Prof. Dr. Rolf Linn

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1 Prof. Dr. Rolf Linn Übungsaufgaben zu Mathematik Analysis. Einführung. Gegeben seien die Punkte P=(;) und Q=(5;5). a) Berechnen Sie den Anstieg m der Verbindungsgeraden von P und Q. b) Berechnen Sie die Länge der Verbindungsgeraden von P und Q.. Ein Automobil beschleunigt in 5,6 s von auf km/h. Berechnen Sie die Durchschnittsbeschleunigung in m/s..3 Durch die Punkte P =(;), P =(4;), P 3 =(6;), P 4 =(4;5) und P 5 =(3;3) ist ein Fünfeck gegeben. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Fünfecks. Hinweis: Teilen Sie das Fünfeck geeignet in Dreiecke auf..4 Berechnen Sie das Volumen eines Zylinders mit dem Durchmesser 6 cm und der Höhe cm.. Grenzwert und Stetigkeit. Berechnen Sie eine Näherungen für den Anstieg der Funktion f(x) = x an der Stelle x = entsprechend Bild MA -, indem Sie für x verschiedene Werte einsetzen und zwar a) x=4 b) x=3 c) x= d) x=, e) x=,. Berechnen Sie eine Näherungen für die Fläche unter der Funktion f(x) = x im Bereich von x= bis x= (siehe hierzu MA -3), indem Sie die Fläche mit Rechtecken von unten annähern, sodass die Näherung immer kleiner als die Fläche unter der Kurve ist. a) mit Rechtecken der Breite 6 b) mit Rechtecken der Breite 4 c) mit Rechtecken der Breite 3 d) mit Rechtecken der Breite e) mit Rechtecken der Breite

2 .3 Zeigen Sie unter Verwendung von Definition., dass a) lim ( 3x + ) = 7 x b) für alle x IR gilt: lim ( 3x + ) = ( 3x + ) x x x 4 c) lim = 4 x x x x d) für alle x IR gilt: lim = x x x x x.4 Zeigen Sie unter Verwendung von lim x = x, lim = und Satz. dass x x x x a) lim x = x x x n n lim x = x x x n n lim ax = ax x x b) Für n IN gilt c) Für n IN und a IR gilt (Hinweis: vollständige Induktion) m n m n d) Für m IN, n IN, a IR und b IR gilt ( ) lim ax + bx = ax + bx x x falls x =.5 Für x IR sei f(x) = x sonst x a) Zeigen Sie, dass f bei x = nicht stetig ist. Um welche Art von Unstetigkeit handelt es sich? b) Wie müssten Sie f an der Stelle x= abändern, damit f bei x = stetig wäre?.6 Beweisen Sie: Sei α IR. Sind die Funktionen f und g bei x stetig, dann sind auch die Funktionen αf, fg und, falls g(x ), g f bei x stetig..7 Es seien f(x)=x und g(x)=x+. Geben Sie f º g als Polynom an. (Hinweis: Ein i Polynom ist ein Ausdruck der Form a i x ) n i= 3. Differentialrechnung 3. Die Ableitung 3.. Beweisen Sie Satz Geben Sie die Ableitung von f(x)=ax m +bx n an. Welche Sätze haben Sie benutzt? 3..3 Beweisen Sie Satz 3..5.

3 3..4 Für x IR und x sei f(x) =. Weiter sei x IR und x x a) Bestimmen Sie mithilfe von Definition 3.. die Ableitung von f in x. b) Bestimmen Sie die Ableitung von f in x mithilfe der Reziprokenregel (Satz 3.5.) Beweisen Sie Satz Beweisen Sie Satz Bestimmen Sie die Ableitung von 4x f(x) = + x 3..8 Es seien a IR, b IR, c IR, und d IR, Bestimmen Sie die Ableitung von ax + b f(x) = cx + d 3..9 Es seien f(x)=x und g(x)=x+. a) Bestimmen Sie (f º g), indem Sie zunächst f º g in ein Polynom umformen (siehe Aufgabe.6). b) Bestimmen Sie (f º g) mithilfe der Kettenregel (Satz 3.8). 3.. Für diese Aufgabe benötigen Sie Ableitungen elementarer Funktionen, die in der Vorlesung nicht behandelt wurden. Diese können Sie durch Literaturstudium finden, z.b. in der FH-Bibliothek. Bilden Sie die Ableitungen von a) f(x) = e x b) f(x) = e -x c) f(x) = x 4 e -x d) f(x) = cos(x) e) f (x) = x f) f (x) = sin(x) x + g) f (x) = x h) f(x) = ln(x) x + i) f (x) = ln x 3. Extremwerte 3.. Es sei f(x) = x. Zeigen Sie mithilfe von Definition 3.., dass f ein lokales Minimum besitzt. 3.. Bilden Sie die ersten drei Ableitungen von f, wobei a) f(x) = x -3x+ b) f(x) = 9 + x

4 Bestimmen Sie Maxima und Minima der Funktion f (x) = x 3 x x 3 +. Skizzieren Sie den Graphen von x Ein Spiegel von der Form eines Rechteckes mit einem darüber liegenden Halbkreis habe den Umfang p. Man wähle den Radius des Halbkreises so, dass die Spiegelfläche maximal wird Man bestimme die Seitenlängen des Rechtecks mit dem größten Flächeninhalt, das einem rechtwinkligen Dreieck mit den Seitenlängen 3, 4 und 5 einbeschrieben werden kann, wenn eine Seite des Rechtecks auf der Hypotenuse des Dreiecks liegt Wir betrachten eine binäre Nachrichtenquelle. Ist x die Wahrscheinlichkeit, dass das nächste Zeichen eine ist, ist -x die Wahrscheinlichkeit, dass als nächstes eine kommt. Der Informationsgehalt eines Zeichens ist dann -x log (x)-(-x) log (-x) (Informationstheorie, Technische Informatik) Für welche Wahrscheinlichkeit x wird der Informationsgehalt am größten? Hinweise: Log (x) ist der Logarithmus von x zur Basis. Zum Differenzieren können Sie ihn auf den natürlichen Logarithmus zurückführen. Diese Umrechnung und die Ableitung des natürlichen Logarithmus können Sie der mathematischen Literatur entnehmen.

5 4. Integration 4. Geben Sie folgende Mengen als Intervalle an: a) [, ] [, ] b) (, ) (, 4) c) [, ] [, ] 4. Geben Sie eine Stammfunktion zu ax + bx 4 an. 4.3 Berechnen Sie x + x dx 4.4 Berechnen Sie ( x ) dx 4.5 Zeigen Sie a) Ist F eine Stammfunktion der Funktion f und α IR, dann ist αf eine Stammfunktion von αf. b) Ist F eine Stammfunktion von f und G eine von g, dann ist F+G eine Stammfunktion von f+g. 4.6 Beweisen Sie Satz 4.7. Verwenden Sie hierzu die Aussage von Übung Berechnen Sie a) x + 4x + 3x + dx 3 b) ( x ) ( 5x + 4) dx 4.8 Beweisen Sie Satz 4.8. Verwenden Sie hierzu Satz 3..3 (Produktregel) und integrieren sie beide Seiten der Gleichung. 4.9 Berechnen Sie x cos x dx π Hinweis: partielle Integration, (sin x) = cos x, (cos x) = -sin x

6 e 4. Berechnen Sie ln x dx Hinweise: ln ist der natürliche Logarithmus, es gilt ln x = y genau dann, wenn e y = x. Z.B. ist ln = und ln e =. (ln x) = x Partielle Integration, setzen Sie f (x) = und g(x) = ln x. Dann ist f (x)g(x) = ln x. 4. Berechnen Sie (x + ) dx Hinweis: Verwenden Sie Variablensubstitution. 4. Bestimmen Sie durch Integration eine Formel für das Volumen eines Kegels mit dem Grundflächenradius r und der Höhe h Es sei f(x,y) = x y x. Berechnen Sie x = y = f (x,y) dy dx. 4.4 Es sei f(x,y) = xy und G = { (x,y) IR x y x y }. Berechnen Sie f (x,y) dxdy. G