Ableitungen von Funktionen
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- Leopold Schmitt
- vor 5 Jahren
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1 Kapitel 8 Ableitungen von Funktionen 8. Der Begriff der Ableitung Aufgabe 8. : Prüfen Sie mit Hilfe des Differenzenquotienten, ob folgende Funktionen an den gegebenen Stellen x 0 differenzierbar sind. a f (x = x x bei x 0 = 0 { (x für x b f (x = (x 3 für x <. { (x + c f 3 (x = + für x < x + für x. bei x 0 = bei x 0 = 8. Berechnung von Ableitungen Aufgabe 8. : Berechnen Sie die Ableitungen folgender Funktionen. Benutzen Sie jeweils die geeignete Ableitungsregel. a a(x = 4x 3 + 7x + 3 b b(x = 5 6 x4 4 9 x x + 5x c c(x = (x (x 3 8 d d(x = (x 5 3 e e(x = 4(5 3x 4 f f(x = x (5 7x 3 g g(x = 4 3x h h(x = x x 5 i i(x = 4x x j j(x = x tan(x k k(x = 4x 3 x Aufgabe 8.3 : Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Differenzierbarkeit und berechnen Sie ggf. die Ableitungen. ( a f (x = sin cos ( x 7 5x, x 0 b f (x = x3 4x + x + x + 8 -
2 KAPITEL 8. ABLEITUNGEN VON FUNKTIONEN 8 - x + c f 3 (x = x, x > e f 5 (x = x sin(x, x ( π, 3 π d f 4 (x = { x3 0, x = 0 f f 6 (x = + x x 3 sin ( x, x 0 { 0, x = 0 g f 7 (x = x sin ( h f 8 (x = ( x + (, x > 0 x, x 0 x 8.3 Höhere Ableitungen Aufgabe 8.4 : Bestimmen Sie jeweils die erste und zweite Ableitung der folgenden Funktionen. a f (x = x 3 4x b f (x = 77x sin(x c f 3 (x = (x 4(x 4 d f 4 (x = 3 x 7 Aufgabe 8.5 : Bestimmen Sie für folgende Funktionen die lineare Approximation t(x und die quadratische Approximation q(x bzgl. der Stelle x 0 = 0. Formulieren Sie kurz (-3 Sätze, wozu derartige Näherungsfunktionen nützlich sind und vergleichen Sie f(0. mit t(0. und q(0.. a f (x = x x + b f (x = x + 3x + c f 3 (x = + x d f 4 (x = e f 5 (x = tan x x 4 sin x f f 6 (x = 9 cos x 8.4 Partielle Ableitungen Aufgabe 8.6 : Berechnen Sie jeweils alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung. a f (x, = x + x x b f (x, = x + sin c f 3 (x, = sin(x + cos(x d f 4 (x, = x + 3 tan( e f 5 (x,, z = x + + z ( z f f 6 (x,, z = x z sin
3 KAPITEL 8. ABLEITUNGEN VON FUNKTIONEN 8-3 Hinweise zu den Aufgaben aus dem Kapitel 8 Hinweis zu 8. : a und b sind an den angegebenen Stellen x 0 differenzierbar, c nicht.
4 KAPITEL 8. ABLEITUNGEN VON FUNKTIONEN 8-4 Ergebnisse zu den Aufgaben aus dem Kapitel 8 Ergebnis von 8. : a Die Funktion ist an der Stelle x 0 = 0 differenzierbar mit der Ableitung f (x = 0 = 0. b Die Funktion f ist an der Stelle x 0 = 0 differenzierbar mit der Ableitung f (x = = 0. c Funktion f 3 ist an der Stelle x 0 = 0 nicht differenzierbar. Ergebnis von 8. : a a (x = x + 4x b b (x = 0 3 x3 4 3 x + 3 x + 5 c c (x = 5x 4 3x 6x d d (x = 6(x 5 (= 4x 0x + 50 e e (x = 48(5 3x 3 f f (x = x(5 7x 3 x (5 7x = 5x(5 7x ( 7x (= 75x x 3 575x + 50x g g (x = h h (x = i i (x = 0 ( 4 6x (3x = 4x 9x 4 = 8 3x 3 (x 5 x (x 5 = 5 (x 5 8x(x 4x 4x(x (x = (x j j (x = tan(x + x k k (x = x x + 4x 3 cos (x x = x x + x3 x = x x + x x = 4x x Ergebnis von 8.3 : ( ( ( x ( ( 7 x ( ( 7 x 7 a sin cos = cos cos sin x + 7 5x 5x 5x 5x Die Ableitung existiert also für x 0 und damit ist f (x differenzierbar. b ( x 3 4x + x = x4 + x 3 + 7x x 5 + x + (x + x + Da x + x + 0 für alle x R, ist f (x differenzierbar für alle x R. c ( x + = x (x + / (x 3/ Damit existiert die Ableitung für x > und f 3 (x ist differenzierbar.
5 KAPITEL 8. ABLEITUNGEN VON FUNKTIONEN 8-5 d ( x 3 + x = x( x3 3x ( + x Da + x > 0 für alle x R, ist f 4 (x differenzierbar für alle x R. e Da rechts- und linksseitiger Grenzwert nicht übereinstimmen, ist die Funktion f 5 (x nicht differenzierbar bei x = π. Für die Ableitung gilt damit: { sin(x + x cos(x für f 5 π (x = < x < π sin(x x cos(x für π < x < 3 π f Ableitung für x 0: ( f 6(x = 3x sin x Ableitung für x = 0: f 6 (0 = 0. + x 3 cos ( ( x x. g f 7 ist nicht differenzierbar bei x = 0. ( h ( ( x + x = + x x Damit existiert die Ableitung für x > und f 8 (x ist differenzierbar. Ergebnis von 8.4 : a f (x = 3x 4 (x = 6x f b f (x = 54x sin(x + 77x cos(x f (x = 308x cos(x + (54 77x cos(x c f 3 (x = 4(x 4(x x f 3 (x = (x 4x + d f 4(x = x 3 3 (x 7 f 4 (x = 3 Ergebnis von 8.5 : 3 (x 7 ( 4 3 x 3 3 x 7 a Lineare und quadratische Talorapproximation an der Stelle x 0 = 0: t(x = 0 + (x 0 = x q(x = x + (x 0 = x + x Vergleich von f(0, mit t(0, und q(0, : f(0, = 0,, 0, 0488 t(0, = 0, q(0, = 0, 05
6 KAPITEL 8. ABLEITUNGEN VON FUNKTIONEN 8-6 b Lineare und quadratische Talorapproximation an der Stelle x 0 = 0: t (x = 3x q (x = 3x + 6x = 8x 3x + Vergleich von f(0, mit t(0, und q(0, : f (0, 0, 7686 t (0, = 0, 7 q (0, = 0, 78 c Lineare und quadratische Talorapproximation an der Stelle x 0 = 0: t 3 (x = q 3 (x = x Vergleich von f(0, mit t(0, und q(0, : f 3 (0, 0, 990 t 3 (0, = q 3 (0, = 0, 99 d Lineare und quadratische Talorapproximation an der Stelle x 0 = 0: t 4 (x = + 0 (x 0 = q 4 (x = + 8 x = 6 x + Vergleich von f(0, mit t(0, und q(0, : f 4 (0, 0, t 4 (0, = 0, 5 q 4 (0, = 0, e Lineare und quadratische Talorapproximation an der Stelle x 0 = 0: t 5 (x = 0 (x 0 = x q 5 (x = x + ( (x 0 Vergleich von f(0, mit t(0, und q(0, : f 5 (0, 0, 009 t 5 (0, = 0, q 5 (0, = 0,
7 KAPITEL 8. ABLEITUNGEN VON FUNKTIONEN 8-7 f Lineare und quadratische Talorapproximation an der Stelle x 0 = 0: t 6 (x = q 6 (x = + Vergleich von f(0, mit t(0, und q(0, : Ergebnis von 8.6 : f,x (x, = x + 6x f, (x, = x f,xx (x, = + x f, (x, = 4 f 6 (0,, 886 f,x (x, = f,x (x, = 6x f,x (x, = + cos f, (x, = x + cos ( x f,xx (x, = sin ( ( x f, (x, = sin x + cos f,x (x, = f,x (x, = + sin 4 (x 0 = + 6 x t 6 (0, =, 884 q 6 (0, = + 6 (0,, 893 ( x x 3 x 3 cos f 3,x (x, = cos(x + cos(x ( x sin(x f 3, (x, = cos(x + cos(x x f 3,xx (x, = sin(x + cos(x ( x sin(x + cos(x + cos(x ( 4x cos(x sin(x f 3, (x, = x sin(x + cos(x f 3,x (x, = f 3,x (x, = sin(x + cos(x x ( x sin(x + cos(x + cos(x f 4,x (x, = x tan( f 4, (x, = tan( (x + 3 cos ( tan ( f 4,xx (x, = tan(
8 KAPITEL 8. ABLEITUNGEN VON FUNKTIONEN 8-8 f 4, (x, = [ ( ] cos ( cos ( + (x cos( sin( + 3 tan ( cos 4 ( ( tan( cos ( tan( (x + 3 cos ( tan 4 ( f 4,x (x, = f 4,x (x, = x cos ( tan ( tan 4 ( f 5,x (x,, z = f 5, (x,, z = f 5,z (x,, z = = x tan ( cos ( f 5,xx (x,, z = f 5,x (x,, z = f 5,x (x,, z = f 5, (x,, z = 0 f 6,x (x,, z = z f 6, (x,, z = xz + cos f 6,z (x,, z = x cos f 6,xx (x,, z = 0 f 6, (x,, z = xz sin f 6,zz (x,, z = sin z z z z cos f 6,x (x,, z = f 6,x (x,, z = z cos ( z 4z z 3 f 6,xz (x,, z = f 6,zx (x,, z = ( z f 6,z (x,, z = f 6,z (x,, z = x 4 sin z cos z Meberg&Vachenauer, Band, Springer Verlag vgl. auch W. Queck, Fakultät für Mathematik und Informatik, TU Bergakademie Freiberg
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