wir x und x 3 noch in die erste Gleichung ein, ergibt sich x = 5. Damit haben wir die eindeutige Lösung des LGS bestimmt.. LGS mit 3 Gleichungen und Unbekannten (genau eine Lösung) Bei allen drei Zeilen ist der erste von verschiedene Wert jeweils an. Stelle. Mit dem Additionsverfahren ersetzen wir z und z 3 deshalb durch neue Zeilen, die an. Stelle eine stehen haben: ( ) z + ( 4) z : 6 z + ( 4) z :

60 Jetzt haben noch z und z 3 den ersten von verschiedenen Wert jeweils an. Stelle stehen. Das Additionsverfahren liefert mit z neu = ( 4) z +8 z 3 eine Zeile mit ausschließlich Nullen, wir streichen also z 3 aus der Matrix und erhalten die vereinfachte Matrix ( Es folgt Schritt des Gaußschen Lösungsverfahrens. Bei z ist das erste von verschiedene Element an. Stelle, bei z an. Stelle. Dies entspricht den Unbekannten x und x. Weil das alle Unbekannten des LGS sind, existiert genau eine Lösung. Die ausführliche Schreibweise unserer Matrix sieht so aus: 4 ) 4x 5x = 4 8x = Mit der zweiten Gleichung folgt x =. Das setzen wir in die erste Gleichung ein und lösen nach x auf. Dabei ergibt sich x = und wir haben die eindeutige Lösung bestimmt. 3. LGS mit 3 Gleichungen und Unbekannten (unendliche viele Lösungen) Bei z und z sind die ersten von verschiedenen Werte (4 und -) jeweils an erster Stelle. Wir bestimmen deshalb mit dem Additionsverfahren eine neue Zeile z neu = ( ) z + ( 4) z, so dass an erster Stelle eine steht. Da z neu sogar nur aus Nullen besteht, entfernen wir z aus der Matrix. Auch bei z und z 3 sind die ersten von verschiedenen Werte (4 und 6) jeweils an erster Stelle. Mit dem Additionsvefahren erhalten wir z neu = 6 z + ( 4) z, so dass an erster Stelle eine steht. z neu ist ebenfalls eine komplette Nullzeile und wir entfernen auch z 3 aus der Matrix. Die vereinfachte Matrix besteht jetzt nur noch aus einer Zeile z : ( ) 4 4 Jetzt kommt Schritt des Lösungsverfahrens. Der erste von verschiedene Wert in der verblienenen Zeile steht an. Stelle, welche der Unbekannten x entspricht. Da das nicht alle Unbekannten des LGS sind, gibt es also unendlich viele Lösungen. Wir weisen jetzt der einzigen anderen Unbekannten x des LGS einen neuen Parameter t zu: x = t. Dann gehen wir zur ausführlichen Schreibweise der vereinfachten Matrix über: 4x + x = 4 6

61 Durch Einsetzen von x = t ergibt sich x = t. Mit x = t und x = t sind damit alle unendlich vielen Lösungen beschrieben. Die Lösungsmenge ist -dimensional, da wir zur Beschreibung der allgemeinen Lösung genau Parameter benötigt haben. 4. LGS mit Gleichungen und 3 Unbekannten (unendlich viele Lösungen) ( Beide Zeilen beginnen mit Werten ungleich. Wir bestimmen mit dem Additionsverfahren eine neue Zeile, die mit einer beginnt und ersetzen damit die. Zeile der Matrix: 5 z + ( 3) z : ) ( ) Es folgt Schritt, wobei der erste von verschiedene Wert von z an. Stelle und von z an 3. Stelle vorkommt. Das entspricht den Unbekannten x und x 3. Hierbei fehlt x, es gibt also unendlich viele Lösungen. Wir schreiben x = t und die vereinfachte Matrix in ausführlicher Schreibweise : 3x 5x 6x 3 = 3x 3 = 3 Aus der zweiten Gleichung folgt x 3 =. Mit x = t und x 3 = folgt aus der ersten Gleichung x = +5t. Damit sind alle unendlich vielen Lösungen durch einen Parameter beschrieben, die Lösungsmenge ist also -dimensional. 5. LGS mit Gleichungen und 3 Unbekannten (unendlich viele Lösungen) ( Bei diesem LGS entfällt Schritt des Lösungsverfahrens komplett, weil in den Matrixzeilen die jeweils ersten von verschiedene Werte an verschiedenen Stellen auftreten. In z befindet sich dieser Wert an. Stelle und in z an. Stelle, was den Variablen x und x entspricht. Da x 3 hierbei nicht vorkommt, gibt es wieder unendlich viele Lösungen. Wir schreiben x 3 = t und gehen in Schritt zur ausführlichen Schreibweise der Matrix über: 8 ) x + 3x 4x 3 = x 4x 3 = 8 x 3 = t in die untere Gleichung eingesetzt ergibt nach x aufgelöst x = 4 + t. Wir setzen noch x und x 3 in die erste Gleichung ein, lösen nach x auf und erhalten x = + t. Die Lösungsmenge ist auch hier wieder -dimensional, da wir zur Beschreibung genau einen Parameter benötigt haben. 6

62 6. LGS mit Gleichungen und 3 Unbekannten (unendlich viele Lösungen) ( ) Hier tritt in z der erste von verschiedene Wert an. Stelle auf und in z ebenso. Mit dem Additionsverfahren bestimmen wir z neu = ( ) z + ( ) z, so dass bei z neu an. Stelle eine steht. Da z neu aber komplett aus Nullen besteht, darf z.b. z aus der Matrix entfernt werden und es verbleibt die einzeilige vereinfachte Matrix ( ) 4 In Schritt stellen wir fest, dass der erste von verschiedene Wert der einzigen Zeile an. Stelle steht, was der Unbekannten x entspricht. Dabei fehlen die Unbekannten x und x 3 welchen wir die Paremeter s und t zuweisen und somit wieder unendlich viele Lösungen erhalten. Mit der ausführlichen Schreibweise unserer -Zeilen-Matrix erhalten wir x + x x 3 = 4 Wir setzen x = s und x 3 = t ein, lösen nach x auf und erhalten x = 4 s + t. Da wir zur Bestimmung der unendlich vielen Lösungen diesmal Parameter benützt haben, ist die Lösungsmenge -dimensional. 7. LGS mit 3 Gleichungen und Unbekannten (keine Lösung) Alle Zeilen der Matrix haben den ersten von verschiedenen Wert an. Stelle. Wir bestimmen mit dem Additionsverfahren zwei neue Zeilen, die an. Stelle eine haben: 4 4 ( ) z + ( 4) z : 6 6 z + ( 4) z 3 : 8 Bei dieser Matrix haben z und z 3 den ersten von verschiedenen Wert an. Stelle. Wir bestimmen mit dem Additionsverfahren also nochmal eine neue Zeile, die an. Stelle eine hat. Die neue Zeile z neu = ( ) z + ( 6) z 3 besteht aus den Werten,, -68. Da in der neuen Zeile überall Nullen stehen, außer an der letzten Stelle, hat das LGS keine Lösung. 8. LGS mit 3 Gleichungen und Unbekannten (keine Lösung)

63 Auch hier ist in allen Zeilen der erste Wert ungleich jeweils an. Stelle. Wir wenden also das Additionsverfahren an, um die zweite Zeile mit einer neuen Zeile zu ersetzen, die an. Stelle eine hat. Für z neu = ( ) z + ( 4) z ergeben sich die Werte,, -6. Da alle Werte bis auf den letzten Nullen sind, hat das LGS keine Lösung. 9. LGS mit Gleichungen und 3 Unbekannten (keine Lösung) ( 6 4 Der erste von verschiedene Wert ist bei beiden Zeilen an. Stelle. Wir wenden also das Additionsverfahren an, um die zweite Zeile durch eine neue zu ersetzen, die an. Stelle eine stehen hat. Die neue Zeile z neu = ( ) z + ( 6) z hat die Werte,, -3. Alle Werte, bis auf den letzten sind also und das LGS hat damit wieder keine Lösung. 5 7 ) 63

64 .3 Umwandlung der Darstellungsformen.3. Parameterform in Koordinatenform Bilde das Kreuzprodukt (vgl..) aus den beiden Richtungsvektoren, die in der Parameterform stehen. Das Ergebnis des Kreuzprodukts ist ein Normalenvektor der Ebene, die drei Komponenten dieses Vektors sind also die Koeffizienten a, b und c der gesuchten Koordinatengleichung ax + bx + cx 3 + d =. Wichtig: berprüfe immer, ob du den Normalenvektor korrekt berechnet hast, indem du dessen Skalarprodukt mit beiden Richtungsvektoren berechnest. Beide Skalarprodukte müssen den Wert null ergeben, da der Normalenvektor senkrecht zur Ebene, also auch zu beiden Richtungsvektoren stehen muss. d ergibt sich durch Einsetzen der drei Koordinaten des Stützvektors in die Koordinatengleichung. x = 3 + s t 5 8 Das Vektorprodukt der Richtungsvektoren ergibtden Normalenvektor n = = 3 5 ( ) 8 = ( ) Probe (das Skalarprodukt mit beiden Richtungsvektoren muss null ergeben): = 45 ( ) ( 3) 3 = = ( 3) 8 =. Aus dem Normalenvektor ergibt sich jetzt die provisorische Koordinatenform 45x + 3x 3x 3 + d =. Durch Einsetzen des Stützvektors aus der Parameterform in diese Gleichung bekommen wir dann auch noch d: d = d = 59 Die gesuchte Koordinatengleichung lautet also: 45x + 3x 3x 3 59 =.3. Koordinatenform in Parameterform Du substituierst zwei von den Variablen x, x, x 3 mit s und t und löst die Koordinatenform ax + bx + cx 3 + d = nach einer der vorkommenden Variablen auf, z.b. nach x 3 (falls c ). Dann bekommst Du so ein Gleichungssystem: x = s x = t x 3 = d c a c s b c t. 64

65 Dieses Gleichungssystem kann jetzt in die gesuchte Parameterform der Ebene umgeschrieben werden. Ist die Koordinatenform einer Ebene gegeben durch x + x 5 =, dann kann man z.b. x = s und x 3 = t setzen und nach x auflösen: Daraus folgt dann die Parameterform x 5 s x = x = s x 3 t x = 5 s x = s x 3 = t. =.3.3 Koordinatenform in Normalenform 5 + s + t Aus der Koordinatengleichung E : ax + bx + cx 3 + d = liest Du den Normalenvektor a p n = b ab. Einen Stützvektor p = p bekommst Du, indem Du p, p und p 3 so c p 3 wählst, dass die Gleichung E : ap + bp + cp 3 + d = erfüllt ist. Das geht am einfachsten, wenn Du zwei Koordinaten frei wählst. Die dritte Koordinate erhältst Du dann durch Auflösen der Gleichung. Die Ebene mit der Koordinatenform E : x + x + 6x 3 5 = hat den Normalenvektor n = und für p = p 3 = erhält man aus der Gleichung p = 5. Die Normalenform 6 für E sieht dann so aus: E : Normalenform in Koordinatenform x 5 =. Die Koordinatenform bekommst Du, indem Du das Skalarprodukt in der Normalenform n ( x p) ausrechnest. 4 x 3 = 4 x x x = 4 (x ) + x (x 3 + 3) = 4x + x x 3 = 65

66 Die letzte Gleichung ist die gesuchte Koordinatenform..3.5 Parameterform in Normalenform und umgekehrt Mit.3. bzw..3.4 wandelst Du zuerst die gegebene Form in die Koordinatenform um, und diese dann mit.3.3 bzw..3. in die gesuchte Form..3.6 Quadratische Form in Kugelform Aus der quadratischen Form einer Kugel bekommst Du durch quadratisches Ergänzen schnell die Kugelform, bei der Du dann den Mittelpunkt und den Radius der Kugel ablesen kannst: x + x + x 3 + b x + b x + b 3 x 3 + c = (x + b ) b 4 + (x + b ) b 4 + (x 3 + b 3 ) b c = (x + b ) + (x + b ) + (x 3 + b 3 ) = b 4 + b 4 + b 3 4 c. Durch Vergleich der letzten Gleichung mit der Kugelform aus. bekommt Du also M( b b b 3 ) und r = b 4 + b 4 + b 3 4 c bzw. r = b 4 + b 4 + b 3 4 c. Die quadratische Form x + x + x 3 6x + x = einer Kugel soll in die Kugelform umgewandelt werden. Durch quadratisches Ergänzen ergibt sich x + x + x 3 6x + x = (x 3) 9 + x + (x 3 + ) = (x 3) + x + (x 3 + ) = 7 4. Deshalb ist M(3 ) der Mittelpunkt, und r = 7 4 der Radius der Kugel. 66

67 .4 Aufstellen von Geraden- und Ebenengleichungen.4. Gerade durch zwei Punkte Sind zwei Punkte A und B gegeben, dann hat die Gerade g durch A und B als mögliche Gleichung g : x = a + t( b a). Statt a kannst Du als Stützvektor wahlweise auch b verwenden und statt b a als Richtungsvektor auch a b. Mit A( ) und B( 3) erhält man für g z.b. die Gleichung g : x = + t.4. Ebene durch drei Punkte 3 = + t 4 Die Ebene E, die durch drei vorgegebene Punkte A, B und C geht, hat die mögliche Parameterform E : x = a + s( b a) + t( c a). Wie bei der Parameterform von Geraden kannst Du hier auch b oder c als Stützvektoren wählen und als Richtungsvektoren irgendwelche zwei Differenzen der drei Vektoren. Aus den drei Punkten A( ), B( ) und C( 3 ) erhält man für E beispielsweise die Parameterform E : x = = 3 + s + t 4 + s + t Ebene durch einen Punkt und eine Gerade Die Ebene E, die die Gerade g : x = u+t v und den Punkt A g enthält, hat als Parameterform beispielsweise E : x = a + s( u a) + t v. Alternativ dazu kannst Du als Stützvektor auch u benützen und statt dem ersten Richtungsvektor auch a u. Der Richtungsvektor v aus der Geraden muss aber auf jeden Fall verwendet werden. 67

68 5 Mit A( ) und g : x = 4 + t ergibt sich für E: 4 E : x = =.4.4 Ebene durch zwei Geraden 5 + s 4 + t s + t. 3 Wenn sich zwei Geraden g : x = u + s v und g : x = u + t v schneiden oder parallel sind, dann spannen sie eine Ebene auf. Die Parameterform kannst Du z.b. so aufstellen: E : x = u + s v + t w. Dabei hängst Du also an die Gleichung von g nur noch t w hinten an, wobei w entweder der Richtungsvektor v von g ist falls sich die Geraden schneiden oder der Vektor u u (bzw. u u, das ist egal) falls die Geraden parallel sind. Genausogut kannst Du t w auch an die Geradengleichung von g anfügen, wobei im Fall zweier sich schneidender Geraden entsprechend w = v gilt. Beispiele: Die beiden Geraden haben die Gleichungen 5 5 g : x = + s und g : x = + t Diese schneiden sich, was man am gemeinsamen Stützvektor und den linear unabhängigen Richtungsvektoren erkennen kann. Die aufgespannte Ebene hat also z.b. die Parameterform E : x = 5 + s + t Die folgenden Geraden sind parallel: 4 g 3 : x = 5 + s 4 ; g 4 : x = 4 + t. 6 3 Als Paramterform der aufgespannten Ebene ergibt sich z.b.: E : x = s 4 + t

69 = s 4 + t Koordinatenachsen und -ebenen Die x -Achse geht durch den Ursprung und hat beispielsweise den Richtungsvektor Die Parameterform kann dann also so aussehen: x = + t = t Das funktioniert natürlich bei der x - oder x 3 -Achse genauso. Mit dem Ursprung als Stützvektor und bzw. als Richtungsvektoren bekommst Du eine Parameterform der x -x -Ebene: x = s + t Daraus kannst Du x 3 = ablesen (siehe auch.3. ), das ist dann auch schon die Koordinatenform der x -x -Ebene Ebene senkrecht zu zwei Ebenen durch einen Punkt Der Normalenvektor n der Ebene, die senkrecht zu zwei vorgegebenen Ebenen sein soll, ergibt sich aus dem Kreuzprodukt ihrer Normalenvektoren (ist also eine der gegebenen Ebenen in Parameterform gegeben, musst du zuerst ihren Normalenvektor ermitteln, s...). Mit dem gegebenen Punkt lässt sich dann die Normalenform bzw. Koordinatengleichung der Ebene aufstellen. Durch den Punkt P ( ) soll eine Ebene E gelegt werden, die zu den zwei Ebenen E : 3x + x x = und E : 4x + 5x = orthogonal ist. Für das Kreuzprodukt der Normalenvektoren ergibt sich der Normalenvektor der gesuchten Ebene: 3 n = 4 5 = Wichtig: Auch hier die Probe machen, und überprüfen, ob das Skalarprodukt von n mit beiden Normalenvektoren den Wert null ergibt! Das ist hier der Fall, und wir erhalten für die Ebene die

70 Gleichung: E : x = 5x + 4x + 3x =..4.7 Ebene senkrecht zu einer Geraden und durch einen Punkt Bei vielen Aufgaben kommt es vor, dass Du zu einer Geraden g : x = u + t v und einem Punkt P eine Ebene finden musst, die senkrecht durch die Gerade geht, und den Punkt enthält (z.b. bei der Spiegelung von einem Punkt an einer Geraden, und beim Abstand zwischen Punkt und Gerade). Die Normalenform der Ebene kannst Du aufstellen, indem Du v als Normalenvektor von E verwendest und p als Stützvektor: E : v ( x p) =. 3 Die Ebene durch P ( 5) senkrecht zur Geraden g : x = +t hat die Gleichung E : x Lotgerade auf eine Ebene durch einen Punkt = x + x x =. Eine Lotgerade durch einen Punkt auf eine Ebene ist eine Gerade, die die Ebene senkrecht schneidet. Lotgeraden sind Hilfsmittel beim Spiegeln eines Punktes an einer Ebene (s..7.) und beim Schneiden von Kugeln mit Ebenen (s..5.8). Die Lotgerade durch einen Punkt P auf eine Ebene E hat p als Stützvektor und den Normalenvektor von E als Richtungsvektor. Die Lotgerade durch P (6 4) auf die Ebene E : 7x x + x = hat die Gleichung 6 7 l : x = + t Tangentialebene und Schnittkreisebene bei Kugeln Eine Tangentialebene an eine Kugel ist eine Ebene, die mit dieser genau einen Punkt gemeinsam hat, dieser heißt dann Berührpunkt. Ist P ein Punkt auf oder innerhalb einer Kugel mit dem Mittelpunkt M, dann lässt sich daraus die Gleichung der Tangentialebene an die Kugel durch den Berührpunkt P aufstellen (falls P auf der 7

71 Kugel liegt) oder die Gleichung der Ebene, die die Kugel in einem Kreis mit dem Mittelpunkt P schneidet (falls P innerhalb der Kugel liegt). In beiden Fällen hat die Ebene E die Normalenform E : n ( x p) = mit dem Normalenvektor n = m p. Daraus kannst Du Dir dann nach.3.4 die Koordinatenform herleiten. Q( 4) und P ( 4) liegen nach.5.3 auf bzw. in der Kugel K mit der Gleichung K : (x ) + (x + ) + (x 3 5) = 9. Für die Normalenvektoren n und n der Tangentialebene T durch Q und der Schnittkreisebene E durch P wählen wir n = m q = und n = m p =. Die Tangentialebene T durch den Berührpunkt Q hat deshalb die Gleichung T : x 4 = x x + x 3 =, und die Schnittkreisebene E durch den Schnittkreismittelpunkt P sieht so aus: E : x 4 = x + x 3 4 =. 7

72 .5 Lagebeziehungen und Schnittberechnung.5. Punkt - Gerade Um zu sehen ob ein bestimmter Punkt P auf einer vorgegebenen Gerade g liegt, setzt Du p für x in die Parameterform von g ein, also p = u + t v und schreibst das als Gleichungssystem hin: p = u + tv p = u + tv p 3 = u 3 + tv 3. Wenn sich aus allen drei Gleichungen dasselbe t ergibt, dann liegt P auf g, sonst nicht. Aus P (3 9) und P ( 3) und der Geraden g x = + t entstehen zwei 3 6 Gleichungssysteme: 3 = + t = + t = t und = t 9 = 3 + 6t 3 = 3 + 6t. Alle Gleichungen des ersten Gleichungssystems ergeben t =, und damit liegt P auf g. Im zweiten System liefern die ersten beiden Gleichungen t = bzw. t =, deshalb liegt P nicht auf g..5. Punkt - Ebene Am Einfachsten lässt sich erkennen, ob ein gegebener Punkt auf einer Ebene liegt, wenn diese in der Koordinatenform vorliegt. Deshalb stellst Du diese am Besten zuerst auf, falls nötig. Ein Punkt P (p p p 3 ) liegt genau dann auf einer Ebene E mit der Koordinatenform ax +bx + cx 3 + d =, wenn die Gleichung aufgeht, die entsteht, wenn Du die Koordinaten von P für x, x und x 3 in die Ebenengleichung einsetzt. P (3 5) liegt auf E : x 6x + x 3 7 =, wegen =. P ( ) liegt dagegen nicht auf ihr, da Punkt - Kugel Auch hier setzt Du den Punkt P bzw. die Koordinaten p, p und p 3 in die jeweils vorgegebene Kugelform ein. P liegt genau dann auf der Kugel, wenn die Gleichung aufgeht. Außerdem kann man sehen ob ein Punkt innerhalb oder außerhalb der Kugel liegt. Innerhalb liegt er nämlich, wenn der Wert der linken Seite der Kugelgleichung nach Einsetzen von P kleiner als r (bei der Kugelform), bzw. kleiner als (bei der quadratischen Form) ist. Ist er größer als r bzw., dann liegt P außerhalb der Kugel. P ( 3), P ( 3) und P 3 ( 5) und zwei Kugeln sind gegeben: 7

73 K : (x 3) + (x + ) + x 3 = 4 K : x + x + x 3 + x 8x =. Der zweite Punkt P liegt auf K, da ( 3) + ( + ) + 3 = 4, und P 3 befindet sich wegen ( 3) + ( + ) + 5 = 3 > 4 außerhalb von K. Jetzt wird noch P in die zweite Gleichung eingesetzt: = <. Das bedeutet, P liegt innerhalb von K..5.4 Gerade - Gerade Zur Bestimmung der Lagebeziehung zwischen zwei gegebenen Geraden g : x = a + s u und g : x = b + t v setzt du die Geraden gleich: a + s u = b + t v. So erhältst du für die Unbekannten sund t nach kurzem Umformen das Gleichungssystem bzw. in Matrix Darstellung u s v t = b a u s v t = b a u 3 s v 3 t = b 3 a 3. u v u v u 3 v 3 b a b a b 3 a 3 Um die Lagebeziehung zwischen den Geraden zu bestimmen, bestimmst du die Lösungsmenge nach.. Dabei gibt es folgende Möglichkeiten:. Wenn das LGS genau eine Lösung für s und t hat dann haben die Geraden einen Schnittpunkt. Diesen erhältst Du durch Einsetzen der Lösung von s oder t in die zugehörige Geradengleichung, was in beiden Fällen natürlich denselben Schnittpunkt liefert.. Hat das LGS unendlich viele Lösungen, dann sind die Geraden identisch. In diesem Fall ist es nicht nötig, die unendlich vielen Lösungen des LGS anzugeben. 3. Wenn das LGS keine Lösung hat, überprüfst du noch die beiden Richtungsvektoren der Geraden: sind sie linear abhängig, dann sind die Geraden parallel und sind sie linear unabhängig dann sind die Geraden windschief. Beispiele: Fünf Geraden sind gegeben: 4 5 g : x = + s, g : x = 3 + t g 4 : x = 3 + v und g 5 : x = + w 7 3, g 3 : x = u 3 73

74 g g : Gleichsetzen der Geradengleichungen liefert das LGS Dieses LGS hat unendlich viele Lösungen (Rechnung siehe..4 Beispiel 3), deshalb sind die Geraden g und g identisch. g g3 : Die beiden Geradengleichungen werden wieder gleichgesetzt, dabei ergibt sich ein LGS mit folgender Matrix: Dieses LGS hat nach..4 Beispiel genau eine Lösung, nämlich s = und u =. Damit gibt es hier einen Schnittpunkt der beiden Geraden, den wir durch Einsetzen von z.b. u = in g 3 erhalten: 3 5 s = = 3 4 g g4 : Auch hier entsteht nach dem Gleichsetzen der Geradengleichungen ein Gleichungssystem, es hat die Matrix Das LGS wird in..4 Beispiel 7 durchgerechnet, es hat keine Lösung und es gibt somit keinen Schnittpunkt. Da die beiden Richtungsvektoren der Geraden linear unabhängig sind (keiner kann so multipliziert werden, dass dabei der andere entsteht, s..) sind die Geraden insbesondere windschief. g g5 : Hier stoßen wir auf folgendes Gleichungssystem Dieses hat nach..4 Beispiel 8 ebenfalls keine Lösung, es gibt also keinen Schnittpunkt. Da die Richtungsvektoren linear abhängig sind, sind die Geraden parallel. Die Gleichungen Nr. und sind nicht äquivalent. Das Gleichungssystem aus diesen beiden Gleichungen hat keine Lösung. Eliminiert man nämlich mittels Additionsverfahren eine der beiden Variablen, so ergibt sich eine falsche Aussage (z.b. führt die Summe aus der ersten Gleichung und dem zweifachen der zweiten Gleichung auf den Widerspruch = 3). Da außerdem die Richtungsvektoren linear abhängig sind, liegen hier zwei parallele Geraden vor.. 74

75 .5.5 Gerade - Ebene Leite zuerst die Koordinatenform der Ebene her, und schreibe dann die Geradengleichung x = u + t v in Form von drei Gleichungen auf: x = u + tv x = u + tv x 3 = u 3 + tv 3. Jetzt kannst Du x, x und x 3 in die Koordinatenform der Ebene einsetzen, und diese Gleichung für t untersuchen. Dabei können drei Fälle eintreten.. Die Gleichung lässt sich nach t auflösen. Dann bekommst Du den Schnittpunkt, indem Du das Ergebnis für t wieder in die Geradengleichung einsetzt.. Die Gleichung lässt sich nicht auflösen, weil t wegfällt, und sie ergibt eine wahre Aussage. Das heißt dann, dass die Gerade in der Ebene liegt. 3. Die Gleichung lässt sich nicht nach t auflösen und ergibt eine falsche Aussage. Dann schneiden sich die Gerade und die Ebene nicht, und sie sind parallel zueinander. Die Ebene E : x 3x + x 3 + = istgegeben und die drei Geraden 6 g : x = + t, g : x = + t und g 3 : x = + t. E g : Einsetzen von x, x und x 3 aus der Geradengleichung in die Koordinatenform von E ergibt 6 3( + t) + ( + 3t) + =, oder nach Umformung =. Die Gleichung ist falsch, also gibt es keinen Schnittpunkt, Gerade und Ebene sind parallel. E g : Einsetzen von x, x und x 3 aus der Geradengleichung für g führt zu der Gleichung t 3 5t+6+6t+ =. Wenn man das nach t auflöst ergibt sich t =, was man dann wieder in die Geradengleichung einsetzen kann, um den Schnittpunkt S auszurechnen: s = = 5. E g 3 : Wieder erhält man durch Einsetzen der Koordinaten aus der Geradengleichung in die Ebene eine Gleichung für t: + t 3( + t) + ( t) + = oder umgeformt =. Das ist eine wahre Aussage, und g 3 liegt deshalb in der Ebene E. 75

76 .5.6 Gerade - Kugel Die Schnittmenge zwischen einer Geraden und einer Kugel bestimmst Du, indem Du die drei Koordinaten x = u + tv x = u + tv x 3 = u 3 + tv 3 aus der Geradenform x = u + t v in die vorgegebene Koordinatenform (x m ) + (x m ) + (x 3 m 3 ) = r oder x + x + x 3 + b x + b x + b 3 x 3 + d = (quadratische Form oder Kugel-Normalform) der Kugel einsetzt. Dabei bekommst Du eine quadratische Gleichung für t, die Du mit der Lösungsformel aus. löst. Für t bekommst Du dann keine, eine oder zwei Lösungen, d.h., die Gerade passiert, tangiert oder durchstößt die Kugel. Um den Berührpunkt oder die Durchstoßpunkte zu erhalten setzt Du dann die Lösung (Lösungen) für t in die Geradengleichung ein. Wir verwenden eine Kugel und drei Geraden: K : (x ) + (x + ) + (x 3 ) = 9, 5 g : x = + t g 3 : x = 3 + t., g : x = 5 + t K g : Einsetzen der Koordinaten aus der Gleichung für g führt zu und (5 t ) + ( + t + ) + ( + t ) = 9 (3 t) + t + t = 9 9 6t + t + t = 9 3t 6t =, mit t = und t = als Lösungen, die wir wieder in die Geradengleichung einsetzen. Die zwei Durchstoßpunkte sind dann S (5 ) und S (3 3). K g : Wir gehen mit x = 5 + t, x = und x 3 = + t wieder in die Kugelgleichung: (5 + t ) + ( + ) + ( t ) = t + 4t t t + = 9 5t + t + 5 =. 76

77 Die Lösungsformel hat nur eine Lösung t =, die wir in die Gleichung für g einsetzen, was den Berührpunkt B(3 3) ergibt. K g 3 : Wie in den zwei obigen Fällen kommen wir auch hier auf eine quadratische Gleichung für t: ( + t ) ( t ) = 9 5t = 7. Diese Gleichung hat keine Lösung. Die Gerade schneidet die Kugel deshalb in keinem Punkt..5.7 Ebene - Ebene Am Besten ist es, wenn Du beide Ebenen in Koordinatenform vorliegen hast. Wenn nicht, dann wandle die Ebenengleichung zuerst in die Koordinatenform um (siehe.). Die beiden Koordinatengleichungen bilden ein Gleichungssystem aus Gleichungen und den drei Unbekannten x, x und x 3 : a x + b x + c x 3 + d = a x + b x + c x 3 + d = bzw. als Matrix: ( a b c a b c d d Die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems ist die Schnittmenge der beiden Ebenen. Du musst also nach..4 die Lösungsmenge bestimmen. Dabei gibt es folgende Fälle:. Wenn das LGS keine Lösung hat, dann sind die Ebenen parallel.. Wenn das LGS unendlich viele Lösungen hat und die Lösungsmenge ist -dimensional (d.h., es wird ein Parameter zur Beschreibung der Lösungen benögigt), dann gibt es eine Schnittgerade. Die Gleichung der Schnittgeraden bekommst du, indem du die Lösung des LGS vektoriell darstellst. 3. Wenn das LGS unendlich viele Lösungen hat und die Lösungsmenge ist -dimensional (d.h., es werden zwei Parameter zur Beschreibung der Lösungen benögigt), dann sind die Ebenen identisch. Eine vektorielle Darstellung der Lösung des LGS entspricht dann der Darstellung der Ebene in Parameterform. Beispiele: Wir gehen von folgenden Ebenen aus: E : x + x x = E : x x + 4x 3 8 = E 3 : 6x x = E 4 : x + 4x 3 7 = E 5 : 3x 5x 6x 3 = ) 77

78 E 6 : 5x 5x x 3 + = E 7 : x + 3x 4x 3 = E 8 : x 4x 3 8 = E E : Die Koordinatengleichungen ergeben das LGS ( In..4 Beispiel 6 wird die Lösung dieses LGS berechnet. Es hat unendlich viele Lösungen mit -dimensionaler Lösungsmenge. Die Ebenen sind also identisch. ) E 3 E4 : die Koordinatengleichungen liefern das LGS ( ) In..4 Beispiel 9 wird gezeigt, dass dieses LGS keine Lösung hat, somit sind die Ebenen parallel. E 5 E6 : Hier führen die Koordinatengleichungen auf das LGS ( ) 5 5 In..4 Beispiel 4 wird gezeigt, dass es unendlich viele Lösungen gibt, wobei die Lösungsmenge -dimensional ist, die Lösungen also mit einem Parameter beschrieben werden können. Somit haben die Ebenen eine Schnittgerade. Um deren Gleichung anzugeben, schreiben wir die Lösung x = + 5t, x = t, x 3 = aus..4 Beispiel 4 noch in vektorieller Schreibweise. Dabei erhalten wir für die Schnittgerade: x = x x x 3 = + 5t t = + t 5 E 7 E8 : Die Ebenen führen zur Matrix ( ) Aus..4 Beispiel 5 wissen wir, dass dieses LGS ebenfalls unendlich viele Lösungen und eine -dimensionaler Lösungsmenge hat. Es gibt also eine Schnittgerade. Mit den Lösungen x = + t, x = 4 + t, x 3 = t aus..4 Beispiel 5 erhalten wir die Gleichung der Schnittgerade: x = x x x 3 = + t 4 + t t = 4 + t 78

79 .5.8 Ebene - Kugel Ebenen können Kugeln passieren, tangieren oder in einem Kreis schneiden. Um rauszufinden, was der Fall ist, rechnest Du den Abstand d(e; M) vom Kugelmittelpunkt M zur Ebene E mit Hilfe der Hesseschen Normalform aus (s..6.), und vergleichst ihn mit dem Kugelradius r. Dabei können drei Fälle auftreten. d(e; M) > r: Die Ebene schneidet die Kugel nicht, und es gibt somit nichts zu rechnen. d(e; M) = r: Die Ebene ist eine Tangentialebene an die Kugel in einem Berührpunkt B. B ist dabei der Lotfußpunkt der Lotgeraden durch M auf E, den Du wie in.4.8 ausrechnen kannst. d(e; M) < r: In dem Fall schneiden sich Ebene und Kugel in einem Schnittkreis mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r. Dabei ist M wieder der Lotfußpunkt der Lotgeraden durch M auf E. Jetzt zu r : Nimm irgendeinen Punkt S auf dem Schnittkreis, dann ist das Dreieck MSM rechtwinklig mit der Hypothenuse d(m; S) = r und den Katheten d(m ; M) = d(m; E) und d(s; M ) = r. Mit dem Satz von Pythagoras folgt dann für den Schnittkreisradius r = r d(e; M). Beispiele: Wir gehen aus von einer Kugel und drei Ebenen mit den Gleichungen K : (x 4) + (x ) + (x 3 + ) = 49, E : 3x 4x 5x =, E : 3x + x 6x =, E 3 : x + x + x 3 4 =. E K: Der Abstand von E zum Kugelmittelpunkt M(4 ) beträgt d(m; E ) = 5. Da er größer als der Kugelradius r = 7 ist, passiert die Ebene die Kugel, es gibt also keinen Schnittpunkt. E K: Wegen d(m; E ) = 7 berührt E die Kugel in einem Punkt B. Um diesen auszurechnen, bestimmen wir die Gleichung der Lotgeraden durch M auf E nach.4.8. Dabei ergibt sich 4 l : x = 3 + t 6 B erhalten wir, wenn wir den Lotfußpunkt (den Schnittpunkt der Lotgeraden mit E ) berechnen. Dabei erhält man für B die Koordinaten ( 5). E 3 K: Hier ist d(m; E3 ) = 3 < 7, es gibt also einen Schnittkreis. Genauso wie bei der Berechnung des Berührpunktes gehen wir auch bei der Berechnung des Schnittkreismittelpunktes M vor: Die Lotgerade von E 3 durch M hat die Gleichung. 4 l : x = + t. 79

80 Daraus folgen für M als Lotfußpunkt von l die Koordinaten ( 4 ). Für den Schnittkreisradius r gilt r = r d(e 3 ; M) = 7 3 = Kugel - Kugel Zwei Kugeln können 5 verschiedene Lagebeziehungen zueinander haben, die sich anhand der beiden Kugelradien r und r sowie dem Abstand zwischen den Kugelmittelpunkten d(m ; M ) unterscheiden lassen. a) r r > d(m ; M ) Die Kugel mit dem kleineren Radius liegt ganz innerhalb der Kugel mit dem größeren Radius. Für die Kugeln K : (x + ) + (x ) + (x 3 5) = 5 und K : (x +, 5) + (x ) + (x 3 6) = 4 gilt r = 5, r = und d(m ; M ) = (, 5) + ( ( )) + ( 5 ( 6)) =, 5 =, 5. Wegen r r = 5 = 3 >, 5 liegt K ganz innerhalb von K. b) r r = d(m ; M ) Die Kugel mit dem kleineren Radius berührt die Kugel mit dem größeren Radius von innen (sind die Radien gleich, dann sind die Kugeln identisch). In diesem Fall ist der Berührpunkt einer der beiden Schnittpunkte der Geraden durch die Kugelmittelpunkte mit z.b. K (und zwar derjenige Schnittpunkt, der auch auf K liegt, was sich durch eine Punktprobe feststellen lässt). Für die Kugeln K : (x 4) + (x ) + (x 3 5) = und K : (x 5) + (x 3) + (x 3 4) = 3 gilt r r = 3 = 3 3 = 3 und d(m ; M ) = 3, die kleinere Kugel K berührt also K von innen. Die Gerade durch die Kugelmittelpunkte M (4 5) und M (5 3 4) hat die Gleichung x = t Die Schnittpunkte dieser Geraden mit K ergeben sich durch Einsetzen der Koordinaten aus der Geradengleichung in die Kugelgleichung (vgl..5.6). Die Gleichung wird nach t aufgelöst und die beiden Lösungen t = und t = in die Geradengleichung eingesetzt, was die Schnittpunkte S (6 4 3) und S ( 7) liefert. Da nur S auch auf K liegt (Punktprobe) ist dies der gemeinsame Berührpunkt der Kugeln. c) r r < d(m ; M ) und d(m ; M ) < r + r In diesem Fall haben die beiden Kugeln einen Schnittkreis gemeinsam, dessen Mittelpunkt. 8

81 und Radius berechnet werden können. Dazu wird zuerst die sogenannte Schnittebene der Kugeln aufgestellt. Diese ergibt sich, indem die beiden Kugelgleichungen (bei denen jeweils zuerst r auf die linke Seite gebracht werden muss) gleichgesetzt werden, was nach Anwendung der binomischen Formeln und Vereinfachen eine Ebenengleichung liefert. Schnittkreismittelpunkt und Schnittkreisradius ergeben sich dann, indem die Schnittebene mit einer der beiden Kugeln geschnitten wird (vgl. dazu.5.8). Wir betrachten die Kugeln K : (x 3) + (x 3) + (x 3 +, 5) = 4, 5 und K : (x 4) + (x ) + (x 3 + ) = 49. Es gilt r r = 6, 5 7 =, 5, d(m ; M ) =, 5 und r + r = 3, 5. Somit haben die beiden Kugeln einen Schnittkreis. Zur Berechnung von Schnittkreismittelpunkt und -radius bestimmen wir erstmal die Gleichung der Schnittebene: (x 3) + (x 3) + (x 3 +, 5) 4, 5 = = (x 4) + (x ) + (x 3 + ) 49 x + x + x 3 = 4 Schnittkreismittelpunkt und -radius der Kugeln ergeben sich jetzt z.b. aus dem Schnitt dieser Schnittebene mit K. Die dazugehörige Rechnung steht im Beispiel von.5.8 und ergibt den Schnittkreismittelpunkt M( 4 ) und den Schnittkreisradius r = 4. d) r + r = d(m ; M ) Hier berühren sich die beiden Kugeln von außen. Der Berührpunkt ergibt sich analog zu b) indem du die Verbindungsgerade durch die Kugelmittelpunkte mit einer der Kugeln schneidest. K : (x + 3) + (x + ) + (x 3 9) = K : x + (x 4) + (x 3 + 3) = 84 = d(m ; M ) = 89 = 3 ; r + r = + 84 = + = 3 Wegen r + r = d(m ; M ) berühren sich die Kugeln also von außen - die Berechnung des Berührpunkts erfolgt mithilfe der Verbindungsgeraden durch die Kugelmittelpunkte: x = t 6 Der Schnitt dieser Geraden mit z.b. K (vgl..5.6) ergibt die Punkte S ( 5) und ( 4 4 3). Von diesen liegt nur S auch auf K, deshalb ist S der gemeinsame Berührpunkt von K und K. e) r + r < d(m ; M ) Die Kugeln liegen außerhalb voneinander und haben keine gemeinsamen Punkte. K : (x + ) + (x ) + (x 3 7) = 4. 8

82 K : (x + 5) + (x 4) + (x 3 3) = 9 Hier gilt r + r = 5 und d(m ; M ) = 36 = 6, es gilt also r + r = 5 < d(m ; M ), d.h., die Kugeln sind getrennt voneinander..5. Spurpunkte einer Geraden Die Spurpunkte einer Geraden sind ihre Schnittpunkte (falls vorhanden) mit den Koordinatenebenen. Diese erhältst Du wie in.5. beschrieben. Wir berechnen die Spurpunkte der Geraden mit der Gleichung g : x = + t. 6 3 Dazu setzen wir die Koordinaten aus der Geradengleichung nacheinander in die Koordinatenformen der Koordinatenebenen ein. Für x = ergibt sich + t = bzw. t = mit dem Spurpunkt S( 9). Für x = ergibt sich =, was eine falsche Aussage ist. Die Gerade schneidet die x -x 3 Ebene also nicht. Für x 3 = ergibt sich 6 + 3t = bzw. t = mit dem Spurpunkt S( 3 )..5. Spurpunkte einer Ebene Die Spurpunkte einer Ebene sind ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Am Einfachsten hast Du es wenn Du zuerst die Koordinatenform der Ebene aufstellst. Mit den Gleichungen für die Koordinatenachsen aus.4.5 kannst Du dann die Schnittpunkte nach.5. ausrechnen (dabei kann es wie im allgemeinen Fall so sein, dass eine Ebene eine Achse enthält oder gar nicht schneidet). Wir suchen die Spurpunkte der Ebene E : x + 4x + 4 =. Für die x -Achse gilt nach.4.5 x = t, x = und x 3 =. Das wird in die Koordinatengleichung eingesetzt: t + 4 =, bzw. t = 4, was wieder in die Gleichung der x -Achse eingesetzt den Spurpunkt S(4 ) liefert. Für den Schnittpunkt mit der x -Achse bekommt man mit x =, x = t und x 3 = für t den Wert t = und damit S( ) als zweiten Spurpunkt. Bei der Berechnung des dritten Spurpunktes, ergibt sich seitens der Koordinatengleichung beim Einsetzen von x =, x = und x 3 = t der Widerspruch 4 =. Also gibt es nur zwei Spurpunkte..5. Spurgeraden einer Ebene Auch die Berechnung der Spurgeraden einer Ebene (das sind die Schnittgeraden der Ebene mit den Koordinatenebenen) ist nur ein Spezialfall des Schnitts zweier beliebiger Ebenen. Dabei kannst Du je nach der Form, in der die Ebene gegeben ist, die Koordinatenform oder die Parameterform der Koordinatenebenen aufstellen (s..4.5) und nach.5.3 vorgehen. 8

83 Wir berechnen die Schnittgerade von E : 4x + x + x 3 = mit der x -x Ebene: 4x + x + x 3 = x = s + t Die Spurgerade hat also die Gleichung x = s = 4s + t =, bzw. t = s. s = s. 83

84 .6 Abstände.6. Abstand Punkt-Punkt Den Abstand zwischen zwei Punkten P und Q bestimmst Du mit der Abstandsformel d(p ; Q) = p q (= q p ) aus.. Die Punkte P ( 3) und Q(3 ) haben den Abstand d(p ; Q) = 3.6. Abstand Punkt-Ebene 3 = = ( ) + + = 8. Für den Abstand zwischen einem Punkt P und einer Ebene E brauchst Du zuerst die Hessesche Normalform der Ebene. Da setzt Du den Punkt ein und nimmst als Abstand den Betrag vom Ergebnis. Das entsrpicht dann der Formel d(p ; E) = ap +bp +cp 3 +d. a +b +c Um den Abstand von P ( ) zu E : x + x 3x 3 5 = zu berechnen, wird P in die Hessesche Normalform eingesetzt und davon der Betrag genommen: d(p ; E) = ( ) = 4 6 = Abstand Punkt-Gerade Hier gibt es wie beim Abstand zwischen Punkt und Ebene eine Formel (s..), die durch allgemeine Rechnung hergeleitet wird. Du solltest sie aber nur als Probe für dein Ergebnis verwenden, und den Lösungsweg immer vorrechnen. Dabei stellst Du zuerst die Normalenform einer Hilfsebene H auf, wobei Du als Normalenvektor den Richtungsvektor v der Geraden g verwendest, und als Stützvektor den vorgegebenen Punkt P. Danach wird g mit H geschnitten. Der gesuchte Abstand ist dann der Abstand zwischen P und dem Schnittpunkt S. Gegeben sind g : x = 4 + t Die Hilfsebene hat dann die Gleichung und P ( 3). x 3 =, bzw. x + x + x 3 =. 84

85 Der Schnittpunkt von dieser Ebene mit g wird ausgerechnet durch Einsetzen von x, x und x 3 aus der Geradengleichung in die Koordinatenform von E (vgl..5.5). Das ergibt dann nach t aufgelöst t = und wieder in die Geradengleichung eingesetzt den Schnittpunkt S( 4 ). Der Abstand d(p ; g) beträgt jetzt also d(p ; g) = d(p ; S) = 4 3 = 4 = 4. 5 Mit der Abstandsformel aus. kann dieses Ergebnis nochmal bestätigt werden: Für v ( p u) v rechnet man dabei den Wert aus, und weiter d(p ; g) = Abstand Gerade-Gerade 3 = 4 = Fall: die Geraden haben linear abhängige Richtungsvektoren. In diesem Fall bestimmst du den Abstand zwischen einer der beiden Geraden und dem Aufpunkt/Stützvektor der anderen Geraden, so wie in.6.3 beschrieben. Ergibt sich ein Abstand von, dann sind die Geraden identisch, ist der Abstand ungleich, dann sind sie parallel.. Fall: die Geraden haben linear unabhängige Richtungsvektoren. In diesem Fall ist die Abstandsformel d(g; h) = ( v v ) ( u u ) v v aus. die einfachste Berechnung. Dabei sind u und u die Stützvektoren und v und v die Richtungsvektoren der zwei Geraden. Ergibt sich hier ein Abstand von, dann haben die Geraden einen Schnittpunkt, ist der Abstand ungleich, dann sind sie windschief. Beispiele: Die Geraden g : x = + s und g : x = 4 + t 3 haben linear abhängige Richtungsvektoren. Wir bestimmen also den Abstand vom Aufpunkt P ( 3)) von g zur Geraden g. Nach der Rechnung im Beispiel von.6.3 ergibt sich dabei d(g ; g ) = d(p ; g ) = 4 Die Geraden 5 g : x = 5 + s und g : x = 9 + t 5 3 haben linear unabhängige Richtungsvektoren. 85

86 Mit v v = 3 5 = und u u = x = 5 9 = 4 erhalten wir für den Abstand der Geraden: ( 3)( 4) + ( 6)( 4) + ( ) d(g ; g ) = 3 = = 66 ( 3) + ( 6) + ( ) Abstand Gerade-Ebene Sind eine Gerade und eine Ebene parallel, dann haben sie überall den gleichen Abstand. Diesen berechnest du, indem du den Abstand von der Ebene zum Aufpunkt der Geraden berechnest, so wie in.6. beschrieben..6.6 Abstand Ebene-Ebene Sind zwei Ebenen parallel zueinander, dann haben sie ebenfalls überall den gleichen Abstand. Du ermittelst ihn, indem du einen beliebigen Punkt auf einer Ebene wählst und mit.6. den Abstand von diesem Punkt zur anderen Ebene berechnest. 86

87 .7 Spiegelungen.7. Punkt an Ebene Einen Punkt P spiegelst Du an einer Ebene E, indem Du den Lotfußpunkt L der Lotgeraden durch P auf E ausrechnest (vgl..4.8). Den Spiegelpunkt P bekommst Du durch p = p + ( l p) (Von P zweimal in Richtung von P nach L weitergehen). P (7 3 5) soll an E : 6x 4x + 3x 3 8 = gespiegelt werden. 7 6 Die Lotgerade hat die Gleichung x = 3 + t Lotfußpunkt L( ). Jetzt haben wir P : p = p + ( l p) = = Punkt an Gerade. Mit E geschnitten gibt das den Zuerst wird genau das Gleiche gemacht, wie beim Abstand zwischen Punkt und Gerade: Die Normalenform einer Hilfsebene H mit dem Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor und dem gegebenen Punkt als Stützvektor wird aufgestellt, und der Schnittpunkt S von H mit der Geraden berechnet. Jetzt bekommst Du den Spiegelpunkt P von P wie oben durch zweimal Weitergehen von P aus in Richtung von P nach S: p = p + ( s p). 9 P ( 3 3 ) wird an der Geraden x = 3 + t 3 gespiegelt. Die Hilfsebene hat die Gleichung 3 3 x 3 = x + 3x x 3 =. x, x und x 3 aus der Geradengleichung in die Koordinatenform der Hilfsebene eingesetzt ergibt nach t aufgelöst t = und das wieder in die Geradengleichung eingesetzt S( 8 4 ) als Schnittpunkt der Hilfsebene mit der Geraden. Damit steht der Spiegelpunkt P fest: 3 p = p + ( s p) = Gerade an Ebene = 3 5 Die Aufgabe kann zurückgeführt werden auf die Spiegelung von einem Punkt an einer Ebene. Du rechnest zuerst den Schnittpunkt S von der Geraden mit der Ebene aus. Dann nimmst Du.. 87

88 einen Punkt P auf der Geraden, z.b. den Stützvektor oder einen anderen (den Du für x durch Einsetzen einer beliebigen Zahl für den Parameter t erhältst), der aber verschieden von S sein muss. Die Spiegelgerade ist dann die Gerade, die durch den Spiegelpunkt P von P und durch S geht (vgl..4.). 4 3 Wir spiegeln g : x = 3 + t 6 an E : x x + 3x 3 7 =. 7 5 Dazu wird als Erstes der Schnittpunkt S ermittelt: x, x und x 3 aus g in E einsetzen und nach t auflösen. Das Ergebnis t = wieder in g eingesetzt liefert als Schnittpunkt S(7 3 ). Wie in.7. kann dann der Spiegelpunkt P von z.b. P (4 3 7) g ausgerechnet werden. Dieser hat die Koordinaten ( ). Also hat die Spiegelgerade g beispielsweise die Parameterform g : x = p + t( s p ) =.7.4 Ebene an Ebene + t 7 3 = + t Sogar dieses Problem kannst Du zurückführen auf die Spiegelung von einem Punkt an einer Ebene. Bestimme zuerst die Schnittgerade s der beiden Ebenen. Dann spiegelst Du einen Punkt P auf der zu spiegelnden Ebene (der aber nicht auf der Schnittgeraden liegen darf) an der anderen Ebene und erhältst P. Die Ebene, die P und s enthält (s..4.3) ist dann die gesuchte Ebene. 5. E : 8x + x + 9x 3 9 = E : x x + 3x 3 5 = x = 5 + s + t 3 Um E an E zu spiegeln, bestimmen wir zuerst nach.5.5 die Schnittgerade: Einsetzen von x, x und x 3 aus der Parameterform von E in E und Auflösen nach s ergibt s = 6 3t, was wieder in die Parameterform von E eingesetzt die Schnittgerade liefert: x = 5 + (6 3t) + t 3 = t 3 Jetzt wählen wir irgendeinen Punkt auf E, z.b. P (5 3 4) und rechnen nach.7. den Spiegelpunkt P ( 5 ) aus. Damit hat die Spiegelebene E von E die mögliche Parameterform x = 5 + s t 3 = 5 + s + t

89 .7.5 Kugel an Ebene Wird die Kugel mit der Gleichung K : ( x m) = r an einer Ebene gespiegelt, dann hat die gespiegelte Kugel die Gleichung K : ( x m ) = r, wobei m der an der Ebene gespiegelte Mittelpunktvektor m ist (vgl..7.). Beim Spiegeln von K : (x ) + (x + 6) + (x 3 8) = 5 an E : 3x + x 7x 3 = wird also der Mittelpunkt M( 6 8) von K an E gespiegelt, mit dem Ergebnis M (7 4 6). K hat dann die Gleichung K : (x 7) + (x + 4) + (x 3 + 6) = 5. 89

90 .8 Winkel.8. Winkel zwischen zwei Vektoren Für den Winkel α zwischen zwei Vektoren x und y gilt cos α = x y. Um α zu berechnen, rechnest Du den Wert der rechten Seite aus und bekommst dann mit dem Taschenrechner und der Umkehrfunktion von cos den Wert für α. 3 Für x = 3 und y = gilt 3 cos α = x y 3 + ( 3) + ( 3) 3 + ( 3) ( 3) =. Daraus folgt dann α = arccos = 9 (arccos ist die Bezeichnung der Umkehrfunktion von cos und wir mit INV COS oder SHIFT COS eingetippt)..8. Winkel zwischen zwei Geraden Du setzt die zwei Richtungsvektoren in die Formel aus. ein und bekommst dabei den Wert für cos α. Daraus kannst Du wie oben mit dem Taschenrechner und der Umkehrfunktion von cos den Winkel α berechnen. g : x = 3 + t 7 3 und g : x = 6 + t Die zwei Richtungsvektoren werden in cos α = v v v v eingesetzt: cos α = Das bedeutet α = arccos , ( 3) ( 3) = sind gegeben..8.3 Winkel zwischen Gerade und Ebene Von der Geraden nimmst Du den Richtungsvektor v, von der Ebene den Normalenvektor n, und setzt sie in die Formel aus. ein. 3 Für die Gerade g : x = 5 + t sin α =, und die Ebene E : x 3x 3 + = gilt n v n v = ( 3) + + ( 3) + + ( 3) ( 3) + + = 9, 43 was für den Winkel α = arcsin , 8 bedeutet. 9

91 .8.4 Winkel zwischen zwei Ebenen Aus den Normalenvektoren n und n der Ebenen bekommst Du mit der Formel aus. den eingeschlossenen Winkel. E : x x = und E : 4x + x 3 = schließen einen Winkel α ein, mit d.h. α = arccos 78, 5. cos α = n n n n = ( ) =, 9

92 .9 Scharen.9. Geradenscharen Eine Geradenschar ist eine Gerade, in der außer dem üblichen Parameter vor dem Richtungsvektor noch ein (Schar-)Parameter vorkommt, und zwar im Richtungsvektor oder im Stützvektor. Für jeden speziellen Wert dieses Parameters ergibt sich dann eine Gerade aus der Schar. Eine typische Aufgabe zu Geradenscharen ist es, nach derjenigen Geraden aus der Schar zu fragen, die eine bestimmte Bedingung erfüllt. Dabei kommt es dann darauf an, für diese Bedingung eine Gleichung oder ein Gleichungssystem zu finden, und daraus dann den Scharparameter zu bestimmen. Eine andere Möglichkeit für eine Aufgabe wäre es, eine Schar anzugeben, bei der alle Geraden der Schar in einer Ebene liegen, die man dann bestimmen soll. Beispiele: Gibt es ein s, für welches die Gerade g s : x = + s s + t durch den Punkt P ( 3) geht? Um das zu untersuchen, wird die Punktprobe gemacht, d.h. P wird in der Geradengleichung für x eingesetzt, was ein Gleichungssystem für s und t ergibt: 3 = + s s + t = + s + t = s + t 3 = t. Das Gleichungssystem hat die Lösungen s = und t =, was bedeutet, dass die Gerade g durch P geht. Wenn das Gleichungssystem keine Lösung gehabt hätte, dann wäre keine Gerade aus der Schar durch diesen Punkt gegangen. Gibt es ein s, so dass die Gerade 3 g s : x = 4 + t 4s 5 parallel (senkrecht) zur Ebene E : x x + x 3 = verläuft? Parallel verläuft die Gerade, falls sie E nicht schneidet, d.h. wenn die Schnittgleichung keine Lösung für t hat. Für die Schnittgleichung erhalten wir nach Einsetzen von x, x und x 3 aus der Geradengleichung in die Koordinatenform der Ebene 3 t (4 + 4st) + 5t = (3 8s)t = 8. nicht nach t auflösbar ist, d.h. der Scharpa- Hier sieht man, dass die Gleichung für s = 3 8 rameter ist bestimmt. 9

93 Senkrecht verläuft die Gerade dann zur Ebene E, wenn ihr Richtungsvektor und der Normalenvektor linear abhängig sind. das bedeutet, dass es eine Zahl r gibt, mit 4s = r 5 = r 4s = r 5 = r. Die erste und die letzte Gleichung widersprechen sich, und deshalb gibt es keine Lösung fr r und s bzw. keine Gerade, die senkrecht auf E steht. Welche Ebene enthält alle Geraden der Schar g s : x = 3 + t? s Das Ziel ist es, die Koordinatengleichung der Ebene zu finden, und zwar indem aus den drei Gleichungen x = + t x = 3 t x 3 = + ts für die Koordinaten die Parameter s und t eliminiert werden. Das geht hier, indem die erste und die zweite Gleichung addiert werden, so dass t wegfällt. Dabei ergibt sich die Gleichung x + x = 3, welche die gesuchte Ebene beschreibt..9. Ebenenscharen Taucht in der Koordinatenform einer Ebene außer den Koordinaten x, x und x 3 ein Parameter auf, bzw. in der Parameterform außer den Parametern vor den Richtungsvektoren noch ein zusätzlicher Parameter, dann handelt es sich um eine sogenannte Ebenenschar. Wie bei den Geradenscharen geht es dann meistens darum, wie dieser Scharparameter gewählt werden muss, damit die dazugehörige Ebene eine vorgegebene Bedingung erfüllt. Beispiele: Für welche Werte von s hat die Ebene E mit der Koordinatengleichung x x + x 3 + s = vom Punkt P ( ) den Abstand d(e; P ) =? Mit der Hesseschen Normalform von E und der Abstandsformel aus.6. kann diese Bedingung als Gleichung formuliert werden: + + s 3 = + s = 6. Diese Gleichung hat die beiden Lösungen s = 4 und s = 8 für den gesuchten Parameter s. 93

94 Gegeben istdie Ebenenschar E s : sx + (3 s)x + x 3 = 4 und die Ursprungsgerade x = t. 3 Es soll gezeigt werden, dass keine Ebene dieser Schar die Gerade schneidet. Um die Schnittmenge zu berechnen, setzen wir nach.5.5 die Geradenkoordinaten in die Ebenengleichung ein: s t + (3 s) t 3t = 4 = 4. Diese Gleichung ist unabhängig von s falsch, deshalb gibt es für kein s einen Schnittpunkt. Für welchen Wert von s ist die Ebene E s : 4x +sx 3sx 3 = orthogonal zur Ebene E : x + x + x 3 =? Nach. sind zwei Ebenen orthogonal zueinander, wenn ihre Normalenvektoren orthogonal sind, also wenn ihr Skalarprodukt den Wert Null ergibt: 4 s 3s = ( 4) + s + ( 3s) =. Diese Gleichung hat die Lösung s = 4 was bedeutet, dass E 4 orthogonal zu E ist..9.3 Kugelscharen Was bei den Geraden- und Ebenenscharen gilt, kann man auch über Kugelscharen sagen. In der Gleichung für die Kugel kommt ein Scharparameter vor, der meistens aufgrund von Forderungen an die Kugel bestimmt werden soll. Außerdem solltest Du selbst die Gleichung einer Kugelschar aufstellen können, deren Kugeln alle einen festen gegebenen Radius haben, und deren Mittelpunkte auf einer vorgegebenen Geraden liegen. Beispiele: Bestimme dieschar allerkugeln mit dem Radius r = 3, deren Mittelpunkte auf der Geraden x = 3 + s liegen. 6 7 Die Mittelpunktskoordinaten sollen auf der Geraden liegen, für sie gilt deshalb m = s, m = 3 s und m 3 = 6 + 7s. Mit r = 9 lässt sich dann die Kugelform der Schar hinschreiben: (x s) + (x (3 s)) + (x 3 ( 6 + 7s)) = 9. (x s) + (x 3 + s) + (x s) = 9. Wir betrachten die Kugelschar K s : (x + ) + (x s) + (x 3 + 3s) = 4, und die Ebene E mit der Koordinatenform x + x + x 3 = 5. 94

95 Gesucht sind diejenigen Kugeln aus der Schar, die E berühren. Nach.5.8 berühren sich die Kugel und die Ebene genau dann, wenn der Abstand d(m; E) zwischen Kugelmittelpunkt M( s 3s) und Ebene gleich dem Radius der Kugel ist. Wir berechnen diesen Abstand nach.6. zu d(m; E) = +4s 6s 5 = (4+s) 3 = 4+s 3, in Abhängigkeit von s. Damit gilt dann bei Berührung 4 + s 3 mit den zwei Lösungen s = und s = 5. = 4 + s = 6, Welche Kugel der Schar K s : (x + 3) + (x s) + (x 3 + s ) = hat einen Mittelpunkt, der auf der Geraden g mit der Gleichung 3 4 g : x = + t liegt? 3 3 Die Mittelpunkte der Scharkugeln haben die drei Koordinaten m = 3, m = s und m 3 = s, d.h. sie liegen auf der Mittelpunktgeraden h mit der Gleichung 3 h : x = + s. Um zu sehen, für welchen Wert von s der Mittelpunkt von K s auf g liegt, wird nach.5.4 der Schnittpunkt von g mit h berechnet. Dabei ergibt sich nach Gleichsetzen der Geradengleichungen und Lösung des Gleichungssystems für s der Wert s = mit dem zugehörigen Kugelmittelpunkt M( 3 3). 3 95

96 . Geometrische Figuren und Körper.. Dreiecke Bei Dreiecksaufgaben wird oft nach Beweisen verlangt. Man soll z.b. zeigen, dass ein Dreieck (das durch die Koordinaten seiner Eckpunkte gegeben ist) gleichseitig oder rechtwinklig ist. Eine andere Fragemöglichkeit ist es, dass bestimmte Größen, wie z.b Flächeninhalt, Umfang oder Volumen berechnet werden sollen. In den folgenden Beispielen siehst Du noch andere mögliche Aufgaben, und es wird kurz erklärt, wie Du jeweils vorgehen kannst. Allerdings wird nichts mehr konkret vorgerechnet, weil sich alle Rechenschritte auf die bisherigen Abschnitte beziehen und in den Beispielen dort schon zahlenmäßig durchgerechnet worden sind. Beispiele: Gleichseitigkeit Du zeigst, dass ein Dreieck, dessen drei Eckpunkte gegeben sind gleichseitig ist, indem Du nach.6. die drei Abstände zwischen den Punkten bestimmst. Sind alle gleich, dann hast Du die Gleichseitigkeit gezeigt. Gleichschenkligkeit Auch hier bestimmst Du, wie bei der Gleichseitigkeit, die Abstände zwischen allen Eckpunkten. Sind zwei davon gleich, dann ist das Dreieck gleichschenklig. Rechtwinkligkeit Sind die drei Eckpunkte A, B und C eines Dreiecks gegeben, das Du auf Rechtwinkligkeit untersuchen sollst, dann berechnest Du zuerst drei Differenzvektoren, z.b. a b, b c und c a (es ist dabei egal, was Du jeweils von was abziehst). Wenn dann zwei von diesen Differenzvektoren orthogonal sind, d.h. ihr Skalarprodukt ergibt Null, dann liegt ein rechtwinkliges Dreieck vor. Umkreismittelpunkt Zu den drei Eckpunkten des Dreiecks ist auch noch ein vierter Punkt M gegeben, von dem Du zeigen sollst, dass es der Umkreismittelpunkt des Dreiecks ist. Dazu zeigst Du einfach, dass der Abstand von M zu allen drei Eckpunkten gleichgroß ist. Inkreismittelpunkt Auch hier ist zu den drei Eckpunkten noch ein zusätzlicher Punkt M gegeben. Du erkennst, ob dieser der Inkreismittelpunkt des Dreiecks ist, indem Du die drei Geradengleichungen durch jeweils zwei der Dreieckspunkte aufstellst. Anschließend musst Du den Abstand von M zu jeder von den drei Geraden nach.6.3 berechnen. Sind alle drei Abstände gleich, dann ist M der Inkreismittelpunkt. Bestimmung des Umfangs Der Umfang von einem Dreieck ABC ergibt sich aus der Summe der drei Abstände zwischen den einzelnen Eckpunkten A, B und C. Bestimmung des Flächeninhalts Im allgemeinen Dreieck gilt die Flächenformel A = g h, wobei g irgendeine der 96

97 Dreieckseiten ist, und h die Höhe dazu. Du suchst Dir also eine Seite raus, z.b. AB und berechnest die Seitenlänge, also den Abstand zwischen A und B. Als Nächstes brauchst Du die dazugehörige Höhe. Dazu stellst Du die Geradengleichung der Geraden durch A und B auf und rechnest nach.6.3 den Abstand vom Punkt C zu dieser Geraden aus. Das ist dann die Höhe zur Seite AB, und mit der obigen Flächenformel kannst Du jetzt den Flächeninhalt des Dreiecks bestimmen. Wenn Du schon weißt, dass ein rechtwinkliges Dreieck vorliegt, dann geht es ein bißchen schneller. Angenommen, der Rechte Winkel ist beim Punkt C. Dann rechnest Du die beiden Kathetenlängen aus, also die Abstände zwischen A und B bzw. zwischen A und C. Da jede Kathete die Höhe bezüglich der anderen Kathete ist, kannst Du die beiden Katheten direkt für g und h in die Formel oben einsetzen und bist fertig. Bestimmung der Innenwinkel Um z.b. den Innenwinkel im Punkt A zu bestimmen, berechnest Du nach.8. den Winkel zwischen den Differenzvektoren a b und a c (oder zwischen b a und c a). Bestimmung einer Symmetrieachse Bei einem gleichschenkligen Dreieck mit den Schenkeln AC und BC ist die Symmetrieachse die Gerade durch die Punkte C und M, wobei M der Mittelpunkt zwischen A und B ist. Die Koordinaten von M ergeben sich aus m = a + b. Bestimmung des Schwerpunkts Der Schwerpunkt eines Dreiecks ABC ist der Schnittpunkt zwischen irgendwelchen zwei Seitenhalbierenden. Die Seitenhalbierende der Seite AB ist die Gerade durch C und den Mittelpunkt M zwischen A und B. Für M gilt dabei wie bei der Berechnung einer Symmetrieachse m = a + b. Du stellst also die Geradengleichung der Geraden durch C und M auf und entsprechend nochmal die Geradengleichung einer anderen Seitenhalbierenden. Dann bekommst Du den Schwerpunkt, indem Du die beiden Geraden schneidest... Vierecke Unter den Vierecken sind hauptsächlich die Parallelogramme, also auch die Quadrate und Rechtecke wichtig. In den Beispielen siehst Du wieder, was an Fragestellungen oft auftaucht und wie Du die Sache dann angehen musst. Alle Probleme sind wieder auf die in den vorigen Abschnitten durchgegangenen Methoden zurückführbar. Beispiele: Parallelogramme Liegt ein Viereck ABCD vor, dann kann gefragt werden, ob es ein Parallelogramm ist. Das ist der Fall, wenn die Gleichung a b = d c erfüllt ist. Rechtecke Sollst Du zeigen, dass ein Viereck ABCD ein Rechteck ist, überprüfst Du zuerst die Parallelogrammeigenschaft (s.o.). Zusätzlich dazu musst Du noch zeigen, dass irgendwelche 97

98 zwei aneinandergrenzenden Seiten orhogonal sind, z.b. die Seiten AB und AD. Dazu berechnest Du nach.8. das Skalarprodukt zwischen den Vektoren b a und d a, dessen Wert Null ergeben muss. Quadrate Ein Viereck ABCD ist ein Quadrat, wenn es ein Rechteck ist (s.o.), mit der Zusatzbedingung, dass irgendwelche zwei nebeneinanderliegende Seiten gleich lang sind. Dazu rechnest Du z.b. die Seitenlängen der Seiten AB und AD, also die Abstände zwischen A und B, bzw. zwischen A und D nach.6. aus. Diese müssen gleich groß sein. Ergänzung zu einem Parallelogramm Hier werden Dir drei Punkte A, B und C gegeben, und Du sollst einen vierten angeben, so dass die vier Punkte dann ein Parallelogramm ABCD ergeben. Bei einer Ergänzung zu einem Quadrat oder Rechteck (wenn die drei Punkte also einen rechten Winkel bilden) kannst Du natürlich genauso vorgehen. Für den fehlenden Punkt D gilt d = a + c b, wenn D gegenüber von B liegen soll (Allgemein wird der Vektor, der gegenüber vom gesuchten Vektors d liegen soll, von der Summe der beiden anderen abgezogen, um d zu erhalten). Bestimmung des Flächeninhalts Für Parallelogramme gibt es die Flächenformel A = g h, wobei g für irgendeine Seitenlänge steht, und h dann der Abstand von dieser Seite zur gegenüberliegenden Seite ist (also die Höhe). Nimm Dir also zwei nebeneinanderliegende Punkte, z.b. A und B und rechne ihren Abstand aus, das ist dann die Seitenlänge. Die Höhe ergibt sich dann aus dem Abstand des Punktes C (oder D) zur Geraden AB. Hast Du beides bestimmt, dann bekommst Du die Fläche mit obiger Formel. Bei Rechtecken oder Quadraten ist es einfacher: Du rechnest nur die Seitenlängen zweier angrenzender Seiten aus, also z.b. die Abstände zwischen A und B und zwischen B und C. Diese beiden Seitenlängen multiplizierst Du und erhältst direkt die Rechtecks- bzw. Quadratfläche. Berechnung des Diagonalenschnittpunkts Stell die zwei Geradengleichungen der Diagonalen auf, also der Geraden durch jeweils gegenüberliegende Punkte, und berechne den Schnittpunkt der beiden Diagonalen nach.5.4. Berechnung des Diagonalenschnittwinkels Stell wie oben die Gleichungen der Diagonalen auf, und Du bekommst den Schnittwinkel nach Körper Bei den Körpern solltest Du vor allem das Volumen berechnen können. Deshalb kommen dazu jetzt zwei Beispiele für die wichtigsten Körper, mit einer Kurzbeschreibung wie Du vorgehen kannst. 98

99 Beispiele: Quader und Würfel Quader haben das Volumen V = a b c, wobei a, b und c die Kantenlängen sind. Ein Quader ist gegeben durch acht Eckpunkte, aus denen sich die drei Kantenlängen berechnen lassen, indem Du zwischen jeweils zwei Punkten, die auf einer Kante liegen, den Abstand berechnest (s..6. ). Beim Würfel ist es besonders einfach. Das Würfelvolumen hat die Formel V = a 3, wobei a die Kantenlänge des Würfels ist, die Du als Abstand zweier auf einer Kante liegenden Eckpunkte berechnest. Pyramiden Eine Pyramide wird gegeben durch drei oder mehrere Punkte, die in einer Ebene liegen und die Grundfläche bilden, und durch einen weiteren Punkt außerhalb dieser Ebene, der die Pyramidenspitze darstellt. Für Pyramiden gilt die Volumenformel V = 3 G h. Dabei ist G der Inhalt der Grundfläche und h die Pyramidenhöhe. Hat die Pyramide z.b. ein Quadrat als Grundfläche, dann ist G der Flächeninhalt dieses Quadrats, den Du wie in.. ausrechnest. Die Pyramidenhöhe bekommst Du, indem Du den Abstand von der Pyramidenspitze zu der Ebenen ausrechnest, in der die Grundfläche liegt (s..6.). Dazu musst Du möglicherweise zuerst noch die dazugehörige Ebenengleichung aufstellen, indem Du eine Ebene durch irgendwelche drei Punkte der Grundfläche legst (s..4.). Hast Du Grundfläche und Höhe ermittelt, dann setzt Du sie in die Volumenformel ein und bist fertig. 99