Differenzialrechnung

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1 Mathe Differenzialrechnung Differenzialrechnung 1. Grenzwerte von Funktionen Idee: Gegeben eine Funktion: Gesucht: y = f(x) lim f(x) = g s = Wert gegen den die Funktion streben soll (meist 0 oder ) g = Grenzwert " " s = 0: lim =, lim =, lim " = 0 Wichtig: s = lim " = 0, lim " =, lim " = - Falls nicht offensichtlich umformen und kürzen bis der Limes bestimmt werden kann. 2. Der Differenzialquotient Der Differenzialquotient gibt einem die Steigung einer Funktion an einer gewissen Stelle an. ( ) lim = = Stelle an der die Steigung bestimmt werden soll = Steigung an der Stelle Bildlich kann man sich den Vorgang durch die Bestimmung der Steigung durch zwei ( ) verschiedene Punkte auf der Geraden vorstellen. Dabei gilt =. Wenn man jetzt für den Wert + ℎ einsetzt und h mit dem Limes gegen Null streben lässt erhält man die allgemeine Formel für den Differenzialquotienten. 3. Die Ableitungsformeln f(x) = x2 f(x) = = Ableitungsfunktion: f (x) = 2x f (x) = f(x) = = x-1 f(x) = sin(x) f(x) = ex f(x) = xn f(x) = x f(x) = 3 f(x) = n f (x) = - f (x) = cos(x) f (x) = ex f (x) = n xn-1 f (x) = 1 f (x) = 0 f (x) = 0 f(x) = cos(x) f(x) = tan(x) f (x) = - sin x f (x) = 1 + tan2(x) = "# () f(x) = loga x f(x) = ax f (x) = " f (x) = ax ln a 4. Die Ableitungsregeln a) Summenregel: [f(x) + g(x)] = f (x) + g (x) Die Ableitung aus der Summe mehrerer Funktionen ist gleich der Summe der einzeln abgeleiteten Funktionen. Roman Käslin /5

2 b) konstanter-faktor-regel: [k f(x)] = k f (x) Die Ableitung einer mit einem Faktor multiplizierten Funktion ist gleich der abgeleiteten Funktion mal den Faktor. c) Produktregel: [f(x) g(x)] = f (x) g(x) + f(x) g (x) Die Ableitung aus dem Produkt zweier Funktionen ist gleich der ersten Funktion abgeleitet mal die zweite Funktion addiert mit der zweiten Funktion abgeleitet mal die erste Funktion. d) Quotientenregel: [ () ] = () () () Die Ableitung aus dem Quotienten zweier Funktionen ist gleich der ersten Funktion abgeleitet mal die zweite Funktion subtrahiert von der zweiten Funktion abgeleitet mal die erste Funktion geteilt durch das Quadrat der zweiten Funktion. e) Kettenregel [ f( g(x) ) ] = f ( g(x) ) g (x) Die Kettenregel kommt bei der Ableitung von verschachtelten Funktionen zum Einsatz. Zuerst wird die äusserste Funktion abgeleitet und die inneren Funktionen belassen. So geht man vor bis am Schluss die innerste Funktion alleine abgeleitet werden kann. f) Umkehrfunktion [ f -1 (x) ] = = () ( ()) Die Ableitung der Umkehrfunktion ist Eins geteilt durch die abgeleitete Funktion aus der Umkehrfunktion. 5. Stetigkeit und Differenzierbarkeit Stetigkeit: Eine Funktion ist an einer Stelle stetig, wenn der Graph dort ohne Unterbruch (Abheben des Stiftes) gezeichnet werden kann. Das heisst, der Funktionswert und der Grenzwert an der Stelle müssen übereinstimmen. lim f(x) = f( ) Differenzierbarkeit: Eine Funktion ist an einer Stelle stetig, wenn dort die Tangente eindeutig bestimmt werden kann. Das heisst es muss eine Lösung für den Differenzialquotienten geben.. lim ( ) existiert Ist eine Funktion an einer Stelle differenzierbar ist sie dort auch stetig. 6. Monotonie Eine Funktion kann entweder monoton wachsend, monoton fallend oder nicht monoton sein. Ist die Funktion monoton wachsend, so muss sie an einer grösseren Stelle (x 2 > x 1 ) immer einen grösseren Funktionswert (f(x 2 ) > f(x 1 )) aufweisen und differenzierbar sein (keine Knicke oder Sprünge). Ist die Funktion monoton fallend, so muss sie an einer grösseren Stelle (x 2 > x 1 ) immer einen kleineren Funktionswert (f(x 2 ) < f(x 1 )) aufweisen und differenzierbar sein. Ansonsten ist die Funktion nicht monoton. 7. Symmetrie Wir unterscheiden grundsätzlich zwischen der Achsensymmetrie und der Punktsymmetrie. Bei der Achsensymmetrie ist der Graph symmetrisch zur y-achse. Dabei gilt: f(-x) = f(x) Bei der Punktsymmetrie ist der Graph symmetrisch zum Ursprung. Dabei gilt: f(-x) = - f(x) Achsensymmetrische Funktionen werden auch als gerade, punktsymmetrische als ungerade Funktionen bezeichnet. Grundsätzliches: Potenzfunktionen mit (un)geraden Exponenten sind (un)gerade. Konstante Funktionen und cos x sind gerade, sin x und tan x ungerade Roman Käslin /5

3 8. Asymptotisches Verhalten Beim asymptotischen Verhalten bestimmt man, in welche Richtung die Funktion in positive und negative Richtung strebt. Dafür verwendet man den Limes der gegen plus und minus unendlich läuft. lim lim f(x) = Resultat (meist plus/ minus unendlich oder Null, es kann aber auch eine Zahl sein) f(x) = Resultat (meist plus/ minus unendlich oder Null, es kann aber auch eine Zahl sein) 9. Nullstellen Eine Zahl heisst Nullstelle einer Funktion, wenn ihr zugehöriger Funktionswert Null ist. Der Punkt ist ein Schnittpunkt des Graphen mit der x-achse. Berechnung: f(x) = 0 x 1, y = Extremstellen und Extremwerte Extremstellen sind Stellen, an denen ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum vorliegt. An den Extremstellen ist die Steigung der Tangente null. Jedoch ist auch bei einer Terrassenstelle die Steigung der Tangente null. Da eine Terrassenstelle aber keine Extremstelle ist, muss durch Einsetzen in die zweite Ableitung überprüft werden, ob es sich um eine Terrassenstelle, einen Hoch- oder einen Tiefpunkt handelt. Berechnung: f (x) = 0 x 1, f (x 1 ) = 0 Terrassenstelle (siehe unten) f (x 1 ) < 0 Hochpunkt f (x 1 ) > 0 Tiefpunkt Extrempunkt (x y): f(x 1 ) = y 11. Wendepunkte Wechselt der Graph an einem Punkt von einer Links- in eine Rechtkurve oder umgekehrt, wird dieser Punkt Wendepunkt genannt. Terrassenstellen sind auch Wendestellen. Berechnung: f (x) = 0 x 1, Wendepunkt (x y): f(x 1 ) = y f (x 1 ) < 0 wechselt von einer Links- zu einer Rechtskurve f (x 1 ) > 0 wechselt von einer Rechts- zu einer Linkskurve 12. Kurvendiskussion Bei der Kurvendiskussion geht es darum sich einen umfassenden Überblick über eine Funktion zu verschaffen. Man bestimmt je nach Aufgabe meist in folgender Reihenfolge folgende Elemente: a) Ableitungen (Originalfunktion + erste drei Ableitungen) b) Symmetrie (Achsen-, Punkt- oder gar nicht symmetrisch) c) Asymptotisches Verhalten d) Nullstellen und Ordinatenabschnitte (Schnittpunkt mit der y-achse) e) Extrempunkte (Hoch und Tiefpunkte) f) Wendepunkte g) Graph zeichnen (allenfalls Taschenrechner ansonsten mit Hilfe der oben errechneten Werte) 13. Bestimmung ganzrationaler Funktionen Ganzrationale Funktionen haben immer eine regelmässige Form. Sie sind nach folgendem Prinzip aufgebaut: f(x) = ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f Roman Käslin /5

4 Die oben stehende Gleichung ist eine ganzrationale Funktion 5. Grades. Ganzrationale Funktionen können durch die Angabe von Punkten, Nullstellen, Extremstellen, Steigungen (meist mittels Tangenten), Wendestellen und Symmetrien bestimmt werden. Mit jeder Angabe erhält man eine Gleichung, die die Funktion charakterisiert. Um die Funktion eindeutig zu bestimmen, sind immer eine Gleichung mehr als der Grad der Funktion nötig. Die Gleichungen können dann mit Polysimult auf dem Taschenrechner gelöst werden. Bei Punkten, Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen kann x und y direkt in die Originalfunktion eingesetzt werden. Bei Extremstellen und Steigungen kann zudem x und 0 (bei Steigung der Wert von m) in die erste Ableitung eingesetzt werden. Bei Wendestellen kann x und 0 in die zweite Ableitung eingesetzt werden. Die Symmetrie verkürzt ausserdem die Funktionsgleichung markant: - Ist eine Achsensymmetrie gegeben, fallen alle Elemente mit ungeraden Exponenten weg. - Ist eine Punktsymmetrie gegeben, fallen alle Elemente mit geraden Exponenten weg. 14. Funktionsscharen Funktionsscharen werden durch eine Funktion mit einem zusätzlichen Parameter gebildet. f t (x) = x 2 + tx + t ist beispielsweise ein Funktionsschar. Bei Funktionsscharen gibt es grundsätzlich drei verschiedene Aufgabentypen: a) Das Berechnen von Resultaten für Einzelelemente (t ist gegeben) Bei diesem Aufgabentyp kann t einfach eingesetzt werden und es lässt sich ganz normal mit der Funktion rechnen. b) Das allgemeine Bestimmen von Null-, Extrem- und Wendestellen Dieser Aufgabentyp ist schon etwas komplizierter, jedoch rechnet man genau auf dieselbe Art als wenn man zahlen anstatt der Variabel gegeben hätte. Mit dem Unterschied, dass im Resultat nichts Konkretes herauskommt. Dieses ist nämlich immer von t abhängig. Bsp. Nullstelle: f t (x) = x 2 + tx + t a = 1, b = t, c = t quadratische Lösungsformel: = ± " Bsp. Extremstelle: f t (x) = 2x + t = 0 x = - Test: f t (x) = 2 > 0 Tiefpunkt (- - + t), = ± " c) Die Bestimmung von einer Gemeinsamkeit aller Kurven (Punkte oder Steigung) Bei diesem Aufgabenart müssen wir uns nebst der gegebenen Funktion f t (x) eine weitere Funktion vorstellen, bei der wir t durch s ersetzen, also f s (x). Indem wir bestimmen (t s) erhalten wir zwangläufig eine andere Funktion und diese benötigen wir nun zum rechnen: Bsp. Punkte: f t (x) = f s (x) x 2 + tx + t = x 2 + sx + s -x 2 tx + t - sx - s = 0 x(t - s) + (t - s) = 0 (x +1) (t - s) = 0 x = -1 In Funktion einsetzen: f t (-1) = (-1) 2 - t + t = 1 S(-1 1) Bsp. Steigung: g t (x) = g s (x) Ansonsten genau gleiches Vorgehen (Die Funktion f hat keinen Punkt mir konstanter Steigung) Roman Käslin /5

5 15. Extremalaufgaben Bei Extremalaufgaben arbeitet man fast ausschliesslich mit der Berechnung von Extremstellen, da man die Grenzsituationen einer bestimmten Situation erkennen möchte. Dabei eignet sich folgendes Vorgehen: a) Zielfunktion bestimmen Die Zielfunktion ist immer die Funktion, die das endgültige Resultat liefert. Wenn es also um den maximalen Inhalt eines Quaders geht, ist die Zielfunktion V = a b c b) Nebenbedingung(en) In der Nebenbedingung werden alle Abhängigkeiten unter der in der Zielfunktion vorhanden Variablen formuliert. Sollen zum Beispiel a, b und c maximal 10 lang sein und b gleich lang wie c ist, ergibt sich daraus: b = c = " c) Nebenbedingung(en) in Zielfunktion einsetzen Dabei soll möglichst nur noch eine Variable verbleiben. In unserem Fall also a: V(a) = a " werden. = " "" Es sollte auch schon möglichst weit vereinfacht d) Extremum bestimmen Dazu benötigen wir erst einmal die erste und zweite Ableitung unserer oben bestimmten Funktion: V (a)= a2-10a + 25 V (a) = a - 10 V (a) = 0 x 1 = 10, x 2 = 3.33 V (10) = 5 Tiefpunkt V (3.33) = -5 Hochpunkt Da wir uns für das maximale Volumen interessieren, ist für uns nur der Hochpunkt von Bedeutung. e) Übrige Grössen bestimmen Mit den übrigen Grössen sind all Grössen gemeint, welche in der Aufgabenstellung gefragt, aber noch nicht beantwortet sind. Hier wäre das sicherlich noch das Volumen zu bestimmen: V = 3.33 ". = Roman Käslin /5