Tutorium: Analysis und lineare Algebra. Differentialrechnung. Steven Köhler. mathe.stevenkoehler.de Steven Köhler

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1 Tutorium: Analysis und lineare Algebra Differentialrechnung Steven Köhler mathe.stevenkoehler.de 2

2 Differenzenquotient Der Di erenzenquotient ist de niert als f(x) x f(x) f(x 0) x x 0. 3 Definition der Differenzierbarkeit I Die reelle Funktion f hei¼t di erenzierbar an der Stelle x 0 2 D(f), wenn der Grenzwert f(x) f(x 0 ) lim x!x 0 x x 0 existiert. Wir bezeichnen diesen Grenzwert mit f 0 (x 0 )undnennen ihn Ableitung von f an der Stelle x 0. 4

3 Definition der Differenzierbarkeit II Die reelle Funktion f hei¼t di erenzierbar an der Stelle x 0 2 D(f), wenn der Grenzwert f(x 0 + h) f(x 0 ) lim h!0 x 0 + h x 0 existiert. Wir bezeichnen diesen Grenzwert mit f 0 (x 0 )undnennen ihn Ableitung von f an der Stelle x 0. 5 Polynomfunktionen I f(x) x f(x) x 2 6

4 Polynomfunktionen II f(x) x 3 f(x) x 4 7 Polynomfunktionen III ³ x n 0 n x n 1 8

5 Exponentialfunktionen I ³ f(x) e x f(x) 1 2 x 9 Exponentialfunktionen II ³e x 0 ³a x 0 e x a x lna 10

6 Logarithmusfunktionen I f(x) lnx 11 Logarithmusfunktionen II lnx log a x log a x 1 x 1 lna x log a e 1 x 12

7 Wurzelfunktionen I f(x) p x f(x) 5p x 13 Wurzelfunktionen II ³ ³ px 0 ³ px 0 ³ np x 0 ³ np x 0 0 np x m 1 2 p x 1 x x n np x n 1 ³ x 1 n ³ x m n 0 1 n x 1 n 1 0 m n x m n 1 14

8 Trigonometrische Funktionen I f(x) sinx f(x) cosx 15 Trigonometrische Funktionen II f(x) tanx sin x cos x f(x) cotx 1 tan x cos x sin x 16

9 Trigonometrische Funktionen III sin x cos x sin x cos x cosx sin x cos x sinx tan x tan x cot x cot x 1 cos 2 x 1+tan 2 x 1 sin 2 x 1 cot 2 x 17 Trigonometrische Funktionen IV f(x) arcsinx f(x) arccosx 18

10 Trigonometrische Funktionen V f(x) arctanx f(x) arccotx 19 Trigonometrische Funktionen VI arcsinx arccosx arctanx arccotx 1 p 1 x 2 1 p 1 x 2 1 x x

11 Hyperbolische Funktionen I f(x) sinhx 1 2 ³e x e x f(x) coshx 1 2 ³e x +e x 21 Hyperbolische Funktionen II f(x) tanhx sinhx coshx f(x) cothx coshx sinhx 22

12 Hyperbolische Funktionen III sinh x coshx tanh x tanh x 1 cosh 2 x 1 tanh 2 x cosh x sinhx coth x coth x 1 sinh 2 x 1 coth 2 x 23 Ableitungsregeln I u v u v ³ u v 0 f g(x) u 0 v 0 (Summenregel) u 0 v + u v 0 (Produktregel) u0 v u v 0 v 2 (Quotientenregel) f ³g(x) 0 g 0 (x) (Kettenregel) ³f (x) g(x) 0 g(x) lnf (x) 0 ³e (Logarithmisches Di erenzieren) 24

13 Ableitungsregeln II Aufgabe Beweise die Quotientenregel! ³ u 0 u 0 v u v 0 v v 2 25 Ableitungsregeln III Aufgabe Bestimme die Ableitung der Funktion mithilfe der logarithmischen Di erentiation: ³ f(x) sin x 3 42 arctan ln(x 2 ) +2x 26

14 Ableitungsregeln IV Aufgabe Bestimme eine allgemeine Formel fäur die n-te Ableitung der Funktion f(x) 2 3x 1 + e x : Beweise, dass es sich bei der von dir gefundenen Formel tatsäachlich um die gesuchte n-te Ableitung handelt. 27 Extremstellen I Bedingungen fäur Extremstellen: f 0 (x) 0 und f 00 (x) 6 0. Bedingungen fäur Wendepunkte: f 00 (x) 0 und f 000 (x)

15 Extremstellen II f(x) x 4 f (1) (x) 4x 3 f (2) (x) 12x 2 f (3) (x) 24x f (4) (x) 24 f(x) x 4 29 Extremstellen III f(x) x 5 f (1) (x) 5x 4 f (2) (x) 20x 3 f (3) (x) 60x 2 f (4) (x) 120x f (5) (x) 120 f(x) x 5 30

16 Extremstellen IV Ist die erste von 0 verschiedene Ableitung (an der Stelle x 0 )eine ² gerade Ableitung, so liegt ein Extrempunkt vor; ² ungerade Ableitung, so liegt ein Sattelpunkt vor. 31 Kurvendiskussion I Bei einer Kurvendiskussion sollten die folgenden Eigenschaften einer Funktion ÄuberprÄuft werden: ² De nitionsbereich ² Wertebereich ² Polstellen ² Nullstellen ² Extrempunkte ² Monotonie ² KrÄummung ² Symmetrie ² Grenzwerte ² Asymptoten ² Wendepunkte 32

17 Kurvendiskussion II Aufgabe FÄuhre eine Kurvendiskussion fäur die folgende Funktion durch: f (x) x3 4x 2 +4x 4x 2 8x +4 : 33 Kurvendiskussion III Skizze der Funktion 34

18 Kurvendiskussion IV ÄUberprÄufen auf Asymptoten: f (x) lim x!1 x lim x 3 4x 2 +4x x!1 4x 3 8x 2 +4x 1 4 Es existiert also eine Asymptote der Form g(x) a x + b mit a Kurvendiskussion V Bestimmen von b: lim x!1 μ x 3 4x 2 +4x lim x!1 4x 2 8x +4 Ã ³ lim f (x) g(x) x!1 μ 1 4 x + b ( 2 4b) x 2 +(3+4b) x 4b 4(x 1) 2! Dies ist genau dann der Fall, wenn ( 2 4b) x 2 0gilt. Hieraus folgt unmittelbar b 1 2. Die Gleichung der Asymptoten ist folglich g(x) 1 4 x 1 2 : 36

19 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! 37