Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2016/17. FB Mathematik

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1 Höhere Mathematik 3 Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr FB Mathematik Wintersemester 016/17

2 7. Fourier-Methoden

3 7.1. Periodische Funktionen In der Physik und in der Technik spielen periodische Funktionen eine groÿe Rolle, etwa bei der Beschreibung von Schwingungsvorgängen. Die bekanntesten Beispiele für periodische Funktionen bilden die Sinus- und die Cosinusfunktion. Auf den französischen Ingenieur J. B. Fourier geht die Idee zurück, beliebige periodische Funktionen durch unendliche Summen, die aus Sinus- und Cosinustermen bestehen, darzustellen. Er stellte dies 1807 auf einem Vortrag über Wärmeausbreitung und periodische Temperaturverteilung vor. Bereits früher war postuliert worden, dass der Klang eines Musikinstrumentes durch eine Grundschwingung der Form und Oberschwingungen der Form bestimmt sein sollte. a 1 cos(!t) + b 1 sin(!t) a n cos(n!t) + b n sin(n!t)

4 Denition. Eine Funktion f : R R heiÿt periodisch, wenn ein T > 0 existiert mit f (x + T ) = f (x ) für alle x R. Die Zahl T heiÿt die Periode von f. Man sagt auch f ist T -periodisch.

5 7.1.. Beispiele. 1 Für n N haben cos(nx ) und sin(nx ) die Periode n. Hat f die Periode T, dann hat es auch die Periode k T für k N. Insbesondere sind cos(nx ) und sin(nx ) auch -periodisch. Periodenlängen sind also nicht eindeutig. 3 Hat f die Periode T, dann hat e f : R R mit ef (x ) = f x T die Periode. Es gilt nämlich ef (x +) = f (x + ) T = f x T + T = f x T = e f (x ): Für die Theorie genügt es daher, sich auf die Untersuchung von Funktionen der Periodenlänge zu beschränken.

6 Satz. 1 Mit den T -periodischen Funktionen f und g und c R sind f + g; cf ; f g, und f falls g 6= 0 ebenfalls T -periodisch. g Insbesondere bilden die Funktionen mit fester Periode T einen Untervektorraum des Raumes aller Funktionen von R nach R. Falls eine T -periodische Funktion integrierbar ist, dann gilt für c R. T 0 f (x ) d x = c+t c f (x ) d x

7 7.. Skalarprodukte in Funktionenräumen Erinnerung. Ein Skalarprodukt, vgl. L.6., auf einem reellen Vektorraum V ist eine Abbildung h i : V V R, so dass für alle f ; g; h V und alle c R gilt: 1 hf gi = hg f i hf f i 0 und hf f i = 0 f = 0 3 hf g + hi = hf gi + hf hi 4 c hf gi = hc f gi = hf c gi Mit Hilfe des Skalarproduktes setzen wir kf k := p hf f i und nennen dies die Norm von f. Zwei Elemente f ; g V heiÿen orthogonal (oder senkrecht) wenn gilt hf gi = 0:

8 7... Satz. Auf dem Vektorraum aller stetigen Funktionen einer festen Periode T > 0 wird durch hf gi = T 0 f (x )g(x ) d x = T T f (x )g(x ) d x ein Skalarprodukt deniert. Alle Eigenschaften eines Skalarproduktes ergeben sich unmittelbar aus den Rechenregeln für Integrale. Nur um zu zeigen, dass aus hf f i = 0 folgt, dass auch f = 0 gilt, muss man die Stetigkeit von f ausnutzen. (Beweis als Übung.)

9 7..3. Bemerkung. Skalarprodukte wie das jetzt eingeführte benutzt man, um Abstände zwischen Funktionen zu denieren das ist wichtig, wenn man Funktionen durch (trigonometrische) Polynome approximieren (annähern) will. Der Abstand zwischen f und g wird deniert als kf gk:

10 7..4. Orthogonalitätsrelationen. Für alle n; k N 0 gilt: 1 cos(n x ) cos(k x ) d x = 3 cos(n x ) sin(k x ) d x = 0. falls n = k = 0, falls n = k 6= 0, 0 sonst. { falls n = k 6= 0, sin(n x ) sin(k x ) d x = 0 sonst. Mit anderen Worten: Die (nicht abbrechende) Folge von Funktionen 1; cos(x ); sin(x ); cos( x ); sin( x ); : : : ; cos(j x ); sin(j x ); : : : bildet ein Orthogonalsystem im Raum der stetigen -periodischen Funktionen, vgl. L.9.8.

11 Beweis. Falls k = 0 oder n = 0 gilt, ist das klar. Wir können also annehmen k ; n 6= 0. Mit partieller Integration ndet man cos(n x ) cos(k x ) d x 1 = n sin(n x ) cos(k x ) k = sin(n x ) sin(k x ) d x n = k n cos(n x ) sin(k x ) + k = cos(n x ) cos(k x ) d x : n Also gilt 1 k! cos(n x ) cos(k x ) d x = 0; n 1 sin(n x ) (k sin(k x )) d x n k cos(n x ) cos(k x ) d x n und im Fall k 6= n folgt jetzt das gewünschte Ergebnis.

12 Für k = n gilt und damit (cos(n x )) d x = (sin(n x )) d x = (cos(n x )) d x = Die übrigen Fälle werden analog behandelt. (1 (cos(n x )) ) d x ; d x = :

13 Mit Hilfe dieses Orthogonalsystems kann man herausnden, wie sich eine gegebene -periodische Funktion in die Grundfrequenz und deren Vielfache zerlegt: Satz. Für ein trigonometrisches Polynom f (x ) = a N 0 + N a j cos(j x ) + b j sin(j x ) mit a j ; b j R gilt a k = 1 hcos(k x ) f i und b k = 1 hsin(k x ) f i : Mit anderen Worten: Man erhält den Koezienten, mit dem die Funktion cos(k x ) (bzw. sin(k x )) in die Linearkombination f eingeht, (bis auf einen Faktor) als Skalarprodukt von cos(k x ) (bzw. sin(k x )) mit der Funktion f.

14 Beweis. Wir berechnen hcos(k x ) f i ; k 6= 0, für hsin(k x ) f i geht das analog: * N + hcos(k x ) f i = cos(k x ) a 0 + N a j cos(j x ) + b j sin(j x ) = a N 0 hcos(k x ) 1i + a j hcos(k x ) cos(j x )i + N b j hcos(k x ) sin(j x )i = a k ; wie man mit Hilfe der Orthogonalitätsrelationen 7..4 erkennt.

15 7..6. Beispiel. In L.8.6 wurde das folgende Beispiel betrachtet x f (x ) = sin(x ) + sin( x ) Nach 7..5 gilt dann und für j 3; k N 0. 1 hsin(x ) f i = 1 hsin( x ) f i = 1 hsin(j x ) f i = hcos(k x ) f i = 0

16 7.3. Fourier-Reihen Denition. Es sei f : R R eine integrierbare -periodische Funktion. Dann heiÿen a j = 1 f (x ) cos(j x ) d x für j N 0 und b j = 1 f (x ) sin(j x ) d x für j N die Fourier-Koezienten von f. Die trigonometrische Reihe a 0 + a j cos(j x ) + b j sin(j x ) heiÿt die Fourier-Reihe von f.

17 7.3.. Bemerkungen. 1 Aus der Integrierbarkeit von f folgt, dass alle Fourier-Koezienten existieren. Die Fourier-Reihe von f ist zunächst nur ein formaler Ausdruck, da nichts über ihre Konvergenz gesagt wird. 3 Die Denition der Fourier-Koezienten und der Fourier-Reihe ist durch die Verhältnisse bei trigonometrischen Polynomen, vgl. 7..5, motiviert.

18 Beispiel (Sägezahnfunktion). Es sei f : R R die -periodische Funktion, die für < x durch f (x ) = x gegeben ist: Es gilt also f (x ) = f (x k ) = x k für (k 1) < x (k +1); k Z Für die Fourier-Koezienten ergibt sich: a 0 = 1 = 1 [x ] 1 cos(0 x ) ( x ) d x = 1 0 x d x d x 1 x d x x d x = =

19 a n = 1 = 1 = 0 1 = 0 cos(n x ) ( x ) d x cos(n x ) d x 1 0 cos(n x ) x d x + 1 cos(n x ) x d x = n [sin(n x ) x ] 0 + n cos(n x ) x d x 0 cos(n x ) x d x [da cos(n x ) x ungerade] 0 sin(n x ) d x = 0 n [cos(n x )] 0 = n ((1)n 1) 4 falls n ungerade, = n 0 falls n 6= 0 gerade.

20 b n = 1 = = 0 1 sin(n x ) ( x ) d x sin(n x ) d x 1 0 sin(n x ) x d x + 1 sin(n x ) x d x 0 sin(n x ) x d x = 0 [da sin(n x ) x gerade] Für die Fourier-Reihe der Sägezahnfunktion erhalten wir also: + m=0 4 cos((m (m + 1) + 1)x )

21 Die N -ten Fourier-Polynome f N (x ) := a N 0 + für groÿes N immer besser an f an. Schon f 3 liefert mit f 3 (x ) = + 4 cos(x ) cos(3 x ) eine ganz gute Näherung für f : a j cos(j x ) nähern sich

22 Noch besser ist f 5 (x ) = + 4 cos(x ) cos(3 x ) cos(5 x ) und f 15 ist kaum mehr von f zu unterscheiden:

23 Satz. Es sei f : R R eine -periodische Funktion mit folgenden Eigenschaften: 1 f ist bis auf endlich viele Ausnahmestellen in [; ] stetig dierenzierbar. An jeder Ausnahmestelle x 0 existieren die einseitigen Grenzwerte lim x x0+0 f (x ); lim x x00 f (x ); lim x x0+0 f 0 (x ) und lim x x00 f 0 (x ). Dann gilt: 1 Die Fourier-Reihe von f konvergiert an jeder Stelle x, an der f stetig ist, gegen f (x ). An einer Unstetigkeitsstelle x 0 von f konvergiert die Fourier-Reihe von f gegen das arithmetische Mittel 1 lim f (x ) + lim f (x ) : x x 0+0 x x 00

24 7.4. Eigenschaften von Fourier-Reihen Es sei f : R R eine -periodische Funktion. Wir schreiben f (x ) a 0 + a j cos(j x ) + b j sin(j x ) für die Fourier-Reihe von f, unabhängig davon, ob die Fourier-Reihe konvergiert oder nicht. Gelegentlich schreiben wir auch F f (x ) = a 0 + a j cos(j x ) + b j sin(j x ) für die Fourier-Reihe von f.

25 Satz. Die Funktionen f und g seien -periodisch, und es seien ; R. Aus f (x ) a 0 + a j cos(j x ) + b j sin(j x ) und folgt g(x ) c 0 + c j cos(j x ) + d j sin(j x ) (f +g)(x ) a 0 + c 0 + (a j +c j ) cos(j x )+ (b j +d j ) sin(j x ): Mit anderen Worten: Die Fourier-Reihe der Linearkombination zweier Funktionen ist die Linearkombination der Fourier-Reihen.

26 7.4.. Satz. Für jede -periodische Funktion f gilt: 1 Die Fourier-Reihe von f ist genau dann eine reine Cosinus-Reihe, wenn f gerade ist, d.h. es gilt f (x ) = f (x ) für alle x R. In diesem Fall gilt a j = 0 f (x ) cos(jx ) d x : Die Fourier-Reihe von f ist genau dann eine reine Sinus-Reihe, wenn f ungerade ist, d.h. es gilt f (x ) = f (x ) für alle x R. In diesem Fall gilt b j = 0 f (x ) sin(jx ) d x :

27 Jede Funktion lässt sich eindeutig als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion darstellen, indem man schreibt f (x ) = 1 (f (x ) + f (x )) + 1 (f (x ) f (x )): Für die Fourier-Reihe von f ergibt sich: Satz. Es sei dann gilt und f (x ) a 0 + a j cos(j x ) + b j sin(j x ); 1 (f (x ) + f (x )) a 0 + a j cos(j x ) 1 (f (x ) f (x )) b j sin(j x ):

28 Beispiel. Wir betrachten die Rechteck-Funktion, die gegeben ist durch f (x ) = 4 für < x < 0 0 für x {; 0; } 4 für 0 < x < und -periodische Fortsetzung, also f (x ) = f (x k ) falls (k 1) < x (k + 1). Die Fourier-Reihe der ungeraden Funktion f ist eine reine Sinusreihe, und für die Fourier-Koezienten gilt: b n = f (x ) sin(nx ) d x = sin(nx ) d x = 1 = 1 n [cos(nx )] 0 = 1 n ((1)n 1) { 1 falls n ungerade = n 0 falls n gerade 0 sin(nx ) d x

29 Das erste Fourier-Polynom ist f 1 (x ) = sin x und das dritte ist f 3 (x ) = sin x sin(3x )

30 Weiterhin erhalten wir f 5 (x ) = sin x sin(3x ) sin(5x ) sowie f 7 (x ) = sin x sin(3x ) sin(5x ) sin(7x )

31 Bemerkung. Gelegentlich kann man Fourier-Reihen benutzen, um Grenzwerte von Zahlenreihen zu berechnen. So gilt etwa nach für 0 < x < n=0 sin((n + 1)x ) n + 1 = 4 : Speziell für x = ergibt sich = 4 : Für x = 3 erhalten wir analog p = 4 :

32 Nach gilt für x bzw. + n=0 n=0 Speziell für x = 0 ergibt sich Es gilt und damit n=1 1 n = cos((n + 1)x ) (n + 1) = x cos((n + 1)x ) (n + 1) = 8 x 4 n=1 n=0 1 (n) + 1 n = 8 n=1 1 (n + 1) = n=0 8 : 1 (n + 1) = 1 4 bzw. n=1 : 1 n + 8 n=1 1 n = 6 :

33 Satz (Gibbs-Phänomen). Die -periodische Funktion f sei stückweise stetig dierenzierbar. Wir setzen = 0 sin t t d t 1; 18 Die Funktion f sei unstetig an der Stelle x 0, und es sei M N bzw. m N die Maximal- bzw. Minimalstelle des N -ten Fourier-Polynoms f N von f, die x 0 am nächsten liegt. Dann gilt lim N (M N ) f N (m N )) = N lim : x x 0+0 x x 00 Mit anderen Worten: Die N -ten Fourier-Polynome von f überspringen für groÿes N den Sprung von f an einer Unstetigkeitsstelle um 18%.

34 Satz. Die -periodische Funktion f sei stetig und stückweise stetig dierenzierbar, und es gelte Dann gilt f (x ) a 0 + a j cos(j x ) + b j sin(j x ): f 0 (x ) ja j sin(j x ) + jb j cos(j x ): Anders gesagt: Die Fourier-Reihen von stetigen Funktionen können gliedweise dierenziert werden.

35 Beispiel. Nach gilt für die Sägezahnfunktion f : R R mit f (x ) = x k für (k 1) < x (k + 1); k Z f (x ) + n=0 4 cos((n + 1)x ) (n + 1) : Diese Funktion ist stetig und stückweise stetig dierenzierbar, und für ihre Ableitung gilt: f 0 (x ) = { 1 für k < x < (k + 1); k Z 1 für (k 1) < x < k ; k Z In den Punkten k ; k Z ist f nicht dierenzierbar, aber die linksund rechtsseitigen Grenzwerte von f 0 existieren. Also gilt f 0 (x ) n=0 4(n + 1) sin((n + 1)x ) (n + 1) = 4 sin((n + 1)x ) : (n + 1) n=0

36 Das passt zu 7.4.4, wie man durch Multiplikation mit 4 sieht. Die Funktion f 0 ist unstetig, daher ist nicht anwendbar. Die Ableitung der Rechteckfunktion f 0 ist an allen Stellen, an denen sie existiert, gleich Null, und an allen Ausnahmestellen stimmen die linksund rechtsseitigen Grenzwerte der Ableitung überein. Also sollte die Fourier-Reihe von f 00 die Nullreihe sein. Gliedweises Ableiten der Fourier-Reihe von f 0 liefert jedoch! 0 4 sin((n + 1)x ) = 4 (n + 1) n=0 cos((n + 1)x ); n=0 und diese Reihe konvergiert nur für x = (k+1) ; k Z. Das folgt daraus, dass die Folge (cos((n + 1)x )) nn nur für diese x eine Nullfolge ist, und damit für alle anderen x R das notwendige Konvergenzkriterium aus A nicht erfüllt ist.

37 Satz. Die -periodische Funktion f sei stetig und stückweise stetig dierenzierbar, und es gelte f (x ) d.h. a 0 = 0. Dann ist a j cos(j x ) + b j sin(j x ); F (x ) a j j sin(j x ) + b j j cos(j x ) die Fourier-Reihe einer Stammfunktion von f.

38 Bemerkung. Im allgemeinen sind die Stammfunktionen einer periodischen Funktion nicht wieder periodisch. Das sieht man schon am Beispiel einer konstanten Funktion, die nicht die Nullfunktion ist. Die Bedingung a 0 = 0 besagt, dass das bestimmte Integral von f über eine volle Periode gleich Null ist. Aus dieser Bedingung folgt, dass f eine periodische Stammfunktion besitzt.

39 Beispiel. Wir betrachten wieder die Sägezahnfunktion aus mit f (x ) + n=0 4 cos((n + 1)x ) (n + 1) : Wegen a 0 = 6= 0 hat f keine periodische Stammfunktion. Wir betrachten stattdessen g = f mit g(x ) = x k für (k 1) < x (k + 1); k Z mit Fourier-Reihe Es ist dann g(x ) G(x ) n=0 n=0 4 cos((n + 1)x ) (n + 1) : 4 sin((n + 1)x ) (n + 1) 3 die Fourier-Reihe einer Stammfunktion von g.

40 Die Funktion G ist ungerade, insbesondere gilt G(0) = 0. Für 0 < x < gilt G(x ) = x x + c. Als Stammfunktion einer stetigen Funktion ist G stetig, also gilt lim x 0 G(x ) = c = G(0) = 0, und (x k ) (x k ) für k < x (k + 1); k Z G(x ) = Wenn wir x = (x k ) + (x k ) einsetzen, ergibt sich 4 (1) n (n + 1) 3 = 8 n=0 für (k 1) < x k ; k Z: bzw. (1) n (n + 1) 3 = 3 3 : n=0

41 7.5. Konvergenz von Fourier-Reihen Bezeichnung. Für N N bezeichne V N = { cos x + + N cos(n x ) + 1 sin x + + N sin(n x ) 0 ; : : : ; n ; 1 ; : : : ; N R} den Vektorraum aller trigonometrischen Polynome der Ordnung höchstens N. Gemäÿ 7..4 bilden die Funktionen 1; cos x ; : : : ; cos(n x ); sin x ; : : : ; sin(n x ) eine Orthogonalbasis von V N, insbesondere hat V N N + 1. die Dimension

42 7.5.. Denition. Eine -periodische Funktion f : R R heiÿt quadratintegrabel wenn gilt kf k = hf f i = f (x ) d x < ; anders gesagt: Die Norm von f im Sinne von 7..1 ist eine (endliche) reelle Zahl. Jede stückweise stetig dierenzierbare Funktion ist quadratintegrabel.

43 Satz. Es sei f : R R eine quadratintegrable -periodische Funktion. Dann ist das N -te Fourier-Polynom f N (x ) = a N 0 + a j cos(j x ) + N b j sin(j x ); von f die beste Approximation von f an V N, d. h. es gilt für alle g V N. kf f N k kf gk

44 Beweis. Da die Norm mit Hilfe eines Skalarproduktes deniert ist, vgl. 7..1, können wir statt kf gk auch hf g f gi für g V N minimieren. Mit N g(x ) = 0 + N j cos(j x ) + j sin(j x ) gilt hg gi = * 0 = 0 N + j cos(j x ) + 0 N j sin(j x ) N + k cos(k x ) + + N k=1 j + N j + N k sin(k x ) wie man mit Hilfe der Orthogonalitätsrelationen 7..4 erkennt. k=1

45 Weiterhin gilt * N + hf gi = f 0 + N j cos(j x ) + j sin(j x ) N N = f + j hf cos(j x )i + j hf sin(j x )i = N f (x ) d x + j N j f (x ) sin(j x ) d x : f (x ) cos(j x ) d x

46 Damit erhalten wir hf g f gi = hf f i hf gi + hg gi = hf f i 0 N j f (x ) d x =: H ( 0 ; : : : ; N ; 1 ; : : : ; N ): N j N f (x ) sin(j x ) d x f (x ) cos(j x ) d x j + Um jetzt das minimale g zu nden, können wir auch die von den N + 1 Variablen 0 ; : : : ; N ; 1 ; : : : ; N abhängige reellwertige Funktion H minimieren. Dazu benutzen wir das notwendige Kriterium aus A 4.5.1, d. h. wir setzen alle partiellen Ableitungen von H gleich Null. N j

47 k = = = f (x ) d x + 0 f (x ) cos(k x ) d x + k für k = 1; : : : ; N f (x ) sin(k x ) d x + k für k = 1; : : : ; N : Diese partiellen Ableitungen sind genau dann alle gleich Null, wenn 0 ; : : : ; N ; 1 ; : : : ; N die Fourier-Koezienten von f sind. Damit ist das N -te Fourierpolynom als einziger Kandidat für ein Minimum erkannt. Durch Betrachtung der Hesse-Matrix, vgl. A 4.5.5, sieht man, dass tatsächlich ein Minimum vorliegt.

48 Satz. Die -periodische Funktion f : R R sei quadratintegrabel, dann gilt für die Fourierkoezienten von f die folgende Besselsche Ungleichung kf k = f (x ) d x a 0 + Für N gilt die Parsevalsche Gleichung kf k = f (x ) d x = a 0 + N (a j + b j ): (a j + b j ):

49 Beweis. Mit den Bezeichnungen aus dem Beweis von gilt 0 hf f N f f N i = H (a 0 ; : : : ; a N ; b 1 ; : : : ; b N ) N = hf f i a 0 f (x ) d x a j f (x ) cos(j x ) d x N b j f (x ) sin(j x ) d x + a 0 + N N a j + b j N N = hf f i a0 a j b j + a 0 + N a j + = hf f i a N 0 N a j b j ; N b j und damit die Besselsche Ungleichung. Den Beweis der Parsevalschen Gleichung überlassen wir den Mathematikern.

50 Beispiel. Für die Sägezahnfunktion aus gilt + n=0 4 cos((n + 1)x ) (n + 1) = x : Für die Norm dieser Funktion erhalten wir ( x ) d x = ( x + x ) d x = x x x 3 0 = = 3 3 = + n=0 4 (n + 1) = n=0 1 (n + 1) 4 und damit 1 (n + 1) 4 = 4 96 : n=0

51 Es ergibt sich n=1 und damit 1 n 4 = n=1 1 (n) 4 + n=1 n=0 1 (n + 1) 4 = n 4 = 4 90 : 1 n Durch wiederholte Integration der Sägezahnfunktion kann man mit dieser Methode auch die Werte der Reihen n=1 1 n k n=1 für gerades k ausrechnen. Für ungerades k sind die Werte dieser Reihen unbekannt.

52 Satz. Für eine quadratintegrable -periodische Funktion f und ihre Fourier-Polynome f N ; N N, gilt: lim N kf f N k = 0: Man sagt auch: Die Fourier-Polynome von f konvergieren im quadratischen Mittel gegen f. Der Beweis ergibt sich, indem man die Parsevalsche Gleichung in die im Beweis von hergeleitete Ungleichung einsetzt.

53 Bemerkung. Konvergenz im quadratischen Mittel bedeutet, dass die Fläche zwischen den Graphen von f und f N für wachsendes N immer kleiner wird, und beim Grenzübergang gegen Unendlich schlieÿlich gegen Null geht. Dabei bewirkt das Quadrat in kf f N k = (f (x ) f N (x )) d x ; dass groÿe Abstände zwischen f (x ) und f N (x ) stärker bestraft werden als kleine. Es kann Ausnahmepunkte x [; ] geben, an denen f N (x ) nicht gegen f (x ) konvergiert, da das Verhalten an einzelnen Punkten keinen Einuss auf das Integral hat.

54 7.6. Komplexe Fourier-Reihen Nach der Formel von Euler und de Moivre, vgl. A , gilt e iz = cos z + i sin z für alle z C. Diese Tatsache erönet einen komplexen Zugang zur Theorie der Fourier-Reihen. Sinnvollerweise betrachtet man gleich komplexwertige -periodische Funktionen. Als Denitionsbereich behält man allerdings die reellen Zahlen bei. Man sagt dann, eine Funktion f : R C ist stetig, dierenzierbar, etc., wenn Real- und Imaginärteil von f stetig, dierenzierbar, etc. sind. Bestimmte Integrale über f werden berechnet, indem man Real- und Imaginärteil getrennt integriert.

55 Denition. Es sei f : R C eine integrierbare -periodische Funktion. Dann heiÿen c k = 1 f (x )e ikx d x für k Z die komplexen Fourier-Koezienten von f. f N (x ) = N k=n c k e ikx heiÿt das N -te komplexe Fourier-Polynom von f für N N, und k= c k e ikx heiÿt die komplexe Fourier-Reihe von f. Man schreibt auch f (x ) k= c k e ikx :

56 7.6.. Bemerkungen. 1 Die komplexen Fourier-Koezienten sind formal einfacher gebaut als die reellen, da nur eine Sorte von Integralen auftritt und der Index 0 nicht besonders behandelt werden muss. Bei der Berechnung von c k ist es wichtig, auf das Minuszeichen in e ikx zu achten. 3 Da für die komplexe Exponentialfunktion die gleichen Ableitungsregeln gelten wie für die reelle, vgl , kann man bei der Berechnung von komplexen Fourier-Koezienten die üblichen Integrationsregeln, insbesondere partielle Integration, anwenden.

57 Satz. Es sei f : R C eine -periodische Funktion mit Fourier-Reihe f (x ) k= c k e ikx : Dann ist f genau dann reellwertig, wenn gilt c k = c k für alle k Z. Wenn das erfüllt ist, bestehen die folgenden Beziehungen zwischen den reellen und den komplexen Fourier-Koezienten: für k N, bzw. für k N. c 0 = a 0 ; c k = a k ib k ; c k = a k + ib k a 0 = c 0 ; a k = c k + c k ; b k = i(c k c k )

58 Beispiel. Wir betrachten die Funktion f : R R, die gegeben ist durch f (x ) = e x für < x und -periodische Fortsetzung. Für die komplexen Fourier-Koezienten gilt c k = 1 = 1 für k Z. e x e ikx d x = ik e(1ik)x = (1)k (e e ) (1 ik) = e (1ik)x d x 1 (1 ik) (e (1) k e (1) k )

59 Damit gilt für die reellen Fourier-Koezienten a 0 = c 0 = e e a k = c k + c k = (1)k (e e ) (1 ik) b k für k N. = (1)k (e e ) ((1 + ik) + (1 ik)) (1 ik)(1 + ik) = (1)k (e e ) (1 + k ) = i(c k c k ) = i (1) k (e e ) (1 ik) = i(1)k (e e ) ((1 + ik) (1 ik)) (1 ik)(1 + ik) = (1)(k+1) k(e e ) (1 + k ) + (1)k (e e ) (1 + ik)! (1)k (e e ) (1 + ik)

60 Die Graphik zeigt das 30. Fourier-Polynom von f.

61 7.7. Funktionen mit beliebiger Periode Es sei T > 0 und f : R R eine T -periodische Funktion. Nach 7.1. ist dann e f : R R mit ef (x ) = f (x T ) -periodisch. Mit! = T gilt also f (x ) = e f (!x ): Wir nehmen jetzt an, dass die reelle bzw. komplexe Fourier-Reihe von ef gegeben ist durch bzw. ef (x ) a 0 + a j cos(j x ) + b j sin(j x ) ef (x ) k= c k e ikx :

62 Es gilt dann also f (x ) a 0 + a j cos(j!x ) + b j sin(j!x ) bzw. f (x ) c k e ik!x ; k= d.h. f und f e haben die gleichen Fourier-Koezienten. Der Unterschied besteht darin, dass f nach den Funktionen 1; cos(!x ); : : : ; cos(j!x ); : : : ; sin(!x ); : : : ; sin(j!x ); : : : entwickelt wird (die alle T -periodisch sind).

63 Man kann die Fourier-Koezienten von f auch direkt berechnen, ohne auf f e zu transformieren. Dazu betrachtet man den Vektorraum aller T -periodischen Funktionen und deniert ein Skalarprodukt durch hf gi = T T f (x )g(x ) d x = T 0 f (x )g(x ) d x : Dann bilden die Funktionen 1; cos(!x ); : : : ; cos(j!x ); : : : ; sin(!x ); : : : ; sin(j!x ); : : : ein Orthogonalsystem. Für das Skalarprodukt dieser Funktionen mit sich selbst ergibt sich mit Hilfe der Substitution u =!x ; d u =! d x hcos(j!x ) cos(j!x )i = T T (cos(j!x )) d x =!T!T (cos(j u)) d u! = 1 u))! (cos(j d u = = T! für j N; und analog für sin(j!x ).

64 Satz. Es sei f : R R eine integrierbare T -periodische Funktion, und es sei! =. Dann sind die reellen bzw. komplexen T Fourier-Koezienten von f gegeben durch a j = T T T f (x ) cos(j!x ) d x für j N 0, für j N, für k Z. b j = T c k = 1 T T T T T f (x ) sin(j!x ) d x f (x )e ik!x d x

65 . Die reelle bzw. komplexe Fourier-Reihe von f lautet dann f (x ) a 0 + a j cos(j!x ) + b j sin(j!x ) bzw. f (x ) k= c k e ik!x :

66 7.7.. Satz. Es sei f : R R eine T -periodische Funktion mit Fourier-Reihe bzw. f (x ) a 0 + a j cos(j!x ) + b j sin(j!x ) f (x ) k= c k e ik!x : Für r > 0 ist dann x 7 f (rx ) eine T -periodische Funktion, und r für ihre Fourier-Reihe gilt mit! 0 = = r T =r! f (rx ) a 0 + a j cos(j! 0 x ) + b j sin(j! 0 x ) bzw. f (rx ) k= c k e ik! 0 x :

67 Bemerkungen. 1 Satz 7.7. verallgemeinert die Aussage, dass f und f e die gleichen Fourier-Koezienten haben. Es ändert sich nur das Funktionensystem, nach dem die Funktionen entwickelt werden. Wenn man die Periode zu groÿ wählt, etwa indem man eine T -periodische Funktion als T -periodisch behandelt, erhält man trotzdem die gleichen Fourier-Reihen. In der T -periodischen Fourier-Entwicklung sind dann alle Koezienten von Summanden, die nicht schon T -periodisch sind, gleich Null. 3 Alle Aussagen über Fourier-Reihen von -periodischen Funktionen gelten auch für Fourier-Reihen von Funktionen mit beliebiger Periode, wenn sie geeignet modiziert werden. So lautet etwa die Besselsche Ungleichung, vgl , hf f i = T T f (x ) d x Ta T (a j + b j ):

68 Fourier-Entwicklung nicht-periodischer Funktionen. Gelegentlich, etwa bei der Untersuchung partieller Dierentialgleichungen, möchte man eine Funktion f : (0; L] R auf einem beschränkten Intervall in eine Fourier-Reihe entwickeln. Dazu bieten sich die folgenden drei Möglichkeiten an: 1 Man setzt f zu einer L-periodischen Funktion F : R R fort durch F (x ) = f (x kl) falls kl < x (k + 1)L; k Z und entwickelt F in eine Fourier-Reihe. Man setzt f zu einer ungeraden L-periodischen Funktion fort und entwickelt diese in eine reine Sinus-Reihe. 3 Man setzt f zu einer geraden L-periodischen Funktion fort und entwickelt diese in eine reine Cosinus-Reihe.

69 Ungerade Fortsetzung. Die ungerade Fortsetzung einer Funktion f : (0; L] R erhält man durch f (x ) für 0 < x L F (x ) = 0 für x = 0 f (x ) für L < x < 0 sowie F (x kl) = F (x ) für (k 1)L < x (k + 1)L; k Z. Mit! = = sind die Fourier-Koezienten gegeben durch L L b j = L L und für die Fourier-Reihe ergibt sich 0 F (x ) f (x ) sin(j!x ) d x ; b j sin(j!x ):

70 Gerade Fortsetzung. Die gerade Fortsetzung einer Funktion f : [0; L] R erhält man durch F (x ) = { f (x ) für 0 x L f (x ) für L < x < 0 sowie F (x kl) = F (x ) für (k 1)L < x (k + 1)L; k Z. Mit! = = sind die Fourier-Koezienten gegeben durch L L a j = L L und für die Fourier-Reihe ergibt sich 0 f (x ) cos(j!x ) d x ; F (x ) a 0 + a j cos(j!x ):

71 Beispiel. Wir betrachten f : [0; ] R mit f (x ) = x 1 für 0 < x < und f (0) = f () = 0. Die -periodische Fortsetzung von f ist ungerade, daher ist ihre Fourier-Reihe eine reine Sinusreihe und stimmt mit der Fourier-Reihe der ungeraden 4-periodischen Fortsetzung F u überein, vgl Mit T = und! = = ergibt sich T b j = (x 1) sin (j x ) d x = x sin (j x ) d x sin (j x ) d x = 1 j x cos (j x ) j cos (j x ) d x + j cos (j x ) 0 = " 1 cos(j ) + sin (j x )# = j j j Damit erhalten wir die Fourier-Reihe F u (x ) 0 sin(j x ) : j

72 Für die 4-periodische gerade Fortsetzung F g erhalten wir mit L = und! = = L für die Fourier-Koezienten a j = = und damit die Fourier-Reihe 0 F g (x ) 8 j (x 1) cos x 8 (j ) falls j ungerade 0 falls j gerade n=0 d x = (1)j 1 j 1 (n + (n + 1) cos 1) x : Für 0 < x < konvergieren beide Fourier-Reihen und wir erhalten sin(j x ) j = 8 1 (n + (n + 1) cos 1) n=0 x = x 1:

73 Die folgende Graphik zeigt das 50. Fourier-Polynom von F u und das 7. Fourier-Polynom von F g.