von solchen Abbildungen. Eine solche Folge bestimmt für jedes x M die Folge der Werte f n. Schreibt man dies noch einmal formal hin, so erhält man:

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1 Gleichmäßige Kovergez Wir betrachte im Folgede Abbilduge f : M N, wobei M eie Mege ud N ei metrischer Raum ist. Isbesodere iteressiere ud Folge f vo solche Abbilduge. Eie solche Folge bestimmt für jedes die Folge der Werte f x i N. We für jedes diese Folge i N kovergiert ud wir de jeweilige Grezwert f x ee, so wird auf diese Weise eie Abbildug f : M N gegebe. Ma spricht vo puktweiser Kovergez der Folge f. Schreibt ma dies och eimal formal hi, so erhält ma: I) 0, 0 N 0 : d f x, f x Puktweise Kovergez Isbesodere hägt 0 icht ur vo soder auch vo dem Pukt ab, ud we ma mit x i M herumwadert, wird die Mege der zugehörige 0 i.a. ubeschräkt sei. I viele Awedugsfälle ist es aber vo Iteresse, zu 0 ei 0 agebe zu köe, welches für alle seie Zweck erfüllt, d.h. ma möchte habe II) 0 0 N 0 : d f x, f x Gleichmäßige Kovergez ud spricht da vo gleichmäßiger Kovergez der Folge f. Natürlich ist jede gleichmäßig kovergete Folge vo Abbilduge auch puktweise koverget, aber a dieser Stelle sollte jeder Leser ei Beispiel suche oder überlege, daß die Umkehrug im Allgemeie icht gilt. Die gleichmäßige Kovergez ist deshalb wichtig, weil eie gleichmäßig kovergete Folge stetiger Abbilduge gege eie stetige Fuktio kovergiert, währed die Grezabbildug eier ur puktweise kovergete Folge stetiger Abbilduge durchaus ustetig sei ka. Um die Mege der Abbilduge M N i eifacher Weise zu eiem metrische Raum mache zu köe, betrachte wir zuächst ur beschräkte Abbilduge: Eie Abbildug f : M N heißt beschräkt, we es eie offee Kugel i N gibt, welche die Mege der Bilder f M ethält. Wir defiiere also de Raum M, N als die Mege aller beschräkte Abbilduge M N. Ma weist leicht ach, daß durch d f, g :=sup d f x, g x 1 eie Metrik auf M, N defiiert wird. Ma et diese Metrik auch die Metrik der gleichmäßige Kovergez. Vo eier Folge f, die bezüglich dieser Metrik kovergiert, sagt ma, sie kovergiere gleichmäßig. Gilt lim f = f i M, N, so heißt dies: 0 0 N 0 : d f, f ud ma sieht sofort, daß dies dieselbe Aussage ist wie obe i II) getroffee. 1 Ma beachte, daß wir hier ud im folgede, um eie Überfrachtug der Notatio zu vermeide, verschiedee Metrike mit d bezeiche; a dieser Stelle eierseits die eu defiierte Metrik auf B M, N, adererseits die vorgegebee Metrik auf N.

2 Satz Der metrische Raum M, N ist vollstädig, we N vollstädig ist. Ma muß zeige, daß jede Cauchyfolge i M, N kovergiert. Ist u f N eie Cauchyfolge i M, N, so bedeutet dies 0 0 N, m N: d f, f m =sup d f x. Es gilt also isbesodere für jedes : 0 0 N, m N: d f x, d.h. für jedes ist die Folge f x N eie Cauchyfolge i N, die demach eie Grezwert i N besitzt, de wir f x ee. Es wird also durch f x :=lim f x eie Abbildug f : M N defiiert, vo der wir zuächst achweise müsse, daß sie beschräkt, also Elemet vo M, N ist. Zu 0 wähle wir dazu 0 N, so daß, m 0 : d f, f m. Sid da also, m 0, so gilt : d f x 1. Zu eiem feste ud zu 0 läßt sich jetzt ei m 0 N fide, m 0 0, so daß m m 0 : d f m x, f x. Wähle wir jetzt 0, so folgt d f x, f x d f 0 x d f m0 x, f x 1. Da = gewählt werde ka, folgt d f x, f x 2. Diese Abschätzug hägt aber gar icht mehr vo x ab. Für de Spezialfall =1 ud das zugehörige 0 liege die Wertemege f 0 M i der Kugel U R y 0 N. Die letzte Abschätzug zeigt, daß die Wertemege f M i der Kugel U R 2 y 0 liegt, daß also f ebefalls beschräkt ist. Kehre wir zu beliebigem 0 ud dem zugehörige 0 zurück, so zeigt die letzte Abschätzug, daß d f, f =sup d f x, f x 2 3, ud dies bedeutet gerade, daß die Folge f im Raum M, N de Grezwert f besitzt. Bemerkug: Ist E ei ormierter Vektorraum, so rührt die Metrik auf M, E selbst vo eier Norm, ämlich der sog. Supremumsorm f :=sup f x her. Setzt ma wie üblich N :={1,2,3, }, so ist R mit der Maximumsorm, währed N,R l. N,R als Baachraum isomorph zum Isbesodere ist ämlich die Abbildug : N,R R, die durch f f 1,, f gegebe ist, ei Vektorraumisomorphismus, ud es gilt f = f.

3 Gleichmäßige Kovergez stetiger Abbilduge Wir versehe jetzt auch die Mege M mit der Struktur eies metrische Raums ud betrachte de Raum b M, N der beschräkte stetige Abbilduge M N. Dabei hadelt es sich offebar um eie Teilmege des metrische Raums M, N, ud mit der vo diesem Raum ererbte Metrik wird auch b M, N zu eiem metrische Raum. Wir gehe auch hier davo aus, daß N vollstädig ist ud habe da de wichtige: Satz Der Raum b M, N ist vollstädig. Mit adere Worte: Eie gleichmäßig kovergete Folge beschräkter stetiger Abbilduge M N besitzt eie stetige Grezabbildug (die atürlich auch beschräkt ist). Beweis: Sei also f eie gleichmäßige Cauchyfolge beschräkter stetiger Abbilduge M N, d.h. eie Cauchyfolge bzgl. der durch M, N gegebee Metrik. Wir wisse aus dem Satz zuvor, daß es eie Grezabbildug f M, N gibt, daß also die Folge f gleichmäßig gege f kovergiert. Es muß gezeigt werde, daß f stetig ist. Die gleichmäßige Kovergez bedeutet: 0 0 N 0 : d f x, f x Ma beachte, daß 0 icht vo x abhägt. Die Stetigkeit der f heißt: N, 0 0 y M : d x, y d f x, f y Ma beachte, daß vo,x ud abhägt. Zum Nachweis der Stetigkeit vo f schätze wir ab: d f x, f y d f x, f x d f x, f y d f x, f x d f x, f y d f y, f y Gebe wir ud 0 vor. Die gleichmäßige Kovergez beschert us ei 0 i Abhägigkeit vo, wir setze = 0 ud beschaffe us aus der Stetigkeit vo f ei, welches vo = 0, x ud, also ur vo x ud abhägt. Setze wir da d x, y voraus, so köe wir obige Abschätzugskette fortsetze =3 Zusammefassed: zu ud 0 habe wir ei 0 gefude, so daß für alle y M d x, y d f x, f y 3. Damit habe wir die Stetigkeit vo f i eiem beliebige : f ist stetig auf M!

4 Awedug auf Potezreihe Satz: Eie Potezreihe defiiert ierhalb ihres Kovergezbereichs eie stetige Fuktio. Dabei betrachte wir hier Potezreihe der Form a z mit komplexe Koeffiziete, i die =0 wir auch komplexe Werte eisetze. Dies schließt de Fall ei, daß die Koeffiziete reell sid ud ma ur reelle Werte eisetzt. Wir wiederhole: Ist die Reihe a z 0 koverget für ei =0 z C mit z. z 0 C, z 0 0, so ist sie absolut koverget für alle Der Beweis geht so: Aus der Kovergez vo a z 0 =0 folgt, daß die Summade eie Nullfolge bilde; jedefalls gibt es ei 0 N 0 : a z 0 1. Es ist := z 1, ud wir schätze ab: a z = a z 0 = 0 = 0 z = 0 1, also absolute Koverge der Reihe. = 0 1 Mit s z := a z habe wir also eie komplexwertige Fuktio, die ierhalb des offee =0 Kreises mit dem Radius R:= um 0 defiiert ist. Ziel ist es zu zeige, daß diese Fuktio ierhalb dieses Kreises stetig ist. Ma ka icht davo ausgehe, daß die Fukitio s im offee Kreis U R 0 beschräkt ist. Als Gegebeispiel köte ma die geometrische Reihe z, die für z 0 = 1 kovergiert, daher im =0 Kreis U 1 0 ach obiger Darstellug absolut kovergiert ud, wie wir wisse, dort die Fuktio 1 1 z darstellt. Diese Fuktio ist im offee Eiheitskreis zwar stetig, aber icht beschräkt! Um die Beschräktheit zu erzwige, beschräke wir de Defiitiosbereich der Fuktio auf abgeschlossee Kreise um 0 mit eiem Radius kleier als. Solche Kreise sid kompakt, ud eie stetige Fuktio muß auf ihe beschräkt sei. Damit ka usere auf de Vorseite etwickelte Theorie über stetige beschräkte Abbilduge zum Trage komme. Wähle wir dazu eie Zahl, 0 1, ud betrachte die Mege M :={z C z }. M ist ei abgeschlosseer Kreis. Wir betrachte die durch s z := a i z i gegebee i=0 Fuktioefolge s im Raum b M,C ud zeige, daß sie bezüglich der auf diesem Raum gegebee Metrik eie Cauchyfolge bilde. Damit erhalte wir eie stetige beschräkte Grezfuktio auf M, de die s sid ja Polyome ud damit stetig.

5 Zu diesem Zweck folgede Rechug mit m 0, z M, später zu bestimmedem 0 : s z s m z = a i z i a i z i = a i z i z i i A dieser Stelle läßt sich 0 jedefalls so groß wähle, daß die a i z i 1 sid. Wir köe also weiter abschätze: z i i = m Zweifellos läßt bei vorgegebeem 0 sich 0 weiterhi so wähle, daß Damit gilt: 0 0, m 0 z M : s z s m z, ud dies ist die gewüschte gleichmäßige Kovergez, somit stellt die Potezreihe i M eie stetige Fuktio dar. Ma eriere sich, daß ma ursprüglich ur wußte, daß die Potezreihe i z 0 kovergiert. Wir setzte R= ud zeigte als ächstes, daß die Reihe für jedes z U R 0 absolut kovergiert. Aschließed zeigte wir, daß sie i jedem abgeschlossee Kreis, der gaz i U R 0 liegt, gleichmäßig kovergiert ud damit eie stetige Fuktio darstellt. Damit stellt sie aber i gaz U R 0 eie stetige Fuktio dar, de wir köe de Rad des abgeschlossee Kreises ja beliebig ah a de Rad des offee Kreise heraschiebe. Dieses Argumet ochmal ausführlicher, auch we es lästig ist: Wir setze B r z :={w C w z r } ; dies ist die abgeschlossee Kugel mit Radius r um z. Die Potezreihe kovergiert absolut im offee Kreis U R 0 ud gleichmäßig i B S 0, we S<R ; sie stellt also i B S 0 ud damit i U S 0 eie stetige Fuktio dar. Ist jetzt z 1 U R 0, so setze wir S := z z 0 1, wodurch sich gerade z 1 U S 0 B S 0 U R 0 2 ergibt. Weil die Potezreihe im abgeschlossee Kreis B S 0 gleichmäßig kovergiert, stellt sie dort eie stetige Fuktio dar, also ist diese auch stetig i U S 0 ud damit i z 1. Da aber z 1 i U R 0 beliebig gewählt war, erhält ma eie stetige Fuktio i gaz U R 0 ud damit im gesamte Kovergezbereich der Reihe. Ma köte hier mit eiem Abschitt über Baachalgebre fortfahre. Der Beweis des obige Satzes über die Stetigkeit vo durch Potezreihe dargestellte Fuktioe überträgt sich da wörtlich vo komplexe Zahle zu Baachalgebre; ma weiß da z.b., daß auch matrizewertige Potezreihe ierhalb ihres Kovergezbereichs stetig sid. I der Vorlesug habe wir diese Satz für komplexe Potezreihe behadelt. Es ist aber formal geauso leicht, ih z.b. für matrixwertige Potezreihe zu beweise.