Teil III. Fourieranalysis

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1 Teil III Fourieranalysis 3 / 3 Fourierreihen Ziel: Zerlegung einer gegebenen Funktion in Schwingungen Konkret: f : (, L) R gegebene Funktion Gesucht: Darstellung der Form ( f (x) = a + a n cos ( n L x) + b n sin ( n L x) } {{ } Schwingung der Wellenlänge L/n mit Koeffizienten a n, n =,,... und b n, n =,,.... ) 3 / 3

2 Anwendungen: Digitalisierung / digitale Darstellung von Funktionen, insbesondere für Ton- und Bilddaten Digitale Frequenzfilter Datenkompression: Abspeichern der unteren Frequenzen Lösung partieller Differentialgleichungen Fragen: Welche Funktionen kann man als Fourierreihe darstellen? Unter welchen Voraussetzungen an die Koeffizienten konvergiert eine Fourierreihe? 33 / 3 Modellfall f : (, L) R gegeben. Variablentransformation: y = L x, x = L y, f (x) = f ( L x) mit Aus folgt f (x) = a + und umgekehrt. ( f (y) = a + f (y) = f ( L y), f : (, ) R. a n cos ( n L x) + b n sin ( n L x)) ( an cos(ny) + b n sin(ny) ) Fazit: Es genügt, den Fall f : (, ) R zu betrachten. 34 / 3

3 Orthogonalität trigonometrischer Funktionen Satz Für n, m N, n m gilt: Für n, m N gilt cos(nx) cos(mx) dx = cos(nx) sin(mx) dx = sin(nx) sin(mx) dx = Für n N gilt cos (nx) dx = sin (nx) dx = π 35 / 3 Beweis: Einfaches Nachrechnen mit Hilfe der Formeln cos(α)cos(β) = ( ) cos(α + β) + cos(α β) cos(α) sin(β) = ( ) sin(α + β) sin(α β) sin(α) sin(β) = ( ) cos(α β) cos(α + β) Beispiel: = sin(nx) dx = cos (nx) dx = cos(nx) cos(mx) dx cos(nx) dx = sin (nx) dx = π ( cos((n + m)x) cos((n m)x) ) dx = 36 / 3

4 Folgerung Für f (x) = a + und analog N ( an cos(nx) + b n sin(nx) ) und m N gilt f (x) cos(mx) dx = a cos(mx) dx = + N (a n cos(nx) cos(mx) dx ) + b n sin(nx) cos(mx) dx { a für m =, π a m für m f (x) sin(mx) dx = π b m 37 / 3 Man kann zeigen: Dasselbe gilt auch für eine unendliche Reihe ( f (x) = a + an cos(nx) + b n sin(nx) ) = lim N [ a + N ( an cos(nx) + b n sin(nx) )] (wenn die Reihe absolut konvergiert) 38 / 3

5 Definition (Fourierreihe) Die Fourierreihe einer Funktion f : (, ) R ist ( f (x) = a + an cos(nx) + b n sin(nx) ) mit a = b n = π f (x) dx, a n = π f (x) sin(nx) dx f (x) cos(nx) dx, 39 / 3 Beispiel f : (, ) R, f (x) = x. Berechnung der Fourierkoeffizienten: a = a n = π = π b n = π = π x dx = () x cos(nx) dx ( [ x sin(nx) n ] x sin(nx) dx ( [ x cos(nx) n ] + = π sin(nx) n dx cos(nx) n ) dx = ) = πn = n 4 / 3

6 Fourierreihe: f (x) π n sin(nx) 4 / 3 Beispiel f : (, ) R { x für x < π, f (x) = für x π. Berechnung der Fourierkoeffizienten: a = a n = π = π π x dx = π = π 4 x cos(nx) dx ([ x sin(nx) n ] π = π n ( ( ) n ) = π n sin(nx) n { ) dx = π [ cos(nx) n für n ungerade für n gerade ] π 4 / 3

7 b n = x sin(nx) dx π = ([ x cos(nx) π n = ( )n+ n Fourierreihe: f (x) π 4 ] π + cos(nx) n ) dx + [ ] π sin(nx) πn = ( )n+ n cos((n )x) π(n ) ( ) n sin(nx) n 43 / 3 44 / 3

8 Periodische Funktionen Definition Eine Funktion f : R R heißt periodisch mit Periode L f (x + L) = f (x) für alle x R. Eigenschaften: Eine periodische Funktion ist durch ihre Werte auf einem beliebigen Intervall [a, a + L) mit a R eindeutig bestimmt. Für eine periodische Funktion f : R R mit Periode L gilt: L f (x) dx = a+l a f (x) dx für alle a R x x 45 / 3 Eine Fourierreihe f (x) = a + ( an cos(nx) + b n sin(nx) ) ist periodisch mit Periode. Folgerung: Für die Fourierkoeffizienten einer periodischen Funktion gilt: a = a n = π b n = π f (x) dx = a+ f (x) cos(nx) dx = π f (x) sin(nx) dx = π a f (x) dx a+ a a+ a f (x) cos(nx) dx f (x) sin(nx) dx 46 / 3

9 Symmetrien Eine Funktion f : R R heißt gerade f ( x) = f (x) f(x) ungerade f ( x) = f (x) f(x) x Satz x Sei f : R R periodisch mit Periode. Dann gilt für die Fourierreihe f (x) = a + ( an cos(nx) + b n sin(nx) ) von f : f gerade => b n =, a = π f (x) dx, a n = π f ungerade => a n =, b n = π f (x)cos(nx) dx f (x)sin(nx) dx 47 / 3 Folgerung: Die Fourierreihe einer geraden Funktion ist eine reine Kosinusreihe. Die Fourierreihe einer ungeraden Funktion ist eine reine Sinusreihe. Ist f auf [, ) definiert, kann man f periodisch fortsetzen durch Es gilt dann: f (x + k) = f (x) für k Z, x (, ). f gerade f (x) = f ( x) f ungerade f (x) = f ( x). 48 / 3

10 Beweis des Satzes von S. 47: Für g : ( π, π) R gilt: π g(x) dx = π g(x) dx + g(x) dx = g( x) dx + g(x) dx = (g( x) + g(x)) dx g(x) dx falls g gerade, = falls g ungerade. 49 / 3 π g(x) dx falls g gerade, g(x) dx = falls g ungerade. Für f gerade gilt: x f (x) cos(nx) ist gerade, x f (x) sin(nx) ist ungerade => a = f (x) dx = f (x) dx π a n = π b n = π π π π f (x) cos(nx) dx = π f (x) sin(nx) dx = f (x) cos(nx) dx 5 / 3

11 π g(x) dx falls g gerade, g(x) dx = falls g ungerade. Für f ungerade gilt: x f (x) cos(nx) ist ungerade, x f (x) sin(nx) ist gerade => a = f (x) dx = a n = π b n = π π π π f (x) cos(nx) dx = f (x) sin(nx) dx = π f (x) sin(nx) dx 5 / 3 Beispiel Periodische Fortsetzung von f : ( π, π) R, f (x) = x π π Diese Funktion ist ungerade => die Fourierreihe ist eine Sinusreihe. Koeffizienten: b n = π = ( ) n+ n x sin(nx) dx = π [ x cos(nx) n + sin(nx) ] π n Fourierreihe: f (x) ( ) n+ n sin(nx) 5 / 3

12 Komplexe Variante der Fourierreihe Mit der Eulerschen Formel e ix = cos x + i sin x folgt: cos(nx) = ( e inx + e inx), sin(nx) = ( i e inx e inx) Für eine (reelle) Fourierreihe gilt: ( f (x) = a + an cos(nx) + b n sin(nx) ) = a + = a + = n= ( an ( an i b n c n e inx ( e inx + e inx) + b n ( e inx e inx)) i ) e inx e inx + a n + i b n mit c = a, c n = a n i b n, c n = a n + i b n = c n für n N 53 / 3 Einsetzen der Formeln für a n, b n a = f (x) dx, a n = π b n = π f (x) sin(nx) dx f (x) cos(nx) dx, in c = a, c n = a n i b n, c n = a n + i b n liefert: c = f (x) dx = f (x) e ix dx c n = π c n = π f (x) cos(nx) i sin(nx) dx = cos(nx) + i sin(nx) f (x) dx = f (x) e inx dx f (x) e inx dx 54 / 3

13 Satz Die Fourierreihe einer Funktion f : (, ) R hat die komplexe Darstellung f (x) = c n e inx n= mit den komplexen Fourierkoeffizienten c n = f (x) e inx dx Mit den Koeffizienten a n, b n der reellen Fourierreihe gilt: c = a, c n = a n i b n c n = a n + i b n = c n für n N 55 / 3 Beispiel f : (, ) R, f (x) = { für x a Komplexe Fourierkoeffizienten: c = c n = = Komplexe Fourierreihe: für x > a f (x) dx = a mit < a <. a f (x) e inx dx = e inx dx [ ] e inx a = i ( e ina ) in n f (x) = a + n= n i e ina e inx n 56 / 3

14 Komplexe Fourierkoeffizienten: c = a, c n = Reelle Fourierkoeffizienten: a = c = a, a n = Re(c n ) = sin(na) πn b n = Im(c n ) = cos(na) πn Reelle Fourierreihe: f (x) a + ( sin(na) πn cos(nx) + cos(na) πn i ( n e ina ) ) sin(nx) 57 / 3 Fouriereihen für beliebige Periode Gegeben: Periodische Funktion f : R R mit Periode L (oder Funktion f : (, L) R) Reelle Fourierreihe: f (x) a + mit Koeffizienten a = L b n = L L L f (x) dx, ( a n cos ( L nx) + b n sin ( L nx)) a n = L f (x) sin ( L nx) dx L f (x) cos ( L nx) dx 58 / 3

15 Komplexe Fourierreihe: f (x) c n e i(/l)nx mit Koeffizienten c n = L L n= f (x) e i(/l)nx dx 59 / 3 Beispiel f : (, ) R, f (x) = x Reelle Koeffizienten: a = x dx = a n = x cos ( nx) dx ( [ = x sin(nx) ] n b n = x sin(nx) dx ( [ = x cos(nx) n = n = πn ] + sin(nx) n dx cos(nx) n ) dx = ) 6 / 3

16 Reelle Fourierreihe: Komplexe Koeffizienten: c = c n = = i e in n + Komplexe Fourierreihe: f (x) (n) πn sin(nx) f (x) dx = [ x e x e inx inx dx = in [ ] e inx = i n f (x) + n= n ] + i n einx e inx in dx 6 / 3 Konvergenz von Fourierreihen Satz Sei f : R R periodisch mit Periode L, auf [, L] \ M mit endlicher Menge M = {x,..., x m } stetig differenzierbar und für jedes x j M existiere f (x j +) = lim f (x) und f (x j ) = lim f (x). x xj x xj x>x j x<x j Dann konvergiert die Fourierreihe N ( F N (x) = a + a n cos ( L nx) + b n sin ( L nx)) von f punktweise gegen eine Funktion F f, F f (x) = lim N F N(x) und es gilt: F f (x) = f (x) für x [, L] \ M, F f (x) = ( f (x+) + f (x ) ) für x M 6 / 3

17 Die Fourierreihe konvergiert also an isolierten Unstetigkeitsstellen gegen den Mittelwert aus links- und rechtsseitigem Grenzwert. An Unstetigkeitsstellen tritt das Gibbssche Phänomen auf: Die Partialsumme der Fourierreihe N ( a + a n cos ( L nx) + b n sin ( L nx)) überschwingt für große N den Sprung um etwa 8%. 63 / 3 Anwendung: Grenzwerte von Reihen Durch Einsetzen bestimmter Werte in Fourierreihen kann man Grenzwerte von unendlichen Reihen ausrechnen. ( ) n Beispiel: Reihe n + = ± n= Fourierreihe von f : (, ) R, f (x) = x (siehe S. 4): f (x) π n sin(nx) Einsetzen von x = π => sin ( n π => f (π/) = π = π => n= ) = { für n gerade k= ( ) n n + = ( π π ( ) k für n = k + k + ( )k ) = π 4 64 / 3

18 Parsevalsche Gleichung Satz Sei f : (, L) R eine quadratintegrierbare Funktion, d.h. existiert. L f (x) dx Dann konvergiert die Fourierreihe ( a + an cos ( L nx) + b n sin ( L nx)) für fast alle x gegen f (x) und es gilt die Parsevalsche Gleichung L f (x) dx = a L + ( an + b n ) 65 / 3 Formaler Beweis der Parsevalschen Gleichung für L = : [ f (x) ( dx = a + an cos(nx) + b n sin(nx) )] dx = [ a + + n,m= a ( an cos(nx) + b n sin(nx) ) ( an cos(nx) + b n sin(nx) ) (a m cos(mx) + b m sin(mx) )] dx = a + π ( an + b n ) wegen der Orthogonalitätsbeziehungen auf S. 35 => f (x) dx = a + ( an + b n ) 66 / 3

19 Folgerungen Besselsche Ungleichung a + N ( an + b n ) L f (x) dx für N N L Wenn für die Koeffizienten einer Fourierreihe gilt: N ( an + b n ) C mit C unabhängig von N, dann konvergiert die Fourierreihe. Dies ist insbesondere erfüllt, wenn a n, b n c n 67 / 3 Differentiation und Integration von Fourierreihen Vorbemerkungen: Die Ableitung einer periodischen differenzierbaren Funktion ist periodisch: f (x + L) = f (x) für alle x => f (x + L) = f (x) für alle x Das Integral einer periodischen Funktion f : R R mit Periode L ist periodisch L f (x) dx = Begründung: x+l f (y) dy = L f (y) dy + x+l L f (y) dy = x f (y) dy 68 / 3

20 Satz Sei F(x) = a + ( an cos ( L nx) + b n sin ( L nx)) die Fourierreihe einer periodischen Funktion f : R R mit Periode L. Ist f differenzierbar, dann ist ( F (x) = L n a n sin ( L nx) + L n b n cos ( L nx)) die Fourierreihe von f. Ist a =, dann ist ( L n a n sin ( L nx) L n b n cos ( L nx)) die Fourierreihe einer Stammfunktion von f. 69 / 3 Bemerkung. Die Integration einer Fourierreihe liefert genau diejenige Stammfunktion F mit L F(x) dx =. 7 / 3

21 Beispiel Fourierreihe von f : (, ), f (x) = x. Da f gerade ist, folgt: a = a n = x dx = [ x sin(πnx) x cos(πnx) dx = πn { 4/(πn) = ( )n (πn) = b n = + cos(πnx) ] (πn) für n ungerade für n gerade 7 / 3 Ergebnis: Fourierreihe f (x) 4 π cos((n + )πx) (n + ) n= { Ableitung: f für < x <, (x) = für < x < Fourierreihe der Ableitung: f 4 (x) sin((n + )πx) π(n + ) n= 7 / 3

22 Beispiel f : (, ) R, f (x) = x x Ableitung: f (x) = x Fourierreihe von f (siehe vorherige Seite): f 4 (x) π cos((n + )πx) (n + ) n= Fourierreihe von f : Integration der Fourierreihe von f 4 f (x) a π 3 sin((n + )πx) (n + ) 3 n= mit Integrationskonstante a. 73 / 3 f (x) = x x Fourierreihe f (x) a Berechnung von a : n= 4 π 3 sin((n + )πx) (n + ) 3. Möglichkeit: Einsetzen von x = => a =. Möglichkeit: Ergebnis: f (x) a = n= f (x) dx = 4 π 3 sin((n + )πx) (n + ) 3 74 / 3

23 Mehrfache Ableitungen Am Verhalten der Fourierkoeffizienten kann man die Glattheit einer Funktion ablesen: Satz Sei f : R R eine periodische Funktion mit Periode L. Für die Fourierkoeffizienten aus der Fourierreihe ( f (x) a + a n cos ( L nx) + b n sin ( L nx)) gilt a n, b n c mit c unabhängig von n. n k+ für alle n N Dann ist existiert die k te Ableitung f (k) als fast überall definierte quadratintegrierbare Funktion. 75 / 3 Begründung Die Bedingung a n, b n c n k+ garantiert, dass die Koeffizienten für alle n N ã n = a n ( L n) k, bn = b n ( L n) k der k mal differenzierten Fourierreihe die Bedingung ã n, b n c n mit c unabhängig von n erfüllen. für alle n N Nach der Bemerkung auf S. 67 existiert dann die Fourierreihe zu f (k). 76 / 3

24 Beispiele Periodische Fortsetzung von f : (, ) R f (x) = x Fourierreihe (S. 7): f (x) 4 π cos((n + )πx) (n + ) n= Folgerung: f ist mal differenzierbar Periodische Fortsetzung von f : (, ) R f (x) = x Fourierreihe (S. 6): f (x) πn sin(nx) n= Folgerung: f ist nicht differenzierbar. 77 / 3 Die Fouriertransformation Fourierreihen sind nur zur Darstellung von periodischen Funktionen oder Funktionen auf beschränkten Intervallen geeignet. Zu einer nicht periodischen Funktion f : R R kann man die Fourierreihe für die Einschränkung f L : [ L, L] R auf ein Intervall der Länge L bestimmen: f L (x) = c n e i π L nx mit c n = L n= Idee: Grenzübergang L. L L Ersetze π L n durch neue Variable ξ n = π L n f (x) e i π L nx Für L liegt die Menge { π L n n Z} immer dichter in R. => betrachte ξ = ξ n als kontinuierliche Variable. 78 / 3

25 Interpretation von f (x) = n= c n e i π L nx als Riemann Summe eines Integrals: g(ξ) e iξx dξ (ξ n ξ n ) g(ξ n ) e iξ nx n= mit ξ n = π L n, ξ n ξ n = π L und g(ξ n ) = c n ξ n ξ n = L π = L L L L L f (x) e i π L nx dx f (x) e iξ nx dx L f (x) e iξ nx dx 79 / 3 Folgerung: f (x) = g(ξ) e iξx dx mit g(ξ) = Definition (Fourier Transformation) Sei f : R R so dass f über R integrierbar ist, d.h. R f (x) dx <. Dann ist F (f )(ξ) := f (ξ) := f (x) e iξx dx die Fourier Transformierte zu f. Satz Sei f : R R mit f integrierbar. Dann ist die Fouriertransformierte f von f wohldefiniert und es gilt: f (x) = f (ξ) e iξx dξ f (x) e iξx dx 8 / 3

26 Beispiel Fouriertransformierte von f (x) = e x : f (ξ) = Berechnung von f () = e x e iξx dx e x dx: ( ) ) ( ) ( f () = e y dy e z dz = e (y +z ) dy dz = e (y +z) d(y, z) R Transformation auf Polarkoordinaten (y, z) = (r cos ϕ, r sin ϕ): ) ( f () = e (y +z) d(y, z) = e r r dϕ dr R = [ ] e r = 8 / 3 Folgerung: f () = Berechnung von ( f (ξ) ) mit partieller Integration: ( f (ξ) ) = ( ix) e x e iξx dx = [ ] i e x e iξx x= = ξ f (ξ) Insgesamt: f (ξ) löst das Anfangswertproblem f (ξ) = ξ f (ξ), f () = ξ e x e iξx dx => f (ξ) = e ξ /4 8 / 3

27 Fourierintegral Einsetzen der Formel f (ξ) = f (y) e iξy dy für die Fouriertransformierte f von f in die Darstellung f (x) = liefert das sog. Fourierintegral f (x) = f (ξ) e iξx dξ f (y) e iξ(x y) dξ dy 83 / 3 Eigenschaften der Fouriertransformation Satz (i) Seien f, g : R R Funktionen mit Fouriertransformierten f und ĝ und α, β R. Dann existiert auch die Fouriertransformierte ĥ zu und es gilt h(x) = α f (x) + β g(x) ĥ(ξ) = α f (ξ) + β ĝ(ξ) (ii) Sei f eine differenzierbare Funktion mit f (x) x und es existieren die Fouriertransformatierten f von f und f von f. Dann gilt f (ξ) = iξ f (ξ) 84 / 3

28 (Formaler) Beweis: Zu (i): Einfaches Nachrechnen mit der Linearität des Integrals Zu (ii): Mit partieller Integration folgt: f (ξ) = f (x) e iξx dx = [ f (x) e iξx] = iξ x } {{ } = f (x) e iξx dx = iξ f (ξ) f (x) ( iξ) e iξx dx 85 / 3 Beispiel Fouriertransformierte von f (x) = x e x Es gilt: f (x) = F (x) mit F(x) = e x Fouriertransformierte von g(x) = e x (siehe S. 8): ĝ(ξ) = e ξ /4 Ergebnis: => F(ξ) = ĝ(ξ) = e ξ /4 f (ξ) = iξ F(ξ) = iξ e ξ /4 86 / 3

29 Bemerkung Die Formel f (ξ) = iξ f (ξ) für die Fouriertransformation einer Ableitung kann auch mehrfach angewandt werden: Anwendung: f (ξ) = (iξ) f (ξ) = ξ f (ξ) f (n) (ξ) = (iξ) n f (ξ) Transformation von Differentialgleichungen auf algebraische Gleichungen für die Fouriertransformierte. 87 / 3 Anwendung Lösung von Differentialgleichungen auf der gesamten reellen Achse. Beispiel: y (x) + a y (x) + b y(x) = f (x) Anwendung der Fouriertransformation => ŷ (ξ) + a ŷ (ξ) + b ŷ(ξ) = f (ξ) (iξ) ŷ(ξ) + a iξ ŷ(ξ) + b ŷ(ξ) = f (ξ) ( ξ + iaξ + b ) ŷ(ξ) = f (ξ) Ergebnis: ŷ(ξ) = f (ξ) ξ + iaξ + b Rücktransformation: y(x) = f (ξ) ξ + iaξ + b eiξx dξ 88 / 3

30 Die Laplace Transformation Die Fouriertransformation F (f )(ξ) = f (ξ) = f (x) e iξx dξ ist nur anwendbar für Funktionen f : R R mit f (x) dx < + Dies ist für viele Funktionen nicht erfüllt. Satz (Laplace Transformation) R Sei f : [, + ) R und s C so dass x f (x) e Re(s)x über [, + ) integrierbar ist. Dann existiert die Laplace Transformierte L (f )(s) := f (x) e sx dx 89 / 3 Zusammenhang mit der Fouriertransformation Für eine Funktion f : [, + ) R kann man die Fouriertransformation auf die durch Null fortgesetzte Funktion anwenden und erhält f (ξ) = f (x) = {f (x) für x, für x < Es gilt also (wenn man f = f setzt) f (x) e iξx dx = L (f )(iξ) f (ξ) = L (f )(iξ) 9 / 3

31 Bedeutung Die Laplace Transformation ist oft auch auf Funktionen anwendbar, die keine Fouriertransformierte haben. Dabei wird die Integrierbarkeit von x f (x)e sx durch geeignete Wahl von Re s > erzwungen. Konkret gilt: Ist x e γx f (x) über [, + ) integrierbar, dann existiert die Laplace Transformierte L (f )(s) für alle s C mit Re s γ. Folgerung: Ist f : [, ) R über jedes beschränkte Intervall I [, ) integrierbar und gilt f (x) C e γx für alle x >, dann existiert L (f )(s) für jedes s C mit Re s > γ. Begründung: e Re s x f (x) C e (γ Re s)x und x e (γ Re s)x ist integrierbar. 9 / 3 Beispiele f : [, ) R, f (x) = L (f )(s) = = e sa s falls Re s >. f (x) = e cx f (x) e sx dx = L (f )(s) = falls Re s > Re c. { für x < a, für x > a a e sx dx = e (c s)x dx = s c [ s e sx ] x=a 9 / 3

32 Eigenschaften der Laplace Transformation Die Laplace Transformation ist linear: Für α, β R und Laplace transformierbare Funktionen f, g : [, + ) R gilt L (αf + βg)(s) = α L (f )(s) + β L (g)(s) Falls die Laplace Transformierten von f und f existieren, gilt L (f )(s) = s L (f )(s) f () 3 Falls die Laplace Transformierten von f, f,..., f (n) existieren, gilt L ( f (n)) (s) = s n L (f )(s) f (n ) () s f (n ) () s n f () 93 / 3 Beweis Zu : Linearität des Integrals Zu : Partielle Integration L (f )(s) = e sx f (x) dx = [ e sx f (x) ] x= + = f () + s L (f )(s) Zu 3: Induktion über n mit Hilfe von : L ( f (n)) (s) = s L ( f (n )) (s) f (n ) () s e sx f (x) dx = s L ( f (n )) (s) s f (n ) () f (n ) () = = s n L (f )(s) s n f () f (n ) () 94 / 3

33 Anwendungen Laplacetransformierte von f (x) = sinh x: Mit sinh(x) = (ex e x ) folgt L (f )(s) = ( L (x e x )(s) L (x e x )(s) ) = ( s ) = s + s Laplacetransformierte von f (x) = x: f (x) = => L (f )(s) = s L (f )(s) f () = s => L (f )(s) = s 95 / 3 Laplacetransformierte von f (x) = x n : f (n) (x) = n! => L ( f (n)) (s) = n! s = sn L (f )(s) => L (f )(s) = n! s n+ Laplacetransformierte von f (x) = e ax x n : L (f )(s) = e sx e ax x n dx = = L (x x n )(s a) = e (s a)x x n dx n! (s a) n+ 96 / 3

34 Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen Beispiel y (x) + y (x) + y(x) = e x, y() =, y () = Anwendung der Laplace Transformation L (x e x )(s) = s+ L (y )(s) = s L (y)(s) y() L (y )(s) = s L (y)(s) y () s y() => (s + s + )L (y)(s) (s + ) y() y () = => L (y)(s) = Mit L (x e x x n ) = s+ (s + ) + s + s + n! folgt (s + ) n+ = y(x) = e x( x ) (s + ) 3 s + s + 97 / 3 Laplace Rücktransformation Trick: Schreibe Laplacetransformation (formal) als Fouriertransformation: mit f (x) = L (f )(s) = e sx f (x) dx = = F (g)(s ) { f (x) für x > für x < & g(x) = Anwendung der Fourier Rücktransformation: g(x) = e iξx F (g)(ξ) dξ => f (x) = e s x g(x) = es x e is x e s x f (x) dx { e s x f (x) für x > für x < e is x L (f )(s + is ) ds 98 / 3

35 Satz Sei f : [, + ) R stückweise stetig und es existiere die Laplace Transformierte L (f )(s) für s C mit Re s = s. Dann gilt für alle x R (f (x+) + f (x )) = =: s +i s i e sx L (f )(s) ds e (s +is )x L (f )(s + is ) ds 99 / 3 Teil IV Partielle Differentialgleichungen 3 / 3