Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2012): Differential und Integralrechnung 8

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1 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2012): Differential und Integralrechnung (Herbst 2002, Thema 1, Aufgabe 6) y = 3y +2x x 8.2 (Frühjahr 2005, Thema 1, Aufgabe 6) (x > 0) y(1) = 0. y = 1 x 2 y +x2 2x, x < 2, y(1) = (Frühjahr 2006, Thema 3, Aufgabe 5) Bestimmen Sie für die Lösung ϕ : R R des Anfangswertproblems y = e x y, y(0) = 1 die Menge ϕ(r) ihrer Funktionswerte. 8.4 (Herbst 2007, Thema 2, Aufgabe 6) Gegeben sei die Funktion f : ] 1;1[ R, f(x) = a) Man bestätige, dass für alle x ] 1;1[ 1 x (1+x)(1+x 2 ). f(x) = 1 1+x x 1+x 2 gilt, und bestimme damit eine Stammfunktion F : ] 1;1[ R von f. b) Man löse das Anfangswertproblem y = f(x)y mit y(0) = (Herbst 2007, Thema 3, Aufgabe 4) Bestimmen Sie die Lösung des linearen Anfangswertproblems y = x 1+x y + 1, y(0) = x 2

2 8.6 (Frühjahr 2008, Thema 3, Aufgabe 5) Man bestimme die maximale Lösung des Anfangswertproblems y = cos 2 x+y tanx mit y(0) = (Frühjahr 2011, Thema 2, Aufgabe 2) Man bestimme alle (a,b) R 2, für die das Anfangswertproblem y +ay = e bx, y(0) = 0 eine auf R definierte und auf R + beschränkte Lösung besitzt. 8.8 (Herbst 2005, Thema 1, Aufgabe 3) Man bestimme die Lösung der Anfangswertaufgabe y 1 = y 1 +y 2 y 2 = y 2 +1 mit y 1 (0) = y 2 (0) = (Herbst 2010, Thema 2, Aufgabe 3) Lösen Sie das Anfangswertproblem y (x) = 1, y(0) = 1. 1+y(x) Berechnen Sie die Lösung, und geben Sie das maximale Lösungsintervall an (Herbst 2008, Thema 1, Aufgabe 5) Man bestimme die Lösung der Anfangswertaufgabe im Bereich mit maximalem Definitionsintervall (Herbst 2008, Thema 2, Aufgabe 6) y = 1+2x, y(0) = 0, 1+2y B := { (x,y) R < y} Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems mit maximalem Definitionsintervall (Herbst 2004, Thema 2, Aufgabe 6) y y ( x 2 +1 ) +x ( y 2 +1 ) = 0, y(0) = (Frühjahr 2005, Thema 3, Aufgabe 6) y = (xy) 1 2, x > 0, y > 0, y(1) = 1. Man bestimme die maximale Lösung des Anfangswertproblems y (x) = 1 x y(x)2 für x R, x > 0, y(1) = 1.

3 8.14 (Frühjahr 2007, Thema 1, Aufgabe 5) Man bestimme alle Lösungen der Differenzialgleichung y = 2xy(y 1), die auf ganz R definiert sind. (Hinweis: 1 y(y 1) = 1 y 1 1 y.) 8.15 (Frühjahr 2011, Thema 3, Aufgabe 5) Berechnen Sie die Lösungen der Differentialgleichung mit den Anfangswerten 8.16 (Herbst 2011, Thema 2, Aufgabe 6) y = xy xy 2 y(0) = 1, y(0) = 0, y(0) = 1, y(0) = (Frühjahr 2008, Thema 1, Aufgabe 6) Lösen Sie das Anfangswertproblem y = 2 cos2 (y) 1 x 2 mit y(0) = π 3. y = 2xy 2, y(1) = a für (i) a = 1 2 ; (ii) a = 1 2 jeweils unter Angabe des maximalen Definitionsintervalls (Frühjahr 2009, Thema 3, Aufgabe 5) Gegeben sei die Differentialgleichung y = y 1 x Bestimmen Sie alle konstanten und alle streng monoton wachsenden Lösungsfunktionen der Differentialgleichung ( ) (Herbst 2009, Thema 1, Aufgabe 5) Gegeben sei, in Abhängigkeit eines reellen Parameters a > 0, die Differentialgleichung xy = y a (x > 1/a). ax+1 a) Man bestimme alle reellen Lösungen der Differentialgleichung. b) Man bestimme, in Abhängigkeit von a, das Verhalten der Lösung am Rande des Definitionsbereichs. ( )

4 8.20 (Herbst 2010, Thema 1, Aufgabe 4) Bestimmen Sie alle (a,b) R 2, für die das Anfangswertproblem y = 2x ( y 2 y ), y(a) = b, eine auf R definierte beschränkte Lösung besitzt (Herbst 2006, Thema 3, Aufgabe 6) y = y 3 y x, x > 0, y(1) = 1 2. Hinweis: Verwenden Sie die Substitution z = 1 y (Frühjahr 2010, Thema 1, Aufgabe 5) a) Bestimmen Sie die Lösungsgesamtheit der Differentialgleichung ( ) y = 2xy 6x. b) Zeigen Sie: Ist y eine Lösung von ( ) und J ein Intervall, in dem y(x) 0, so erfüllt z(x) := 1 in J die Differentialgleichung y(x) ( ) z = 6xz 2 2xz. Falls umgekehrt z die Differentialgleichung ( ) mit z(x) 0 im Intervall J löst, so ist y(x) = 1 in J eine Lösung von ( ). z(x) c) Lösen Siedie Differentialgleichung ( ) mit der Anfangsbedingung z(0) = 1 2, und geben Sie hierzu das maximale Lösungsintervall an (Frühjahr 2011, Thema 1, Aufgabe 5) Es bezeichne R + := {x R x > 0} die Menge der positiven reellen Zahlen. Gegeben seien zwei stetige Funktionen f, g : R + R und dielineare Differentialgleichung zweiter Ordnung auf R + : y +f(x)y +g(x)y = 0. a) Sei ϕ eine Lösung dieser Differentialgleichung. Zeigen Sie: Genau dann ist h(x) ϕ(x) auch eine Lösung, wenn h(x) eine Lösung der Differentialgleichung ist. h ϕ+h (2ϕ +f ϕ) = 0 b) Wenden Sie a) auf die Differentialgleichung ( 1 y +y + x 2 ) y = 0 x 2 mit der Lösung ϕ(x) := 1 an, um eine weitere Lösung zu erhalten. x

5 8.24 (Herbst 2011, Thema 3, Aufgabe 5) Gegeben seien die beiden inhomogenen linearen Differentialgleichungen xy = 2y+x 2 (x > 0) (1) und f (x) = 2 x (x > 0). (2) a) Zeigen Sie ohne Ermittlung der allgemeinen Lösung von(1): Jede mindestens dreimal stetig differenzierbare Lösungsfunktion y = f(x) von (1) ist auch eine spezielle Lösung von (2). b) Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems f (x) = 2 x (x > 0), f(1) = 1 2, f (1) = 0, f (1) = (Herbst 2007, Thema 1, Aufgabe 6) a) Gegeben sei die Funktion f : [0, [ R, x x. Untersuchen Sie, ob eine reelle Zahl L existiert, so dass gilt. f(x) f(y) L x y für alle x 0, y 0 b) Bestimmen Sie zwei verschiedene Lösungen y : [0, [ R des Anfangswertproblems y = y, y(0) = (Frühjahr 2008, Thema 2, Aufgabe 5) Bestimmen Sie a) die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y +4y +3y = 0, b) eine spezielle Lösung y 0 (x) der inhomogenen Differentialgleichung y +4y +3y = 10cos(x), c) die Lösung der inhomogenen Differentialgleichung aus b) mit 8.27 (Frühjahr 2006, Thema 1, Aufgabe 3) y(0) = y (0) = 0. a) Bestimmen Sie ein reelles Lösungsfundamentalsystem der Differenzialgleichung y +2y +2y = 0. b) Bestimmen Sie eine reelle Lösungsfunktion der inhomogenen linearen Differenzialgleichung y +2y +2y = 4x 2 2.

6 8.28 (Herbst 2008, Thema 3, Aufgabe 5) Betrachtet wird die Differentialgleichung y y 6y = e x. Bestimmen Sie alle Lösungen, die im Intervall [0, [ beschränkt sind und die Anfangsbedingung y(0) = 0 erfüllen (Frühjahr 2007, Thema 2, Aufgabe 5) Bestimmen Sie die Menge aller maximalen reellen Lösungen der Differenzialgleichung y +2y +5y = 10e 2x (Frühjahr 2006, Thema 2, Aufgabe 5) Man bestimme alle Lösungen der Differenzialgleichung y +y 6y = cos(x) (x R), die in R beschränkt sind (Frühjahr 2003, Thema 1, Aufgabe 7) Man bestimme alle Zahlen a R, für die alle Lösungen ϕ der Differentialgleichung y +2y +ay = 0 der Bedingung genügen. lim ϕ(x) = 0 x 8.32 (Frühjahr 2010, Thema 2, Aufgabe 5) Geben Sie alle Lösungen der Differentialgleichung an (Frühjahr 2010, Thema 3, Aufgabe 5) f (t)+6f (t)+9f(t) = e t Bestimmen Sie alle Lösungen der Differentialgleichung 8.34 (Frühjahr 2009, Thema 1, Aufgabe 4) f (t) 6f (t)+9f(t) = e t. Geben Sie alle Funktionen f(x) mit f(0) = 1 an, die spiegelsymmetrisch zur y Achse sind und für die f (x) = f(x) für alle x R gilt.

7 8.35 (Herbst 2005, Thema 3, Aufgabe 5) Finden Sie sämtliche reellen Lösungen des Anfangswertproblems 8.36 (Frühjahr 2003, Thema 2, Aufgabe 5) y 16y = 0, y(0) = 0. Bestimmen Sie alle Lösungen mit Definitionsbereich R des Anfangswertproblems y 2y +5y = 0, y(0) = 0, y (0) = 3, y (0) = (Frühjahr 1991, Thema 3, Aufgabe 6) Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Differentialgleichung 8.38 (Frühjahr 2009, Thema 2, Aufgabe 5) y +y +y +y = 2e x. Man bestimme die maximale Lösung des Anfangswertproblems 8.39 (Herbst 2009, Thema 2, Aufgabe 5) y +2y +y = e x mit y(0) = y (0) = 1. Gegeben sei die Differentialgleichung y 2ay +a 2 y = 2e ax. Für welches a R gibt es eine Lösung y : R R mit Wie lautet sie? 8.40 (Herbst 2010, Thema 3, Aufgabe 5) y(0) = 0, y (0) = 0, y(1) = 1? Für n 2, n N löse man das Anfangswertproblem y +(n 1)y ny = nx, 8.41 (Frühjahr 2005, Thema 2, Aufgabe 4) y(0) = 1 n n, y (0) = n. Bestimmen Sie die Menge der auf R definierten Lösungsfunktionen des Differenzialgleichungssystems 8.42 (Herbst 2006, Thema 2, Aufgabe 4) y 1 (t) = y 1(t) + 4y 2 (t) y 2 (t) = 2y 1(t) + 3y 2 (t) Lösen Sie das homogene lineare Differenzialgleichungssystem { ẋ(t) = 3x(t) + y(t) ( ) ẏ(t) = x(t) + 3y(t) und zeigen Sie, dass die Lösungskurven implizit gegeben sind durch a (x+y) = b (x y) 2 mit a, b R. Hinweis: Elimination des Parameters t in der allgemeinen Lösung von ( ).

8 8.43 (Frühjahr 2007, Thema 3, Aufgabe 5) Sei f : R 2 R, f(x 1,x 2 ) = x x 1x 2 x 2 2. Zeigen Sie, dass die Funktion f längs jeder Lösungskurve des Differenzialgleichungssystems konstant ist (Herbst 2011, Thema 1, Aufgabe 2) Gegeben sei die Differentialgleichung x 1 = x 1 + x 2 x 2 = x 1 + x 2 y +ay +by = 0 mit a, b R. (1) ( ) y1 (x) y a) Zeigen Sie, dass die Abbildung x w(x) := det 2 (x) y 1(x) y 2(x) mit zwei beliebigen Lösungen y 1, y 2 von (1) die Differentialgleichung erfüllt. w +aw = 0 (2) b) Lösen Sie die Differentialgleichung (2) und folgern Sie aus dem Ergebnis, dass w(x 0 ) 0 für ein x 0 R w(x) 0 für alle x R. c) y 1, y 2 seien zwei nichttriviale Lösungen der Differentialgleichung (1) mit y 1 (x 0 ) = 0, y 2 (x 0 ) 0 für ein x 0 R. Zeigen Sie, dass dann y 1, y 2 linear unabhängig sind.