Fourier-Reihen: Definitionen und Beispiele

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1 Fourier-Reihen: Definitionen und Beispiele Die Fourieranalysis beschäftigt sich mit dem Problem Funktionen in Kosinus und Sinus zu entwickeln. Diese Darstellungen sind in der Mathematik sowie in der Physik von großer Bedeutung und finden in vielen Bereichen Anwendung. Schon im 8ten Jahrhundert war bekannt, dass sich einige einfache Funktionen in Sinus- und Kosinus-Reihen entwickeln lassen. Fourier behauptete schließlich, dass sich alle Funktionen auf diese Weise darstellen lassen. Mit dieser Behauptung wollen wir uns näher beschäftigen. Wir betrachten im Folgenden periodische Funktionen: (. Definition Die folgenden Definitionen sind äquivalent: (a f : R C, t f (t, f (t = f (t +, t R (b f : T C, t f (t, mit T := R/Z, so dass t = t + Hier ist f auf dem Einheitskreis definiert und ordnet jedem Winkel t einen Funktionswert f (t zu. Funktionen dieser Art bezeichnen wir als -periodisch. Im Folgenden setzen wir voraus, dass f Riemann-integrierbar ist, auf jedem beschränkten Intervall. Wir wollen nun wissen, welche Funktionen eine Reihendarstellung der Form f (t = A + (A r cos(rt + B r sin(rt (I besitzen. Dazu schauen wir uns zunächst einige grundlegende Eigenschaften von Funktionen an, für die eine solche Darstellung existiert. Wir stellen uns zunächst die Frage: Wenn f eine Reihendarstellung der Form (I besitzt, wie können dann die Koeffizienten A r und B r durch f ausgedrückt werden?

2 Wir formen (I mit den Beziehungen cos(t (i = eit +e it, sin(t (ii und eit (iii = cos(t ( + i sin(t um zu: A + A r cos(rt + B r sin(rt ( (i, (ii = A e it +e it + e A irt +e irt e r + B irt e irt r i ( = A e it +e it + e irt (A r i B r + e irt (A r + i B r = eit e it i = C r e irt wobei B :=, C r = (A r i B r, C r = (A r + i B r, r =,,, 3,... Offensichtlich ist: C = (A + i B = (A i B = A, da B =. Hier erklärt sich auch der Faktor Es soll nun gelten: in der Schreibweise (I. f (t = C r e irt. (II Dazu Multiplizieren wir beide Seiten von (II mit e ikt so erhalten wir, unter der Annahmen, dass die termweise Integration über die Summe erlaubt ist: f (te ikt dt = C r e i(r kt dt. Nun gilt für r = k: e i(r kt dt = i(r k ei(r kt = i(r k = und für r = k: e i(r kt dt = dt =

3 Wir erhalten also: C r = f (te ikt dt = C k f (te irt dt (III Für A r und B r gilt dann umgekehrt: A r = C r + C r = B r = i(c r C r = f (tcos(rtdt, (r ; f (tsin(rtdt, (r, (IV Wir können also festhalten: Besitzt f eine Reihendarstellung der Form (I oder (II, die gleichmäßig konvergiert, sodass eine termweise Integration erlaubt ist, so sind die Koeffizienten C r bzw. A r und B r gegeben durch (III und (IV. (. Definition Sei f -periodisch und integrierbar auf dem Intervall [, ]. Seien weiter C r wie in (III und A r und B r wie in (IV, so nennt man die Fourier-Reihen von f. C r e irt oder A + (A r cos(rt + B r sin(rt Die von uns gewählten Integrationsgrenzen sind dabei nicht relevant, wie das folgende Lemma zeigen wird. (.3 Lemma Ist F periodisch mit Periode P, dann ist a+p a F(tdt unabhängig von a. Beweis Sei g(a := a+p a F(tdt AnaIIVII(.7 = a+p F(tdt a F(tdt Nach AnaII VII(.4: g (a = F(a + P F(a =, also ist g konstant. 3

4 Außerdem gilt für F: a a F(t dt = = = a a F(t dt + F(t dt + a a F(t dt F( t dt { a F(t dt, falls F gerade, falls F ungerade Da cos(rt gerade ist und sin(rt ungerade, führt uns das zum (.4 Lemma Bezeichnungen wie in (IV. ist f gerade, A r = f (tcos(rtdt und B r = ist f ungerade, A r = und B r = Beweis sin( rt = sin(rt und cos( rt = cos(rt. f (tsin(rtdt Sei f gerade, dann ist f ( t = f (t. f (t := f (tcos(rt = f ( tcos( rt = f ( t, ist gerade. f (t := f (tsin(rt = f ( tsin( rt = f ( t, ist ungerade. Damit ist: und A r = B r f (t dt (.3 = = f (t dt (.3 = f (t dt s.o. = f (tcos(rt dt f (t dt s.o. = Sei f ungerde, dann ist f ( t = f (t. f (t := f (tcos(rt = f ( tcos( rt = f ( t, ist ungerade. f (t := f (tsin(rt = f ( tsin( rt = f ( t, ist gerade. Damit ist: A r = f (t dt (.3 = f (t dt s.o. = 4

5 und B r = f (t dt (.3 = f (t dt s.o. = f (tsin(rt dt Sehen wir uns nun den Koeffizienten C o der Fourier-Reihe von f genauer an, so ist nach (IV: C = A = f (tdt, Dies ist genau der mittlere Wert der Funktion f auf dem Intervall [, ], also auch auf jedem Intervall der Länge. Dies ist eine sehr nützliche Eigenschaft, die überdies auch einfacher zu merken ist, als die Integrale Formel für C. Wir halten sie daher fest im (.5 Lemma Der Konstante Term in der Fourier Reihe einer -periodischen Funktion f ist der mittlere Wert der Funktion auf einem Intervall der Länge Wir haben nun einige Eigenschaften von (-periodischen Funktionen erarbeitet und gezeigt, dass, falls es eine trigonometrische Reihendarstellung der Funktion f gibt, die Fourier-Reihe die einzig sinnvolle Lösung darstellt. Dazu behandeln wir nun einige Beispiele: (.6 Beispiel Wir wollen die Fourier-Reihen der folgenden Funktionen berechnen: (a f : (, R, f (t = t Offensichtlich ist f ungerade, da f ( t = f (t also folge mit (.4: A r = r N und B r = t sin(rtdt 5

6 Wir integrieren partiell mit u := sin(rt, v := t u = r cos(rt, v = B r = [ t cos(rt ] + cos(rt dt r r = [ sin(rt r t cos(rt ] r = [ ] r cos(r + = ( r r = ( r+ r Damit ist die Fourier-Reihe von f : ( r+ sin(rt r 6

7 Graph von f mit den Partialsummen bis 3, 6 und 4 Summanden (b g : (, R, g(t = t Offensichtlich ist g gerade, da g( t = g(t also folgt mit (.4: B r = r N und A A r = = tdt = t t cos(rt dt = wir integrieren partiell mit u := t = t, t <, v := cos(rt u =, v = sin(rt r A r = [ ] sin(rt t sin(rt dt r r = [ cos(rt + rt sin(rt = (( r r Also ist die Fourier-Reihe von g: = 4 r=,3,5... = 4 r ] (( r r cos(rt r cos(rt cos ( (l t (l l= 7

8 Grapf von g mit den Partialsummen bis, 3 und 6 Summanden 8

9 Offenbar schmiegt sich die Fourier-Reihe von g schon bei kleineren Summen besser an g an als die Reihe von f. Analytisch betrachtet liegt das daran, dass einerseits die Folge der. Reihe sehr viel schneller gegen konvergiert, da (l n und darum die ersten Terme bei g eine größere Rolle spielen als bei f. Andererseits spielt es eine Rolle, wie glatt eine Funktion ist. Je glatter die Funktion, desto leichter kann sie im Allgemeinen als Linearkombination von Sinus und Kosinus ausgedrückt werden. Dies ist bei der deutlich glatteren Funktion g leichter. Nicht zu vergessen ist auch, dass die Folge von f alterniert, also Terme sich gegenseitig aufheben, was wiederum die Divergenz der Reihe verhindert. Da es alles andere als selbstverständlich ist, dass die Fourier-Reihe zu einer Funktion auf dem Definitionsbereich konvergiert, betrachten wir zu diesem Problem: (.7 Bessels Ungleichung Ist f -periodisch, auf [, ] Riemann integrierbar und sind die Fourier-Koeffizienten C r definiert wie in (III so ist C r f (t dt. Beweis Für eine komplexe Zahl z gilt: z f (t N C r e irt ( ( = f (t N C r e irt f (t N C r e irt ( = f (t N ( = = zz, also ist: ( C r e irt f (t N C r e irt C r e irt ( ( f (t N C r e irt f (t N = f (t N [ C r f (te irt + C r f (t e irt] + N C m C r e i(m rt. m,r= 9

10 Zu (*: C r e irt = (A r i B r (cos(rt + i sin(rt = (A r cos(rt + B r sin(rt + i(a r sin(rt B r cos(rt = (A r cos(rt + B r sin(rt + i(b r cos(rt A r sin(rt = (A r + i B r (cos(rt i sin(rt = C r (cos( rt + i sin( rt = C r e irt Nun wissen wir, dass gilt: Daraus folgt dann: f (t N C r e irt dt = = f (te irt dt = C r, und f (t dt N f (t dt N C r. Da offensichtlich gilt: [ ] N Cr C r + C r C r + C r C r N f (t C r e irt e i(m rt dt = dt = { wenn r = m wenn r = m f (t dt N C r folgt für N die Behauptung. Mit (IV können wir zeigen, dass auch: 4 A + ( A r + B r = C r f (t dt. Wir werden später sehen, dass die Besselsche Ungleichung genau genommen eine Gleichung ist. Zunächst folgern wir daraus aber noch das

11 (.8 Korollar Die Fourier Koeffizienten A r, B r und C r (sowie C r konvergieren für r gegen. Beweis A r, B r und C r sind nach (.7 die rten Summanden konvergierender Reihen, also müssen sie für n verschwinden.