Differenzialrechnung

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1 Mathematik bla Differenzialrechnung Ort - Zeit - Geschwindigkeit E:\1_GYMER\_Unterricht\AUFGABEN\0_3 Differenzialrechnung\00_differenzialrechnung.docx 1

2 Das Weg-Zeit-Diagramm und die Geschwindigkeit Ordne folgende Weg-Zeit-Diagramme den gegebenen Texten zu und begründe deine Entscheidung. a) Paul macht einen 1000-Meterlauf. Dabei ist er am Anfang schneller als in der Mitte, legt zum Schluss aber noch einen grandiosen Endspurt hin. b) Esther fährt mit dem Auto am Freitagabend durch Bern. c) Frau Matheschinski geht zum Bäcker, kauft zwei Brötchen und geht wieder zurück. d) Peter lässt eine Wasserbombe aus der dritten Etage des Schulgebäudes fallen. e) Ein Schnellzug bremst nach der Betätigung der Notbremse. f) Ein Fallschirmspringer springt aus einem Flugzeug und öffnet nach der Hälfte seiner Flugstrecke den Fallschirm. Markiere in allen Weg-Zeit-Diagrammen die Zeitpunkte mit der höchsten Geschwindigkeit. Markiere alle wahren Aussagen mit einem Kreuz: Der Fallschirmspringer fliegt mehr als doppelt so lang mit dem geöffneten Schirm als ohne. Frau Matheschinski ist auf dem Rückweg schneller unterwegs als auf dem Hinweg. Esther ist am Anfang ihrer Fahrt am schnellsten Unterwegs. Die Wasserbombe landet mehr als die halbe Fallhöhe vom Schulhaus entfernt. Paul ist am Start schneller als beim Endspurt. Der ICE fährt nach der Notbremsung mit konstanter Geschwindigkeit weiter.

3 Der Differenzialquotient Der Grenzwert f' (x 0 ) f(x) f(x x x = lim x x0 heisst Differenzialquotient. Er gibt die Steigung der Funktion f an der Stelle x 0 an. 0 0 ) Übung: Berechne durch Bestimmung des Grenzwerts die Steigung der folgenden Funktionen f jeweils an der angegebenen Stelle x 0 : 1. f(x) = x x 0 = 5 Steigung:... f(x) = 3x x 0 = 10 Steigung:.. 3. f(x) = x + 1 x 0 = 4 Steigung:.. 4. f(x) = 1 x x 0 = Steigung:.. 5. f(x) = 3x x 0 = 1 Steigung:.. 6. f(x) = 3x x 0 = 6 Steigung:.. 7. f(x) = x 1 x 0 = 6 Steigung:.. Beispiel: f(x) = x x 0 = 1 f' (1) = f(x) f(1) lim x 1 x 1 = x 1 lim x 1 x 1 = (x 1)(x + 1) lim x 1 x 1 = lim(x + 1) x 1 = 3

4 Die Ableitung von Polynomfunktionen Es gelten folgende Ableitungsregeln Ableitung einer Potenz ff(xx) = xx nn ff (xx) = nn xx nn 1 Faktorregel ff(xx) = aa gg(xx) ff (xx) = aa gg (xx) Summenregel ff(xx) = gg(xx) + h(xx) ff (xx) = gg (xx) + h (xx) 1. Bestimme die Steigung in den Nullstellen von f. a) f ( x) = x + 8x 3 b) f ( x) = x 3 x 3 c) f ( x) = x 3x + 3x d) 1 1 f ( x) = x x 8 4. An welchen Stellen ist die Steigung 0? 5 3 a) f ( x) = x 15x b) 3 f ( x) = x + 6x An welcher Stelle hat der Graph von f die Steigung? f ( x) = x 3x + 9x Zeichne zur gezeichneten Funktion f den Graphen der Ableitungsfunktion f. a) b) 4

5 Die Produkteregel Produkteregel ff(xx) = gg(xx) h(xx) ff (xx) = gg (xx) h(xx) + gg(xx) h (xx) Quotientenregel ff(xx) = gg(xx) h(xx) ff (xx) = gg (xx) h(xx) gg(xx) h (xx) (h(xx)) 1. Bestimme die Ableitungsfunktion und stelle ihren Funktionsterm möglichst einfach dar: x + 1 a) f(x) = x b) f(x) = (x 3 + x x + 1) (3x -9) c) f(x) = x (x +1). Bestimme die Steigung der Funktion f an der gegebenen Stelle x 0 : a) 3 x 1 f(x) = x x 0 =1 b) f(x) = (x 3x + ) (x + 1) x 0 = c) f(x) = (1 3 x ) (1 x) x 0 =8 3. Gib eine Funktion g an, die abgeleitet g (x) = 3 4 x - x - ergibt und bestimme die Stellen, wo die gesuchte Funktion g waagrechte Tangenten hat. Zeichne die Funktion g. 5

6 Die Ableitungen von speziellen Funktionen Zeichne zum Graph der gegebenen Funktion den Graph der Ableitungsfunktion und gib an um welche Funktion es sich bei der Ableitung handeln könnte. 1. f(x) = sin x f (x) =.... f(x) = cos x f (x) = f(x) = ln x f (x) = f(x) = e x f (x) =... 6

7 Die Kettenregel Kettenregel ff(xx) = gg(uu) mmmmmm uu = h(xx) ff (xx) = gg (uu) h (xx) 1-9: Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen (Resultat möglichst einfach darstellen): 1. f(x) = cos 4x. f(x) = ln x 3. f (x) = tan x 4. 1 f(x) = cos(x ) f(x) = ln (x ) 8. x f(x) = xe 6. f(x) = x ln x x f (x) = ln x + 1 f (x) = (tan x) a) Es gilt ja bekanntlich: a x x ln(a ) x lna = e = e. Zeige mit Hilfe dieser Formel für den Basiswechsel, dass die Ableitung der Exponentialfunktion mit der Basis a x f'(x) = a lna. x f (x) = a wie folgt lautet b) Leite davon die Ableitung der Logarithmusfunktion mit der Basis a g(x) = log x her. a 7

8 Extremal- und Terrassenpunkte Ist eine Funktion f in einem Intervall I differenzierbar und gilt für alle x I f (x) > 0, (erste Ableitung ist positiv) dann ist f in I zunehmend, der Graph ist monoton steigend f (x) < 0, (erste Ableitung ist negativ) dann ist f in I abnehmend, der Graph ist monoton fallend Ist f (x o ) = 0 dann hat der Graph von f an der Stelle x o eine waagrechte Tangente. Dafür gibt es zwei Möglichkeiten: Extremalpunkt M1 und M sind lokale Extremalpunkte. M1 ist ein lokales Maximum, M ist ein lokales Minimum. Terrassenpunkt: T ist ein Terrassenpunkt Wendepunkte Ist eine Funktion in einem Intervall I zweimal differenzierbar und gilt für alle x I f (x) > 0, dann ist die Steigung f in I zunehmend d.h., der Graph macht eine Linkskurve f (x) < 0, dann ist die Steigung f in I abnehmend d.h., der Graph macht eine Rechtskurve Wendestelle Der Punkt W (x 0 /y 0 ), bei dem der Graph einer Funktion von einer Linkskurve in eine Rechtskurve übergeht oder umgekehrt, heisst Wendepunkt und x 0 heisst Wendestelle. Es gilt: 1. (notwendige Bedingung) Ist x 0 eine Wendestelle, dann ist f (x 0 ) = 0.. (hinreichende Bedingung) Wenn f (x 0 ) = 0 gilt und f (x) an der Stelle x 0 das Vorzeichen wechselt, dann ist x 0 eine Wendestelle. 8

9 Bestimmung von Maximal- und Minimalpunkten Ist f (x o ) = 0 und f (x o ) > 0 dann hat der Graph von f an der Stelle x o eine waagrechte Tangente und macht eine Linkskurve. x o ist eine Minimalstelle. Ist f (x o ) = 0 und f (x o ) < 0 dann hat der Graph von f an der Stelle x o eine waagrechte Tangente und macht eine Rechtskurve. x o ist eine Maximalstelle Ist f (x o ) = 0 und f (x o ) = 0 wobei f (x) an der Stelle x 0 das Vorzeichen wechselt, dann hat der Graph von f an der Stelle x o eine waagrechte Tangente und x o ist eine Wendestelle. bei x o ist ein Terrassenpunkt Aufgaben 1. Zeichne zum unten dargestellten Graphen der Funktion f die entsprechenden Graphen von f und f. Gegeben ist die Funktion f(x) = x 1 16 a) Bestimme die erste Ableitung f. b) Bestimme die zweite Ableitung f. c) Wo hat die Funktion Extremalstellen? d) Entscheide mit Hilfe der zweiten Ableitung, ob es Maximal- oder Minimalstellen sind. e) Wo hat die Funktion Wendestellen? f) In welchem Bereich hat die Funktion eine Rechtskurve? x 4 9

10 Extremwert - Probleme Beispiel 1: In der Konservenfabrik Ein Hersteller von Konservendosen will eine Dose mit 1 Liter Inhalt fabrizieren und dabei möglichst wenig Blech verwenden. Berechne Durchmesser und Höhe dieser Konservendose? Lösung: Zuerst suchen wir eine Formel, mit der man die zu optimierende Grösse, hier die Oberfläche eines Zylinders, berechnen kann: Die Zielfunktion: O = r π + πr h Diese Zielfunktion enthält normalerweise mehrere Variablen, hier der Radius r und die Höhe h des Zylinders. Den kleinsten Wert für die Oberfläche erhält man, wenn man r und h möglichst klein, wählt, also 0. Dies geht aber nicht weil das Volumen des Zylinders 1 L bzw. 1 dm 3 betragen soll. Dies liefert die Nebenbedingung: Zylindervolumen beträgt 1dm 3 V = r π h = 1 1 h = r π Die Nebenbedingung gibt einen Zusammenhang zwischen den Variablen und kann nach einer der variablen aufgelöst werden. Durch Einsetzen in der Zielfunktion erhält man die Zielfunktion mit nur einer Variablen O = r vereinfacht: 1 π + πr r π O(r) = πr + r Mittels Ableitung berechnet man, für welchen Radius r die Oberfläche O minimal wird: O' = 4πr r = 0 3 r = 1 π Der Radius beträgt 5,4 cm, damit werden Höhe und Durchmesser beide 10.8 cm. 10

11 Extremwert Probleme: Aufgaben Beispiel : Ein Bauer will mit einem 00m langen Zaun eine rechteckige Weide einzäunen. Eine der vier Seiten wird dabei von einem Fluss gebildet, so dass der Zaun nur noch drei Seiten begrenzen muss. Wie lang und wie breit ist die grösste mögliche Weide? Eine Formel für die zu optimierende Grösse bildet die Zielfunktion: F = l b Die Nebenbedingung liefert einen Zusammenhang zwischen den Variablen: l + b = 00 l = 00 - b Damit ergibt sich die Zielfunktion mit einer Variablen: F(b) = 00b b Mittels Ableitung berechnet man, für welches b der Flächeninhalt F extremal wird: b = 50m 1. Welcher Punkt der Geraden 3 + t r = 6 + 3t 4 + t liegt am nächsten beim Punkt A( -3 / / -1 )?. Welche beiden reellen Zahlen mit der Differenz 1 haben das kleinste Produkt? 1 3. Bestimme den Punkt P( u / v ) mit v > 0 auf der Parabel mit der Gleichung y = x +, so dass das Dreieck A ( / 0 ), B ( u / 0 ), P ( u / v ) einen möglichst grossen Flächeninhalt hat. 4. Ein Rechteck, von dem zwei Seiten auf den positiven Abschnitten der Koordinatenachsen liegen und eine Ecke auf der Geraden y = 0,4x +, soll einen möglichst grossen Flächeninhalt haben. Berechne seine Seitenlängen. 5. Eine Holzkugel mit dem Radius r = 4 cm soll so abgeschliffen werden, dass ein Zylinder mit möglichst grossem Volumen entsteht. Welcher Volumenanteil der Kugel weist der Zylinder auf? 6. Einem quadratischen Stück Papier sind in den Ecken Quadrate weggeschnitten worden, so dass ein Bastelbogen für eine Schachtel (ohne Deckel) entsteht. Wie lang sind die weggeschnittenen Quadrate in den Ecken, damit der Inhalt der Schachtel möglichst gross wird? Abbildung zu Aufgabe 5 Abbildung 1 zu Aufgabe 6 11

12 Kurvendiskussion Die Kurvendiskussion umfasst zehn Punkte, wobei es bei vielen Funktionen nicht notwendig ist, alle zehn Schritte auszuführen. A Definitionsmenge Die Definitionsmenge D ist die Menge aller Zahlen, die man für x einsetzen kann, so dass der Funktionsterm f(x) definiert ist. B Stetigkeit und Differenzierbarkeit Stetigkeit: lim f(x) = f(x 0 ) x x0 Differenzierbarkeit: Der Grenzwert f(x) f(x 0 ) lim x x x x 0 existiert C Symmetrien Achsensymmetrie: f(-x) = f(x) (für alle x D) Punktsymmetrie: f(-x) = -f(x) (für alle x D) D Perioden Die Periode ist die kleinste positive Zahl p, für die gilt: f(x + p) = f(x), (für alle x D) 0 E Verhalten für x Grenzwert a: f(x) a für x oder: lim f(x) = a Asymptote a(x): x f(x) a(x) 0 für x F Unendlichkeitsstellen Der Funktionswert geht bei x 0 gegen unendlich. x 0 f(x) für x G Nullstellen Schnittpunkte mit der x-achse, der Funktionswert ergibt null f(x) = 0 H Extremalstellen Maximal- oder Minimalstellen: f wechselt bei x 1 das Vorzeichen und f (x) = 0 Maximalstelle: f (x) < 0 Minimalstelle: f (x) > 0 I Wendestellen Bei der Wendestelle x 1 wechselt f das Vorzeichen und f (x) = 0 J Graph Beim Zeichnen des Graphen sind alle Resultate von A bis I zu berücksichtigen. 1

13 Kurvendiskussion: Polynomfunktion Eine Funktion der Form n n 1 n f(x) = a nx + an 1x + an x + + ax + a1x + a0 mit a 0, a 1,...,a n und a n 0 heisst Polynomfunktion n-ten Grades. (n ist die höchste Potenz von x) Beispiele: f(x) = x 4 ist ein Polynom 1. Grades oder ein lineares Polynom f(x) = 3x 5x + 1 ist ein Polynom. Grades oder ein quadratisches Polynom f(x) = 1 4 x4 + x ist ein Polynom 4. Grades Kurvendiskussion der Polynomfunktion f(x) = x4 + x A. Definitionsmenge ist D = B. Die Funktion ist überall stetig / differenzierbar C. f(-x) = 1 4 (-x)4 + (-x) = 1 4 x4 + x + 9 = f(x) 4 Die Funktion ist Achsensymmetrisch bezüglich der y-achse. E. Für x ± gilt f(x) - F. Es gibt keine Unendlichkeitsstellen G. Nullstellen: 1 4 x4 + x x 4 8x 9 = 0 (x 9) (x + 1) = 0 = 0 (-4) x = 9, d.h. x 1 = -3 und x = 3 H. Extremalstellen: f (x) = - x 3 + 4x = -x (x 4) = 0 x 3 = - und x 4 = und x 5 = 0 I. Wendestellen: J. f (x) = - 3x +4 = 0, x 6 = und x 7 = zudem sind x 3 und x 4 Maximalstellen, weil f (±) = - 8 <0 und x 5 ist Minimalstelle, weil f (0) = 4 >0 Allgemein gilt bei allen Polynomfunktionen: Definitionsmenge ist die Menge aller reellen Zahlen. Sie sind überall stetig und differenzierbar. - Wenn alle Exponenten gerade sind, ist die Funktion achsensymmetrisch bezüglich der y-achse. - Wenn alle Exponenten ungerade sind, ist die Funktion punktsymmetrisch bezüglich des Nullpunktes. Für x gilt f(x), falls an>0 f(x) -, falls an<0 Für x - gilt f(x), falls an>0 und n gerade oder an<0 und n ungerade f(x) -, falls an>0 und n ungerade oder an<0 und n gerade (Massgebend ist immer der erste Summand an x n ) Es gibt nie Unendlichkeitsstellen. Es gibt maximal n Nullstellen Es gibt maximal (n-1)extremalstellen Es gibt maximal (n-) Wendestellen 13

14 Kurvendiskussion: Gebrochenrationale Funktion Eine Funktion der Form f(x) = pp(xx) qq(xx) wobei p(x) und q(x) Polynome sind und pp(xx) qq(xx) vollständig gekürzt ist, heisst gebrochenrationale Funktion. Beispiele: f(x) = 1 xx f(x) = xx 1 xx f(x) = xx + 5xx + 1 f(x) = xx +xx 6 xx 4 xx 4 Kurvendiskussion der gebrochenrationalen Funktion f(x) = xx A. Definitionsmenge ist D = \ {} B. Die Funktion ist überall stetig und differenzierbar C. keine Symmetrien E. Für x ± gilt f(x) ± Asymptote f(x) = 1 x + + xx 4 F. Es gibt eine Unendlichkeitsstelle bei x = G. Nullstellen: x + x 6 = 0 xx 1, = ± 4+4 = 1 ± 7 x 1 = und x = H. Extremalstellen: f (x) = xx 4xx+ = 0 (xx ) x 4x + = 0 xx 3,4 = 4± 16 8 = ± x 3 = und x 4 = I. Wendestellen: J. f (x) = (xx ) 3 0, keine Wendestellen zudem ist x 3 Maximalstelle, da f (0.585) < 0 und x 4 ist Minimalstelle, da f (3.414) > 0 Asymptoten sind Geraden denen sich der Funktionsgraph annähert. Senkrechte Asymptote: Diese gibt es bei den Unendlichkeitsstellen, das heisst immer dort, wo die gebrochenrationale Funktion nicht definiert ist. Sie heissen auch Polgraden. Waagrechte Asymptote: Wenn f(x) für x ± gegen einen Grenzwert g strebt, ist y=g eine waagrechte Asymptote. Dies ist immer dann der Fall wenn der Grad des Zählerpolynoms kleiner oder gleich dem Grad des Nennerpolynoms ist. Schräge Asymptote: Wenn der Grad des Zählerpolynoms um 1 grösser ist als der Grad des Nennerpolynoms, hat die Funktion eine schräge Asymptote. Für die Asymptote a(x) gilt f(x)= pp(xx) RR = a(x) + qq(xx) qq(xx) mit llllll xx RR qq(xx) = 0 14

15 Kurvendiskussion: Exponential- und Logarithmusfunktionen Eine Funktion der Form f(x) = aa xx heisst Exponentialfunktion. Es gilt aa xx = ee (llllll)xx Eine Funktion der Form g(x) = llllll aa xx heisst Logarithmusfunktion. Es gilt llllll aa xx = llllll Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion (und umgekehrt) llllll Kurvendiskussion der Exponentialfunktion f(x) = xx ee xx A. Definitionsmenge ist D = B. Die Funktion ist überall stetig und differenzierbar C. keine Symmetrien E. Für x + gilt f(x) + Für x - gilt f(x) 0 F. Es gibt keine Unendlichkeitsstelle G. Nullstellen: x e x = 0 xx 1 = 0 H. Extremalstellen: f (x) = 1 e x + x e x = (x+1) e x = 0 xx = 1 I. Wendestellen: f (x) = 1 e x + (x+1) e x = (x+) e x = 0 xx 3 = J. Falls e =.7188 die Basis a bildet, spricht man von der natürlichen Exponentialfunktion f(x)=e x und vom natürlichen Logarithmus g(x)=ln(x) Die Graphen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion liegen immer symmetrisch bezüglich der Geraden y=x. Aus den Graphen können alle Eigenschaften dieser Funktionen direkt abgelesen werden: f(x)=e x ist monoton steigend und hat weder Null-, noch Extremal- oder Wendestellen g(x)=ln(x) ist nur für positive Zahlen definiert, ist ebenfalls monoton steigend und es gibt bei x=1 eine Nullstelle, aber keine Extremal- oder Wendestellen 15

16 Aufgabe Wendetangenten f ( x) = ( x ) e x 10ln x g( x) = x 1. Zeichne die Graphen der beiden Funktionen.. Bestimme die Wendepunkte der beiden Graphen. 3. Bestimme die Funktionsgleichungen der Tangenten in den Wendepunkten (Wendetangenten) und zeichne sie ebenfalls ein. 4. Berechne den Winkel, in dem sich die beiden Wendetangenten schneiden. 16