Aufgabe 4.2. (a) lim 7 + = (b) lim. ( 2n 3 6n 2 + 3n 1. (c) lim n n 2 ( 1) n n 3) = lim. (d) n n + 1. lim. (e) n n. Aufgabe 4.3.

Transkript

1 Folge Eie Folge ist eie Aordug vo reelle Zahle. Die eizele Zahle heiße Glieder der Folge. Kapitel 4 Folge ud Reihe Formal: Eie Folge ist eie Abbildug a : N R, a Folge werde mit a i i oder kurz a i bezeichet. Auch: ) a i i bzw. a i). Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe / 38 Folge Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe 2 / 38 Graphische Darstellug Folge köe defiiert werde durch Aufzähle der Glieder, durch Agabe eies Bildugsgesetzes oder durch Rekursio. Jedes Folgeglied wird durch seie) Vorgäger bestimmt. Aufzählug: Bildugsgesetz: Rekursio:, 3, 5, 7, 9,... 2 i, a, a i+ a i + 2 Eie Folge a i ka graphisch dargestellt werde, idem ma ) die eizele Folgeglieder i der Zahlegerade aufträgt, oder a ) die Zahlepaare, a ) i der Zahleebee eizeichet. 0 Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe 3 / 38 Eigeschafte Charakteristische Eigeschafte vo Folge a i : Bezeichug Defiitio mooto steiged a i+ a i für alle i N mooto falled a i+ a i alteriered a i+ a i < 0, d.h. das Vorzeiche wechselt. beschräkt a i M, für ei M R. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe 4 / 38 Reihe Die Summe der erste k Elemete der a i s k k a i i heißt die k-te Teilsumme oder Partialsumme) der Folge Die Folge s k aller Teilsumme eier Folge heißt die Reihe der Folge a i. Die Folge ist mooto falled, ud beschräkt, da für alle N gilt, dass a / gilt. Wir hätte auch M 000 wähle köe.) Sie ist aber icht alteriered. Die Reihe der Folge a i 2 i lautet k sk 2 i ), 4, 9, 6, 25,... k 2. i Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe 5 / 38 Aufgabe 4. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe 6 / 38 Lösug 4. Bereche die erste füf Partialsumme der Folge ud stelle Sie diese graphisch dar: a) 2 a) 2, 6, 2, 20, 30; b) 0,333; 0,583; 0,783; 0,95;,093; c),072; 2,220; 3,452; 4,77; 6,85. b) 2+ c) 2 /0 Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe 7 / 38 Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe 8 / 38

2 Grezwert eier Folge Betrachte wir die Folge vo Zahle a ) ) ), 2, 3, 4, 5, 6,...) a a 3 a 5 0 a 4 a 2 Die Folgeglieder strebe mit wachsedem gege 0. Wir sage, die Folge a ) kovergiert gege 0. Wir schreibe dafür a ) 0 oder a 0 Grezwert eier Folge / Defiitio Defiitio: Eie Zahl a R heißt Grezwert Limes) eier Folge a ), we es für jedes och so kleie Itervall a ε, a + ε) ei N gibt, sodass a a ε, a + ε) für alle N. M.a.W.: alle Folgeglieder ab a N liege im Itervall. Äquivalete Formulierug: Eie Folge a ) kovergiert gege de Grezwert a R, we für jedes ε > 0 ei N existiert, sodass a a < ε für alle N. [Mathematiker verwede gere ε für eie gaz kleie positive Zahl.] Eie Folge, die eie Grezwert besitzt, heißt koverget. Sie kovergiert gege ihre Grezwert. Nicht jede Folge besitzt eie Grezwert. So eie Folge heißt diverget. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe 9 / 38 Grezwert / Beispiel Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe 0 / 38 Grezwert / Beispiele Im Beispiel ist a 0. a ) ) ), 2, 3, 4, 5, 6,...) Falls ε 0,3 da liege alle Folgeglieder ab a 4 im Itervall a ε, a + ε). Falls ε da liege alle Folgeglieder ab dem te Glied i diesem Itervall. Die Folge a ) 2 ) 2, 4, 8, 6,...) kovergiert gege 0: a 0 Die Folge b ) + ) 0, 3, 2 4, 3 5, 4 6, 5 7,...) ist koverget: b Die Folge c ) ) ),,,,,,...) ist diverget. Daher ) 0. Die Folge d ) 2 ) 2, 4, 8, 6, 32,...) ist diverget, strebt aber gege. Ma schreibt daher icht gaz korrekt): d Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe / 38 Grezwerte wichtiger Folge Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe 2 / 38 Recheregel a q 0 für a < 0 für a 0 für a > 0 0 für q < für q für q > für q a 0 für q > q für 0 < q < für < q < 0 q {0, }) Seie a ) ud b ) kovergete Folge mit a a ud b b; ud c ) eie beschräkte Folge. ) k a + d) k a + d 2) a + b ) a + b 3) a b ) a b 4) a a b b für b 0 5) a c ) 0 falls a 0 6) a k a k Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe 3 / 38 Recheregel / Beispiele ) } {{ } 0 2 ) 2 0 ) si) beschräkt ) Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe 4 / 38 Recheregel Achtug Wir müsse beim Awede dieser Recheregel darauf achte, dass wir keie Ausdrücke der Form 0 0, oder 0 erhalte. Diese Ausdrücke sid icht defiiert! icht defiiert) Trick: Kürze durch die höchste vorkommede Potez im Neer Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe 5 / 38 Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe 6 / 38

3 Die Eulersche Zahl + ) e 2, Dieser Grezwert ist i der Fiazmathematik wichtig stetige Verzisug). + x ) + /x m m + m ) ) mx m ) x + ) m ) x e x m Aufgabe 4.2 Bereche die folgede Grezwerte: ) ) a) b) c) 2 ) 3) d) 2 ) + + e) ) mod 0 2) ) Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe 7 / 38 Lösug 4.2 Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe 8 / 38 Aufgabe 4.3 a) 7; b) 2 7 ; c) ubestimmt diverget; d) bestimmt diverget gege ; e) 0. Bestimme die folgede Grezwerte: a) + ) x b) + x ) c) + ) x Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe 9 / 38 Lösug 4.3 Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe 20 / 38 Arithmetische Folge a) e x ; b) e x ; c) e /x. Bildugsgesetz: a a + ) d Differez aufeiader folgeder Glieder ist kostat: a + a d Jedes Glied ist das arithmetische Mittel seier Nachbarglieder: a 2 a + + a ) Arithmetische Reihe: s 2 a + a ) Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe 2 / 38 Geometrische Folge Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe 22 / 38 Fehlerquelle Bildugsgesetz: a a q Quotiet aufeiader folgeder Glieder ist kostat: a + a q Jedes Glied ist das geometrische Mittel seier Nachbarglieder: Es ist machmal üblich, bei Folge ud Reihe bei 0 astatt bei zu zähle zu begie. Bildugsgesetze ud Summeformel für die arithmetische Folge laute da a a 0 + d bzw. s + 2 a 0 + a ) ud für die geometrische Folge a a 0 q bzw. s a 0 q+ q für q ) a a + a Geometrische Reihe: s a q q für q Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe 23 / 38 Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe 24 / 38

4 Aufgabe 4.4 a sei eie geometrische Folge mit a 2 ud relativer Zuwachsrate 0,. Wie lautet das Bildugsgesetz vo a ud wie lautet a 7? Lösug 4.4 a 2, ; a 7 3,543. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe 25 / 38 Aufgabe 4.5 Bereche Sie die erste 0 Partialsumme der arithmetische Reihe für a) a 0 ud d, Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe 26 / 38 Lösug 4.5 a) s ) 2 0,, 3,..., 45; b) s 2, 4, 9,..., 00. b) a ud d 2. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe 27 / 38 Aufgabe 4.6 Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe 28 / 38 Lösug 4.6 Bereche N a für a) N 7 ud a 3 2 a) s ,33; b) s 7 2 /4)7 /4 0,400. b) N 7 ud a 2 /4) Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe 29 / 38 Edwert achschüssig) Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe 30 / 38 Barwert achschüssig) Eie Zahlug, die i gleicher Höhe i regelmäßige Abstäde erfolgt, heißt eie Rete. Wird die Rete jeweils zum Ede eier Periode bezahlt, so heißt sie achschüssig Der Edwert ist die Summe aller Zahluge auf de Edzeitpukt der Rete aufgezist: E R q + R q R q 0 erste Zahlug zweite Zahlug letzte Zahlug k Rq k R q q Der Barwert die Summe aller Retezahluge auf de Begi der Rete abgezist. B E q R q q q ) wobei R die Rete, q der Aufzisugsfaktor ud die Azahl der Zahluge ist. wobei R die Rete, q der Aufzisugsfaktor ud die Azahl der Zahluge ist. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe 3 / 38 Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe 32 / 38

5 Aufgabe 4.7 Die ewige Rete wird uedlich oft ud lag) gezahlt. Ihr Edwert ist immer uedlich. Lösug 4.7 Grezwert: B B R q q q ) R q. Bereche ihre Barwert. Wir ehme hier wie vor der Fiazkrise üblich a, dass der Zissatz positiv ist.) Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe 33 / 38 Aufgabe 4.8 Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe 34 / 38 Lösug 4.8 Bei der Tilgug vo Darlehe muss der Barwert der Tilgugszahluge der ursprügliche Darlehessumme etspreche. K B X q q q ) impliziert X K q q q. Bereche die Tilgugsrate X eies Kredits bei kostate Rückzahlugsrate. Dabei sei K die Kredithöhe, p der Zissatz, ud die Laufzeit des Kredits Azahl der Zahluge). Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe 35 / 38 Aufgabe 4.9 Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe 36 / 38 Lösug 4.9 Bereche bei gegebeer Kredithöhe K, Zissatz p ud maximaler Tilgugszahlug X die Midestlaufzeit des Kredits. l X lx Kq )) l q. Achtug: es muss immer aufgerudet werde. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe 37 / 38 Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 4 Folge ud Reihe 38 / 38