cos(kx) sin(nx)dx =?

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1 3.5 Fourierreihen Vorbemerkungen cos(kx) sin(nx)dx =? cos gerade Funktion x cos(kx) gerade Funktion sin ungerade Funktion x sin(nx) ungerade Funktion x cos(kx) sin(nx) ungerade Funktion Weil [, π] symmetrisch bezüglich 0, gilt also: cos(kx) sin(nx)dx = 0 k, n Z. cos(kx) cos(nx)dx =? Versuch: partielle Integration: allgemeine Formel: f (x) g(x)dx = f(x) g(x) f(x) g (x)dx. Setze f (x) := cos(kx) f(x) = 1 k sin(kx), g(x) = cos(nx) g (x) = n sin(nx). Dabei k 0! [ 1 k sin(kx) cos(nx)]π + cos(kx) cos(nx)dx = 1 1 k sin(kx) n sin(nx)dx =

2 n sin(kx) sin(nx)dx. k Aus Symmetriegründen gilt: Dabei n 0! k n cos(kx) cos(nx)dx = cos(nx) cos(kx)dx = sin(kx) sin(nx)dx. Folglich ist k n = n k {1, 1}. oder sin(kx) sin(nx)dx = 0. Es gilt also: 0 = cos(kx) cos(nx)dx sin(kx) sin(nx)dx = k, n Z mit k ±n. Für k = 0 oder n = 0 gilt diese Gleichung wie man sich anhand einer Skizze überlegt. cos 2 (kx)dx = cos 2 (kx)dx =? sin 2 (kx)dx. 2

3 Das gilt für k 0. Es gilt: cos 2 (kx)dx + (cos 2 (kx) + sin 2 (kx))dx = Folglich gilt für k Z, k 0: Für k = 0 gilt: cos 2 (kx)dx = cos 2 (kx)dx = sin 2 (kx)dx = sin 2 (kx)dx = 1dx = 2π sin 2 (kx)dx = π Eine Skalarprodukt-Sprechweise 1 dx = 2π, 0 dx = 0. Die Abbildung <, >, die für je zwei auf [, π] stetige reelle Funktionen f, g definiert ist durch < f, g >:= f(x) g(x)dx heißt ein Skalarprodukt auf dem Raum der auf [, π] stetigen reellen Funktionen. heißt die Norm von f. f := < f, f > 3

4 Zwei auf [, π] stetige reelle Funktionen f, g heißen zueinander orthogonal, wenn gilt: < f, g >= 0. Wir haben gesehen: Die Funktionen cos kx, sin nx, k N 0, n N bilden ein Orthogonalsystem. Jede dieser Funktionen (außer cos(0 x)) hat die Norm π. Die Funktion cos(0 x) hat die Norm 2π. Die Funktionen 1 2π, 1 π cos kx, (k N) und 1 π sin nx, n N bilden ein Orthonormalsystem von Funktionen Eine Gleichheitsaussage Sinnvoll sei der folgende Ausdruck: f(x) = a 0 2 +a 1 cos x+b 1 sin x+a 2 cos(2x)+b 2 sin(2x)+... = a (a k cos(kx) + b k sin(kx)) ( ). k=1 Dann ist f eine 2π-periodische Funktion, d.h. f(t + 2π) = f(t) t R, und daraus folgt: f(t + k 2π) = f(t) t R. Wir nehmen an, dass wir gliedweise multiplizieren und gliedweise integrieren dürfen. (Dass diese Annahme sinnvoll ist, beweisen wir nicht.) 4

5 Dann erhalten wir: Also: f(x) cos(0x)dx = 2π a 0 2 = a 0 π. f(x) cos(nx)dx = a n π. f(x) sin(nx)dx = b n π. a k = 1 π b k = 1 π (Stimmt das für b k mit k = 0?) f(x) cos(kx)dx k = 0, 1, 2,... f(x) sin(kx)dx k = 0, 1, 2,... a k und b k heißen Fourier-Koeffizienten. Für gerade Funktionen f (f( x) = f(x) x R) gilt offenbar: b k = 0 und a k = 2 π 0 f(x) cos(kx)dx k N 0. Für ungerade Funktionen f (f( x) = f(x) x R) gilt offenbar: a k = 0 und b k = 2 π 0 f(x) sin(kx)dx k N 0. 5

6 3.5.4 Geschichtlicher Ursprung Bei seinen Untersuchungen zur Wärmeleitung verwendete Joseph Fourier im Jahr 1822 Darstellungen von Funktionen f der Gestalt (*). Daher kommt der Name Fourier-Reihe oder Fourierreihe für eine Darstellung von f in der Gestalt (*) Satz von Dirichlet Man kann zeigen: Voraussetzungen: Sei f :] π, π[ R auf ] π, π[ stetig außer höchstens in den endlich vielen Punkten x 1 < x 2 <... < x m. Sei f monoton (wachsend oder fallend) auf jedem der Intervalle ]x k, x k+1 [ (k = 1,..., m 1). Seien k = 1,..., m die einseitigen Grenzwerte f(x k 0) = lim x xk,x<x k f(x) und f(x k +0) = lim x xk,x>x k f(x) definiert. Dann gilt: Die Fourierreihe (*) konvergiert gegen f in allen Punkten, in denen f stetig ist und gegen 1 2 (f(x k 0)+f(x k +0)) an allen Unstetigkeitsstellen x k. Bemerkung: Das Funktionensystem bestehend aus cos kx, (k N 0 ) und sin nx, (n N) ist in diesem Sinn eine Basis des Raums aller Funktionen, die den Voraussetzungen des Satzes genügen. So eine Basis nennt man eine Schauder-Basis. Sie ist keine 6

7 Basis im Sinn der linearen Algebra, keine sogenannte Hamel-Basis ( weil man unendliche viele Summanden braucht ) Komplexe Schreibweise für Fourierreihen mit = k= f(x) = k= c k e ikx c k (cos(kx) + i sin(kx)) c k = 1 2 (a k ib k ) für k > 0 und c 0 = 1 2 a 0. c k = 1 2 (a k + ib k ) für k < Mittlere Abweichung Man kann zeigen: Ist s n (x) = a n (a k cos(kx) + b k sin(kx)) k=1 ein trigonometrisches Polynom oder eine Fourier-Summe so gilt: Der mittlere quadratische Fehler 7

8 1 (f(x) s n (x)) 2 dx 2π wird minimal, wenn man für a k und b k die Fourierkoeffizienten verwendet Konvergenz im Mittel Man kann zeigen: Mit den Bezeichnungen des vorigen Abschnitts gilt: Ist f :] π, π[ R beschränkt und in ] π, π[ stückweise stetig, so gilt: lim (f(x) s n (x)) 2 dx = 0. n Asymptotisches Verhalten der Fourier-Koeffizienten Bei vernünftigem f gilt: Für n gehen a n, b n 0, und zwar um so schneller, je schöner f ist. Genauer: Man kann zeigen: Ist eine 2π-periodische Funktion k-mal stetig differenzierbar, so gilt: lim n a nn k+1 = 0 und lim n b nn k+1 = Anwendungen Darstellung von Funktionen durch Reihen zur Weiterverwendung in der Mathematik. 8

9 Zerlegung physikalischer Schwingungen in Anteile verschiedener Frequenz. Sprachanalyse Wavelets Seit einigen Jahren verwendet man auch für numerische Berechnungen Wavelets ( kleine lokalisierte Wellen ) anstelle von sin und cos für Reihenentwicklungen von Funktionen als Ersatz für Fourierreihen. Werden Wavelets geschickt gewählt, können sie Vorteile vor sin und cos haben. Algorithmen der numerischen Mathematik werden schneller als beim klassischen Vorgehen. Ein Wavelet ist eine Funktion ψ : R R, so dass gilt: Die Funktionen x 2 n 2 ψ(2 n x k) bilden für k, n Z eine (Schauder-)Basis eines geeigneten Funktionenraumes. 9