Konvergenz von Fourier-Reihen

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1 Kovergez vo Fourier-Reihe Ausarbeitug zum Semiar zur Fourieraalysis, obias Reimes Diese Ausarbeitug beschäftigt sich mit der Kovergez vo Fourier-Reihe. Hierzu werde im erste Abschitt eiige Vorbemerkuge behadelt. Im zweite Abschitt werde ei eifaches Kriterium für die Kovergez ud die Ableituge vo Fourier-Reihe bearbeitet. Im letzte Abschitt wird zum Abschluss och auf Abschätzuge vo Fourier-Reihe eigegage.

2 Kovergez vo Fourier-Reihe Vorbemerkuge Vorbemerkuge Im Verlaufe der Ausarbeitug werde teilweise Bezeichuge, Defiitioe ud Sätze beutzt, die scho im Laufe des Semiares eigeführt wurde, oder aus der Aalysis stamme. Die wichtigste, die hier verwedet werde, sid hier kurz zusammegefasst. (.) Bezeichuge Sei f : C eie RIEMANN-itegrierbare Fuktio ud ˆf (r) Da ist f (t) exp ( irt)dt. S ( f, t) ˆf exp (irt) die -te Partialsumme vo der zu f gehörige FOURIER-Reihe a der Stelle t. (.2) Satz Seie f, g : C stetige Fuktioe ud ˆf (r) ĝ(r) für alle r Z. siehe [Kör], Kapitel 2, Satz 2.4, Seite 9. f g, d.h. f (t) g(t) für alle t. (.3) Defiitio Ma et die Fuktioefolge ( f ) auf D C gleichmäßig koverget gege die Fuktio f : D C, we es zu jedem ɛ > ei N N(ɛ) N gibt, so dass f (x) f (x) < ɛ für alle N ud alle x D. Hierfür schreibt ma kurz f glm f. I diesem Fall heißt f die Grezfuktio vo ( f ). Wichtig ist, dass, im Gegesatz zur puktweise Kovergez, das N icht vo x abhägt. 2

3 Kovergez vo Fourier-Reihe Vorbemerkuge (.4) Satz (Cauchy-Kriterium für Reihe) Eie Reihe k a k kovergiert geau da, we es zu jedem ɛ > ei o N gibt, so dass m k siehe [Kri5], Kap. IV, Satz(.8), Seite 68 a k < ɛ für alle m. (.5) Satz (WEIERSRASSsches Majoratekriterium) Gegebe sei eie Fuktioereihe k f k(x) auf D. We es eie Folge (M k ) k reeller Zahle gibt, so dass f k (x) M k für alle x D, k N ud M k < ɛ, k da kovergiert die Fuktioereihe k f k(x) gleichmäßig ud absolut gleichmäßig auf D. siehe [Kri6], Kap. VIII, Satz(.), Seite 84 (.6) Satz Ist F periodisch mit Periode P, da ist a+p a F(t)dt uabhägig vo a, also a+p a F(t)dt a+p F(t)dt a F(t)dt. 3

4 Kovergez vo Fourier-Reihe 2 Kovergez-Kriterie vo Fourier-Reihe 2 Kovergez-Kriterie vo Fourier-Reihe Dieses Kapitel beschäftigt sich mit Kriterie für die Kovergez vo Fourier-Reihe. Hierzu werde zuerst absolut summierbare Fourier-Reihe ud aschließed Eigeschafte der Ableitug behadelt. Um die wichtige Sätze (2.) ud (2.4) beweise zu köe, sid zudem och weitere Sätze otwedig. Eie der beide wichtige Aussage befidet sich im folgede Satz: (2.) Satz Sei f : C stetig. We gleichmäßig auf für. r ˆf (r) kovergiert, kovergiert S ( f, t) f (t) Dies bedeutet, dass eie Fourier-Reihe auf gleichmäßig gege f kovergiert, we die absolute Summatio der Fourier-Koeffiziete kovergiert. Der hierfür wird aus dem ächste Satz gefolgert. (2.2) Satz Ageomme a r kovergiert für. Da kovergiert a r exp(irt) gleichmäßig auf für gege ei g(t), wobei g : C stetig ud ĝ(r) a r für alle r Z. Da a r kovergiert, folgt ach dem Cauchy-Kriterium für Reihe(Satz.4), dass es zu jedem ɛ > ei (ɛ) N gibt, so dass r m a r + Hieraus folgt, dass r m m r a r exp (irt) a r a r < ɛ für alle m (ɛ) gilt. r m Ugl. exp irt a r exp (irt) r m a r < ɛ r m 4

5 Kovergez vo Fourier-Reihe 2 Kovergez-Kriterie vo Fourier-Reihe für alle t ud m (ɛ) gilt. Nach dem WEIERSRASSsche Majoratekriterium (Satz.5) (mit f k (x) a k exp (ikt) + a k exp ( ikt) ud M k a k + a k ) ud der Defiitio für gleichmäßige Kovergez (Defiitio.3) kovergiert a r exp(irt) u gleichmä- ßig auf für gege eie Fuktio g(t). Nach eiem Korollar aus der Aalysis II[Kri6](Kapitel 8, Korollar 3.4(a), Seite 92) folgt aufgrud der gleichmäßige Kovergez, dass die gefudee Grezfuktio g(t) ebefalls stetig ist. Jetzt ist och zu zeige, dass ĝ(r) a r für alle r Z gilt. Um dies zu zeige beötige wir die folgede Bemerkuge: (i) Da ( a r exp (irt) glm g(t) kovergiert, folgt, dass auch a r exp (irt)) exp ( ikt) glm g(t) exp ( ikt) mit exp ( ikt) [ ; ] gleichmäßig kovergiert, für. (ii) exp (i(r k)t)dt r k: {, rk, r k exp (i(r k)t)dt exp dt x r k: Setze s r k. exp (i(r k)t)dt exp (ist)dt (exp (ist) is ) is (cos (sπ) + i si (sπ) cos ( sπ) i si ( sπ)) }{{}}{{} (cos (sπ) cos ( sπ)) Sei u a k (ii) is a r } {{ }, da cos ugerade exp (i(r k)t)dt 5

6 Kovergez vo Fourier-Reihe 2 Kovergez-Kriterie vo Fourier-Reihe ( a r exp irt) exp ( ikt)dt } {{ } g(t) ĝ(k) a k, für alle k Z. (i) g(t) exp ( ikt)dt ĝ(k),. Durch diese Satz lässt sich der Satz (2.) u beweise. Satz (2.): Da ˆf (r) kovergiert, folgt ach (2.2), dass r S ( f, t) ˆf (r) exp(irt) gleichmäßig gege eie stetige Fuktio g(t) mit g : C ud ĝ(r) ˆf (r) für alle r Z kovergiert. Nach (.2) impliziert diese Aussage allerdigs, dass f g sei muss. S ( f, t) glm f (t). Wir erhalte durch Satz (2.) ei recht eifaches Kriterium, welches garatiert, dass eie Fourier-Reihe eier Fuktio gege diese gleichmäßig kovergiert. Als ächstes werde die Ableituge vo Fourier-Reihe betrachtet: (2.3) Satz Seie ( f ) : C stetig differezierbare Fuktioe ud ( f ) ihre Ableituge. Ageomme f kovergiert gleichmäßig gege f ud f gleichmäßig gege g auf für. Da ist f stetig differezierbar ud g die Ableitug vo f. Dieser Satz wurde bereits i der Aalysis II(vgl. [Kri6], Kapitel VIII) bewiese. Die Differezierbarkeit folgt dort aus Satz (2.9), S.89 ud die Stetigkeit aus Korollar (3.4), S.92. 6

7 Kovergez vo Fourier-Reihe 2 Kovergez-Kriterie vo Fourier-Reihe (2.4) Satz Sei f : C eie stetige Fuktio. We differezierbar ist ud. r r ˆf (r) kovergiert, folgt, dass f ir ˆf (r) exp (irt) gleichmäßig gege f (t) kovergiert für Sei f S ( f, ). Da für ˆf (r) r ˆf (r) [r ] folgt, dass woraus wiederum folgt, dass f f gleichmäßig kovergiert. Auf der adere Seite ist f (t) f glm ˆf (r) kovergiert, ir ˆf (r) exp (irt). Nach Satz (2.2) kovergiert glm g gleichmäßig. Nach Satz (2.3) ist dieses g geau die Ableitug vo f. Eie weitere wichtige Eigeschaft wird im folgede Lemma beschriebe: (2.5) Lemma Sei f : C eie ( )-mal stetig differezierbare Fuktio ud f differezierbar mit stetiger Ableitug außer a eier edliche Azahl a Pukte x, x 2,..., x. Für f () (t) M, t x, x 2,..., x folgt, dass ˆf (r) M r, r. Mit partieller Itegratio erhalte wir: ˆf (r) f (t) exp( irt)dt r [ f (t) exp( irt) ] π + ir ir }{{}, da exp ( irπ)exp (irπ) ir f (t) exp ( irt)dt f (t) exp ( irt)dt Wird das Itegriere -mal wiederholt, erhält ma 7

8 Kovergez vo Fourier-Reihe 2 Kovergez-Kriterie vo Fourier-Reihe ˆf (r) (ir) ˆf (r) (ir) f () (t) exp ( irt)dt, so dass f () (t) exp ( irt) dt (ir) Mdt (ir) M gilt. Für die Stelle x, x 2,..., x, wo f () icht stetig differezierbar ist, wird das Itegral i mehrere eilitegrale aufgesplittet, die (ach [Kri6] Kapitel VII, Satz(3.3)(b), Seite 76) existiere. Aus diesem Lemma ka u folgeder Satz hergeleitet werde. (2.6) Satz Sei f : C eie zweifach stetig differezierbare Fuktio. Da kovergiert S ( f, t) gleichmäßig gege f. Nach Lemma (2.5) ist ˆf (r) Mr 2 [r ], mit M sup f (2) (t) <. Weil kovergiert, folgt, dass auch Satz(2.) S ( f, t) glm f (t). ˆf (r) t für kovergiert. r 2 r Dass jede zweifach stetig differezierbare -periodische Fuktio eie gleichmäßig kovergierede Fourier-Reihe besitzt, köte zu dem Schluss führe, dass die Kovergez eier Fourier-Reihe leicht festzustelle ist. Es sollte allerdigs och erwäht werde, dass dies icht die beste Möglichkeit ist ud die hier vorgestellte Sätze auch Probleme mit sich brige köe. 8

9 Kovergez vo Fourier-Reihe 3 Abschätzug der Kovergez 3 Abschätzug der Kovergez I diesem Kapitel wird sich mit der Geauigkeit der Kovergez vo Fourier-Reihe beschäftigt. Es stellt sich also die Frage, wie groß ei gewählt werde muss, also die wievielte Partialsumme vo der zu f gehörige Fourierreihe eie gute Approximatio darstellt. Dies wird zuerst a eiem Beispiel gezeigt ud aschließed i eiem Lemma zusammegefasst. (3.) Beispiel Sei h : R, mit h(x) π/2 x, [ x π]. Da ist (i) h(x) S (h, x) /( ) (ii) h() S (h, ) /( + 2) Bevor diese Eigeschafte bewiese werde, sollte zuerst ĥ(r) bestimmt werde: ĥ(r) Satz.6 cos (t) e it +e it 2 r h(t) exp ( irt)dt π h(t) exp ( irt)dt π π h(t)(exp (irt) + exp ( irt))dt h(t) cos (rt)dt π [ ] si (rt) π (π/2 t) π r }{{}, da si rπ, r Z πr + π h(t) exp ( irt)dt (π/2 t) cos (rt)dt si (rt) dt (partiell itegriert) r si (rt)dt πr 2 [ cos (rt)]π {, r gerade, r 2/(πr 2 ), r ugerade 9

10 Kovergez vo Fourier-Reihe 3 Abschätzug der Kovergez Zudem gilt: ĥ() h(t) exp ()dt ( π π 2 + t)dt + ( π 2 t)dt Daher kovergiert ĥ(r) ud ach Satz(2.) kovergiert da auch S (h, x) glm h(x) gleichmäßig auf. Die Eigeschafte (i) ud (ii) lasse sich u achweise. (i) Da S (h, x) glm h(x) für, folgt: h(x) S (h, x) Mit r +, r ugerade r + ĥ(r) exp (irx) Ugl. r + 2/(πr 2 ). r +, r ugerade r 2 2r 2 r 2 (r(r )) r +, r r r ugerade folgt, dass h(x) S (h, x) /( ). ((r ) r eleskop summe ) ( ) r (ii) Es gilt, dass S (h, ) r, r ugerade 2/(πr 2 ), wobei alle erme positiv sid, da S (h, ) h() kovergiert, h() S (h, ) 2/(πr 2 ). r +, r ugerade Wege r +, r ugerade r 2 2r 2 r +, r ugerade r 2 r +2 (r(r + ))) r +2 (r (r + ) eleskop summe ) ( + 2) r +2 folgt, dass h() S (h, ) /( + 2). Für 6 ergibt sich beispielsweise h(x) S 6 (h, x) /5, 2 ud h() S 6 (h, ) /8, 8. I diesem Fall erhält ma also scho bei der sechste

11 Kovergez vo Fourier-Reihe 3 Abschätzug der Kovergez Partialsumme eie recht gute Approximatio. Eie solch gute Abschätzug erhält ma allerdigs icht bei jeder Fuktio. Graphisch betrachtet, sieht der Abstad zwische de Fuktioe wie folgt aus: Allgemeier formuliert, ka ma folgedes Lemma zur Abschätzug aufführe: (3.2) Lemma Für eie gegebee, fallede Folge δ, δ 2,..., δ mit δ für köe wir eie stetige Fuktio g : C fide mit folgede Eigeschafte: (i) S (g, t) glm g(t) (ii) sup g(t) S (g, t) δ,. t Setze a r für alle r, a δ ud a r δ r δ r für r. Da gilt:

12 Kovergez vo Fourier-Reihe 3 Abschätzug der Kovergez a r δ + r für alle ud (δ r δ r ) 2δ δ 2δ a r kovergiert für. Nach Satz (2.2) folgt, dass a r exp irt gleichmäßig gege eie stetige Fuktio g(t) kovergiert, mit ĝ(r) a r. Somit gilt S (g, t) glm g, aber auch S (g, ) g() a r (δ r δ r ) δ. r+ r+ 2

13 Kovergez vo Fourier-Reihe Literatur Literatur [Fol] [Kör] Follad, Gerald B.: Fourier aalysis ad its applicatios Körer,.W.: Fourier Aalysis [Kri5] Krieg, Aloys: Aalysis I. RWH Aache, 25 [Kri6] Krieg, Aloys: Aalysis II. RWH Aache, 26 3