Seite 1. sin 2 x dx. b) Berechnen Sie das Integral. e (t s)2 ds. (Nur Leibniz-Formel) c) Differenzieren Sie die Funktion f(t) = t. d dx ln(x + x3 ) dx

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1 Seite Aufgabe : a Berechnen Sie das Integral b Berechnen Sie das Integral +x x+x dx. π sin x dx. c Differenzieren Sie die Funktion ft = t e t s ds. Nur Leibniz-Formel a + x x + x dx = d dx lnx + x dx = lnx + x = ln ln = ln = ln5 b π π π sin x dx = sin x sin x dx = cos x sin x π + cos x dx π = cos x dx cos x sin x π =, da sin = sin π = π π π = dx sin x dx = π sin x dx. π sin x dx = π c Leibniz-Formel: d dt bt at F t, s ds = bt at F t, s ds + F t, btḃt F t, atȧt t t t ft = t s e t s ds + e t t = t s e t s ds +

2 Seite Aufgabe : a Geben seien zwei komplexe Zahlen z i = x i + iy i C, i =,. Berechnen Sie z = z z = x+iy, d.h. geben Sie den Realteil x und Imaginärteil y von z an. b Geben Sie für die folgenden komplexen Zahlen eine Darstellung re iϕ mit r an: i i ii 5i. Antwort und Begründung: c Berechnen Sie cos π 8 + i sin π 8 5. d Geben Sie alle Lösungen von z 4 = 6 an. e Bestimmen Sie die beiden komplexen Lösungen der Gleichung in der Form x + iy x, y R. z + + iz = a x + iy = x x + y y + i y x x y x + iy x + y x + y b i i = + e i π 6 = e i π 6 b ii c d 5i = 5 e i π cos π 8 + i sinπ 8 5 = e π 8 5 = e 5π 8 = e π 8 z 4 = 6 z = 6 z = ±4 z {,, i, i} e z + + iz i 4 = z = + i ± z = i ± + i = i e ± π z = i ± e π = i ± 6 + i z = i + 6 oder z = 6 + i 6

3 Seite 5 Aufgabe : Geben Sie die Taylorentwicklung zweiter Ordnung d.h. mit Restglied dritter Ordnung für die Funktion f : x, y x + y im Punkt x, y =, an. fx, y = x x + y, y x + y x x +y x +y xy x +y x +y y x +y x +y D fx, y = xy x +y x +y x fx, y = f, + f, + x y x, y D f, y x = +, + x y x, y + O y = x + x y + O y x + O y x y

4 Seite 6 Aufgabe 4: a Geben Sie den Transformationssatz der Integralrechnung im R n an. b Berechnen Sie mit Hilfe von Teil a die Fläche der Einheitskreisscheibe im R ohne die Kreisscheibe um den Nullpunkt mit Radius, d.h. Vol B \ B. c Berechnen Sie das Volumen des Torus, der durch Rotation des Vierecks V = { x, y, z R x, y =, z } um die z-achse entsteht, indem Sie entweder die Formel zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers benutzen oder die Schnittfläche berechnen, die sich durch Schneiden des Torus mit Ebenen im R ergeben, die senkrecht zur z-achse sind, und über diese Fläche auf-integrieren. a Sei Ω ein stückweise glatt berandetes Gebiet, g : Ω R n differenzierbar, Dg gleichmäßig stetig auf Ω, f : gω R gleichmäßig stetig, dann gilt fy dy = fgx det Dgx dx. gω b Verwende Polarkoordinaten: r r cos ϕ g : ϕ r sin ϕ cos ϕ r sin ϕ Dgr, ϕ = det Dgr, ϕ = rsin ϕ + cos ϕ = r sin ϕ r cos ϕ π Vol B \ B = dx = B \B Ω r dr dϕ = π = π = π c Volumens eines Rotationskörpers: VolK = π z z f z dz. Hier: Vol Torus = π dz π dz = π8 8 = π Alternativ: Die Schnittflächen sind gelochte Kreisscheiben: B \ B und haben jeweils das Volumen π. Aufintegrieren lierfert: Vol Torus = π dz = π

5 Seite 8 Aufgabe 5: Gegeben sei die Funktion f : R R mit fx, y = e x y y. a Bestimmen Sie alle Minima und Maxima und dieser Funktion. b Skizzieren Sie die D-Graphen der Funktion in x- und y- Richtung an den Extremstellen. a Notwendige Bedingung: fx, y = xe x y y, e x y! = xe x y y = x = oder y = oder y = oder y = e x y = y = oder y = x x fx, y = = oder = y y Hinreichende Bedingung: 4x D fx, y = e x y y xe x y xe x y e x 6y D 4 f, = ist positiv definit D f, = 4 ist negativ definit Minimum Maximum b f x, = e x f, y = y y f x, = e x.5

6 Seite Aufgabe 6: Wir betrachten die Menge A = {x, y, z R x + y = 4 }. a Welcher Typ von Fläche verbirgt sich dahinter? b Zeigen Sie, dass die Schnittmenge von A mit B = {x, y, z R x + y + z = } aus zwei geschlossenen Kurven besteht, indem Sie diese Kurven explizit beschreiben. c Fertigen Sie eine Skizze der beiden Mengen A und B sowie ihrer Schnittmenge an. d Bestimmen Sie mit dem Satz über implizite Funktionen die Tangentenvektoren an die Schnittmenge. a Die Mantelfläche eines Zylinders mit Radius um die z-achse. b Setze die Darstellung der Menge A in die der Menge B ein: 4 + z = z = 4 z = ± Damit gilt für die Schnittmenge: { {x, y, z R x + y = 4 und z S := A B =, }} Es handelt sich also um zwei Kreislinien mit Radius und Mittelpunkten,, bzw.,, in Ebenen parallel zur x-y-ebene. c

7 Seite d Betrachte zur Beschreibung der Schnittmenge folgende Gleichung: x fx, y, z = + y 4 x + y + z = Es gilt: Df = x y x y z und diese Matrix hat für Punkte der Schnittmenge stets Rang. Der Tangentialraum ist somit gegeben durch vgl. Kapitel.6 der Vorlesung: x x T x,y,z S = span y y z yz = span xz xy yx n oo z, y = span x

8 Seite Aufgabe 7: a Gegeben sei die folgende Matrix: A :=. 6 6 Bestimmen Sie die Diagonalisierung A = QDQ T mit einer Diagonalmatrix D und einer orthogonalen Matrix Q. Geben Sie die Eigenwerte von A an. b Gegeben sei die Matrix A := Q σ... R, wobei Q und R orthogonal seien, σ i R, n N. Wann existiert A? Geben Sie in diesem Fall A an. σ n a Betrachte das charakteristische Polynom: P A λ = deta λ = λ 9 λ 9 4 P A λ = λ = ±9 4 oder λ = ± λ {,, 4, } Die Eigenvektoren können getrennt für die beiden Blöcke durch Einsetzen der Eigenwerte bestimmt werden:,,, Durch Normierung erhält man eine Orthonormalbasis und somit schließlich: A = 4

9 Seite b A invertierbar falls deta. deta = detq det σ... detr = σ... σ n deta σ,..., σ n σ n In diesem Fall ist: A = R σ... σ n Q = R T σ... σ n Q T

10 Seite 5 Aufgabe 8: a Geben Sie die Spiegelung des Punktes,, an der Ebene E im R durch,,, auf der der Vektor w =,, senkrecht steht, an. b Geben Sie im R die Matrix für eine Drehung um Grad in der x-z-ebene an. c Stellen Sie die Punktspiegelung im R am Punkt,, als affine Abbildung x Ax + b, A R,, b R dar. a Die Spiegelung wird durch die Abbildung Q = wwt w Q = 6 realisiert. Somit: = Kurze Da w = liegt der Punkt in der Ebene E und wird somit auf sich selbst abgebildet. b c cos sin sin cos x x + = x = x + 4 6

11 Seite 7 Aufgabe 9: a Lösen Sie die Differentialgleichung ṙt = rt r =. b Geben Sie für die numerische Lösung der Differentialgleichung ẋt = sin xt mit x = x ein Verfahren zweiter Ordnung an. a Lösung durch Separation der Variablen: rt rt rt r4 t g r d r = r d r = rt = t t r4 t = t rt = 4 t + t fs ds mit g r = ds und fs = r b Ein Verfahren zweiter Ordnung ist z. B. das Cauchy-Euler-Verfahren: x i+ = x i + τ i sinx i x i+ = x i + τ i sin x i+

12 Seite 8 Aufgabe : a Geben Sie die Definition von e A für A R n,n an, n N. b Berechnen Sie e A für A :=. a e A := j= A j j! b Diagonalisiere zunächst die Matrix: P A λ = deta λ = λ P A λ = λ {, } Eigenvektoren: { Somit:, } e A = = j! j= e e e j = e e e = e e e + e e e = e e e + e

13 Seite 9 Aufgabe : Betrachten Sie die eindimensionale Lagrangeinterpolation. a Geben Sie die Langrangebasisfunktionen zu der Knotenmenge {, π, π} an. b Berechnen Sie die quadratische Lagrangeinterpolation der Funktion sinx für Knoten, π, π. a b L x = x π x π π π = x π π x + π L x = x x π π π π = 4 x πx π L x = x x π π π π = x π π x π px = sin L x + sin L x + sinπ L x = L x = 4 π x + 4 π x