6. Übung - Differenzengleichungen

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1 6. Übug - Differezegleichuge Beispiel 00 Gesucht sid alle Lösuge vo a) x + 3x + = 0 ud b) x + x + 7 = 0, jeweils für 0. Um diese lieare Differezegleichug erster Ordug zu löse, verwede wir die im Buch auf Seite 73 für die explizite Gleichug x + = ax + b hergeleitete Formel: { a x x = 0 + b a für a a x 0 + b für a = Um die Koeffiziete a ud b ablese zu köe, müsse wir also zuerst die beide gegebee Gleichuge auf die explizite Form brige: a) x + 3x + = 0 x + = 3 x a = 3 ud b = b) x + x + 7 = 0 x + = x 7 a = ud b = 7 We wir jetzt i obige Formel eisetze, da bekomme wir die Lösuge: ) 3 a) x = x ) ) [ ) ) = x 0 ] = b) x = x }{{} 0 + 7) =:C ) 3 x 0 ) } {{ + } =:C Da kei bestimmter Afagswert für x 0 gegebe ist, ka x 0 durch C ersetzt werde.

2 Beispiel 03 Gesucht ist die allgemeie Lösug vo x + = 3 x + 3 für 0. I diesem Fall habe wir es mit eier allgemeie lieare Differezegleichug erster Ordug der Form x + = a x + b zu tu, wobei a = 3 ud b = 3 der Störterm der Gleichug ist. Wir gehe ach folgedem Kochrezept vor:. Suche die allgemeie Lösug das ist eie gaze Lösugsschar) der homogee Gleichug x + = a x, die sogeate homogee Lösug x h).. Suche eie ud das heißt eie eizige, beliebige) Lösug der ihomogee Gleichug x + = a x + b, die sogeate partikuläre Lösug x p), z.b. mittels Variatio der Kostate oder mit der Methode des ubestimmte Asatzes. 3. Bilde die Lösugsgesamtheit durch x = x h) + x p). Homogee Lösug Wir möchte die homogee Gleichug x + = 3 x löse. Da folgt idem wir rückwärts immer wieder passed eisetze) aus x = a x = a a x = = x 0 a i, dass usere homogee Lösug x 0 wieder durch C ersetze) durch x h) = C i=0 3i gegebe ist. Wir müsse also och das Produkt ausreche. Dabei verwede wir die Gauß sche Summeformel i=0 i = i= i = ), um folgedes zu bereche: 3 i = ) = 3 i=0 i = 3 i=0 i = 3 ) = 3 i=0 Die homogee Lösug ist also x h) = C 3. Partikuläre Lösug Als ächstes betrachte wir die ihomogee Gleichug x + = 3 x + 3 ud suche eie partikuläre Lösug davo. We wir die Tabelle mit Störfuktioe auf Seite 8 zu Rate ziehe, so sehe wir, dass usere Störfuktio b keiem der ageführte Fälle etspricht, isbesodere icht dem Fall r, da usere Störfuktio vo der Form r ist ud die Versuchslösug icht eifach mal so a user Problem agepasst werde ka! Tatsächlich würde ma etwa mit dem Asatz x p) = Ar auf eie Ausdruck komme, der am Ede, we ma ih wieder i die Differezegleichug eisetzt, auf eie falsche Aussage führt, d.h. keie Lösug dieser ist. Da wir eie Lösug wolle, darf so etwas icht vorkomme! i=0

3 Wir versuche also user Glück mit eier Variatio der Kostate, d.h. wir ehme die homogee Lösug ud mache C ebefalls vo abhägig. User Asatz schaut also so aus: x p) = C 3. Diese Ausdruck setze wir jetzt i die ihomogee Differezegleichug ei ud erhalte beachte: auf der like Seite vom Gleichheitszeiche verwede wir de Idex +, auf der rechte Seite de Idex ): x h) + = 3 x h) + 3 eisetze C + 3 +) +) = 3 C C = C : 3 + C + = C + 3 zusammefasse Wir habe also eie eue, aber relativ eifach zu lösede Differezegleichug erhalte vo der wir irgedeie Lösug suche - speziell köe wir also de Startwert C 0 = 0 setze. Beachte, dass wir hier icht die Methode vo Beispiel 00 awede köe, weil dies ur für kostate Koeffiziete a ud b möglich war - hier hägt aber gaz 3 offesichtlich vo ab! Wir löse die Differezegleichug also durch Aufsummiere ud erkee, dass wir hier eie edliche geometrische Reihe vorliege habe, für die wir eie Summeformel kee oder achschlage): C = 3 i = 3 3 i=0 = 3 3 ) Also habe wir eie partikuläre Lösug der Gestalt x p) ) = C 3 = gefude. Lösugsgesamtheit Als allgemeie Lösug ergibt sich x = x h) + x p) = C ) 3 = 3 C )) Zusatz: Was passiert, we ei Afagswert x 0 gegebe ist? Ageomme, wir hätte och x 0 = α R gegebe. Da müsste wir i der allgemeie Lösug jetzt och C bestimme. Dazu betrachte wir die Gleichug α = x 0 = C )) = C 0 Wir müsste also ur das C durch usere Startwert x 0 ersetze.

4 Beispiel 3 Gesucht: Die Lösug folgeder Differezegleichug zweiter Ordug zu vorgegebee Afagsbediguge Homogee Lösug 4x + + x + 7x = 36, x 0 = 6, x = 3 I userem Fall lautet die zu lösede homogee Gleichug 4x + + x + 7x = 0 ) Setzt ma de Asatz x h) Gleichug = λ i Gleichug ) ei, erhält ma die charakteristische 4λ + + λ + 7λ = 0 4λ + λ 7 = 0 λ + 3λ 7 4 = 0 Löse dieser quadratische Gleichug mittels kleier Lösugsformel x + px + q = 0 x = p ± p q) ergibt folgede Lösuge: λ 4 =, λ = 7 Somit lautet die allgemeie Lösug der homogee Gleichug ) x h) = c + c 7. ) Partikuläre Lösug Da die Störfuktio s = 36 kostat ist, ka der Asatz x p) = A siehe Tabelle Seite 8) zur Bestimmug eier partikuläre Lösug verwedet werde. Eisetze des Asatzes i die Differezegleichug ergibt Eie partikuläre Lösug ist somit x p) = 4. 4A + A 7A = 36 = A = 4 Allgemeie Lösug Die Lösug der allgemeie Differezegleichug lautet ) x = x h) + x p) = c + c ) )

5 Afaswerte eisetze Das Eisetze der Afagswerte x 0 = 6 ud x = 3 i ) ergibt: x 0 = 6 = c x = 3 = c ) 0 + c 7 ) = c + c + 4 c = c ) + c 7 ) = c c c = + 7c = c = + 7c = c = = c = 3 Lösug Die gesuchte Lösug ist somit x = 3 ) )

6 Beispiel 38 Sei a die Azahl aller Teilmege der Mege {,,..., }, die keie zwei aufeiaderfolgede Zahle ethalte. Gesucht: Die Rekursio der gesuchte Zahle a ud die Lösug dieser. Gesuchte Rekursio Die gesuchte Rekursio mit dazugehörige Afagswerte lautet a + = a + + a, a 0 =, a =, Diese ist folgedermaße zu erkläre: Die Azahl aller gesuchte Teilmege der Mege {,,..., + } = Azahl aller gesuchte Teilmege ohe das Elemet +, dies etspricht geau der Azahl der gesuchte Teilmege der Mege {,,..., + }) + Azahl aller gesuchte Teilmege mit dem Elemet +, dies etpricht geau der Azahl der gesuchte Teilmege der Mege {,,..., }). Die leere Mege hat geau eie Teilmege sich selbst), dh. a 0 = 0, die eielemetige Mege hat die leere Mege ud sich selbst als Teilmege, daher a =. Lösug der Rekursio Die zu lösede Differezegleichug lautet a + a + a = 0 Es hadelt sich um eie homogee Differezegleichug zweiter Ordug. Das charakteristische Polyom dieser Gleichug ist λ λ = 0 = λ = ± 4 = λ = +, λ = Da es sich um eie homogee Differezegleichug hadelt, ist es icht otwedig eie partikuläre Lösug zu bereche, daher lautet die Lösug der allgemeie Gleichug + ) ) a = c + c Eisetze der Afagswerte ergibt: a 0 = = c + c = c = c + ) ) a = = c + c + ) = = c ) + c = c = 3 = c = 3 + ) = + ) + c + + )

7 Die gesuchte Lösug ist somit a = ) 3 ).