Extrema von Funktionen mit zwei Variablen
|
|
- Ralf Peters
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Extrema von Funktionen mit zwei Variablen Es gilt der Satz: Ist an einer Stelle x,y ) f x x,y ) = und f y x,y ) = und besteht außerdem die Ungleichung f xx x,y )f yy x,y ) f xy x,y ) >, so liegt an dieser Stelle ein Extremum vor, und zwar ein Maximum, wenn f xx x,y ) <, und ein Minimum, wenn f xx x,y ) > ist. y Fig. x Wir wollen uns diesen Satz plausibel machen und betrachten hierzu alle Kurven, die sich als Schnitt der Fläche mit Ebenen ergeben, die senkrecht zur xy-ebene durch die Stelle x,y ) verlaufen. Wenn ein Extremum vorliegt, so gilt dies sicherlich auch für die Schnittkurven in x- und y-richtung, d.h. die partiellen Ableitungen sind an dieser Stelle null. Die Sattelfläche siehe Schiebeflächen) zeigt, dass diese Bedingung noch nicht hinreichend ist. Die Schnittkurven werden durch: gλ) = fx +λa,y +λb), a und b beliebig, erfasst. Es ist g λ) = f xx x +λa,y +λb) a + f xy x +λa,y +λb) ab + f yy x +λa,y +λb) b und für λ = ergibt sich: g ) = f xx x,y ) a + f xy x,y ) ab + f yy x,y ) b. Beim Zusammenfassen werden f xy x,y ) = f yx x,y ) und die verallgemeinerte Kettenregel benutzt. Beide Regeln können ohne großen Aufwand eingesehen werden siehe weiter unten). Umerkennen zu können,welches Vorzeichen g ) hat, formenwirweiter um,zur einfacheren Schreibweise werden die Argumente weggelassen. Falls f xx > oder f xx < ist, liegt zumindest für die Schnittkurve in x-richtung ein Extremum vor. Wir klammern daher f xx aus und ergänzen quadratisch, damit das Vorzeichen erhalten bleibt. [ g ) = f xx a + f xy ab + f yy b = f xx a+ f ) xy b + f ] xxf yy fxy f xx fxx b Nun ist zu erkennen: Der Term in eckigen Klammern ist stets positiv, falls f xx f yy f xy > ist falls b = ist, müsste a sein), so dass f xx das Vorzeichen von g ) festlegt.
2 Das Beispiel fx,y) = y x )y x ) wirft leider einen Schatten auf unsere bisherigen Überlegungen. Sämtliche Schnittkurven der angegebenen Art besitzten an der Stelle, ) ein Minimum, doch dieses gilt nicht für die Funktion fx,y). Nur im Bereich zwischen den Graphen von y = x und y = x in der xy-ebene ist die Funktion f negativ. In jeder Umgebung des Ursprungs existieren daher negative und positive Funktionswerte man setze y = x ein). y x Fig. Wir müssen unsere Überlegungen daher auf beliebige Schnitte und damit auf Wege φ t),φ t)) erweitern, die fürt = durch x,y ) verlaufen undderen Ableitungen nicht beide an der Stelle t = verschwinden, es muss also eine Tangente an dieser Stelle existieren. Eine erneute Rechnung ergibt nun: g ) = f xx a + f xy ab + f yy b, mit a = φ ) und b = φ ). Das erwähnte Kriterium ist also auch hinreichend dafür, dass jede Schnittkurve, deren zugehöriger Weg in der xy-ebene eine glatte d.h. differenzierbare) Kurve ist, ein Extremum an der Stelle x,y ) hat. Nun ist es plausibel, dass dann auch die Funktion fx, y) an dieser Stelle eine Extremum aufweist. x y Fig.
3 y x Fig. Beispiel: fx,y) = xy x y Die notwendigen Bedingungen f x = und f y = führen zu dem Gleichungssystem: mit den Lösungen,) und,) y x = x y = f xx,) = f yy,) =, f xy,) = f xx f yy f xy = 9 < f xx,) = f yy,) = 6, f xy,) = f xx f yy f xy = 7 > Nur an der Stelle, ) ist das hinreichende Kriterium erfüllt, hier liegt ein Maximum vor.
4 Satz von Schwarz: f xy x,y ) = f yx x,y ) unter geeigneten Stetigkeitsvoraussetzungen) z f y f x +f yx dx fy +f xy dx f x y x y dx dx x Die partiellen Ableitungen werden an der Stelle x,y ) betrachtet. Die Funktion f y x,y ), deren Variable x ist, wird gemäß fx +dx) = fx )+f x )dx linear approximiert. Dann ist f y x +dx,y ) = f y x,y )+f xy x,y )dx, Entsprechendes gilt für f x. Der Grafik kann entnommen werden: dz = f x dx+f y +f xy dx)dx = f y dx+f x +f yx dx)dx = f xy = f yx Verallgemeinerte Kettenregel: einfacher Spezialfall) Sei gt) = fx +at, y +bt), dann ist g ) = f x x,y ) a+f y x,y ) b. Betrachten wir die Tangentialebene von fx,y) an der Stelle x,y ), es ist dz = f x x,y )dx+f y x,y )dy siehe Tangentialebene und Gradient). Erhöht sich t für t = um dt, so wächst x,y ) um adt in x-richtung und bdt in y-richtung und gt) daher um dz = f x x,y )adt+f y x,y )bdt. Das ist die Behauptung siehe Lineare Näherung). dz z = f y dy z = f x dx dy dx Der Verallgemeinerung liegt die gleiche Idee zugrunde. gt) = fφ t), φ t)) = g t) = f x φ t), φ t)) φ t)+f yφ t), φ t)) φ t) Erhöht sich t für t = t um dt, so wächst φ t), φ t)) um φ t)dt in x-richtung und φ t)dt in y-richtung.
5 Extrema von Funktionen mit zwei Variablen Notwendige Bedingung für ein lokales Extremum von fx,y) an der Stelle x y ) x fx,y ) = y fx,y ) = Für eine hinreichende Bedingung ist die Hesse-Matrix aufzustellen: x M = xy xy y partielle Ableitungen an der Stelle x y ), die Reihenfolge der Ableitungen ist für zweimal stetig differenzierbare Funktionen unerheblich. M ist daher symmetrisch. u,u ) M u,u ) M u ) > = lokales Minimum an der Stelle x y ) u R, u, M ist positiv definit ) < = lokales Maximum u R, u, M ist negativ definit u u u u u T M u ist die Verallgemeinerung von x f x )x. Das Vorzeichen von f x ) bestimmt die Art des Extremums. alternativ detm >, detm >, x > = lokales Minimum an der Stelle x y ) x < = lokales Maximum detm < = Sattelpunkt an der Stelle x y ) 5
6 Extrema von Funktionen mit drei Variablen Notwendige Bedingung für ein lokales Extremum von fx,y,z) an der Stelle x y z ) x fx,y,z ) = y fx,y,z ) = z fx,y,z ) = Für eine hinreichende Bedingung ist die Hesse-Matrix an der Stelle x y z ) aufzustellen: x M = f xy xz xy y yz xz yz f z M ist symmetrisch. u u,u,u ) M u > = lokales Minimum an der Stelle x y z ) u u R, u, M ist positiv definit u u,u,u ) M u < = lokales Maximum u u R, u, M ist negativ definit alternativ M x xy xz xy y yz f xz yz z x xy xz M xy y yz f xz yz z x xy xz M xy y yz f xz yz z detm >, detm >, detm > = lokales Minimum an der Stelle x y z ) detm <, detm >, detm < = lokales Maximum Das Kriterium kann für fx,x,...,x n ) verallgemeinert werden. Für ein lokales Maximum ist die Reihe der Vorzeichen der Hauptabschnittsdeterminanten alternierend und beginnt mit. 6
7 Extrema Beispiel y x Wir suchen nach Extremwerten für die Funktion fx,y) = x +y xy. Die notwendige Bedingung lautet: x fx,y) = y fx,y) = x y = y x = Aus der zweiten Gleichung folgt x = y. Dies in die erste Gleichung eingesetzt, y ausgeklammert, ergibt y =, y =. Falls y = ist, folgt mit der ersten Gleichung x =, ) so dass der erste Kandidat für einen Extremwert x = ist. Falls y = ist, folgt mit der ersten Gleichung x / = ±. x = scheidet aus, weil die zweite Gleichung nicht erfüllt ) wird. Der zweite Kandidat für einen Extremwert ist x =. Hinreichende Bedingung Die symmetrische) Hesse-Matrix ) ) fxx x,y) f xy x,y) 6x = f xy x,y) f yy x,y) 6y wird an den Stellen x, x auf positiv/negativ definit überprüft. 7
8 ) 6x 6y x = ) ) u,u ) u u ) = u u u u für u,u R mal positiv, mal negativ x = ) 6 ) u,u ) 6 u u ) = 6u +u u u ) > beachte: u u ) = u u u +u = lokales Minimum an der Stelle x 8
9 Extrema weiteres Beispiel y x Wir suchen nach Extremwerten für die Funktion fx,y) = y x x+y. Die notwendige Bedingung lautet: x fx,y) = y fx,y) = x = y + = x / = ±, y / = ± Hinreichende Bedingung Die symmetrische) Hesse-Matrix ) fxx x,y) f xy x,y) = x f xy x,y) f yy x,y) y wird an den Stellen auf positiv/negativ definit überprüft. x = x = x = x = ) ) 6 ) ) 6 ) ) 6 ) ) 6 Sattelpunkt Maximum Minimum Sattelpunkt 9
Anwendungen der Differentialrechnung
KAPITEL 3 Anwendungen der Differentialrechnung 3.1 Lokale Maxima und Minima Definition 16: Sei f : D R eine Funktion von n Veränderlichen. Ein Punkt x heißt lokale oder relative Maximalstelle bzw. Minimalstelle
MehrExtremwerte von Funktionen mehrerer reeller Variabler
Extremwerte von Funktionen mehrerer reeller Variabler Bei der Bestimmung der Extrema von (differenzierbaren) Funktionen f : R n R ist es sinnvoll, zuerst jene Stellen zu bestimmen, an denen überhaupt ein
MehrMathematik 3 für Informatik
Gunter Ochs Wintersemester 5/6 Mathematik 3 für Informatik Lösungen zum Hausaufgabenblatt Lösungshinweise ohne Garnatie auf Fehlerfreiheit c 5. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale: a x 4
Mehrx 11 x 31. x 3n x 21. x 1n x 2n ( 1 k 2 und (x k k2) k = ( 1 x k1 des R n ist konvergent, wenn alle Komponentenfolgen x kn = 0
Mathemati für Naturwissenschaftler II 33 32 Folgen Seien (x = x,x 2, und (y = y,y 2, zwei Folgen in den reellen Zahlen ( x ( y = x ( y, x2 y 2, bildet dann eine Folge im R 2 und dies lässt sich natürlich
MehrDifferenzialrechnung für Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen. Graphentheorie
Differenzialrechnung für Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Graphentheorie Differenzialrechnung für Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Def.: eine Funktion n f :D mit D,x (x,...x
MehrUNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009
UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz Dr P C Kunstmann Dipl-Math M Uhl Sommersemester 9 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie inklusive Komplexe
Mehr(a), für i = 1,..., n.
.4 Extremwerte Definition Sei M R n eine Teilmenge, f : M R stetig, a M ein Punkt. f hat in a auf M ein relatives (oder lokales) Maximum bzw. ein relatives (oder lokales) Minimum, wenn es eine offene Umgebung
Mehr8 Extremwerte reellwertiger Funktionen
8 Extremwerte reellwertiger Funktionen 34 8 Extremwerte reellwertiger Funktionen Wir wollen nun auch Extremwerte reellwertiger Funktionen untersuchen. Definition Es sei U R n eine offene Menge, f : U R
MehrExtrema multivariater Funktionen
Extrema multivariater Funktionen Ist f (x ) ein Minimum (Maximum) einer stetig differenzierbaren skalaren Funktion f auf einer Umgebung U von x, so gilt grad f (x ) = (0,..., 0) t. Extrema multivariater
MehrDie Tangentialebene. {(x, y, z) z = f(x 0, y 0 )+ f x (x 0, y 0 )(x x 0 )+ f. y (x 0, y 0 )(y y 0 )}
Die Tangentialebene Der Graph der linearen Approximation ist Tangentialebene an den Graph der Funktion. In Symbolen: Es sei D R 2. Es sei f : D R, (x, y) f(x, y) differenzierbar. Dann ist {(x, y, z) z
MehrTeil 6. Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher
Teil 6 Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher 95 96 6.1 Topologie von Mengen Umgebung ε-umgebung eines Punktes x R n : B ε (x) = {y : y x < ε} Umgebung U von x: Menge, die eine ε-umgebung von x enthält
MehrOutline. 1 Funktionen von mehreren Veränderlichen. 2 Grenzwert und Stetigkeit. 3 Partielle Ableitungen. 4 Die verallgemeinerte Kettenregel
Outline 1 Funktionen von mehreren Veränderlichen 2 Grenzwert und Stetigkeit 3 Partielle Ableitungen 4 Die verallgemeinerte Kettenregel 5 Das totale Differential 6 Extremstellen Roman Wienands (Universität
MehrMathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.4 Anwendungen (Teil 2): Extremwerte
Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.4 Anwendungen (Teil 2): Extremwerte www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs2015/other/mathematik2 biol Prof. Dr.
MehrFunktionen mehrerer Variabler
Funktionen mehrerer Variabler Fakultät Grundlagen Juli 2015 Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Übersicht Funktionsbegriff 1 Funktionsbegriff Beispiele Darstellung Schnitte 2 Partielle Ableitungen
MehrMathematik I ITB. Funktionen mit mehreren reellen Variablen. Prof. Dr. Karin Melzer
Funktionen mit mehreren reellen Variablen 11.05.09 Beispiel: Funktionsgebirge Das Beispiel zeigt die Funktion z = y sin(x 2 ) Schnittkurven: Beispiel Kegelschnitte Schnittkurve: Kurve, die aus dem Schnitt
MehrVorlesung: Analysis II für Ingenieure. Wintersemester 09/10. Michael Karow. Themen: Taylor-Entwicklung und lokale Extrema
Vorlesung: Analysis II für Ingenieure Wintersemester 09/10 Michael Karow Themen: Taylor-Entwicklung und lokale Extrema Motivierendes Beispiel: die Funktion f(x, y) = x(x 1) 2 2 y 2. Dieselbe Funktion von
MehrExtrema mit Nebenbedingungen
Extrema mit Nebenbedingungen Gesucht ist das Extremum der Funktion f(x,y) = 5 x y unter der Nebenbedingung g(x,y) = x+y =. 5 y x In diesem einfachen Fall kann die Nebenbedingung nach einer Variablen aufgelöst
MehrMathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesen
Mathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesen Funktionen mit mehreren reellen Variablen 18.11.08 Beispiel: Funktionsgebirge Das Beispiel zeigt die Funktion z = y sin(x 2 ) Schnittkurven: Beispiel
MehrHöhere Mathematik II für BWIW, BNC, BAI, BGIP, GTB, Ma Hausaufgaben zum Übungsblatt 5 - Lösung
TU Bergakademie Freiberg Sommersemester Dr. Gunter Semmler Dr. Anja Kohl Höhere Mathematik II für BWIW, BNC, BAI, BGIP, GTB, Ma Hausaufgaben zum Übungsblatt 5 - Lösung Differentialrechnung für Funktionen
Mehr4.5 Lokale Extrema und die Hessesche Form
80 Kapitel 4. Differentialrechnung in mehreren Variablen 4.5 Lokale Extrema und die Hessesche Form Sei ab jetzt U R n offen und f:u R eine Funktion. Unter einem lokalen Extremum der Funktion f verstehen
MehrReellwertige Funktionen mehrerer Veränderlicher
Reellwertige Funktionen mehrerer Veränderlicher Teilnehmer: Philipp Besel Joschka Braun Robert Courant Florens Greÿner Tim Jaschek Leroy Odunlami Gloria Xiao Heinrich-Hertz-Oberschule, Berlin Ludwigs-Georgs-Gymnasium,
MehrSerie 4: Gradient und Linearisierung
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik II FS 5 Dr. Ana Cannas Serie 4: Gradient und Linearisierung Bemerkungen: Die Aufgaben der Serie 4 bilden den Fokus der Übungsgruppen vom 7./9. März.. Wir betrachten die
Mehr4.4 Lokale Extrema und die Hessesche Form
74 Kapitel 4 Differentialrechnung in mehreren Variablen 44 Lokale Extrema und die Hessesche Form Sei jetzt wieder U R n offen und f:u R eine Funktion Unter einem lokalen Extremum der Funktion f verstehen
MehrMATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHE- MIE UND LEBENSMITTELCHEMIE
Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik MATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHE- MIE UND LEBENSMITTELCHEMIE Differentialrechnung für Funktionen mehrerer
MehrAM3: Differenzial- und Integralrechnung im R n. 1 Begriffe. 2 Norm, Konvergenz und Stetigkeit. x 1. x 2. f : x n. aus Platzgründen schreibt man:
AM3: Differenzial- und Integralrechnung im R n 1 Begriffe f : x 1 f 1 x 1, x 2,..., x n ) x 2... f 2 x 1, x 2,..., x n )... x n f m x 1, x 2,..., x n ) }{{}}{{} R n R m aus Platzgründen schreibt man: f
MehrRückblick auf die letzte Vorlesung. Bemerkung
Bemerkung 1) Die Bedingung grad f (x 0 ) = 0 T definiert gewöhnlich ein nichtlineares Gleichungssystem zur Berechnung von x = x 0, wobei n Gleichungen für n Unbekannte gegeben sind. 2) Die Punkte x 0 D
MehrVorlesung: Analysis II für Ingenieure. Wintersemester 07/08. Michael Karow. Themen: Niveaumengen und Gradient
Vorlesung: Analysis II für Ingenieure Wintersemester 07/08 Michael Karow Themen: Niveaumengen und Gradient Wir betrachten differenzierbare reellwertige Funktionen f : R n G R, G offen Zur Vereinfachung
Mehr5.10. Mehrdimensionale Extrema und Sattelpunkte
5.1. Mehrdimensionale Extrema und Sattelpunkte Zur Erinnerung: Eine Funktion f von einer Teilmenge A des R n nach R hat im Punkt a ein (strenges) globales Maximum, falls f( x ) f( a ) (bzw. f( x ) < f(
MehrÜbungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2012/13 Blatt
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2012/13 Blatt 9 19.12.2012 Aufgabe 35: Thema: Differenzierbarkeit a) Was bedeutet für eine Funktion f : R n R, dass f an der Stelle x 0 R n differenzierbar ist?
MehrÜbungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2011/12 Blatt Aufgabe 25: Berechnen Sie den kritischen Punkt der Funktion
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 11/1 Blatt 8 3.11.11 Aufgabe 5: Berechnen Sie den kritischen Punkt der Funktion fx, y 3x 5xy y + 3 und entscheiden Sie, ob ein Maximum, Minimum oder Sattelpunkt
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure II (Sommersemester 2008)
Vorlesung Mathematik für Ingenieure II (Sommersemester 8) Kapitel : Differenzialrechnung R n R m Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 8. Mai 8) Differenzialrechnung R R 4
Mehr1 Übungsaufgaben zu Kapitel 1
Übungsaufgaben zu Kapitel. Übungsaufgaben zu Abschnitt... Aufgabe. Untersuchen Sie die nachstehend definierten Folgen ( a k ) k und ( b k ) k auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. den jeweiligen Grenzwert:
MehrExtremwertrechnung in mehreren Veränderlichen
KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmann SS 2014 14.05.2014 Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik 3. Saalübung (14.05.2014) Extremwertrechnung
MehrMathematik. für das Ingenieurstudium. 10 Funktionen mit mehreren Variablen. Jürgen Koch Martin Stämpfle.
10 Funktionen mit mehreren Variablen www.mathematik-fuer-ingenieure.de 2010 und, Esslingen Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdruckes und der Vervielfältigung
MehrHeinrich-Hertz-Oberschule, Berlin
Reellwertige Funktionen mehrerer Variabler Teilnehmer: Maximilian Ringleb Jakob Napiontek Kay Makowsky Mallku Schlagowski Trung Duc Nguyen Alexander Reinecke Herder-Oberschule, Berlin Heinrich-Hertz-Oberschule,
MehrHöhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum 8. Übungsblatt. ). 12x 3 Die Hessematrix von f ist gegeben durch H f (x, y) =
Karlsruher Institut für Technologie (KIT Institut für Analysis Priv-Doz Dr P C Kunstmann Dipl-Math D Roth SS 0 7060 Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum 8 Übungsblatt
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure 2 (Sommersemester 2009)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure 2 (Sommersemester 2009) Kapitel 10: Differenzialrechnung R n R m Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 27. März 2009) Differenzialrechnung
MehrImplizite Funktionen. Ist für eine stetig differenzierbare Funktion f : R n R m R n. so lässt sich das Gleichungssystem
Implizite Funktionen Ist für eine stetig differenzierbare Funktion f : R n R m R n f (x, y ) = (0,..., 0) t, det f x (x, y ) 0, so lässt sich das Gleichungssystem f k (x 1,..., x n, y 1,..., y m ) = 0,
Mehr18.2 Implizit definierte Funktionen
18.2 Implizit definierte Funktionen Ziel: Untersuche Lösungsmengen von nichtlinearen Gleichungssystemen g(x) = 0 mit g : D R m, D R n, d.h. betrachte m Gleichungen für n Unbekannte mit m < n, d.h. wir
Mehr2 Funktionen in mehreren Variablen: Differentiation
Satz 2. (Richtungsableitung) Für jede auf der offenen Menge D R n total differenzierbaren Funktion f (insbesondere für f C 1 (D, R) und für jeden Vektor v R n, v 0, gilt: n v f(x) = f(x) v = f xi (x)v
MehrKarlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Andreas Müller-Rettkowski Dr. Vu Hoang. Sommersemester
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Andreas Müller-Rettkowski Dr. Vu Hoang Sommersemester 03 6.06.03 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektrotechnik und Informationstechnik
MehrMathematik II: Übungsblatt 03 : Lösungen
N.Mahnke Mathematik II: Übungsblatt 03 : Lösungen Verständnisfragen 1. Was bestimmt die erste Ableitung einer Funktion f : D R R im Punkt x 0 D? Die erste Ableitung einer Funktion bestimmt deren Steigung
MehrKommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler
Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler Sommersemester 23 (5.8.23). Gegeben seien die Matrizen A = 2 3 3 und B = 5 2 5 (a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A und B sowie die
MehrFunktionen mehrerer Variabler
Inhaltsverzeichnis 8 Funktionen mehrerer Variabler 8. Einführende Definitionen und Bemerkungen....................... 8. Graphische Darstellungsmöglichkeiten.......................... 8. Grenzwert und
Mehr3. Approximation von Funktionen und Extremwertprobleme im R n
3. Approximation von Funktionen und Extremwertprobleme im R n Wie in D ist es wichtig Funktionen mit mehreren Variablen durch Polynome lokal approximieren zu können. Polynome lassen sich im Gegensatz zu
Mehr3 Optimierung mehrdimensionaler Funktionen f : R n R
3 Optimierung mehrdimensionaler Funktionen f : R n R 31 Optimierung ohne Nebenbedingungen Optimierung heißt eigentlich: Wir suchen ein x R n so, dass f(x ) f(x) für alle x R n (dann heißt x globales Minimum)
Mehri j m f(y )h i h j h m
10 HÖHERE ABLEITUNGEN UND ANWENDUNGEN 56 Speziell für k = 2 ist also f(x 0 + H) = f(x 0 ) + f(x 0 ), H + 1 2 i j f(x 0 )h i h j + R(X 0 ; H) mit R(X 0 ; H) = 1 6 i,j,m=1 i j m f(y )h i h j h m und passendem
MehrMehrdimensionale Differentialrechnung Übersicht
Mehrdimensionale Differentialrechnung Übersicht Partielle und Totale Differenzierbarkeit Man kann sich mehrdimensionale Funktionen am Besten für den Fall f : R 2 M R vorstellen Dann lässt sich der Graph
Mehr7.5. Mittelwertsatz und höhere Ableitungen
7.5. Mittelwertsatz und höhere Ableitungen Wir betrachten wieder eine Funktion f von einer Teilmenge A der Ebene R (oder eines höher dimensionalen Raumes R n ) nach R. Besonders nützlich ist der Mittelwertsatz
MehrMathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS 12/13 Lösungen zu den Übungsaufgaben Blatt 12
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS /3 Lösungen zu den Übungsaufgaben Blatt Aufgabe 5 Welche der folgenden Matrizen sind positiv bzw negativ definit? A 8, B 3 7 7 8 9 3, C 7 4 3 3 8 3 3 π 3
MehrKonvexe Menge. Eine Menge D R n heißt konvex, wenn für zwei beliebige Punkte x, y D auch die Verbindungsstrecke dieser Punkte in D liegt, d.h.
Konvexe Menge Eine Menge D R n heißt konvex, wenn für zwei beliebige Punkte x, y D auch die Verbindungsstrecke dieser Punkte in D liegt, dh Kapitel Extrema konvex: h x + h y D für alle h [0, ], und x,
MehrSerie 3. z = f(x, y) = 9 (x 2) 2 (y 3) 2 z 2 = 9 (x 2) 2 (y 3) 2, z 0 9 = (x 2) 2 + (y 3) 2 + z 2, z 0.
Analysis D-BAUG Dr Cornelia Busch FS 2016 Serie 3 1 a) Zeigen Sie, dass der Graph von f(x, y) = 9 (x 2) 2 (y 3) 2 eine Halbkugel beschreibt und bestimmen Sie ihren Radius und ihr Zentrum z = f(x, y) =
Mehr3.2 Implizite Funktionen
3.2 Implizite Funktionen Funktionen können explizit als y = f(x 1, x 2,..., x n ) oder implizit als F(x 1, x 2,..., x n ;y) = 0 gegeben sein. Offensichtlich kann man die explizite Form immer in die implizite
MehrProbeklausur Höhere Mathematik II für Elektrotechniker
I. Bouw.7.8 U. Hackstein Probeklausur Höhere Mathematik II für Elektrotechniker Es gibt 5 Punkte pro Teilaufgabe, also insgesamt 7 Punkte. Aufgabe. Skizzieren Sie folgenden Bereich: D = {(x, y) R x + y
Mehr6 Extremwerte mit Nebenbedingungen: Die Lagrange-Multiplikatoren-Methode
6 Extremwerte mit Nebenbedingungen: Die Lagrange-Multiplikatoren-Methode In diesem Kapitel orientieren wir uns stark an den Büchern: 1. Knut Sydsæter, Peter Hammond, Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler,
MehrKapitel 6 Differential- und Integralrechnung in mehreren Variablen
Kapitel 6 Differential- und Integralrechnung in mehreren Variablen Inhaltsverzeichnis FUNKTIONEN IN MEHREREN VARIABLEN... 3 BEISPIELE UND DARSTELLUNGEN... 3 GRENZWERT UND STETIGKEIT (ABSTANDSBEGRIFF)...
Mehr9 Optimierung mehrdimensionaler reeller Funktionen f : R n R
9 Optimierung mehrdimensionaler reeller Funktionen f : R n R 91 Optimierung ohne Nebenbedingungen Ein Optimum zu suchen heißt, den größten oder den kleinsten Wert zu suchen Wir suchen also ein x R n, sodass
MehrTU Dresden Fachrichtung Mathematik Institut für Numerische Mathematik 1. Dr. M. Herrich SS 2017
TU Dresden Fachrichtung Mathematik Institut für Numerische Mathematik Prof. Dr. K. Eppler Institut für Numerische Mathematik Dr. M. Herrich SS 207 Aufgabe Gegeben sei die Funktion f : R 2 R mit Übungen
MehrPrüfung zur Vorlesung Mathematik I/II
Dr. A. Caspar ETH Zürich, August 2011 D BIOL, D CHAB Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Legi-Nr.: Nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle 1 2 3 4 5 6 Total Vollständigkeit
MehrLagrange-Multiplikatoren
Lagrange-Multiplikatoren Ist x eine lokale Extremstelle der skalaren Funktion f unter den Nebenbedingungen g i (x) = 0, dann existieren Lagrange-Multiplikatoren λ i, so dass grad f (x ) = λ i grad g i
MehrAnalysis 2 - Übung 1
Analysis - Übung 1 Felix Knorr 8 März 014 4 Gegeben sei die Polynomfunktion f(x, y xy 10x Man bestimme die Gleichungen ihrer Schnittkurven mit den senkrechten Ebenen x x 0 bzw y y 0 sowie die Höhenlinien
MehrMusterlösung zu den Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II. x 2
Musterlösung zu den Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II Wiederholungsblatt: Analysis Sommersemester 2011 W. Werner, F. Springer erstellt von: Max Brinkmann Aufgabe 1: Untersuchen Sie, ob die
MehrTutorium Mathematik II, M Lösungen
Tutorium Mathematik II, M Lösungen 7. Juni 201 *Aufgabe 1. Gegeben seien fx, y = xy 2 8e x+y und P = 1, 2. Der Gradient von f ist genau an der Stelle P Null. a Untersuchen Sie mit Hilfe der Hesse-Matrix,
MehrÜbung 22: Gradient und Richtungsableitung; Extremwertaufgaben für Funktionen mehrerer Veränderlicher
Technische Universität Chemnitz 1. Juli 20 Fakultät für Mathematik Höhere Mathematik I.2 Übung 22: Gradient und Richtungsableitung; Extremwertaufgaben für Funktionen mehrerer Veränderlicher 1. Durch ein
MehrBerechnung von Extrema
KAPITEL 2 Berechnung von Extrema 1. Partielle Ableitungen Definition 2.1 (partielle Ableitung). Sei U R n offen und e j der j-te Einheitsvektor. Eine Funktion f : U R ist in x u partiell differenzierbar
MehrFolgerungen aus dem Auflösungsatz
Folgerungen aus dem Auflösungsatz Wir haben in der Vorlesung den Satz über implizite Funktionen (Auflösungssatz) kennen gelernt. In unserer Formulierung lauten die Resultate: Seien x 0 R m, y 0 R n und
MehrKlausur zu Analysis II - Lösungen
Mathematisches Institut der Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf Dr. Axel Grünrock WS 1/11 11..11 Klausur zu Analysis II - Lösungen 1. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.
Mehr23. DIFFERENTIALRECHNUNG VON FUNKTIONEN VON MEHREREN VARIABLEN
204 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken aus Einführung in die mathematische Behandlung der Naturwissenschaften I von Hans Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie das Buch auch
MehrFunktionen mehrerer Veränderlicher
Funktionen mehrerer Veränderlicher Betrachtet werden Funktionen f : D R mit Denitionsbereich D R n und Wertebereich R, d. h. man hat die Funktionsgleichung y = f (x) = f (x, x 2,..., x n ) Beispiele: f
MehrFehlerfortpflanzung & Extremwertbestimmung. Folie 1
Fehlerfortpflanzung & Etremwertbestimmung Folie 1 Fehlerfortpflanzung Einführung In vielen technischen Zusammenhängen sind die Werte bestimmter Größen nicht genau bekannt sondern mit einer Unsicherheit
MehrProbeklausur zur Analysis 2, SoSe 2017
BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL 21717 Fakultät 4 - Mathematik und Naturwissenschaften Prof N V Shcherbina Dr T P Pawlaschyk wwwkanauni-wuppertalde Probeklausur zur Analysis 2, SoSe 217 Hinweis Die Lösungen
MehrAnalysis 2, Woche 9. Mehrdimensionale Differentialrechnung I. 9.1 Differenzierbarkeit
A Analysis, Woche 9 Mehrdimensionale Differentialrechnung I A 9. Differenzierbarkeit A3 =. (9.) Definition 9. Sei U R m offen, f : U R n eine Funktion und a R m. Die Funktion f heißt differenzierbar in
MehrLUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 13. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie
LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR BIOLOGIE Prof. Andreas Herz, Dr. Stefan Häusler email: haeusler@biologie.uni-muenchen.de Department Biologie II Telefon: 89-8-748 Großhadernerstr. Fax:
MehrAnleitungsaufgaben zu. Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 2011/12 Dr. K. Rothe Anleitungsaufgaben zu Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften Aufgabe 1: Für die folgenden Funktionen f : IR 2
MehrProbeklausur. 1 Stetigkeit [7 Punkte] 2 Differenzierbarkeit [10 Punkte] Ferienkurs Analysis 2 für Physiker SS Karolina Stoiber Aileen Wolf
Karolina Stoiber Aileen Wolf Ferienkurs Analysis 2 für Physiker SS 26 A Probeklausur Allgemein Hinweise: Die Arbeitszeit beträgt 9 Minuten. Falls nicht anders angegeben, sind alle en ausführlich und nachvollziehbar
MehrKapitel 6. Differenzialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen
Kapitel 6. Differenzialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen 6.1 Funktionen von mehreren Variablen Eine Abbildung f : D R, D R n, ordnet jedem n-tupel x = (x 1, x 2,...,x n ) D (eindeutig) eine
MehrNachklausur Analysis 2
Nachklausur Analysis 2. a) Wie ist der Grenzwert einer Folge in einem metrischen Raum definiert? Antwort: Se (a n ) n N eine Folge in dem metrischen Raum (M, d). Diese Folge besitzt den Grenzwert g M,
MehrProf. Dr. H. Brenner Osnabrück SS Analysis II. Vorlesung 50. Hinreichende Kriterien für lokale Extrema
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 205 Analysis II Vorlesung 50 Hinreichende Kriterien für lokale Extrema Wir kommen jetzt zu hinreichenden Kriterien für die Existenz von lokalen Extrema einer Funktion
MehrKurvendiskussion für Funktionen mit einer Variablen
Kurvendiskussion für Funktionen mit einer Variablen Unter der Kurvendiskussion einer Funktionsgleichung versteht man die Zusammenstellung der wichtigsten Eigenschaften ihres Bildes mit anschließender Zeichnung.
Mehr5 Funktionen mit mehreren Variablen
5 Funktionen mit mehreren Variablen Ein Ausdruck wie etwa f(x,y,z = x2 y z (356 läßt sich als Funktion f der n = 3 unabhängigen Variablen x,y und z auffassen. Funktionswerte sind etwa f(1,2,3 = 2, f(2,3,1
Mehrf(x, y) = x 2 4x + y 2 + 2y
7. Februar Lösungshinweise Theorieteil Aufgabe : Bestimmen Sie die Niveaumengen (Höhenlinien) der Funktion f(x, y) = x 4x + y + y und skizzieren Sie das zugehörige Höhenlinienbild im kartesischen Koordinatensystem
MehrFerienkurs der TU München- - Analysis 2 Funktionen in mehreren Variablen Vorlesung
Ferienkurs der TU München- - Analysis 2 Funktionen in mehreren Variablen Vorlesung Jonas J. Funke 30.08.2010-03.09.2010 Inhaltsverzeichnis 1 Funktionen in mehreren Variablen 3 2 Partielle Differentiation
MehrMusterlösung zu Blatt 1
Musterlösung zu Blatt Analysis III für Lehramt Gymnasium Wintersemester 0/4 Überprüfe zunächst die notwendige Bedingung Dfx y z = 0 für die Existenz lokaler Extrema Mit x fx y z = 8x und y fx y z = + z
MehrHöhere Mathematik für Ingenieure 2
Prüfungklausur (B) zum Modul Höhere Mathematik für Ingenieure 2 25. Juli 29, 3. - 7. Uhr (2.Termin) Aufgabe : - Lösungen zum Theorieteil - Geben Sie eine Funktion f : R 2 R an, für die die Niveaumenge
Mehr9 Differentialrechnung für Funktionen in n Variablen
$Id: diff.tex,v.7 29/7/2 3:4:3 hk Exp $ $Id: ntaylor.tex,v.2 29/7/2 3:26:42 hk Exp $ 9 Differentialrechnung für Funktionen in n Variablen 9.6 Lagrange Multiplikatoren Die Berechnung von Maxima und Minima
Mehr10 Extremwertaufgaben, dreidimensional
Dr. Dirk Windelberg Leibniz Universität Hannover Mathematik für Ingenieure Mathematik http://www.windelberg.de/agq 10 Extremwertaufgaben, dreidimensional 3D: Notwendige Bedingung für das Auftreten eines
MehrLösungen zu Mathematik I/II
Prof. Dr. E. W. Farkas ETH Zürich, Februar 11 D BIOL, D CHAB Lösungen zu Mathematik I/II Aufgaben 1. 1 Punkte a Wir berechnen lim x x + x + 1 x + x 3 + x = 1. b Wir benutzen L Hôpital e x e x lim x sinx
MehrMultivariate Analysis
Kapitel Multivariate Analysis Josef Leydold c 6 Mathematische Methoden I Multivariate Analysis / 38 Lernziele Funktionen in mehreren Variablen Graph und Niveaulinien einer Funktion in zwei Variablen Partielle
Mehr1.6 Implizite Funktionen
1 1.6 Implizite Funktionen Wir werden uns jetzt mit nichtlinearen Gleichungen beschäftigen, f(x) = 0, wobei f = (f 1,..., f m ) stetig differenzierbar auf einem Gebiet G R n und m < n ist. Dann hat man
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Prof Dr M Keyl M Kech TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Mathematik für Physiker 3 (Analysis 2) MA923 http://wwwm5matumde/allgemeines/ma923_26s Sommersem 26 Probeklausur (4726) Krümmung
MehrMathematik 3 für Informatik
Gunter Ochs Wintersemester 5/6 Mathematik 3 für Informatik Präsenzaufgaen zum 8und 9 Lösungshinweise (onhe Garantie auf Fehlerfreiheit Sei f : D R mit D {(x, y R : x, y > } und f(x, y x sin(x y + xy (a
MehrTechnische Universität München. Probeklausur Lösung SS 2012
Technische Universität München Andreas Wörfel & Carla Zensen Ferienkurs Analysis für Physiker Probeklausur Lösung SS Aufgabe Differenzierbarkeit / Punkte: [4,, 3, 4] Es sei f(x, y) = sin(x3 + y 3 ) x +
Mehr3 Anwendungen der Differentialrechnung. (x 1, x 2,..., x n 1, x n ) f xn (x 1, x 2,..., x n 1, x n ), 1 i n 1. y + cos z
R Es sei f : R n D R eine einmal stetig differenzierbare Funktion, für die in einer Umgebung eines Punkte a = a 1, a,, a n D gilt: fa 1, a,, a n = 0, f xn a 1, a,, a n 0 Dann gibt es eines Umgebung U des
Mehr8 Blockbild und Hohenlinien
Mathematik fur Ingenieure Institut fur Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Mathematik Dr. Dirk Windelberg Universitat Hannover Stand: 18. August 008 http://www.iazd.uni-hannover.de/windelberg/teach/ing
MehrOrdnen Sie die Bilder den zugehörigen Funktionen z = f(x, y) zu:
6. Februar 2012 Lösungshinweise Theorieteil Aufgabe 1: Die folgenden Bilder zeigen drei Niveaumengen N 0 {(x, y) R 2 : f(x, y) 0}: Ordnen Sie die Bilder den zugehörigen Funktionen z f(x, y) zu: (a) z (x
MehrA N A L Y S I S I I F Ü R T P H, UE ( ) 1. Test (DO, 5. Mai 2011) / Gruppe weiÿ (mit Lösung )
Institut für Analysis und Scientic Computing TU Wien E. Weinmüller SS 2011 A N A L Y S I S I I F Ü R T P H, UE (103.091) 1. Test (DO, 5. Mai 2011) / Gruppe weiÿ (mit Lösung ) Aufgabe 1. Gegeben ist die
MehrExtrema (Funktionen mit zwei Variablen)
Extrema (Funktionen mit zwei Variablen) Vorzeigeaufgaben: WS04/05 Aufgabe 4 HS11 Aufgabe 4 a) + b) Empfohlene Bearbeitungsreihenfolge: WS05/06 Aufgabe 5 b) WS06/07 Aufgabe 4 HS10 Aufgabe 1 b) + c) HS1
Mehr10 Ableitungen höherer Ordnung
Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag 47 $Id: ntaylortex,v 3 9/7/4 8:6:56 hk Exp $ Ableitungen höherer Ordnung Partielle Ableitungen beliebiger Ordnung Nachdem wir das letzte Mal einige Beispiele
Mehr40 Lokale Extrema und Taylor-Formel
198 VI. Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen 40 Lokale Extrema und Taylor-Formel Lernziele: Resultate: Satz von Taylor und Kriterien für lokale Extrema Methoden aus der linearen Algebra Kompetenzen:
MehrStetigkeit und Dierenzierbarkeit im R n
Stetigkeit und Dierenzierbarkeit im R n 1 Stetigkeit Wir übertragen den Stetigkeitsbegri auf mehrstellige reellwertige Funktionen. Denition 1. Sei M R n. Eine Funktion f : M R heiÿt stetig in a M gdw.
Mehr