exp(z) := k=0 sin(z) := k=0 cos(z) := k=0

Transkript

1 Die komplexen Zahlen und komplexe Exponentialfunktion In diesem Vortrag sollen die komplexen Zahlen eingeführt werden, und wichtige Eigenschaften wiederholt und bewiesen werden. Wir definieren die komplexen Zahlen C als Tupel zweier reeller Zahlen mit Addition und der Multiplikation C = {z := a + ib a, b R} (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d) (a + ib) (c + id) = (ac bd) + i(ad + bc). Damit ausgestattet werden die komplexen Zahlen zum Körper. Die komplex konjugierte Zahl von z = a+ib ist gegeben durch z = a ib. Ferner definieren wir noch die Norm/ den Betrag durch z = z z. Mit z = a + ib ergibt sich ebenfalls die Darstellung z = a 2 + b 2. Bezüglich diesen Betrags haben wir a n + ib n =: z n z = a + ib genau dann, wenn a n a und b n b bzgl. der üblichen Konvergenz auf den reellen Zahlen gilt. Damit ergibt sich sofort, dass eine Funktion f : R C stetig ist, genau dann wenn stetige Funktionen g, h : R R existieren mit f = g + ih. Wir definieren die Exponentialfunktion exp und die Winkelfunktionen sin, cos als Funktionen C C, gegeben durch exp(z) := sin(z) := cos(z) := z k k!, ( ) k z 2k+, (2k + )! ( ) k z 2k. (2k)! Alle drei Reihen konvergieren absolut für alle z C, und stellen unendlich oft differenzierbare Funktionen dar. Beweisen Sie die Euler Formel e ix = cos x + i sin x für alle x R. Satz des Cauchy Produkts (Formel motivieren, aber nicht rigoros beweisen) Seien a k, b k zwei absolut konvergente Reihen. Dann gilt ( ) ( ) k a k b k = a l b k l. Beweisen Sie folgende Rechenregeln: l= exp(z) = exp(z) exp(w) exp(z) = exp(w + z). Literatur: H. Amann, J. Escher: Analysis I (Kapitel II.8, II.9), O. Forster: Analysis (Kapitel 8,3,4)

2 Skalarprodukte und (Prä)hilberträume Definition eines Skalarproduktes Beispiele von Skalarprodukten, insbesondere das Standardskalarprodukt z, w C = z w auf den komplexen Zahlen, und dem Standardskalarprodukt auf R n, gegeben durch v w := v, w R n := n v k w k. Geometrische Bedeutung des Skalarprodukts (verallgemeinerter Winkel). Die induzierte Norm definieren und damit die Cauchy Schwarz Ungleichung erläutern/wiederholen (ohne Beweis). Nicht jede Norm wird von einem Skalarprodukt induziert. Dazu kurz die Parallologramm Gleichung beweisen. Definition eines komplexen (Prä)hilbertraums H Beispiele von (endlich dimensionalen) Hilberträumen Definition von Projektionen P Definition des orthogonalen Komplements eines linearen Untervektorraumes W H. Beweisen Sie: Sei ψ H ein festes Element. Sei ferner W = {λ ψ λ C} der lineare Vektorraum aufgespannt durch w. Dann ist P : H W, definiert durch P(f) = f, ψ ψ eine Projektion und es gilt H = W W d. h. jedes f H lässt sich eindeutig darstellen als f = φ + φ 2 mit φ W, φ 2 W. Man kann W nun wieder in einen eindimensionalen Unterraum W 2 W und W 2 spalten und erhält und damit W = W 2 W 2, H = W W 2 W 2. Vermutung Man kann H in eindimensionale, paarweise orthogonale Unterräume aufteilen. (Kein Beweis!) Literatur: G. Fischer: Lineare Algebra (Kapitel 5), K. Königsberger: Analysis (Kapitel 3, 8), H. Amann, J. Escher: Analysis (Kapitel II.3), S. Hildebrandt: Analysis (Kapitel 4.7, 4.8)

3 Periodische Funktionen Das Ziel des Vortrags ist die Einführung periodischer Funktionen und elementare Eigenschaften dieser zu beweisen.. Sei f: R C eine Funktion. Existiert ein ρ >, s.d. f(x + ρ) = f(x) für alle x R so nennen wir f periodisch mit Periode ρ. Definition: Wir definieren die Menge der stetigen bzw. k fach stetig differenzierbaren Funktionen mit Periode ρ als C ρ = {f : R C f ist stetig mit Periode ρ}, C k ρ = {f : R C f ist k fach stetig differenzierbar mit Periode ρ}. Wichtige Beispiele für periodische Funktionen sind sin und cos. Diese sind zudem unendlich oft differenzierbar, d.h. sin, cos C k für alle k. Beweisen Sie: C ρ ist ein Untervektorraum der stetigen Funktionen und C k ρ ist ein Untervektorraum der k fach stetig differenzierbarer Funktionen. Sind f, g C k ρ, so ist das Produkt f g ebenfalls in C k ρ. Ist f C ρ und g: C C eine stetige Funktion, so ist g f in C ρ. Wichtige Beispiele sind g(z) = z, sowie g(z) = z. Ist f C ρ, so ist f beschränkt und f nimmt sowohl Maximum als auch Minimum an. Ist f C ρ, so ist f C ρ, d.h. insbesondere periodisch mit Periode ρ. Sei f C ρ, so gilt für alle Konstanten c R die Gleichheit Für alle f C ρ gilt ˆ ρ f(x)dx = ˆ ρ ˆ ρ+c c f (x)dx =. f(x)dx. Es folgt, dass für f, g Cρ die folgende Formel der partiellen Integration gilt: ˆ ρ f (x)g(x)dx = ˆ ρ f(x)g (x)dx. Sei f periodisch mit Periode ρ und sei λ. Wir definieren g: R C, g(x) = f(λx). Dann ist g stetig und periodisch mit Periode ρ = ρ λ. Mit der Wahl λ = ρ wird g also periodisch. Es reicht also periodische Funktionen zu untersuchen, um Rückschlüsse für allgemeine periodische Funktionen ziehen zu können. Literatur: Bemerkung: Durch die Identifizierung von und des Intervalls [, ] erhalten wir den Einheitskreis S in der komplexen Ebene, und somit kann jede periodische Funktion f : R C als stetige Funktion f : S C gedacht werden. H. Amann, J. Escher: Analysis II (Kapitel V.4)

4 Definition der Fouriertransformation Beweisen Sie: Die Abbildung, : C C C f, g = ˆ p f(x), g(x) C dx = ˆ p f(x) g(x)dx definiert ein Skalarprodukt auf C, wobei, C das Standardskalarprodukt auf C ist. Der Raum C ist also ein Prähilbertraum (aber kein Hilbertraum), welche wir mit der vom Skalarprodukt induzierten Norm ausstatten. Man definiere für alle k Z die Funktionen ψ k : R C, ψ k (x) = exp(i k x). Beweisen Sie: Die Funktionen (ψ k ) sind periodisch und paarweise orthonormal, d.h. ψ k, ψ l = δ kl für alle k, l Z. Man definiere die N-te Partialsumme der Fourierreihe von f C als P N (f) : C C P N (f)(z) = f, ψ k ψ k (z). Die Funktionen P N (f) sind aufgrund der Vektorraumstruktur periodisch und unendlich oft stetig differenzierbar. Die Vorfaktoren f(k) = f, ψ k werden als Fourierkoeffizienten bezeichnet, und die dadurch definierte Funktion F(f) : Z C heißt Fouriertransformierte von f. F(f)(k) = f(k). In späteren Vorträgen wird gezeigt, dass für f C gilt f = lim N P N(f). Also kann die Fourierreihenentwicklung auch als orthogonale Projektion auf die Funktionen (ψ k ) k Z gesehen werden, und damit als Darstellung der Funktion f bzgl. der Orthonormalbasis (ψ k ) k Z. Literatur O. Forster: Analysis (Kapitel 23), K. Königsberger: Analysis (Kapitel 7,6), H. Amann, J. Escher: Analysis II (Kapitel VI.7)

5 Elementare Rechenregeln Im Folgenden seien f, g: R C stetige, periodische Funktionen. Beweisen Sie: Die Fouriertransformation ist linear, d.h. f + g = f + ĝ λf = λ f für alle λ C. Die Funktion f ist reellwertig genau dann, wenn f(x) = f( x) für alle x R gilt. Die Funktion f ist gerade, d.h. f(k) = f( k) für alle k Z genau dann, wenn f gerade ist, d.h. f(x) = f( x) für alle x R. Die Funktion f ist ungerade (d.h. f(k) = f( k) für alle k Z) genau dann, wenn f ungerade ist (d.h. f(x) = f( x) für alle x R). Sei h : R C eine differenzierbare Funktion, so gilt h ist achsensymmetrisch = h ist punktsymmetrisch, h ist punktsymmetrisch = h ist achsensymmetrisch, h ist periodisch = h ist periodisch. Sämtliche Umkehrungen sind im Allgemeinen falsch! Sei f : R C eine stetig differenzierbare, periodische Funktion. Dann ist F(f )(k) = ikf(f)(k) für alle k Z. Beweis: Für k Z ist F(f )(k) = f (k) = f, ψ k = = ik f (x)e ikx dx f(x)e ikx dx = ik f(k). Sei h gegeben durch h(x) = f(x + x ) für alle x R und eine feste Zahl x R. Dann ist h ebenfalls eine stetige, periodische Funktion und es gilt ĥ(k) = exp( i k x ) f(k) für alle k Z Literatur O. Forster: Analysis (Kapitel 8,8,23), K. Königsberger: Analysis (Kapitel 6,6)

6 Wohldefiniertheit und Konvergenz Formulieren und beweisen Sie: Die Bessel Ungleichung und die erläutern Sie diese anschaulich. [Satz 7. in Analysis II von H. Amann, J. Escher.] Formulieren und beweisen Sie: Das Lemma von Riemann Lebesgue: Ist f C, so gilt für alle k Z mit k die Gleichheit f(k) = k f (k). (.) Also folgt mit der Schranke f (k) f (x) dx, dass f(k), falls k oder k. Beweisen Sie: Aus (.) folgt: P N (f) = f(k)ψ k konvergiert absolut und gleichmäßig für N. Dazu bemerke man zuerst, dass mit der Dreiecksungleichung gilt P N (f) = f(k)ψ k f(k) ψ k. Nun gilt allgemein reelle Vektoren (a k ) N, (b k) N, dass a k b k = a N a N. a (N ) a N b N b N. b (N ) b N, wobei der Punkt das Standardskalarprodukt auf R 2N+ darstellt. Nach der, im zweiten Vortrag vorgestellten, Cauchy Schwarz Ungleichung gilt somit ( N ) ( 2 N ) 2 a k b k a 2 k b 2 k Folglich,k k f (k) k 2,k 2,k Die Behauptung folgt nun mit der Bessel Ungleichung. f (k) Literatur O. Forster: Analysis (Kapitel 23), K. Königsberger: Analysis (Kapitel 6), H. Amann, J. Escher: Analysis II (Kapitel VI.7) 2 2

7 Punktweise Konvergenz Für f C 2 wird gezeigt, dass P Nf f für N punktweise konvergiert, und nach dem vorigen Resultat, sogar gleichmäßig. Beweis: Bemerke, dass P N f(x) = f(t) Mit dem Umschrieb e ikx ikt dt; f(x) = e iks = + f(x) (e iks + e iks) e ikx ikt dt. und Anwenden der geometrischen Summenformel für s [, π] und s gilt e iks = + (e iks + e iks) (.2) = + ei(n+)s e is + e i(n+)s e is. Erweitern den letzten Terms mit e is liefert weiter e i(n+)s e is = e ins e is e is. Alles auf einen Bruch zusammengefasst, lässt sich (.2) schreiben als e iks = ( e is e i(n+)s + e ins) = 2ie is/2 e is/2 e is/2 ( ) e i(n+ 2 )s + e i(n+ 2 )s 2ie is/2 Das Einsetzen von sin(x) = eix e ix 2i liefert nun für alle s [, π] die Gleichheit sin((n+ )s) e iks 2 falls s, = sin( 2) s N + falls s =. Nach der Substitution s = t x ist somit Aus sin x x P N f(x) f(x) = = [f(x + s) f(x)] e iks ds [f(x + s) f(x)] 2 sin( s 2 ) sin((n + 2 )s) ds. π x folgt, dass s f(x+s) f(x) 2 sin(s/2) eine stetig differenzierbare Funktion ist. Mit sin((n + 2 )s) = Im(ei(N+ 2 )s ) folgt das Resultat mit dem Riemann Lebesgue Lemma. Literatur K. Königsberger: Analysis (Kapitel 6.3)

8 Fourier und Faltung Das Ziel des Vortrags ist es die Faltung für periodische Funktionen zu definieren und motivieren, und ferner wichtige Beziehungen zwischen der Faltung und der eingeführten Fourierentwicklung darzulegen. Im folgenden seien f, g : R C stetige, periodische Funktionen Definition: Die Faltung von f und g ist gegeben durch Beweisen Sie: f g : R C, (f g)(x) = Es gilt f g = g f. f(x y)g(y)dy. Beweis: Substituiere wir im Integral z = x y y = x z so erhalten wir (f g)(x) = f(x y)g(y)dy = ˆ x+π x f(z)g(x z)dz = (g f)(x). Die Faltung f g ist eine stetige, periodische Funktion. Beweis: Zur Periode: Sei x R beliebig. Dann ist (f g)(x+) = f(x+ y)g(y)dy = Zur Stetigkeit. Sei x, z R. Dann ist (f g)(x) (f g)(z) = sup a,b R, a b = x z f(x y)g(y)dy = (f g)(x). [f(x y) f(z y)]g(y)dy f(a) f(b) sup g(c). Sind zudem f, g stetig differenzierbare Funktionen, so gilt f g(k) = l= f(l)ĝ(k l) für alle k Z. c R Beweis: Es gilt nach Definition für festes k Z die Gleichheit Nun ist f(x) = f g(k) = n= Eingesetzt ergibt dies f g(k) = ˆ ( π f(x)g(x)e ikx dx. f(n)e inx und g(x) = n= f(n)e inx )( m= m= ĝ(m)e imx. ĝ(m)e imx )e ikx dx. Mit der Cauchy Produktformel und der Orthogonalität der Basisfunktionen ψ k folgt die Aussage.

9 Explizite Beispiele der Fouriertransformation Es sollen erste Beispiele zu Fourierreihen gerechnet werden. Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten der Funktionen und f : R R, { x, falls π x < π f(x) = periodisch fortgesetzt. g : R R, { x 2, g(x) = falls π x < π periodisch fortgesetzt. Bemerkung: Obwohl die Funktionen nicht auf R stetig differenzierbar sind, so konvergiert die Fourierreihe dennoch gegen die Funktion. Es gilt { k =, f(k) = i cos(kπ) k k. { k =, = i ( ) k k k. Bemerkung: Obwohl f reell war, ist es die Fouriertransformation f nicht. Diese ist sogar rein imaginär! Mit g = 2f folgt { kĝ(k) = iĝ (k) = 2i f(k) k =, = 8π ( ) k+ k k, also mit der direkten Rechnung ĝ() = g(x)dx = x 2 dx = 2 3 π3, dass { 2 3 ĝ(k) = π3 k =, ( ) k+ k. k 2 Beweisen Sie: Sei f C. Seien ferner die Folgen (c k) k N, (s k ) k N definiert über c k (f) = f(k) + f( k) ( ) und s k (f) = i f(k) f( k). Dann gilt f(x) = c (f) 2 + ( ) c k (f) cos(kx) + s k (f) sin(kx) Literatur O. Forster: Analysis (Kapitel 8,23), K. Königsberger: Analysis (Kapitel 6,6)

10 Die Dirichletreihe k 2 Beweisen Sie: Sei f C. Die Fourierreihe konvergiert in der Norm gegen f, also f P N (f) 2 = f(t) P N (f)(t) 2 dt für N. Dies folgt sofort aus der gleichmäßigen Konvergenz P N (f) f für N und der Abschätzung f(t) P N (f)(t) 2 dt sup f(s) P N (f)(s) 2 dt s [,π] = sup f(s) P N (f)(s) 2 dt s [,π] = sup f(s) P N (f)(s) 2. s [,π] Aus der Konvergenz folgt, dass die Bessel Ungleichung für N zur Gleichheit wird. Dies wird als Satz von Parseval/Plancherel bezeichnet: k= f(k) 2 = f(x) 2 dx. Wir zeigen zuerst per Teleskopsumme, dass N k 2 und mit folgt demnach N k 2 = + k=2 N k 2 + ( k ) k k=2 N k 2 + k=2 k(k ) = k k konvergiert. Es gilt k(k ) = + N = 2 N 2. Das gibt uns auch die obere Schranke von 2. Für den expliziten Grenzwert berechnen wir für f aus dem vorigen Vortrag [f(x) = x auf [, π)] den Wert Ferner ist k= f(k) 2 = f(x) 2 dx = k=,k k 2 = 4π k 2 x 2 dx = 2 3 π3. Nach dem Satz von Parseval sind beide Terme gleich und damit k 2 = π2 6. Literatur: H. Amann, J. Escher: Analysis (Kapitel II.7), K. Königsberger: Analysis (Kapitel 6.7)