Aussagenlogik Schnelldurchlauf

Transkript

1 Aussagelogik Schelldurchlauf Michael Leuschel Softwaretechik ud Programmiersprache Lecture 3

2 Teil 1: Sprache (Sytax)

3 Bestadteile Atomare Aussage (atomic propositios) Etweder wahr oder falsch (Wahrheitswert, truth value auf Eglisch; true oder false) zwei-wertig Wahrheitswert eier komplexe Aussage: bestimmt vo Wahrheitswerte der Bestadteile it rais ad it is cold it rais it is cold

4 Alphabet der Aussagelogik Juktore Ud (Kojuktio): Oder (Disjuktio): We (Implikatio): Not (Negatio): Äquivalez, Exklusives Oder,... Atomare Aussage Bezeicher: p q rais... Klammerug Klammer ( )

5 Well Formed Formulas (WFF) alle atomare Aussage sid i der Mege WFF We α ud β i WFF sid, da sid folgede Formel auch i WFF: ( α) (α β) (α β) (α β) Keie adere Forrmel sid i WFF Amerkug: α, β sid Meta-Variable (ausserhalb der Aussagelogik)

6 Präzedez 1. Negatio bidet am stärkste 2. Da komme ud 3. Am schwächste bidet Astatt: ((( p) ( q)) (( p) ( q))) ka ma auch dies schreibe: ( p q) ( p q) p q p q

7 Teil 2: Sematik der Aussagelogik Iterpretatioe, Modelle, logische Schlussfolgerug

8 Wahrheitswert eier Formel Zuweisug: WFF Wahrheitswert Juktore: feste Bedeutug Bsp: true false ergibt false Wahrheitstabelle (truth tables) Atomare Aussage: egal (wahr oder falsch) (die Logik kümmert sich um die Form, icht de Ihalt!)

9 Wahrheitstabelle α β α α β α β α β α β true true false true true true true true false false false true false false false true true false true true false false false true false false true true

10 Iterpretatioe ud Modelle Eie Iterpretatio v ist eie Abbildug vo atomare Aussage ach {true,false} Beispiel: v(p) = true, v(q) = false Erweiterug vo v auf WFF mit de Wahrheitstabelle: Beispiel: v(p q) =? 1. Berreche v for Bestadteile: v(p) = true, v(q) = false 2. Wede Wahrheitstabelle a: true false = true v(p q) = true Für v (p) = false, v (q) = false: v (p q) = false Iterpretatio v ist ei Modell für α gdw v(α) = true

11 Übuge: v(p) = true,v(q) = false v (p) = false,v (q) = false v(p (q ( p) )) = v(p (p q )) = v (p (p q )) = v(p ( p)) = v (p ( p)) = v(p ( p)) = v (p ( p)) =

12 Übuge: Lösug v(p) = true,v(q) = false v (p) = false,v (q) = false v(p (q ( p) )) v(p) v(q ( p) ) true false false v(p (q ( p) )) = false v(p (p q )) = false v (p (p q )) = true v(p ( p)) = true v (p ( p)) = true v(q) false v( p) v(p) true false v(p ( p)) = false v (p ( p)) = false

13 Satisfactio, Tautology, Cotradictio Eie Formel α WFF ist erfüllbar (satisfiable) gdw es midestes ei Modell gibt uerfüllbar oder ei Widerspruch (usatisfiable or a cotradictio) gdw es kei Modell gibt eie Tautologie gdw alle Iterpretatioe auch Modelle sid p ( p) p (q ( p) ) p ( p)

14 Cosequece ad Equivalece Zwei Formel α ad β sid logisch äquivalet, α β, gdw sie die gleiche Modelle habe (d.h. gleiche Wahrheitstabelle) (p q) (q p) (p q) ( p q) Die Formel α ist eie logische Kosequez vo β, β α, gdw jedes Modell vo β auch ei Modell vo α ist p (q p) oft astatt

15 Erweiterug für Mege Eie Iterpretatio v ist ei Modell für eie Mege S a Formel i WFF gdw sie ei Modell für jede Formel i S ist v(p)=true, v ist ei Modell vo {(p q), ( p q)} Eie Mege A ist eie logische Kosequez eier adere Mege B, B A, gdw jedes Modell vo B auch ei Modell vo A ist {p} {(p q), ( p q)}

16 Beispiel Ja {p q, q} { p}? auch Modell vo { p} v(p)=true, v(q)= true v(p)=true, v(q)=false v(p)= false, v(q)= true v(p)= false, v(q)= false eiziges Modell vo {p q, q} 4 mögliche Iterpretatioe

17 Ei aderes Puzzle Ei Zettel sagt die Wahrheit der adere icht.? I dieser Zelle befidet sich eie Prizessi ud ei Tiger i der adere Zelle??? I eier der Zelle befidet sich eie Prizessi ud i der adere ei Tiger

18 Erläuteruge Notatioe: α β steht für (α β) (β α) α β steht für (β α) Uterschied zwische ud p q ist eie erfüllbare Formel p q ist keie Formel (ud ist falsch) Uterschied zwische ud p p ist eie erfüllbare Formel p p ist keie Formel (ud ist falsch), sid Juktore, sid math. (Meta-)Aussage über Formel

19 Achtug: mathematische Logik vs Sprachgebrauch Kommutativität: p q q p Aber: He got scared ad he killed the itruder. Er bekam Agst ud tötete de Eidriglig. He killed the itruder ad he got scared. Er tötete de Eidriglig ud bekam Agst. (kausale ud temporale Bedeutug vo ud ) Implikatio Falls 1 = 2 da bi ich Budespräsidet.

20 Zusammefassug Sytax der Aussagelogik WFF Sematik der Aussagelogik Wahrheitstabelle, Iterpretatioe, Modelle Erfüllbarkeit, Tautologie, Widerspruch logische Äquivalez ud Kosequez