Funktionen mehrerer Variabler

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1 Inhaltsverzeichnis 8 Funktionen mehrerer Variabler 8. Einführende Definitionen und Bemerkungen Graphische Darstellungsmöglichkeiten Grenzwert und Stetigkeit Partielle Ableitungen Die totale Ableitung und lineare Approximation Richtungsableitung und Eigenschaften des Gradienten Kettenregel Implizit definierte Funktionen Extrema ohne Nebenbedingungen Extrema mit Nebenbedingungen Lagrangesches Multiplikatorverfahren für Funktionen von zwei Variablen Lagrangesches Multiplikatorverfahren für Funktionen von n Variablen.... 4

2 Kapitel 8 Funktionen mehrerer Variabler 8. Einführende Definitionen und Bemerkungen Viele physikalische Größen hängen von mehr als einer Variablen ab, z.b. gilt das Ohmsche Gesetz U = U(R, I) = R I, d.h. die Spannung ist vom Widerstand und Strom abhängig. 8.. Definition Unter einer reellen Funktion von n Variablen versteht man eine Abbildung f : D R, D R n, die jedem x = (x, x,..., x n ) T D genau ein z = f(x, x,..., x n ) R zuordnet. Bei bzw. unabhängigen Variablen schreibt man häufig auch f(x, y) bzw. f(x, y, z). 8.. Beispiel a) f(x, y) = y x + x y, D f = {(x, y) R : x } b) g(x, y) = (x + 7)y x y, D g = {(x, y) R : x y} c) h(x, x,..., x n ) = n arithmetisches Mittel der Zahlen x, x,..., x n. n x i, i= D h = R n d) f(x, x,..., x n ) = x x... x n, D f = {(x, x,..., x n ) R n : x +x +... x n } (n + )-dimensionale Halbkugel.

3 KAPITEL 8. FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLER 8. Graphische Darstellungsmöglichkeiten Eine Funktion einer unabhängigen Variablen läßt sich als Kurve in der Ebene darstellen, d.h. man markiert die Punktemenge {(x, y) R : y = f(x)}. Eine Funktion von zwei unabhängigen Variablen läßt sich als Fläche im Raum darstellen, d.h. man markiert die Punktemenge {(x, y, z) R : z = f(x, y)}. 8.. Beispiel a) Paraboloid: f(x, y) = x + y Für x = gilt f(, y) = z = y (Parabel in der yz-ebene) Für y = gilt f(x, ) = z = x (Parabel in der xz-ebene)

4 KAPITEL 8. FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLER 4 b) Kegel mit Spitze im Ursprung: f(x, y) = x + y Für x = gilt f(, y) = z = y = y (Betragsfunktion in der yz-ebene) Für y = gilt f(x, ) = z = x = x (Betragsfkt. in der xz-ebene)

5 KAPITEL 8. FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLER 5 c) Ebene durch die Punkte (,, ), (,, ), (,, ) : f(x, y) = (x + y) Für x = gilt f(, y) = z = y (Gerade in der yz-ebene) Für y = gilt f(x, ) = z = x (Gerade in der xz-ebene) Für z = gilt (x + y) =, d.h. y = x (Gerade in der xy-ebene) Eine andere Möglichkeit der Darstellung besteht in der Wiedergabe von Niveaulinien (Höhenlinien) bzw. Niveauflächen (Höhenflächen). z = f(x, y) läßt sich durch Kurven darstellen, auf denen jeweils z konstant ist, d.h. I c = {(x, y) R : f(x, y) = c} w = f(x, y, z) läßt sich durch Flächen darstellen, auf denen jeweils z konstant ist, d.h. I c = {(x, y, z) R : f(x, y, z) = c} 8.. Beispiel a) f(x, y) = x + y Für c gilt z = c x + y = c Die Niveaulinien sind also Kreise um (, ) mit Radius c. c : I c = {(x, y) : x + y = c}

6 KAPITEL 8. FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLER 6 b) f(x, y) = x + y Für c gilt z = c x + y = c x + y = c Die Niveaulinien sind also Kreise um (, ) mit Radius c. c : I c = {(x, y) : x + y = c } c) f(x, y) = xy (hyperbolisches Paraboloid) Für c = gilt x = oder y = (Doppelgerade), d.h. I = {(x, y) : x = oder y = } und für c z = c xy = c y = c x, x (Hyperbelpaar) Bemerkung a) Die Bestimmung der Niveaulinien ist oft recht aufwendig. Es empfiehlt sich die Verwendung geeigneter Rechenprogramme. b) Oft haben die Niveaulinien eine spezielle physikalische Bedeutung. Die Wetterkarte enthält eine Darstellung der Höhenlinien des Luftdrucks. Diese heißen Isobaren. Isothermen - Linien konstanter Temperatur Isogeotherme - Linien konstanter Erdtemperatur

7 KAPITEL 8. FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLER 7 Isohypse - Linien konstanter Meereshöhe Isolinie - Linien konstanter Wertung oder gleicher Erscheinungen auf geographischen, meteorologischen oder sonstigen Karten. 8. Grenzwert und Stetigkeit 8.. Definition a) f R heißt Grenzwert von f(x, y) für (x, y) gegen (x, y ), wenn lim n f(x n, y n ) = f für alle Folgen (x n ), (y n ) mit (x n, y n ) D f, x n x (n ) und y n y (n ). Man schreibt lim (x,y) (x,y ) f(x, y) = f. b) f(x, y) heißt stetig im Punkt (x, y ), wenn gilt. lim f(x, y) = f(x, y ) (x,y) (x,y ) c) Grenzwert und Stetigkeit werden für Funktionen f(x, x,..., x n ) von mehr als zwei unabhängigen Variablen analog definiert. 8.. Beispiel (Parabelfalte) Sei Speziell gilt f(x, y) = { xy x +y 4 falls x oder y falls x = und y = y = : f(x, ) = x = : f(, y) = x = y : f(y, y) = y4 y 4 =, für y + y4 Somit ist f(y, y) (y ), d.h. f(x, y) ist unstetig an der Stelle (, )

8 KAPITEL 8. FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLER Partielle Ableitungen Wir betrachten eine Funktion f(x, y). Hält man nun den y-wert konstant, d.h. betrachtet man f(x, y ) mit konstantem Wert y und variablem x, so erhält man den Schnitt der Fläche f(x, y) mit der durch y zur xz-ebene parallelen Ebene, d.h. eine Kurve in dieser parallelen Ebene. Der zugehörige Differenzenquotient bzgl. der Variablen x an der Stelle x ist f(x + h, y ) f(x, y ) h Dies ist gerade die Steigung der Geraden durch die Punkte (x, y, f(x, y )), (x + h, y, f(x + h, y )). Für h erhält man die Steigung der Tangente an die oben beschriebene Kurve in der zur xz-ebene parallelen Ebene durch y. Dies führt zu folgender Definition Definition a) f(x + h, y) f(x, y) lim h h. = (x, y) x heißt partielle Ableitung von f nach x, wenn der Grenzwert existiert. b) f(x, y + h) f(x, y) lim h h = (x, y) y heißt partielle Ableitung von f nach y, wenn der Grenzwert existiert. c) Ist f eine Funktion von n Variablen x, x,..., x n, so heißt f(x,..., x i, x i + h, x i+,..., x n ) f(x,..., x n ) lim = (x, x,..., x n ) h h x i partielle Ableitung von f nach x i, wenn der Grenzwert existiert Beispiel a) y x f(x, y) = + x + y x (x, y) = ( + x + y ) x(y x) ( + x + y ) = x y xy ( + x + y ) y (x, y) = + x + y y(y x) ( + x + y ) = + x y + xy ( + x + y )r Speziell z.b.: x (x, ) = x x (x + )

9 KAPITEL 8. FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLER 9 b) c) Zum Vergleich: f(x, ) = x + x d dx ( x + x ) = ( + x ) x( x) ( + x ) = x x (x + ) f(x, y) = ln(x + y ) e xy + x x (x, y) = x + y yexy + y (x, y) = y xexy x + y f(x, x, x, x 4 ) = x + x + x x 4 (x, x, x, x 4 ) x = x 4 (x, x, x, x 4 ) x = x x 4 (x, x, x, x 4 ) x = x x 4 (x, x, x, x 4 ) x 4 = x + x + x x Definition (Gradient) Faßt man die partiellen Ableitungen einer Funktion f zu einem Vektor zusammen, so erhält man den Gradienten von f Beispiel grad f(x, y) = grad f(x, x,..., x n ) = ( x y ) (x, y) (x, y) x (x,..., x n ) x n (x,..., x n ) f(x, y, z) = e x+y + x sin z + z xy e x+y + sin z + z y grad f(x, y, z) = e x+y + z x x cos z + zxy

10 KAPITEL 8. FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLER grad f(,, π ) = e + + π 4 e Definition (Partielle Ableitungen höherer Ordnung) Sei f(x, y) Funktion mit partiellen Ableitungen.Ordnung x (x, y), y (x, y). Sind diese wiederum nach x bzw. y partiell differenzierbar, so sind die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung gegeben durch x ( x (x, y)) = f (x, y) x y ( x (x, y)) = f (x, y) y x x ( y (x, y)) = f (x, y) x y y ( y (x, y)) = f (x, y) y Partielle Ableitungen höherer Ordnung (auch für Funktionen von n Variablen) sind entsprechend definiert Bemerkung Abkürzende Schreibweise Beispiel a) x (x, y) = f x(x, y) y (x, y) = f y(x, y) f x (x, y) = f xx(x, y) f y x (x, y) = f yx(x, y) f x y (x, y) = f xy(x, y) f y (x, y) = f yy(x, y) etc. f(x, y) = x sin y y sin x f x (x, y) = sin y y cos x f y (x, y) = x cos y sin x f xx (x, y) = y sin x f xy (x, y) = cos y cos x f yx (x, y) = cos y cos x f yy (x, y) = x sin y

11 KAPITEL 8. FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLER b) f(x, x, x, x 4 ) = ( ) x4 sin x ln x x f x (x, x, x, x 4 ) = x x x4 sin x f x x (x, x, x, x 4 ) = f x x x (x, x, x, x 4 ) = f x x x x (x, x, x, x 4 ) = x x4 sin x cos x x4 sin x cos x x4 ( sin x cos x ) x 4 sin x Bemerkung Im letzten Beispiel war f xy = f yx, d.h. die Reihenfolge der partiellen Ableitungen spielte keine Rolle. Dies ist aber nicht immer der Fall, Man kann z. B. zeigen, dass f(x, y) = überall zweimal partiell differenzierbar ist, aber ist. xy x y x + y, (x, y) (, ), (x, y) = (, ) f xy (, ) = f yx (, ) = Der folgende Satz liefert uns eine hinreichende Bedingung dafür, dass die Reihenfolge der partiellen Ableitungen vertauscht werden darf Satz (Satz von Schwarz) Sei f : R R und U(x, y ) eine Umgebung von (x, y ) (d.h. U(x, y ) = {(x, y) R : ( x y) ( x ) y < ε} für ein geeignetes ε > ). Auf U(x, y ) existieren alle zweiten partiellen Ableitungen und seien stetig in (x, y ). Dann gilt f yx (x, y ) = f xy (x, y ), d.h. die Reihenfolge der partiellen Ableitungen darf vertauscht werden Bemerkung a) Im Beispiel oben sind f xy und f yx unstetig an der Stelle (, ). b) Der Satz von Schwarz gilt genauso für Funktionen f : R n R. 8.5 Die totale Ableitung und lineare Approximation Eine Funktion f einer Variablen hatten wir in a D R differenzierbar genannt, wenn lim x a f(x) f(a) x a

12 KAPITEL 8. FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLER existiert. Gleichbedeutend damit ist, dass gilt wobei f(x) = f(a) + f (a) (x a) + (x a) ε(x a), ε(x a) für (x a). Für Funktionen mehrerer Variabler hat man die folgende entsprechende Definition Definition f : D R, D R n heißt in a = (a, a,..., a n ) T D total differenzierbar, wenn es einen Vektor v R n gibt, mit f( x) = f( a) + v ( x a) + x a ε( x a ), wobei ε( x a ) für x a. Statt total differenzierbar sagt man auch linear approximierbar. Im Falle der totalen Differenzierbarkeit läßt sich v genau angeben. Es gilt der folgende Satz Satz Ist f in a D R n total differenzierbar, dann gilt a) f ist stetig in a b) f ist partiell differenzierbar und v ist eindeutig bestimmt als v = grad f( a) Bemerkung Im Sinne von Definition 8.5. ist also T ( x) = f( a) + grad f( a) ( x a) die lineare Approximation von f in der Nähe von a. Geometrische Interpretation für n = : Die über D R liegende Fläche z = f(x, y) (der Graph von f) wird in der Nähe des Punktes (x, y, f(x, y )) durch die Tangentialebene approximiert. T (x, y) = f(x, y ) + f x (x, y )(x x ) + f y (x, y )(y y )

13 KAPITEL 8. FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLER Beispiel a) f(x, y) = x 4 + x y + y Wir bestimmen die Gleichung der Tangentialebene an der Stelle (x, y ) = (, ). Mit f(, ) = 4 f x (x, y) = 4x + 6x y f x (, ) = f y (x, y) = 4x y + f y (, ) = 5 ist T (x, y) = 4 + (x ) + 5(y ) die Gleichung der Tangentialebene an der Stelle (x, y ) = (, ), d.h. im Flächenpunkt (,, 4). b) f(x, y, z) = e x+y + z sin y + x Wir bestimmen die lineare Approximation an der Stelle (,, ). Es gilt d.h. mit T (x, y, z) = f(,, ) + f x (,, ) x + f y (,, ) y + f z (,, ) z f(,, ) = f x (x, y, z) = e x+y + f x (,, ) = f y (x, y, z) = e x+y + z cos y f y (,, ) = f z (x, y, z) = sin y f z (,, ) = erhalten wir T (x, y, z) = + x + y c) f(x, y) = x y, x, y > Wir bestimmen die Gleichung der Tangentialebene an der Stelle (, ). f(, ) = f x (x, y) = y x y f x (, ) = f y (x, y) = ln x x y f y (, ) = Damit erhalten wir T (x, y) = + (x )

14 KAPITEL 8. FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLER Beispiel Die Funktion f(x, y) = { xy x +y falls (x > und y > ) oder (x < und y < ) falls (x und y ) oder (x und y ) ist im Punkt (, ) nicht total differenzierbar, obwohl die partiellen Ableitungen dort existieren, S. Abbildung. grad f(, ) = ( ) die Funktion z = f(x, y) Richtungsableitung und Eigenschaften des Gradienten Bei den partiellen Ableitungen berechnet man die Steigung in Richtung der jeweiligen Koordinatenachsen, d.h. in Richtung von e i. Man ist nun an der Steigung in eine beliebige Richtung v mit v = interessiert, z.b.: ) v = ( 8.6. Definition (Richtungsableitung) Die Richtungsableitung (der Anstieg) von f in Richtung v, v = ist definiert als v f(x, y) = lim h f(x + hv, y + hv ) f(x, y) h bzw. allgemein sofern der Grenzwert existiert. f( x + h v) f(x, y) v f( x) = lim, h h Für praktische Rechnungen besonders wichtig ist der folgende Satz.

15 KAPITEL 8. FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLER Satz Ist f eine C Funktion, d.h. existieren alle partiellen Ableitungen. Ordnung von f und sind diese stetig, dann gilt für v mit v = v f(x, y) =< v, grad f(x, y) > bzw. allgemein v f( x) =< v, grad f( x) > 8.6. Beispiel ( ) x f(x, y) = 8 x 4y mit grad f(x, y) =. Wähle z.b. v = ( ) 8y. Mit der Normierung v = erhalten wir den Einheitsvektor v = damit v f(x, y) = < ( ) ( ) x, > 8y = (x 8y) ( ) in Richtung von v und Z.B. gilt für (x, y ) = (, ): v f(, ) = 6 = Satz (Eigenschaften des Gradienten) a) Der Gradient zeigt in Richtung des steilsten Anstiegs. b) Der Gradient steht senkrecht auf den Höhenlinien. denn: zu a): Die Richtungsableitung in Richtung v, v = ist Diese wird maximal, wenn gilt, d.h. v f(x, y) = < v, grad f(x, y) > = v grad f(x, y) cos <) ( v, grad f(x, y)) = grad f(x, y) cos <) ( v, grad f(x, y)) cos <) ( v, grad f(x, y)) = <) ( v, grad f(x, y)) = v = grad f(x, y) zu b): Da sich der Funktionswert entlang der Höhenlinien nicht ändert, ist die Ableitung in Richtung der Tangenten, d.h. ist v Tangentenvektor, dann ist = v f(x, y) =< v, grad f(x, y) > v grad f(x, y)

16 KAPITEL 8. FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLER Kettenregel Im folgenden betrachten wir Funktionen f(x, y) (bzw. allgemein f(x, x,..., x n )), in der die Variablen x, y (bzw. x, x,..., x n ) von Parametern abhängen. Mit Hilfe der Kettenregel lassen sich die Ableitungen von f nach den Parametern bestimmen Satz (Kettenregel) Sei f(x, y) (bzw.f(x, x,..., x n ))) eine C -Funktion, d.h. alle partiellen Ableitungen. Ordnung existieren und sind stetig. a) Sei x(t) = ( x(t) y(t)), t [a, b] Parameterdarstellung einer Kurve im R. Dann ist: df dt wobei x(t) = ( ẋ(t) ) ẏ(t) x(t) (x(t), y(t)) = (x(t), y(t)) x t = < grad f( x(t)), x(t) >, + y(t) (x(t), y(t)) y t Ist allgemein x(t) = (x (t)... x n (t)) T, t [a, b] Parametrisierung einer Kurve im R n, dann ist df dt ( x(t)) =< grad f( x(t)), x(t) >. b) Ist x(s, t) = (x(s, t), y(s, t)) T Parameterdarstellung einer Fläche im R, so gilt: t s x(s, t) (x(s, t), y(s, t)) = (x(s, t), y(s, t)) x t x(s, t) (x(s, t), y(s, t)) = (x(s, t), y(s, t)) x s c) Allgemein gilt für f : R n R, x = x(t, t,..., t m ) t j ( x(t,..., t m )) = n i= + y(s, t) (x(s, t), y(s, t)) y t + y(s, t) (x(s, t), y(s, t)) y s x i x i t j 8.7. Beispiel a) Sei z = f(x, y) = (x y). Der Kreis um (, ) mit Radius in der xy-ebene hat die Parametrisierung: x(ϕ) = cos ϕ, y(ϕ) = sin ϕ, ϕ π. Berechnen wir nun dz dϕ, so berechnen wir damit die Änderung von z in Abhängigkeit von ϕ über diesem Kreis, d.h. die Ableitung von z = f(x, y) längs des Kreises (allgemein der durch Parametrisierung gegebenen Kurve.) dz dϕ = z x dx dϕ + z y dy dϕ = (x y) ( sin ϕ) (x y) cos ϕ = 4(x y) ( sin ϕ cos ϕ) = 4( cos ϕ sin ϕ) ( sin ϕ cos ϕ) = 8(sin ϕ cos ϕ) = 8 cos ϕ da cos ϕ sin ϕ = cos ϕ

17 KAPITEL 8. FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLER 7 b) Die Kettenregel wird immmer dann benötigt, wenn neue Variable eingeführt werden und die partiellen Ableitungen in Bezug auf diese Veränderlichen zu berechnen sind. Wir betrachten z.b. Polarkoordinaten im R. Durch x = x(r, ϕ) = r cos ϕ, y = y(r, ϕ) = r sin ϕ, r r r, ϕ ϕ ϕ wird die Funktion f(x, y) transformiert in z(r, ϕ) = f(r cos ϕ, r sin ϕ) = f(x(r, ϕ), y(r, ϕ)) Mit x r = cos ϕ, y r = sin ϕ, x ϕ = r sin ϕ, y ϕ = r cos ϕ erhalten wir, falls f eine C -Funktion ist: z r = f x x r + f y y r = f x cos ϕ + f y sin ϕ z ϕ = f x x ϕ + f y y ϕ = f x r sin ϕ + f y r cos ϕ z rr = r (f x cos ϕ + f y sin ϕ) = cos ϕ r (f x) + sinϕ r (f y) = cos ϕ (f xx x r + f xy y r ) + sin ϕ(f yx x r + f yy y r ) = f xx cos ϕ + f xy cos ϕ sin ϕ + f yy sin ϕ z rϕ = ϕ (z r) = ϕ (f x cos ϕ + f y sin ϕ) = (f xx x ϕ + f xy y ϕ cos ϕ f x sinϕ +(f yx x ϕ + f yy y ϕ ) sin ϕ + f y cos ϕ = ( f xx r sin ϕ + f xy r cos ϕ) cos ϕ f x sin ϕ +( f xy r sin ϕ + f yy r cos ϕ) sin ϕ + f y cos ϕ = f xx sin ϕ cos ϕ + f xy r(cos ϕ sin ϕ) +f yy r cos ϕ sin ϕ f x sin ϕ + f y cos ϕ z ϕϕ = ϕ ( f x r sin ϕ + f y cos ϕ) = r{( f xx x ϕ f xy y ϕ ) sin ϕ f x cos ϕ +(f yx x ϕ + f yy y ϕ ) cos ϕ f y sin ϕ} = r{(f xx r sin ϕ f xy r cos ϕ) sin ϕ f x cos ϕ +( f xy r sin ϕ + f yy r cos ϕ) cos ϕ f y sin ϕ} = r {f xx sin ϕ f xy sin ϕ cos ϕ + f yy cos ϕ} r{f x cos ϕ + f y sin ϕ}

18 KAPITEL 8. FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLER Implizit definierte Funktionen 8.8. Beispiel Die Gleichung x + y r = (Kreis mit Radius r) definiert implizit zwei Funktionen y = f (x) = + r x y = f (x) = r x In einer Umgebung eines Punktes (x, y ) des Kreises ist fast immer klar, ob f oder f zu nehmen ist: ( ) (x, y ) = r, r : f (x, y ) = (, r) : f Aber: Für (x, y ) = (r, ) oder (x, y ) = ( r, ) kann man in einer Umgebung nicht eindeutig nach y auflösen. Der folgende Satz klärt, wann durch eine Gleichung implizit eine Funktion gegeben ist Satz Es sei f(x, y) eine C -Funktion. Es sei (x, y ) ein Punkt mit f(x, y ) =. Durch f(x, y) = ist in einer Umgebung von (x, y ) implizit eine Funktion y = g(x) definiert, falls y (x, y ) gilt Bemerkung Es gibt höherdimensionale Verallgemeinerungen zu diesem Satz, s. Literatur Beispiel a) f(x, y) = x + y r. Es ist y (x, y) = y. In einer Umgebung eines jeden Punktes (x, y ) mit f(x, y ) = und y ist durch f(x, y) = also implizit eine Funktion y = g(x) definiert (nämlich der obere oder untere Halbkreis). b) f(x, y) = x cos y + y sin x. Hier ist ein formelmäßiges Auflösen nach y unmöglich. Es ist y (x, y) = x sin y +y sin x. Der Punkt (x, y ) = ( π 4, π ) 4 erfüllt f(x, y ) = und y (x, y ) = π + π 4. In einer Umgebung von ( π 4, π ) 4 ist durch f(x, y) = also implizit eine Funktion y = g(x) definiert. Der Punkt (x, y ) = (, ) erfüllt ebenfalls f(x, y ) =, aber y (x, y ) =. Durch Satz 8.8. wird also nicht geklärt, ob durch f(x, y) = in einer Umgebung von (, ) implizit eine Funktion y = g(x) definiert ist. Illustration: f(x, y) = x cos y + y sin x. Es interessiert die Höhenlinie zur Höhe c =.

19 .5.5 KAPITEL 8. FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLER Bemerkung (Ableitung implizit gegebener Funktionen) Man kann die Ableitung einer implizit gegebenen Funktion einfach angeben: Aus f(x, g(x)) = in einer Umgebung von x (mit y = g(x ), f(x, y ) = ) folgt = d dx f(x, g(x)) = x (Kettenregel) (x, g(x)) + y (x, g(x)) g (x) also g (x ) = x (x, y ) / y (x, y ) Beispiel f(x, y) = x cos y + y sin x, (x, y ) = ( π ) 4, π 4 x (x, y ) = x cos y + y cos x = π π 4 +, π y (x, y ) = x sin y + y sin x = + + π 4, also ( ( g π ) ) ( ) π π π π = + / = Extrema ohne Nebenbedingungen Wir beschränken uns in diesem Abschnitt zum Teil auf die Betrachtung von Funktionen zweier Variabler.

20 KAPITEL 8. FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLER 8.9. Definition Sei f : D R, D R. { } Maximalstelle a) Ein Punkt (x, y ) D heißt globale von f, wenn Minimalstelle { } f(x, y) f(x, y ) für alle (x, y) D. f(x, y) f(x, y ) { } Maximalstelle b) Ein Punkt (x, y ) D heißt lokale von f, wenn es eine Umgebung Minimalstelle U(x, y ) von (x, y ) gibt, (U(x, y ) = {(x, y) R : ( ) ( x y x ) y < ε} für ein geeignetes { } f(x, y) f(x, y ε > ), so dass ) für alle (x f(x, y) f(x, y ), y ) (D U(x, y ). Im Folgenden geht es nun wie damals im R um notwendige und hinreichende Bedingungen für lokale Extrema unter geeigneten Differenzierbarkeitsvoraussetzungen an die Funktion. Die Rolle der Tangente bei Funktionen einer Variablen wird übernommen von der Tangentialebene bei Funktionen von zwei Variablen (bzw. allgemein der linearen Approximation) 8.9. Satz (Notwendige Bedingung) Ist f auf U ε (x, y ) eine C Funktion, so gilt: (x, y ) lokale Extremastelle von f grad f(x, y ) = 8.9. Bemerkung a) Satz 8.9. gilt auch für Funktionen von n Variablen, d.h. grad f( x ) = ist notwendige Bedingung dafür, dass x lokale Extremalstelle ist. b) Ist grad f( x ) = für eine Stelle x, so nennt man x auch einen stationären Punkt von f. Um hinreichende Bedingungen für lokale Extremalstellen formulieren zu können, benötigen wir die folgende Definition Definition (Hesse-Matrix) Sei f : R R, so dass alle partiellen Ableitungen zweiter Ordnung existieren. Dann bezeichnen wir mit ( ) fxx (x, y) f H f (x, y) = xy (x, y) f yx (x, y) f yy (x, y) die Hesse-Matrix von f und mit f (x, y) = f xx(x, y) f xy (x, y) f yx (x, y) f yy (x, y) die zugehörige Determinante der Hesse-Matrix Bemerkung Für C -Funktionen gilt nach dem Satz von Schwarz f xy = f yx und somit f (x, y) = f xx (x, y) f yy (x, y) f yx(x, y)

21 KAPITEL 8. FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLER Satz (Extremalstellen-Test) Sei f : D R, D R eine C -Funktion. Sei (x, y ) stationärer Punkt von f. Dann gilt a) f (x, y ) > und f xx (x, y ) > und f yy (x, y ) > (x, y ) lokale Minimalstelle. b) f (x, y ) > und f xx (x, y ) < und f yy (x, y ) < (x, y ) lokale Maximalstelle. c) f (x, y ) < (x, y, f(x, y )) ist Sattelpunkt, also keine Extremalstelle Bemerkung Zur Bestimmung lokaler Extremalstellen geht man also folgendermaßen vor. a) Bestimmen der Stellen (x, y ), an denen stationäre Punkte vorliegen. b) Berechnen von f (x, y ) für die stationären Punkte. c) Bei f (x, y ) > verwendet man f xx (x, y ) und f yy (x, y ), um zu entscheiden, ob es sich um eine Minimal- oder Maximalstelle handelt. d) Berechnen der Funktionswerte an den Extremalstellen Bemerkung a) Die Bedingung aus Satz an die Hesse-Matrix müssen für Funktionen von mehr als zwei Veränderlichen allgemeiner formuliert werden (siehe Literatur). b) Ist f (x, y ) =, so hilft das Kriterium nicht weiter Beispiel x Sei f(x, y) = x + y +, D f = R. a) Bestimmung der Stellen, an denen stationäre Punkte vorliegen. () f x (x, y) = x + y + (x + y + ) () f y (x, y) = xy (x + y + ) f x (x, y) = : () : x + y + = f y (x, y) = : () : xy = d.h. x = oder y = x = in () : y = in () : y = keine Lösung in R x = x = oder x = Also befinden sich an den Stellen (, ) und (, ) stationäre Punkte.

22 KAPITEL 8. FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLER b) Berechnen der Determinante der Hesse-Matrix f xx (x, y) = x 6x 6xy (x + y + ) f xy (x, y) = y y + 8x y yx (x + y + ) = f yx (x, y) f yy (x, y) = x x + 6xy (x + y + ) f (x, y) = (x 6x 6xy )( x x + 6xy ) ( y y + 8x y yx ) (x + y + ) 6 f (, ) = ( 6)( ) 6 = 4 > f (, ) = ( + 6)( + ) 6 = 4 > Also sind (, ) und (, ) lokale Extremastellen. c) Überprüfen der Vorzeichen von f xx (, ) und f xx (, ). f xx (, ) = < und f xx(, ) = > Also besitzt f an der Stelle (, ) ein lokales Maximum und an der Stelle (, ) ein lokales Minimum. d) Mit f(, ) = / und f(, ) = / ist (,, /) lokales Maximum und (,, /) lokales Minimum. 8. Extrema mit Nebenbedingungen Bisher können wir Extrema von Funktionen von mehreren Variablen unter Nebenbedingungen lösen (Extremwertaufgaben), wenn sich die Nebenbedingungen jeweils nach einer Variablen auflösen lassen und das Ergebnis in die Funktion eingesetzt ein Problem liefert, das nur noch von einer Variablen abhängt. Dies soll zunächst noch einmal an einem Beispiel erläutert werden. 8.. Beispiel (Extremwertaufgabe) Aus einem Baumstamm mit kreisrundem Querschnitt soll ein Balken mit rechteckigem Querschnitt (Breite b und Höhe h) so herausgeschnitten werden, dass sein Widerstandsmoment W = W (b, h) = 6 bh (Zielfunktion) einen möglichst großen Wert annimmt. b und h können nicht unabhängig voneinander gewählt werden, sondern müssen die Nebenbedingung b + h = 4R ( Pythagoras ) erfüllen. a) Auflösen der Nebenbedingung: h = 4R b

23 KAPITEL 8. FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLER b) Einsetzen in die Zielfunktion: W = W (b) = 6 b(4r b ) W hängt jetzt nur noch von der Variablen b ab. Das Maximum kann nun mit den bekannten Methoden für die Bestimmung von Extrema für Funktionen einer Variablen bestimmt werden. (ergibt h = b 6R, b = R) Im Allgemeinen ist es nicht immer möglich oder zweckmäßig, die Nebenbedingungen aufzulösen und einzusetzen. Dann geht man wie folgt vor: 8.. Lagrangesches Multiplikatorverfahren für Funktionen von zwei Variablen Sei f : D R, D R. Gesucht ist eine Extremalstelle von f unter der Nebenbedingung ϕ(x, y) =. a) Aufstellen der Lagrangefunktion λ heiß Lagrangescher Multiplikator. b) Lösen der Gleichung grad L(x, y; λ) =, d.h. L(x, y; λ) = f(x, y) + λϕ(x, y) L (x, y; λ) = x x L (x, y; λ) = y y L (x, y; λ) = ϕ(x, y) = λ (x, y) + λ ϕ(x, y) = x (x, y) + λ ϕ(x, y) = y Im allgemeinen handelt es sich um ein nichtlineares System. Die Lösungen sind mögliche Kandidaten für die gesuchten Extremalstellen. c) Man findet nun Maximal- bzw. Minimalstellen, indem man die Funktionswerte der aus der Lösung des Gleichungssystems ermittelten Kandidaten vergleicht. Ferner sind noch alle Punkte zu berücksichtigen, in denen f oder ϕ nicht differenzierbar ist oder für die grad ϕ = ist. 8.. Beispiel (Beispiel 8.. mit Lagrangescher Multiplikatormethode ) Gesucht ist das Maximum von W (b, h) = 6 bh unter der Nebenbedingung ϕ(x, y) = b +h 4R = Die Langrange-Funktion ist Für die partiellen Ableitungen erhalten wir L(b, h; λ) = 6 bh + λ(b + h 4R ) L b (b, h; λ) = 6 h + λb L h (b, h; λ) = bh + λh L λ (b, h; λ) = b + h 4R

24 KAPITEL 8. FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLER 4 Nullsetzen der partiellen Ableitungen liefert das nichtlineare Gleichungssystem 6 h + λb = () bh + λh = () b + h 4R = () Da nach der Aufgabenstellung sinnvollerweise h, b > vorausgesetzt werden kann, läßt sich () durch h dividieren und nach λ = /6b auflösen. Einsetzen in () liefert h = b (mit h, b > ). Einsetzen in () liefert b = R und damit h = 6R. Da grad ϕ(b, h) = nur für (b, h) = (, ) erfüllt ist, ist W ( R, 6R) = 6 4 R 9 6R = 8 R 7 das Maximum von W unter der gegebenen Nebenbedingung. Das Lagrangesche Multiplikatorverfahren läßt sich auch allgemein für Funktionen von n Variablen und k < n Nebenbedingungen formulieren. 8.. Lagrangesches Multiplikatorverfahren für Funktionen von n Variablen Sei f : D R, D R n. Gesucht ist eine Extremalstelle von f unter den Nebenbedingungen ϕ ( x) =,..., ϕ k ( x) =, k < n. a) Aufstellen der Lagrange-Funktion L(x,..., x n, λ,..., λ k ) = f( x) + λ ϕ ( x) λ k ϕ k ( x) λ,..., λ k heißen Langrange-Multiplikatoren. b) Lösen der Gleichung grad L(x,..., x n, λ,..., λ k ) =, d.h. L (x,..., x n, λ,..., λ k ) = ϕ ϕ k ( x) + λ ( x) λ k ( x) = x x x x L (x,..., x n, λ,..., λ k ) = ϕ ϕ k ( x) + λ ( x) λ k ( x) = x n x n x n x n L (x,..., x n, λ,..., λ k ) = ϕ ( x) = λ L (x,..., x n, λ,..., λ k ) λ k = ϕ k ( x) = Aus der Lösung des Gleichungssystems erhält man wieder mögliche Kandidaten für die Lösung des Problems.

25 KAPITEL 8. FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLER Beispiel Gesucht ist das Volumen des größten Quaders mit achsenparallelen Kanten innerhalb des Ellipsoids Gesucht ist also das Maximum von x a + y b + z c = unter der Nebenbedingung V (x, y, z) = (x)(y)(z) = 8xyz ϕ(x, y, z) = x a + y b + z c = a) Aufstellen der Lagrange-Funktion ( ) x L(x, y, z, λ) = 8xyz + λ a + y b + z c b) Lösen der Gleichung grad L(x, y, z, λ) =, d.h. L (x, y, z, λ) x = 8yz + λx a = () L (x, y, z, λ) y = 8xz + λy b = () L (x, y, z, λ) z = 8xy + λz c = () L x (x, y, z, λ) = λ a + y b + z c = (4) Wegen der Aufgabenstellung können wir x >, y > und z > voraussetzen. Wir multiplizieren () mit x, () mit y und () mit z und erhalten 8xyz + λ x a = () 8xyz + λ y b = () 8xyz + λ z c = () (λ = kann nicht sein, da sonst x, y oder z gleich Null sein müßten.) Daraus folgt x a = y b = z c Einsetzen in (4) liefert Damit beträgt das maximale Volumen x = a, y = b, z = c V max = 8 9 abc