Funktionen mehrerer Variabler

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1 Vektoranalysis Funktionen mehrerer Variabler Wir untersuchen allgemein vektorwertige Funktionen von vektoriellen Argumenten, wobei zunächst nur reelle Vektoren zugelassen seien. Speziell betrachten wir: skalare Funktionen von zwei und mehr Variablen (z.b. Extremwerte untersuchen) Vektorfunktionen einer Variabler (Kurven z.b. Länge berechnen) Vektorfunktionen von zwei Variablen (Flächen im Raum, etwa Volumen bestimmen) Vektorfunktionen von vektoriellen Variablen (nichtlineare Gleichungssysteme lösen) Beispiel Weitere Beispiele von Funktionen von zwei Variablen Gasgesetz: pv = mrt Input (Argument) x =(p, V ) T, Output (Wert) y = T Vorschrift: y = f (x) =f (x, x )=f (p, V )=pv /(mr) Bemerkung Man schreibt f (x) =f (x,...x n ) statt f ((x,...x n ) T ), wir betrachten es also als äquivalent, eine Funktion von n reellen Variablen oder eine Funktion eines einzigen n-dimensionalen Vektors zu betrachten. Grundrechenarten x + x, x x, x x,,x /x Potenzieren x x Logarithmieren log x (x ) Verkettungen von Funktionen von einer und zwei Variablen Beispiel: exp(x x ) sin(x + x )

2 Lineare Funktion von zwei Variablen Lineare Funktion von zwei Variablen l(x, x )=b x + b x = b T x =(b, x) =b x Lineare Funktion von zwei Variablen Quadratische Polynome von zwei Variablen q(x, x )=A x +A x x +A x x +A x =(x, Ax) =x T Ax

3 Quadratische Polynome von zwei Variablen Quadratische Polynome von zwei Variablen Funktio von zwei Variablen Funktion von zwei Variablen

4 Wiederholung: Gewöhnliche Differentiation Definition der Ableitung Beispiel: f (x) =x, x = f (x) = d f (x + h) f (x) f (x) = lim dx h h Definition: Die Funktion f heißt diffbar, wenn sie in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches differenzierbar ist, d.h. ihre Ableitung existiert. Satz: f differenzierbar in x f stetig in x (Logik: unstetig kann nicht diffbar sein!) Ableitungen von Standardfunktionen Funktion Ableitung Funktion Ableitung x n nx n x n n x n n x n n x n+ e ax a e ax a x a x ln(a) ln(x) x log a (x) x ln a sin(x) cos(x) cos(x) sin(x) tan(x) cos (x) cot(x) sin (x) Differentiationsregeln Beispiele Summe: (f + g) = f + g Differenz: (f g) = f g Produkt: (fg) = f g + fg Quotient: (f /g) = (f g fg )/g (g ) Verkettung: (f (g)) = f (g)g Inverse: (f ) = /f Funktion Ableitung Funktion Ableitung arcsin(x) x arccos(x) x arctan(x) +x arccot(x) +x Spezialtrick: logarithmische Differentiation (f g ) = f g (g ln f + gf /f ) Beispiel: (x x ) = x x (ln x + )

5 Höhere Ableitungen Definition: Die Ableitung von f heißt zweite Ableitung. Allgemein: f (n) =(f (n ) ). Funktionen, die auf der offenen Menge Dn-mal differenzierbar sind, und deren n-te Ableitung stetig ist, heißen Funktionen der Klasse C n (D). (f selbst ist seine eigene -te Ableitung, somit ist C (D) die Klasse der stetigen Funktionen auf D.) Regel (Leibniz): (fg) = f g + f g + fg (vgl. binomischer Satz) Differentiation von Funktionen mehrerer Variabler Gegeben sei eine Funktion von n reellen Variablen, die Werte im m-dimensionalen Raum annimmt: f : R n R m y = f (x) = f (x, x,...x n, x n ) Zunächst m = : Wir definieren partielle Ableitungen der Funktion f mittels der gewöhnlichen Ableitung von Hilfsfunktionen ϕ i einer Variabler: f, i = f = ϕ i (), i =...n x i mit den Hilfsfunktionen ϕ(t) =f (x, x,...,x i, x i +t, x i+,...,x n ), i =...n Vollständiges Differential Extrema von Funktionen mehrerer Variabler df (x) =f, dx + f, dx + + f, n dx n Der Gradient ist der n-dimensionale Vektor, der alle partiellen Ableitungen zusammenfasst. f =(f,, f,,..., f, n ) Der Gradient f (x) steht senkrecht auf der Isolinie der Funktion f durch x. Beispiel f (x, x ) = sin(x + x ) f (x, x ) = cos(x + x )(x, x ) Extrema ohne Nebenbedingungen Notwendige Bedingung für ein lokales Extremum einer differenzierbaren Funktion f von n Variablen (x, x,...,x n )=x R n ist das Verschwinden aller partieller Ableitungen f j f (x) = d. h. f, (x) =f, (x) = f, n (x) = (n Gleichungen für n Unbekannte)

6 Hinreichende Bedingungen Beispiel für Extremum ohne Nebenbedingungen Hinreichende Bedingungen für das Vorliegen eines Minimums bzw. Maximums werden mit Hilfe der Hess Matrix der zweiten Ableitungen H ij = x i x j f (x) i =...n j =...n formuliert: H positiv definit Minimum H negativ definit Maximum (positive Definitheit: x x T Hx > ) f (x, y) =x + y + x y J = f = (x( + y ), y( + x )) = (, ) x = = y Extrema mit Nebenbedingungen Beispiel Notwendig für das Vorliegen eines lokalen Extremums von f unter der Bedingung g(x) = ist die Existenz eines Faktors λ (Lagrange Multiplikator), so dass f + λ g = Beispiel: f (x, x )= 3 x x g(x, x )=x + x 3 4 f(x) Wenn mehrere Nebenbedingungen gestellt werden, g : R n R k, gehört zu jeder ein Multiplikator. Es sind dann n + k Gleichungen für ebenso viele Unbekannte x...x n, λ,...λ k zu lösen. Hinreichende Bedingungen werden wiederum mittels einer Matrix zweiter partieller Ableitungen formuliert x x 4

7 Grafische Anschauung Satz über implizite Funktionen 4 4 g(x) = x x x x 3D-Ansicht der Nebenbedingung und Contourplot mit Gradienten f(x) Es sei f : R R R, f (x, y )=, f in der Umgebung von (x, y ) stetig differenzierbar und f,y (x, y ). Dann existiert auf einer Umgebung von x eine eindeutige Auflösungsfunktion y = ϕ(x) mit ϕ(x )=y und f (x,ϕ(x)). Für die Ableitung von ϕ gilt ϕ (x) = f,x(x,ϕ(x)) f,y (x,ϕ(x)) Beispiel Beispiel: f (x, y) =x + y = (Kreisgleichung), auflösbar nach y, außer dort wo y =, weil dort auch f,y =, dafür bei x = ± auflösbar nach x ϕ(x) = ± x ϕ x (x) = = x x y Verallgemeinerung: f : R m R n R n f,y ist dann sinngemäß eine quadratische Matrix von partiellen Ableitungen f y =(f i,j ) i,j=...n, deren Inverse existieren muss, die Formel für ϕ wird zu x ϕ(x) = ( y f ) x f (x,ϕ(x)) Nichtlineare Gleichungen gesucht: Lösung x von f (x) = gegeben: Näherungwert x () für x (initial guess) Fixpunktform Wir formen die Gleichung um in die Form x = ϕ(x) Unter gewissen Bedingungen konvergiert die Folge (x (k) ) i= mit x (k) = ϕ(x (k ) ) i =,, 3,... gegen x.

8 Satz von Banach Newtonverfahren Bei sogenannten Selbstabbildungen ϕ : B B, mit einer abgeschlossenen Teilmenge B R n, konvergiert x (k) gegen den eindeutig bestimmten Grenzwert x, wenn ϕ(x ) ϕ(x ) < c x x mit c < für alle x, x R (Banach) Es gilt x = ϕ(x ) (Fixpunkt) Wir verwenden die Nullstelle x (k) von T (f, x (k ), ) als neue Näherung für die Nullstelle x von f : x (k) = x (k ) ( f (x (k ) )) f (x (k ) ) Das Newtonverfahren konvergiert oft schneller als die einfache Fixpunktiteration, benötigt aber in der Regel gute Startwerte. Eine Schrittweitensteuerung erweist sich meist als sinnvoll. ϕ heißt dann Kontraktion. Beispiel Showdown f (x, x ) = x + x 4 f (x, x ) = exp(x ) x Gesucht ist eine Lösung von f (x) = in der Nähe von (, ) T. Gefunden in 3 Newton-Schritten: (.4,.796) T Prüfungsvorbereitung

9 Aufgabentypen Ops Operationen mit Matrizen und Vektoren Lineare Unabhängigkeit 3 Analytische Geometrie 4 Lineare Gleichungssysteme 5 Eigenwertprobleme 6 Differentialgleichungssysteme 7 Extremwertaufgaben 8 Nichtlineare Gleichungssysteme Summen, Produkte, Potenzen unbedingt Rechnevorteile nutzen! ggf. Techniken wie LGS oder Diagonalisierung nutzen! Abhängigkeit Geo Basen und lineare Hüllen bestimmen Gauß-Algorithmus vielfach nutzen Begriffe wie Rang und Kern können hilfreich sein Geraden, Ebenen Schnittpunkte, Durchstoßpunkte Abstände überbestimmte LGS könnten relevant werden

10 LGS EW System aufstellen Lösbarkeit prüfen Kern, Rang, Bildraum Zerlegung der Systemmatrix Determinanten und Cramer charakteristische Gleichung (nichtlineare Gleichungen wiederholen!) Eigenbasis aufstellen diagonalisieren DiffGl Extrema ist Differentialform vollständiges Differential? Potential finden lineares System diagonalisieren und lösen (Integration wiederholen!) Gradient nullsetzen (Ableitungsregeln wiederholen!) Hesse-Matrix berechnen Definitheit prüfen Nebenbedingungen einbeziehen Eliminieren oder Lagrange?

11 NLGS Banach-Fixpunkt-Suche Newton-Verfahren Taylornäherung implizite Funktionen untersuchen