Höhere Mathematik 1 Übung 9

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1 Aufgaben, die in der Präsenzübung nicht besprochen wurden, können in der darauf folgenden übung beim jeweiligen übungsleiter bzw. bei der jeweiligen übungsleiterin abgegeben werden. Diese Abgabe ist freiwillig und wird nicht benotet. Präsenzaufgabe (a) Bestimmen Sie das Polynom zweiten Grades f(x) = ax +bx+c, das für x = den Funktionswert 6 hat, dessen erste Ableitung bei x = genau ist, und das bei x = 3 eine waagerechte Tangente an G f hat. (b) Stellen Sie fest, wie man Werte a und a wählen muss, damit die beiden Funktionen f (x) = 3x 3 + a x + 8a x + 9 und f (x) = x 3 a x + a x + für genau eine Stelle x 0 parallel verlaufende Tangenten haben. Bestimmen Sie außerdem x 0. (a) Voraussetzungen: f(x) = ax +bx+c f() = 6 6 = a+b+c f(x) = x 3x+8 f (x) = ax+b f () = = a+b f ( 3 ) = 0 0 = 3a+b (b) In einem Punkt parallel verlaufende Geraden haben in diesem Punkt dieselbe Steigung. a und a müssen also so gewählt werden, dass die Gleichung f (x) = f (x) genau eine Lösung besitzt. Löst man diese Gleichung erhält man als Lösungsschar x, = a a ± 4 a. Genau eine Lösung erhalten wir, wenn der Radikant Null wird, also wenn a 4 a = 0. Die eindeutige Lösung unseres Problems lautet somit: x 0 = a. Präsenzaufgabe Berechnen Sie die erste und zweite Ableitung der Funktion f(x) = arccot(x).

2 Verwenden Sie hierfür den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion. Der Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion liefert uns ( g (y) ) = g (x) mit y = g(x). Mit g(x) = cot(x) erhält man y = cot(x) x = arccot(y). Folglich ist (arccot(y)) = (g (y)), denn mit g(x) = cot(x) ist g (y) = arccot(y). Die Ableitung von g kann man mit Hilfe der Quotientenregel ausrechnen. Man erhält: g (x) = (cot(x)) =. Damit folgt: sin (x) (arccot(y)) = (g (y)) = g (x) = sin (x), wobei y = g(x) ist. Das bisherige Ergebnis liefert uns also (arccot(y)) = sin (x). Nun muss die rechte Seite in Abhängigkeit von y ausgedrückt werden; wir wissen y = cot(x). Es gilt nach dem trigonometrischen Pythagoras: Daraus folgt Wir erhalten also cot (x) = cos (x) sin (x) = sin (x) sin = (x) sin (x) = y =cot (x) cot = (x)+ sin (x). y +. arccot(y)) = (g (y)) = g (x) = sin (x) = +y und da es auf den Namen der Variablen nicht ankommt, lautet die erste Ableitung arccot(x)) = +x. Die zweite Ableitung ergibt sich mit der Kettenregel zu arccot(x)) = ( (+x ) ) = x (+x ). Präsenzaufgabe 3 Gegeben ist die Funktionenschar f a : D R, f a (x) = ln(a+x ) mit a R. (a) Bestimmen Sie die Definitionsmenge in Abhängigkeit von a. (b) Berechnen Sie die Nullstellen einer jeden Funktion. (c) Zeigen Sie, dass sich alle Scharkurven für x an den Graphen der Funktion g(x) = ln( x ) annähern. (d) Diskutieren Sie die Funktionenschar einmal für a > 0 und einmal für a < 0.

3 (e) Zeichnen Sie die Graphen für a {,0, 4,,} in dasselbe Koordinatensystem. (a) Für a > 0 ist D = R, für a = 0 ist D = R\{0} und für a < 0 ist D = R\[ a, a ]. (b) 0 = ln(a+x ) a+x =, also x = ± a, a ],] (c) Zu zeigen: lim (f(x) g(x)) = 0. x ± ( ) a+x lim x ± (ln(a+x ) ln( x )) = lim ln x ± x (d) Es sei a > 0. Definitionsmenge : D = R Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen : y-achsenabschnitt: f a (0) = ln(a) ( ) a = lim ln x ± x + = ln() = 0 Nullstellen: x, = ± a, a ]0,] Keine Nullstellen: a > Symmetrie : f( x) = f(x) achsensymmetrisch zur y-achse Ableitungen : Extrempunkte : f a(x) = x a+x a(x) = a x (a+x ) a (x) = ax+4x3 (a+x ) 3 f a(x) = x a+x! = 0 = x = 0 a(0) = a Mit a > 0 erhalten wir also ein lokales Minimum bei T(0 ln(a)). Monotonie : f a(x) 0 f a ist monoton wachsend auf [0, [ f a(x) 0 f a ist monoton fallend auf ],0]

4 Wendepunkte : f a(x) = a x! (a+x ) = 0 = x, = ± a a ( a) = a ( a) = a 0 a a 0 a Wir erhalten also zwei Wendepunkte W ( a ln(a)) und aufgrund der Symmetrie W ( a ln(a)). Krümmung : Asymptotisches Verhalten : Siehe Aufgabenteil (c). a(x) 0 f a ist linksgekrümmt auf [ a, a] a(x) 0 f a ist rechtsgekrümmt auf R\[ a, a] Es seien a < 0 und im Folgenden nur die änderungen aufgeführt. Definitionsmenge : D = R\[ a, a] Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen : y-achsenabschnitt: nicht vorhanden, Polgerade bei x = 0 Nullstellen: x, = ± a, a ],0[ Extrempunkte : keine vorhanden Monotonie : f a(x) 0 f a ist monoton wachsend auf ] a, [ f a(x) 0 f a ist monoton fallend auf ], a[ Wendepunkte : keine vorhanden Krümmung : a(x) 0 f a ist in D nicht möglich a(x) 0 f a ist rechtsgekrümmt auf D = R\[ a, a] Asymptotisches Verhalten : Siehe Aufgabenteil (c). Darüber hinaus muss das Asymptotische Verhalten an den Polgeraden untersucht werden: (e) Skizze siehe nächste Seite. lim ln(a+( a + n n ) ) = lim lim n ln(a+( a n ) ) = lim ln(a+ a n }{{} =0, a<0 ln(a+ a n }{{} =0, a<0 + n a + n ) := + n a + n ) :=

5 Präsenzaufgabe 4 Es sei die Funktion f : R R, f(x) = x 3x + 3 gegeben. Bestimmen Sie den Punkt P 0 von G f, dessen Entfernung zum Ursprung minimal ist. Tipp: Fertigen Sie zunächst eine Skizze des Problems an. () Zielfunktion: Für die Entfernung e eines beliebigen Punktes P(x f(x)) G f vom Ursprung gilt: e(x) = x +(f(x)) = x +(x 3x+3) = x 4 6x 3 +6x 8x+9. Da der Abstand nur von einer Variablen abhängt, muss keine zweite Variable eliminiert werden. Die Definitionsmenge ist D = R. () Lokale innere Extremstellen mit relativen Extrema: Wenn eine Funktion f ein Minimum bei x 0 hat, dann gilt f(x) f(x 0 ) für alle x aus einer

6 Umgebung von x 0. Gilt f(x) > 0 in der gesamten Definitionsmenge D f, so gilt auch (f(x)) (f(x 0 )) für alle x aus einer Umgebung von x 0. Also betrachten wir hier der Einfachheit halber e(x) = x 4 6x 3 +6x 8x+9. e (x) = 0 x 3 9x +6x 9 = 0 Einzige x 0 =. e () = 8 > 0 Somit ist x = relative Minimumstelle der Funktion e und damit auch relative Minimumstelle der Funktion e. (3) Funktionswerte an den Rändern der Definitionsmenge lim e(x) = lim x 4 6x 3 +6x 8x+9 = x x lim e(x) = lim x 4 6x 3 +6x 8x+9 = x x Also nimmt die Zielfunktion e für x = ihr absolutes Minimum an. (4) Ergebnis: P 0 ( f()) = P 0 ( ) hat die vom Ursprung kleinste Entfernung. Für diese kleinste Entfernung gilt: e() =. Präsenzaufgabe 5 a) Berechnen Sie das Taylorpolynom dritten Grades der Funktion cos(exp(x) ) um den Entwicklungspunkt x 0 = 0. b) Berechnen Sie das Restglied in 0,, 5. Wie gut approximiert das Taylorpolynom noch in diesen Punkten?

7 zu a) n f (n) (x) f (n) (0) 0 cos(exp(x) ) sin(exp(x) ) exp(x) 0 cos(exp(x) )exp(x) sin(exp(x) )exp(x) 3 3 cos(exp(x) ) exp(3x) 3 Also: T 3 (x) = +0(x 0) (x 0) 3 (x 0)3 = x x3 Alternativ kann man auch die Entwicklung exp(x) = x + x + x in cos(x) = x + x einsetzen. Dabei kann man beide Reihen bei Grad schon abbrechen, da man sonst nur noch Terme höherer Ordnung bekommt. Also cos(exp(x) ) = ( x+ x ) +... = x x zu b) T 3 (0) = = f(0) hier ist die Approximation optimal. R 3 (0) = 0 T 3 () = 0 und f() = 0, Die Approximation weicht also schon etwas vom eigentlichen Wert ab. Je nach Genauigkeit ist die Abweichung jedoch noch im Rahmen. R 3 () = 0, = 0, T 3 (5) = = 574 und f(5) = 0,75.. hier ist die Abweichung katastrophal. Die Approximation durch das obige Taylorpolynom ist hier sehr schlecht. R 3 (5) = 0,75.. ( 574) = 574,75... Präsenzaufgabe 6 Gegeben seien folgende Funktionen f, Werte x 0 R und Intervalle I i,i =,,3,4: a) f(x) = sin(x), x 0 = 0, I = [0, π 4 ] b) f(x) = cos(x+), x 0 =, I = [ π 4,0] c) f(x) = sin(x)cos(x), x 0 = 0, I 3 = [0, π 4 ] Tipp: sin(a+b) = sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b) Geben Sie die Taylorentwicklungen T n (x) vom Grad n N für f mit Entwicklungspunkt x 0 an. Bestimmen Sie das kleinste n, so dass f auf dem gegebenen Intervall durch T n (x) mit einer Genauigkeit von 0 4 approximiert wird. Das Restglied ist gegeben durch für ein x [x 0,x] oder [x,x 0 ]. R n (x) = f(n+) ( x) (n+)! (x x 0) n+

8 a) T n (x) = n k=0 ( ) n n+ x n+ (n+)! Die Reihe konvergiert für alle x R. Weil alle Ableitungen von sin(x) entweder sin(x) oder cos(x) (bzw. mit einem Minus davor), gilt folgende Abschätzung für das Restglied: R n (x) n+ (n+)! (π 4 )(n+) Durch Ausprobieren (:-) bekommt man n = 9 (für nur sin(x) gilt n = 6). b) Das Taylor-Polynom ist gegeben durch T n (x) = n k=0 ( ) n (n)! (x+)n Die Reihe konvergiert für alle x R. Für das Restglied gilt (mit der gleichen Argumentation wie in a) Man findet n = 6. R n (x) (n+)! (π 4 )(n+) c) Durch Anwenden des Additionstheorems kann man sin(x)cos(x) durch sin(x) ersetzen (a = b), und erhält dann das Taylor-Polynom Die Reihe konvergiert für alle x R. Für das Restglied gilt T n (x) = R n (x) Hier braucht man n = 8 Reihenglieder. n k=0 ( ) k k (k +)! xn+ n (n+)! (π)n+