Ferienkurs der TU München- - Analysis 2 Fourierreihen und Taylorreihen. Marcus Jung, Jonas J. Funke

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1 Ferienkurs der U München- - Analysis Fourierreihen und aylorreihen Lösung Marcus Jung, Jonas J. Funke 3.8.

2 FOURIERREIHEN Fourierreihen Aufgabe. Sei f : R R stetig und periodisch mit Fourierkoeffizienten f k, wobei f =. F sei eine Stammfunktion zu f. Zeigen Sie, dass fuer die Fourierkoeffizienten F k von F gilt: F k = f k ik k () Loesung. Fuer die Fourierkoeffizienten F k gilt (k ): dx F k = F (x)e ikx [ F (x) e ikx }{{} = ik partiell Int = ik ] F () F () } {{} = = dx f(x)=f + ik = ik f + }{{} ik f k = ik f k dx F (x) e ikx ik dx f(x)e ikx } {{ } =f k () Alternativlsg: Da f stetig und periodisch ist, konvergiert die Fourierreihe gleichmaeßig. Daraus folgt, dass Summen und Integrale vertauscht werden duerfen: F (x) = dx f(x) = dx f k e ikx k = f k dx e ikx (3) k = k = k f k e ikx ik f k ik eikx Durch Koeffizientenvergleich mit F (x) = k F k e ikx erhaelt man die gesuchte Relation.

3 FOURIERREIHEN 3 Aufgabe. Man zeige, dass g n = e int ein vollstaendiges Orthonormalsystem fuer -periodische Funktionen bilden, d.h.: Loesung. g n, g m = Da fuer n m: und fuer n = m: folgt = dt ei(m n)t [ g n, g m = δ nm (4) dt cos((m n)t) + i dt cos((m n)t) = und dt cos((m n)t) = und g n, g m = δ mn = ] (5) dt sin((m n)t) dt sin((m n)t) = (6) { wenn n = m dt sin((m n)t) = (7) wenn n m Aufgabe 3 (Periodische Funktionen). Zeige Punkt 5 der Eigenschaften periodischer Funktionen, d.h. Loesung 3. a+ (k+) f(t)dt = f(τ)dτ + (k+) a dt f(t) = (k+) k f(t)dt = a+ a f(t)dt = a+ a (8) dt f(t), a R (9) a k f(t)dt f(t)dt + (k+) a f(t)dt = Aufgabe 4. Zeige die Äquivalenz komplexer und reeller Schreibweise! Loesung 4. f n (t) = a + n [a k cos(kωt) + b k sin(kωt)] = k= a + n [ a k (e ikωt + e ikωt ) + b k i (e ikωt e ikωt )] = k= a + n [ a k ib k e ikωt + a k+ib k e ikωt ] = n γ k e ikωt k= k= n

4 FOURIERREIHEN 4 Aufgabe 5. a k =, b k = : Ist die Partialsummenfolge f n (t) für irgendein t R konvergent? Loesung 5. f n (t) = + cost + cos(t) cos(nt) = n k= n e ikt = ˆ n + für t = k, k Z ˆ sin[(n+ )t] sin( t ), sonst Die Partialsummenfolge f n (t) ist daher für kein t R konvergent (n ) Aufgabe 6. Beweise: Sei f(t) eine stückweise stetige, periodische Funktion, dann gilt: ˆ f(t) gerade a k = 4 f(t) cos(kωt)dt, b k = Loesung 6. ˆ Mit der Substitution τ = t erhält man: b k = f(t)sin(kωt)dt = f( τ)sin(kωτ)dτ = f(τ)sin(kωτ)dτ = f(τ)sin(kωτ)dτ = b k ˆ a k = f(t) cos(kωt)dt = [ [ 4 f(t)cos(kωt)dt + f( τ)cos(kωτ)dτ + f(t)cos(kωt)dt f(t)cos(kωt)dt] = f(t)cos(kωt)dt] = Aufgabe 7. Gegeben ist die Rechtecksschwingung: R(t) =, t =, t =, t = R(t) =, < t < R(t) =, < t <

5 FOURIERREIHEN 5 Ist die Rechteckschwingung: stetig auf [, ] stueckweise stetig auf [, ] stueckweise stetig differenzierbar auf [, ] differenzierbar auf [, ] Ist die Fourierreihe zu R(t) auf [, ] gleichmaessig konvergent punktweise konvergent im quadratischen Mittel konvergent divergent Berechne die Fourierkoeffizienten! Zeichne die Approximation!

6 FOURIERREIHEN 6 Loesung 7. stetig auf [, ] stueckweise stetig auf [, ] stueckweise stetig differenzierbar auf [, ] differenzierbar auf [, ] (bei,, nicht diffbar) gleichmaessig konvergent (da,,,... nicht stetig, ist aber gleichmaessig konvergent auf [ε, ε] und [ + ε, ε] mit ε ], [) punktweise konvergent (da stueckweise stetig diffbar und periodisch, wobei f() = f() = f() =... = ) im quadratischen Mittel konvergent (da stueckweise stetig) divergent Hier ist R(t) eine ungerade Funktion und damit: a k =, k =,,... b k = sin(kt)dt = ˆ, k gerade ˆ 4 k, k ungerade Man erhält also R(t) = 4 ( sint + sin(3t) 3 + sin(5t) ). Aufgabe 8. Es sei f(t) = t, Ist f(t): < t < eine periodische Funktion. stetig auf [, ] stueckweise stetig auf [, ]

7 FOURIERREIHEN 7 stueckweise stetig differenzierbar auf [, ] stetig differenzierbar auf [, ] Ist die Fourierreihe zu f(t) auf [, ] gleichmaessig konvergent punktweise konvergent im quadratischen Mittel konvergent divergent Berechne die Fourierreihe! Loesung 8. Ist f(t): stetig auf [, ] stueckweise stetig auf [, ] stueckweise stetig differenzierbar auf [, ] stetig differenzierbar auf [, ] Ist die Fourierreihe zu f(t) auf [, ] gleichmaessig konvergent punktweise konvergent im quadratischen Mittel konvergent divergent

8 FOURIERREIHEN 8 Die Funktion f(t) ist gerade b k =, k =,,... a k = t cos(kt)dt = ˆ 3, k = ˆ ( ) k 4 k, k =,,... Somit erhält man als Fourierreihe: f(t) = 4 cost + 4 cos(t)... 3 Aufgabe 9. Berechne die Fourierreihe der Funktion f(x) = sinx! Loesung 9. Die Fourierkoeffizienten sind: c n = sinx e inx dx Wegen e in(x ) = ( ) n e inx folgt c n = für ungerades n. c k = sinx e kix dx = (e ix e ix ) e kix dx = i k 4 sinx = k= e kix k 4 = ( k= coskx) k 4 Aufgabe. Gegeben sei die periodische Funktion f(x) = x, < x < f(x) =, < x < ˆ Bestimme die reellen Fourierkoeffizienten! ˆ Berechne die komplexen Fourierkoeffizienten mithilfe der ransformationsformeln aus dem Skript! ˆ Bestätige das Ergebnis durch direkte Berechnung der komplexen Fourierkoeffizienten. Loesung. ˆ a k = x cos(kx)dx + f(x) cos(kx)dx = cos(kx)dx = +( )k k ˆ b k = f(x) sin(kx)dx = x sin(kx)dx + sin(kx)dx = 9 k k + +( )k k = k

9 AYLORREIHEN 9 ˆ a = + = 3 ˆ Berechnung der komplexen Fourierkoeffizienten mittels Formeln aus dem Skript: c = 3 4 c k = +( )k [( ) i( )] k k c k = [( +( )k k ) + i( k )] ˆ Berechnung der komplexen Fourierkoeffizienten, direkt: c k = f(x) e ikx dx = x e ikx dx + e ikx dx = +( ) k k + i k Aufgabe. Welche Funktion f : R R besitzt die Fourierkoeffizienten c k = k!, k Z Loesung. Mit der geometrischen Reihe erhält man: f(x) = k! eikx = + k! (eix ) k = k Z k= + e eix + e e ix = + e cosx (e isinx + e isinx ) = + e cosx cos(sinx) aylorreihen Aufgabe. Mache eine aylorentwicklung von f(x) = sinx. Wie groß ist der relative Fehler für n=3? Loesung. Mit sinx = cosx, cosx = sinx erhält man die folgende x x aylorentwicklung von f(x) = sinx zum Entwicklungspunkt x = : sinx = x x3 + x ( ) n xn+ + R 3! 5! (n+)! n+(x) R n+ (x) = ( ) n+ cosξ (n+3)! xn+3, ξ = θ x, < θ < Für das Intervall [, ], n = 3 ergibt sich damit folgende Abschätzung für 6 6 den relativen Fehler: R 8(x) R 8(x) sinx 3 x 9! 3 x8 ( 9! 3 6 )8 =, 63 8 Aufgabe 3. Die kinetische Energie eines relativistischen eilchens ist gegeben durch: E rel = mc m c = m c ( ( v ) ) c

10 AYLORREIHEN m ist hier die Ruhemasse und v die Geschwindigkeit des eilchens, c die Lichtgeschwindigkeit. Wir fragen nach dem Zusammenhang mit der nichtrelativistischen kinetischen Energie E = m v. Betrachte dazu die aylorentwicklung der Funktion f(x) = ( + x) zum Entwicklungspunkt x =. Entwickle dies bis zum Restglied R 3. Was sind die Bedeutungen der einzelnen erme? Loesung 3. +x = x x + R 3 (x) R 3 (x) = 5 6 x 3 ( +ξ) 7, ξ = θ x, < θ < E rel = m c [ ( v c ) ( v c )4 + O(( v c )6 )] Der erste Summand ist gerade die nichtrelativistische kinetische Energie, der zweite Summand beschreibt die relativistische Korrektur erster Ordnung. durch aylorentwick- x tanx Aufgabe 4. Bestimme den Grenzwert lim n x 3 lung von tan(x) um! Loesung 4. Zunächst berechnet man die Ableitungen von y = tanx und damit die aylorreihe: y = tanx y() = y = + tan x y () = y = tanx( + tan x) y () = y = ( + 3 tan x)( + tan x) y () = y = x + 3 x3 + o(x 5 ) Für den gesuchten Grenzwert erhält man schließlich: x tanx lim x = x (x x 3 3 x3 +o(x 5 )) = x 3 3 Aufgabe 5. Gegeben sie f : [, ) R mit f(x) = + x + x Ausserdem ist n= a nx n die aylorreihe um x =. (a) Wie lauten die Koeffizienten: () a = a = a = a 3 = a 4 = a 5 = () a = a = a = a 3 = 3 a 4 = 4 a 5 = 5 () a = a = a = a 3 = a 4 = a 5 = (3) a = a = a = a 3 = a 4 = a 5 = (4) (5) (b) Wie gross ist der Konvergenzradius der aylorreihe um?

11 AYLORREIHEN (c) Wie lauten die Koeffizienten n= b nx n einer Stammfunktion von f? Loesung 5. b n = a n (6) b n = na n n N (7) b n = a n n N (8) n b n = (n + )a n n N (9) b n = a n+ n + n N () (a) Wie lauten die Koeffizienten: () a = a = a = a 3 = a 4 = a 5 = () a = a = a = a 3 = 3 a 4 = 4 a 5 = 5 (3) a = a = a = a 3 = a 4 = a 5 = (4) a = a = a = a 3 = a 4 = a 5 = (5) (b) Wie gross ist der Konvergenzradius der aylorreihe um? Aus (a) wissen wir, dass f (x) = (6) 4 ( + x) 3 = ( + x) 3 (7) und weiter f (3) (x) = 3 (8) ( + x) 4 Dies koennen wir zusammenfassen: f (n) (x) = ( )n n! ( + x) n+ f (n) () = ( ) n n! (9) Damit ergeben sich die aylorkoeffizienten: a = a = a n = n! n! ( )n = ( ) n fuer n (3) Es folgt f(x) = x + ( ) n x n (3) Aus folgt R = ; n= lim a n+ = (3) n a n

12 3 ZUSAEZLICHE AUFGABEN (c) Wie lauten die Koeffizienten n= b nx n einer Stammfunktion von f? b n = a n (33) b n = na n n N (34) b n = a n n N (35) n b n = (n + )a n n N (36) b n = a n+ n + n N (37) F (x) = = = n= j= n= a n x n dx = a n x n+ n + a j+ x j j a n n= x n dx wobei im letzten Schritt n = j substituiert wurde. (38) (39) Aufgabe 6. Entwickle die Funktion f(x) = (+x) x 3 bis einschließlich zur 3.Ordnung um x = und gebe eine Schranke für den relativen Fehler an, falls x < und die Funktion durch das aylorpolynom. Grades approximiert wird! Loesung 6. Für die aylorentwicklung erhält man: f(x) = +x+x + x3 Für den relativen Fehler bei Approximation. Ordnung erhält man: R rel = f(x) (x) f(x) =, 65 3 Zusaetzliche Aufgaben Aufgabe 7. Beweise die Rechenregeln Zeitumkehr und Verschiebung! Loesung 7. ˆ g(t) = f( t) ĝ k = f ˆ k ĝ k = f( t)e ikωt dt = f(t)e ikωt dt = f(t)e ikωt dt = f ˆ k

13 3 ZUSAEZLICHE AUFGABEN 3 ˆ g(t) = e int f(t) ĝ k = f ˆ k n ĝ k = f(t)e inωt e ikωt dt = f(t)e i(k n)ωt dt = f ˆ k n ˆ g(t) = f(t + a) ĝ k = f ˆ k n ĝ k = f(t + a)e ikωt dt = e ikωa f(t)e ikωt dt = e ikωa ˆfk +a a f(t)e ikω(t a) dt = Aufgabe 8. Gegeben sei die periodische Funktion f(x) = x cosx ˆ Welche Fourierkoeffizienten sind auf jeden fall? ˆ Berechne die Fourierreihe von f(x) Loesung 8. ˆ f(x) ist eine ungerade Funktion, da cos(x) eine gerade und x eine ungerade Funktion sind. Daher sind die Fourierkoeffizienten a k alle Null! ˆ b k = f(x) sin(kx)dx = k f(x) = k k= k k sin(kx) x cosx sin(kx)dx = Aufgabe 9. Bestimme die reellen Fourierkoeffizienten der periodischen Funktion f(x) = x, < x < f(x) = x, < x < Loesung 9. x ( ) k k ˆ b k = x ˆ a k = f(x) cos(kx)dx = cos(kx)dx + ( x) cos(kx)dx = = ( )k k = 3 ( )k k f(x) sin(kx)dx = sin(kx)dx + ( x) sin(kx)dx = + ( ) k +k ( ) k k 3 +( )+k + ( ) k k k 3 + ( )k k =

14 3 ZUSAEZLICHE AUFGABEN 4 ˆ a = x dx + f(x)dx = ( x)dx = 8 3 Aufgabe. Es sei f : R R periodisch mit f(x) = max(, x) fürx (, ]. Bestimme die Fourierkoeffizienten von ˆ f ˆ g = f( x) ˆ h = f + g Zeichne den Graphen und gebe die ersten Summanden der Cosinus-Sinus Darstellung an. Loesung. ˆ ˆf = 4 ˆf k = f(x) e ikx dx = x e ikx dx = i ( ) k k + ( )k k ˆ g(x) = f( x) = f( x) ĝ k = f( x) e ikx dx = ˆ ĥk = ( ˆ f + g) k = ˆf k + ĝ k = ˆf k + ˆ f k = ( )k k ˆ f(x) = 4 cosx cos(3x) 9 f(x) e i( k)x dx = ˆ f k... + sinx sin(x) + sin(3x) 3... ˆ g(x) = 4 cosx cos(3x) 9... sinx + sin(x) sin(3x) 3 +..

15 3 ZUSAEZLICHE AUFGABEN 5 ˆ h(x) = 4 cosx 4 cos(3x) 9... Aufgabe. Sei f : R R f(x) = x dt e t (4) (a) Geben Sie die aylorentwicklung bis zur (einschliesslich) 5. Ordnung um x = an. (b) Welchen Konvergenzradius hat die aylorreihe? Loesung. (a) Man erhaelt f(x) = x 6 x3 + 4 x5 ±..., entweder durch konsequentes Ableiten oder durch integrieren der Exponentialfunktion e t = t + t. 4 (e x konvergiert gleichmaessig und damit darf man Summe und Integral vertauschen.) (b) R =, da die Exponentialfunktion den Konvergenzradius hat und Integration aendert den Konvergenzradius nicht.