Institut für Analysis und Scientific Computing Dr. E. Weinmüller SS 2014

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1 Institut für Analysis und Scientific Computing TU Wien Dr. E. Weinmüller SS 14 P R A K T I S C H E M A T H E M A T I K I I F Ü R T P H, (13.58) Test 1 Gruppe A (Mo, ) (mit Lösung ) Unterlagen: eigenes VO-Skriptum. Arbeitszeit: 9 min. FAMILIENNAME Vorname Studium / Matr.Nr gesamt Punkte maximal 18 Tragen Sie bitte oben Ihre persönlichen Daten ein. Als Grundlage für die Beurteilung dienen ausschließlich die in die entsprechenden Kästchen eingetragenen Antworten. Machen Sie sich zunächst Notizen, und tragen Sie dann erst Ihre Lösung samt Zusammenfassung des Lösungweges ein! Die Größe der Kästchen ist auf die jeweilige Aufgabe abgestimmt.

2 Aufgabe 1. a ) (3 Punkte) Bestimmen Sie das transversale Kurvenintegral des Vektorfelds ( ) cos((y ) a(x, y) 1/3 ) (x 3) y längs der Kurve x 3 t, y t 3 +, t [, 1]. Hinweis: t cos t dt t sin t + t cos t sin t. Das transversale Kurvenintegral berechnet man nach der folgenden Formel: a(x(t), y(t)) ( ) y (t) x dt. (t) Setzten wir x(t) und y(t) in das Vektorfeld und den Tangentialvektor ein, so erhalten wir ( ) ( ) y a(x(t), y(t)) (cos(t), t 5 4t ), (t) 3t x, (t) 4t also insgesamt ( ) 3t (cos(t), t 5 4t ) dt 4t (3t cos(t) 8t 6 16t 3 )dt. Nun gilt laut Hinweis 3t cos(t)dt 3[t sin(t) + t cos(t) sin(t)] 1 6 cos(1) 3 sin(1). Insgesamt erhalten wir, 3t cos(t) 8t 6 16t 3 dt 6 cos(1) 3 sin(1)

3 b ) (3 Punkte) Gegeben sei das Vektorfeld a : R R R + R 3 (x, y, z) ( ye xy + ln z, xe xy yz, x z y + z 3 ) T. Zeigen Sie, dass es für a ein Potential gibt. Berechnen Sie anschließend das Potential. R R R + ist ein einfach zusammenhängendes Gebiet. Weiters gilt, a 3 3 a y ( y) rot a a 3 a 1 1 a z z 1 a a 1 e xy (1 + xy) e xy (1 + xy) Also ist a ein Gradientenfeld und es existiert ein Potential. Für das Potential Φ gilt: a Φ. Zur Berechnung des Potentials integrieren wir a 1 nach x und erhalten Es muss aber auch Φ y a gelten, Φ(x, y, z) e xy + ln(z)x + c(y, z). Φ y (x, y, z) xe xy + c y (y, z)! xe xy yz. Also c y (y, z) yz und somit c(y, z) y z + c(z). Zusätzlich muss Φ z a 3 sein und wir erhalten Also c (z) z 3 und somit c(z) z4 4 + c. Φ z (x, y, z) x z y + c (z)! x z y + z 3. Somit lautet das Potential Φ(x, y, z) e xy + ln(z)x y z + z4 4 + c.

4 Aufgabe. (6 Punkte) Sei F : {(x, y, z) R 3 : x + y z, z } der beschränkte Teil des Paraboloids z x + y mit dem Rand F : {(x, y, ) R 3 : x + y 4}. Gegeben sei ferner das Vektorfeld a : R 3 R 3, a(x, y, z) (3y, zx, z y) T. Berechnen Sie die beiden Seiten des Satzes von Stokes. Hinweis: cos t dt 1 (t + cos t sin t), sin t dt 1 (t cos t sin t). Es gilt also folgende Gleichheit zu zeigen: a dr ( a) ds. F F Parametrisierung der Fläche F durch Polarkoordinaten r cos ϕ F (r, ϕ) : r sin ϕ, ϕ π, r. r / Der Normalvektor, n(r, ϕ) : F r F cos ϕ r sin ϕ r cos ϕ ϕ sin ϕ r cos ϕ r sin ϕ. r r Schaut man sich die Orientierung des Normalvektors an, z.b., an der Stelle ϕ π/ und r 1, so stellt man fest, dass n(1, π/) (, 1, 1) T gilt, also zeigt der Normalvektor in das Innere des Paraboloids. Für weitere Berechnungen nehmen wir also n(r, ϕ) : (r cos ϕ, r sin ϕ, r) T. Zu dieser Orientierung des Normalvektors ist die positive Orientierung auf F durch ϕ [π, ] gegeben. Die Rotation lautet Damit erhalten wir rot a a ( z + x,, z 3 ) T. Rechte Seite: π ( a) ds ( a) n dϕ dr F π (r /) + r cos ϕ r cos ϕ r sin ϕ dϕdr (r /) 3 r π ( ) r 6 4 cos ϕ + r3 cos ϕ + r3 + 3r dϕdr [ ] π 3 ϕ + sin ϕ cos ϕ r + r3 ϕ + 3rϕ dr π [ ] r (r r)dr π 4 + 3r π.

5 Die Parameterdarstellung des Randes F ist cos ϕ sin ϕ r(ϕ) sin ϕ, π ϕ, r (ϕ) cos ϕ. Linke Seite: F a dr π π a(r(ϕ)) r (ϕ)dϕ π 3 sin ϕ sin ϕ cos ϕ cos ϕ dϕ sin ϕ ( 1 sin ϕ 8 cos ϕ ) ( dϕ 4 sin ϕ 8 ) dϕ [ ϕ sin ϕ cos ϕ 4 π ] 8ϕ π. π

6 Aufgabe 3. a ) ( Punkte) Berechnen Sie die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung u + u 8u. (1) Um die homogene Lösung zu finden machen wir den Ansatz u(x) e λx. Für λ ergibt sich dann λ 3 + λ 8λ woraus zunächst λ 1 folgt. Weiters gilt λ,3 1 ± {, 4. Jede Linearkombination dieser Lösungen löst die homogene Differentialgleichung, die allgemeine Lösung lautet daher u(x) A + Be x + Ce 4x. b ) (4 Punkte) Berechnen Sie eine Fundamentallösung U zu (1), die zusätzlich zu den Standardbedingungen, die folgenden Bedingungen erfüllt: lim x + U(x). Damit ist U beschränkt auf R +. U ist beschränkt auf R. D.h., lim x U(x) <. Aus der allgemeinen Lösung von a) ergibt sich der stückweise Ansatz { A1 + B U(x) 1 e x + C 1 e 4x, x >, A + B e x + C e 4x, x <. Folgende Bedingungen ergeben sich an die Koeffizienten (1) U stetig in Null: A 1 + B 1 + C 1 A + B + C, () U stetig in Null: B 1 4C 1 B 4C, (3) U hat bei Null einen Sprung der Höhe 1: 4B C 1 4B + 16C + 1, (4) lim x + U(x) hat zu Folge, dass A 1 B 1 gilt, (5) lim x U(x) < is erfüllt falls C ist. Damit vereinfachen sich die ersten drei Gleichungen zu (1) C 1 A + B, () 4C 1 B, (3) 16C 1 4B + 1. Aus () und (3) ergibt sich B 1 1 und C Aus (1) folgt dann A 1 8 U(x) { 1 4 e 4x, x >, ex, x <.. Damit haben wir

7 c ) (3 Zusatzpunkte) Berechnen sie f als Faltung f(x) : (u v)(x), mit v : R R und u : R R u(x) : v(x) : x, { 1, x 1,, sonst. Hinweis: Verwenden Sie zur Berechnung von f Fallunterscheidungen. Wir berechnen f(x) u(x ξ)v(ξ)dξ R x ξ dξ : x < x ξ < x ξ dξ (x ξ)dξ [ xξ ξ ] 1 ξ 1 x, x 1 x ξ dξ x x ξ dξ + x x ξ dξ x (x ξ)dξ [ xξ ξ ] x ξ [ xξ ξ ] 1 ξx x x + 1, x (x ξ)dξ x > 1 x ξ > x ξ dξ (x ξ)dξ [ xξ ξ ] 1 x 1. ξ Daher gilt 1 x, x <, f(x) x x + 1, x 1, x 1, 1 < x. Bemerkung: f ist stetig als Faltung von u stetig und v unstetig.