3.5 Glattheit von Funktionen und asymptotisches Verhalten der Fourierkoeffizienten

Transkript

1 Folgerung 3.33 Es sei f : T C in einem Punkt x T Hölder stetig, d.h. es gibt ein C > und ein < α 1 so, dass f(x) f(x ) C x x α für alle x T. Dann gilt lim N S N f(x ) = f(x ). Folgerung 3.34 Es f : T C eine stückweise stetige differenzierbare Funktion, d.h. es gibt = x < x 1 <... < x N = 2π so, dass f : (x j, x j+1 ) C, j =,...,N 1, stetig differenzierbar ist und stetig differenzierbar auf [x j, x j+1 ] fortsetzbar ist. Dann gilt lim N S Nf(x ) = 1 2 lim h (f(x + h) + f(x h)) für alle x T. Insbesondere gilt lim N S N f(x ) = f(x ) für alle x in denen f stetig ist. Beweis: Es seien = x < x 1 <... < x N = 2π so, dass f : (x j, x j+1 ) C, j =,...,N 1 stetig differenzierbar ist und eine stetig differenzierbare Fortsetzung auf [x j, x j+1 ] hat. Insbesondere gilt dann f(x+h) f(x) Ch für alle h T und x (x j, x j+1 ), j =,...,N 1. Damit folgt lim N S N f(x) = f(x) = 1 2 lim h (f(x + h ) + f(x h )) für alle x (x j, x j+1 ),j =,..., N 1. Es bleibt also nur noch zu zeigen, dass die Aussage auch in allen x j, j =,...,N gilt. Dazu nutzen wir, dass f (xj1,x j ) eine stetige differenzierbare Fortsetzung auf [x j 1, x j ] hat. Daraus folgt f(x j ±) f(x j ± h) Ch für alle h >, wobei f(x j ±) = lim <h f(x j ± h). Daraus folgt π f(x j + h) f(x j h) f(x j+) + f(x j ) 2 2 dh π h C dh < für alle j =,...,N. Somit folgt die Aussage der Folgerung aus Satz Glattheit von Funktionen und asymptotisches Verhalten der Fourierkoeffizienten Zur Erinnerung: Folgerung 3.18 besagt, dass k m ˆf(k) k (3.28) falls f C m (T). Eine Verfeinerung im Fall m = 1 ist der folgende Satz: Satz 3.35 Es sei f L 1 (T) mit ˆf() = 1 2π f(x) dx = sowie 2π F(x) = f(t) dt für alle x T. 27

2 Dann ist F : R C stetig und 2π-periodisch und es gilt Insbesondere gilt ik ˆF(k) = ˆf(k) für alle k Z. (3.29) k ˆF(k) k. Beweis: Aus dem Satz über majorisierte Konvergenz folgt direkt, dass F : R C stetig ist. Außerdem ist F 2π-periodisch, da F(x + 2π) = = + f(t) dt + +x 2π f(t) dt = F(x) f(t) dt Um (3.29) zu zeigen, wählen wir f N C(T) mit f N N f L 1 (T). Da f(t) dt =, folgt auch 2π f N (t) dt = (f N (t) f(t)) dt 2π f N f L 1 (T) N. Deshalb können wir o.b.d.a. annehmen, dass f N (t) dt = für alle N N, da wir sonst f N durch f N 1 2π f 2π N (t) dt ersetzen. (Alternative kann man auch direkt f N = σ N f wählen.) Nun sei F N (x) = f N (t) dt für alle x R, N N. Dann sind F N C 1 (T), N N, und es folgt aus Lemma 3.5, dass ˆf N (k) = F N (k) = ik ˆF N (k) für alle k Z. (3.3) Da F : L 1 (T) l (Z) beschränkt und stetig ist sowie f N N f, folgt F[f N ] = ( ˆf N (k)) N F[f] = ( ˆf(k)) in l (Z), d.h. Außerdem gilt sup ˆf N (k) ˆf(k) N. F N F L 1 (T) F N F L (T) = sup x [,2π] 2π f N f L 1 (T) N. 28 (f N (t) f(t)) dt

3 Somit folgt auch sup ˆF N (k) ˆF(k) F N F L 1 (T) N genauso wie zuvor. Deshalb folgt (3.29) indem man in (3.3) zur Grenze übergeht. Die letzte Aussage folgt aus (3.29) und dem Satz von Riemann-Lebesgue. Mithilfe des vorangehenden Satzes können wir ein Kriterium zeigen, welches impliziert, dass nicht alle Nullfolgen (a k ) Fourierkoeffizienten einer L 1 (T)-Funktion sind und somit { } F : L 1 (T) c (Z) = (a k ) : lim a k = k nicht surjektiv ist. Satz 3.36 Sei f L 1 (T) so, dass ˆf(k) = ˆf( k) für alle k N. Dann gilt n N 1 n ˆf(n) <. Beweis: Nach Voraussetzung ist ˆf() = ˆf( ) =. Somit ist F(x) = f(t) dt eine stetige 2π-periodische Funktion und es gilt nach Satz 3.35 ˆF(k) = 1 ik ˆf(k) für alle k. Da ˆf(k) = ˆf( k) für alle k N, folgt i ˆF(k) = ˆf(k) k Außerdem folgt aus Satz 3.3, dass da if() = lim ik N F() = lim N N < k N = ˆf( k) k für alle k Z. ( 1 k ) ˆf(k) N + 1 k = ˆf(k) = 2 ˆf(k) k k k k N ( ) 1 k ˆf(k) ˆf(k), N N, für alle k N monoton wachsend gegen konvergiert. N+1 k k Beispiel 3.37 Wählt man 1 a k = sign k ln(e + k ) für k Z 29

4 wobei so ist a k = a k für alle k N und 1 falls x > sign x = falls x = 1 falls x < k=1 a k k = 1 k ln(e + k) = + k=1 was z.b. aus dem Verdichtungskriterium folgt: a k < k=1 2 k a 2 k sofern a k, k N, monoton fällt. Somit kann es kein f L 1 (T) mit ˆf(k) = a k für alle k Z geben, da dies Satz 3.36 widersprechen würde. Bemerkung 3.38 Man kann allerdings zeigen, dass es ein f L 1 (T) gibt mit 1 ˆf(k) = für alle k Z, siehe [Kat71, Theorem 4.1, Chapter I]. Dies zeigt, ln(e+k) dass es nicht nur von a k abhängt, ob es ein f L 1 (T) gibt mit ˆf(k) = a k für alle k Z. Außerdem folgt daraus, dass die Hilberttransformation H keine beschränkte Fortsetzung H : L 1 (T) L 1 (T) haben kann. Denn für das vorangehende f L 1 (T) würde dann Ĥf(k) = sign k 1 für alle k Z gelten, wobei Hf ln(e+k) L1 (T) dem vorangehenden Beispiel widerspricht. Zum Abschluss beweisen wir noch eine Verfeinerung von (3.28) bzw. Satz 3.35, bei der eine Ableitung durch den sogenannten Stetigkeitsmodul einer Funktion ersetzt wird. Dazu definieren wir für f L 1 (T) k= ω 1 (t, f) = sup τ h f f L 1 (T), t >, h t wobei wiederum (τ h f)(x) = f(x + h) für alle h, x T. Satz 3.39 Für alle f L 1 (T) gilt ˆf(k) 1 2 ω 1 ( ) π k, f für alle k. Beweis: Für k Z, k, gilt ˆf(k) = 1 2π = 1 2π f(x)e ikx dx = 1 2π f(x π k )e ikx dx = 1 4π 3 f(x)e ik(x+ π k ) dx (f(x) f(x π k ) ) e ikx dx.

5 Daraus folgt für alle k. ˆf(k) π ( f(x) f x π ) 1 ( π ) dx k 2 ω 1 k, f Bemerkungen Ist f L 1 (T) so gilt ω 1 (t, f) t, vgl. 2.Übungsblatt. Somit ist der vorangehende Satz eine Verallgemeinerung des Satzes von Riemann-Lebesgue. 2. Ist f : T C gleichmäßig Hölder-stetig mit Exponent α (, 1], so folgt aus Satz 3.39 ˆf(k) 1 ( π ) 2 ω 1 k, f 1 2 sup f(x + h) f(x) C π α C k α h π k k für alle k. 3.6 Anwendungen auf zwei partielle Differentialgleichungen Mithilfe von Fourierreihen lassen sich oft Differentialgleichungen auf T effizient lösen. (Zumindest sofern die Gleichung linear ist und konstante Koeffizienten hat.) Als Beispiel betrachten wir zunächst die sogenannte Wärmeleitungsgleichung t u(x, t) = x 2 u(x, t) für alle x T, t >, (3.31) u(x, ) = u (x) für alle x T. (3.32) Hierbei ist u: T (, ) eine Funktion, die 2π-periodisch in x ist und in Anwendungen z.b. die Wärme eins Stabes beschreibt. u : T R ist der sogenannte Anfangswert dieser partiellen Differentialgleichung für t = und beschreibt z.b. die Temperaturverteilung im Stab. Zunächst leiten wir formal eine Lösung von (3.31)-(3.32) her und zeigen danach, dass die so erhaltene Lösung unter passenden Annahmen tatsächlich die Differentialgleichung löst. Wir nehmen an, dass sich u bezüglich x in eine konvergente Fourierreihe u(x, t) = û k (t)e ikx entwicheln lässt. Setzten wir diesen Ansatz in (3.31), so erhalten wir zunächst formal û k (t)k 2 e ikx für alle x T, t û k (t)e ikx = da 2 x eixk = k 2 e ixk. Aus dem Eindeutigkeitsatz, Satz 3.15, folgt somit (formal) t û k (t) = k 2 û k (t) für alle k Z, t >. (3.33) 31

6 Nehmen wir nun an, dass sich auch u in eine konvergente Fourierreihe u(x) = û (k)e ikx, x T, entwickeln lässt, erhalten wir außerdem aus u(x, ) = u (x) und dem Eindeutigkeitssatz û k () = û (k) für alle k Z. (3.34) Nun folgt aus (3.33)-(3.34), dass û k (t) = e k2tû (k) für alle k Z. (3.35) Nun zeigen wir, dass die so erhaltene formale Lösung tatsächlich die Gleichung löst. Dazu definieren wir für u L 2 (T) und t S(t)u = e k2tû (k)e ikx. (3.36) Satz 3.41 Es sei S(t), t, wie in (3.36) definiert. Dann ist S(t): L 2 (T) L 2 (T) für alle t ein beschränkter linearer Operator so, dass S(t)u C (T) für alle t >. Außerdem gilt für alle u L 2 (T), dass 1. lim t S(t)u = u in L 2 (T). 2. S(t + s) = S(t)S(s) für alle t, s. 3. u(t, x) := (S(t)u )(x) ist eine glatte Funktion in x T, t >, die (3.31) löst. Beweis: Da m t (k) = e k2t l (Z) für alle t, ist S(t): L 2 (T) L 2 (T) für alle t ein beschränkter linearer Operator wegen Satz Da ( e ik2tû ) (k) s(z) für t > folgt, dass S(t)u C (T) für alle t >, vgl. Übung 4. Die Identität S(t + s) = S(t)S(s) für alle t, s folgt aus e k2 (t+s) = e k2t e k2s. Außerdem gilt F[S(t)u ](k) = e k2tû (k) t û (k) für alle k Z, F[S(t)u ](k) = e k2tû (k) û (k) für alle k Z. Somit folgt aus dem Satz von Plancharel und dem Satz über majorisierte Konvergenz S(t)u u 2 L 2 (T) = (e k2t 1)û (k) 2 t. Da f C(T) ˆf(k) erhält man wiederum mit dem Satz über majorisierte Konvergenz S(t + h)u S(t)u C(T) (e k2h 1) e ik2tû (k) t 32

7 für alle t >, d.h. u(t, x) = (S(t)u )(x) ist stetig in x T, t >. Ähnlich erhält man 1 h (S(t + h)u S(t)u ) xs(t)u 2 C(T) ( ) e k2h 1 + k 2 e k2tû (k) h h, da e k2h 1 h k 2 wegen e s 1 s für alle s und k2 e ik2t û (k) <. D.h. u(t, x) ist für t > differenzierbar und es gilt t u = 2 xu = 2 xs(t)u. Insbesondere gilt (3.31). Um zu sehen, dass u(t, x) in x T, t > glatt ist, nutzen wir für < s, t: t u(s + t, x) = 2 x S(s)S(t )u = S(s) 2 x S(t )u. Definiert man nun v = S(t )u und v(s, x) = 2 t u(t + s, x) = S(s)v, so ist v(s, x) glatt in x T und differenzierbar für alle s > und es gilt s v(s, x) = 2 t u(t + s, x) = t S(s) 2 x S(t ) = 4 x S(t + s)u für alle t, s > nach dem bereits Bewiesenem. Iteriert man dieses Argument so erhält man, dass für alle t > und k N u k-mal bzgl. t differenzierbar ist und k t u(t, x) = 2k x (S(t)u )(x) C (T). Also ist u: T (, ) C glatt und der Satz ist bewiesen. Auf ähnliche Weise lässt sich die sogenannte Schrödinger-Gleichung i t u(t, x) = 2 xu(t, x) für x T, t R, (3.37) u(, x) = u (x) für x T. (3.38) Dann ist die (formale) Lösung u(t, x) = (S(t)u )(x), wobei S(t)u = e ik2tû (k)e ixk für u L 2 (T). Dann ist aber im Allgemeinen nicht S(t)u C (T) für t >. Genauer, da e ik2t = 1 für alle k Z, t R, gilt S(t)u C (T) (e ik2tû (k)) s(t) (û (k)) s(t) u C (T) 33

8 für alle t R. Außerdem zeigt man ähnlich wie zuvor, dass (i t ) k S(t)u = 2k x S(t)u für alle k N und u C (T). Somit erhält man zumindest für alle u C (T) eine glatte Lösung u(t, x) = S(t)u (x) von der Schrödinger Gleichung (3.37)-(3.38). Schließlich folgt aus e ik2t = 1 und dem Satz von Plancharel S(t)u L 2 (T) = u L 2 (T) für alle t >, was eine wesentliche Eigenschaft für die Quantenmechanik ist. 3.7 Mehrdimensionale Fourierreihen Ist f : R n C eine Funktion, die 2π-periodisch in jeder Kompenente ist, d.h. es gilt f(x 1,..., x j 1, x j + 2π, x j+1,...,x n ) = f(x 1,...,x n ) für alle (x 1,...,x n ) R n und j = 1,...,n, so kann man f mit einer Funktion f : R n /2πZ n C identifizieren. Hierbei ist die Gruppe R n /2πZ n isomorph zu T n = T }. {{.. T }. n mal Daraus erhält man leicht, dass jeder stetige Homomorphismus f : T n C \ {} von der Form f(x) = f 1 (x 1 )... f n (x n ) für alle x T n sein muss wobei f j : T C \ {} stetige Homomorphismen sind. Damit folgt aus Lemma 1.1, dass es ein k Z n gibt, so dass f j (x j ) = e ik jx j für alle x T, j = 1,..., n und somit f(x) = e ik 1x1... e iknxn = e ik x für alle x T n. Also sind die sogenannten Charaktere der Gruppe T n gerade die Funktionen e k (x) = e ik x für k Z n. Ist f : T n C, wobei T n = R n /2πZ n, eine integrierbare Funktion, so definiert man die Fourierkoeffizienten von f als ˆf(k) = 1 (2π) n [,2π] n e ik x f(x) dx = (f, e k ) L 2 (T n ), k Z n, wobei x e k (x) = e ik x, k Z n, die sogenannten Charaktere der Gruppe T n sind, und (f, g) L 2 (T n ) = 1 f(x)g(x)dx. (2π) n [,2π] n 34