Fit in Mathe. April Klassenstufe 10 Wurzelfunktionen

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1 Thema Fit i Mathe Musterlösuge 1 April Klassestufe 10 Wurzelfuktioe Uter der -te Wurzel eier icht-egative Zahl (i Zeiche: ) versteht ma die icht-egative Zahl, die mal mit sich selber multipliziert, die Zahl ergibt. Dabei schreibt ma für 2 eifach. Was ist also (ohe Tascherecher) im Sie obiger Defiitio: a) 169 b) 2,25 c) 9 25 d) 7056 e) 6272,64 f) g) 3 0,216 h) 5 0,00001 Lösuge zu a) 13; zu b) 1,5; zu c) 3 5 ; zu d) 84; zu e) 79,2; zu f) 6; zu g) 0,6; zu h) 0,1 Die Summe aller Eizelergebisse ist 185 ud davo die Quersumme 14. Ermittle durch Nutzug obiger Defiitio der Wurzel die Umkehrfuktio folgeder Fuktioe ud skizziere ihre Graphe: a) y= 2 4 mit dem Defiitiosbereich [0, b) y= 2 4 mit dem Defiitiosbereich,0] Lösug Die Umkehrfuktioe sid: zu a) y= 4 mit dem Defiitiosbereich [ 4, ud zu b) y= 4 mit demselbe Defiitiosbereich wie bei a). zu a) Zu b) Die Beträge der y-achseabschitte sid i beide Fälle 2. Wer am Ede seier Schulzeit alle "Fit i Mathe"-Aufgabeblätter eigestädig ud erfolgreich bearbeite ka, erfüllt usere Erwartuge a die Mathematikkompeteze userer Studieafäger. Die mathematische Voraussetzuge für eie erfolgreiche Studieeistieg a userer Hochschule sid damit gegebe.

2 Fit i Mathe Musterlösuge 2 April Klassestufe 10 Bestimme wie i Aufg. 2 eie Uterteilug des Defiitiosbereiches der Fuktio y= , für die es jeweils eie Umkehrfuktio gibt ud ermittle dere Fuktiosgleichug. Lösug We ma de Defiitiosbereich obiger Fuktio i die Itervalle a),4] ud b) [4, uterteilt, so eistiere auf de Itervalle jeweils die Umkehrfuktioe a) y=4 mit dem Defiitiosbereich [0, ud b) y=4 mit demselbe Defiitiosbereich. Der Betrag des y-achseabschitts ist bei beide Fuktioe 4. Bestimme eie atürliche Zahl so, dass der Graph vo Pukt P geht. a) P 125/5 b) P 128/2 c) P 10000/10 Lösug zu a) =3; zu b) =7; zu c) =4 Die Summe aller ist 14. f = durch de Gib de Defiitios- ud Wertebereich folgeder Fuktioe a: a) f = b) f = 2 1 c) f = d) f = Lösug zu a) Defiitiosbereich: [1, ud Wertebereich: [0, zu b) Defiitiosbereich:, ud Wertebereich: [1, zu c) Defiitiosbereich: R 2, 2 ud Wertebereich: [0, zu d) Defiitiosbereich: R 1, 3 ud Wertebereich: [0, Die Läge des kürzeste Ausahmeitervalls der Defiitiosbereiche ist 2. Was ist der Defiitiosbereich folgeder Fuktioe ud wie sehe ihre Graphe aus? a) f 1 = 16 2 b) f 2 = Welche geometrische Figur bilde die Graphe? Lösug Zu a) Zu b) Wer am Ede seier Schulzeit alle "Fit i Mathe"-Aufgabeblätter eigestädig ud erfolgreich bearbeite ka, erfüllt usere Erwartuge a die Mathematikkompeteze userer Studieafäger. Die mathematische Voraussetzuge für eie erfolgreiche Studieeistieg a userer Hochschule sid damit gegebe.

3 Fit i Mathe Musterlösuge 3 April Klassestufe 10 Beide Graphe zusamme bilde eie Kreis mit Radius 4. Das kleiste Quadrat, das beide Graphe umfasst, hat de Flächeihalt 64. Was ist der Defiitiosbereich der Fuktioe f 1 = ud f 2 = ud wie sehe ihre Graphe aus? Welche geometrische Figur bilde die Graphe? Lösug Graph vo f 1 : Graph vo f 2 : Beide Graphe zusamme bilde eie Ellipse mit de Halbachse a=3 ud b=2. Die Ellipsegleichug für die gesamte Puktmege beider Graphe ka auch geschriebe werde als 2 3 y2 2 2 =1. 2 Das kleiste die Graphe umfassede Rechteck mit achseparallele Seite hat die Fläche 24. y Zeige, dass für, y 0 gilt: = y. y Folgere daraus, dass y geau da gilt, we y ist. Wer am Ede seier Schulzeit alle "Fit i Mathe"-Aufgabeblätter eigestädig ud erfolgreich bearbeite ka, erfüllt usere Erwartuge a die Mathematikkompeteze userer Studieafäger. Die mathematische Voraussetzuge für eie erfolgreiche Studieeistieg a userer Hochschule sid damit gegebe.

4 Fit i Mathe Musterlösuge 4 April Klassestufe 10 Lösug Nach der 3. biomische Formel ( a b a b =a 2 b 2 agewedet auf a= y ud b= ergibt sich y y = y 2 2 = y, woraus obige Gleichug folgt. Da y 0 gilt, müsse y ud y immer dasselbe Vorzeiche habe, also ist y 0 geau da wahr, we y 0 wahr ist. Agewedet wurde also die biomische Formel Nr. 3. Für welche gilt: a) b) c) Lösug zu a) Beide Terme uter de Wurzelzeiche sid für alle größer 0. Mit dem Ergebis vo Aufgabe 8 ka ma deswege auch die Frage stelle: Für welche gilt ? Dieses ist geau da der Fall, we ist. Da aber ach der 1.biomische Formel 2 2 1= 1 2 ist, muss ur = 1 ausgeomme werde, weil hierfür 2 2 1=0 gilt. Die Lösug vo a) ist also: R { 1}.Die Läge des Ausahmeitervalls ist 0, da ur eie Zahl ausgeomme ist. zu b) Zuächst müsse die Zahle 2 ud -2 ausgeomme werde, weil hierfür die Neer der Brüche Null werde. Da muss für die Terme uter de Wurzelzeiche gelte: (i) ud (ii) 2 0. Das erstere heißt, dass etweder 0 ud 2 0 sid - was ur für 1 der Fall ist- oder 0 ud 2 0 sid - was ur für 2 wahr ist. Die Ugleichug (i) erfordert also das Itervall [ 2, 1 auszuehme. Für die zweite Ugleichug muss etweder 3 0 ud 2 0 sei was ur für 2 der Fall ist- oder 3 0 ud 2 0 sei was ur für 3 zutrifft. Die Ugleichug (ii) erfordert also das Itervall 3,2] auszuehme. Da dieses Itervall das zu (i) beihaltet, ka gesagt werde, dass die obige Ugleichug ur für R 3,2 ] Si macht, da ur für diese -Werte die Werte uter de Wurzelzeiche größer Null sid ud damit die Wurzel defiiert sid. Wir köe damit das Ergebis vo Aufgabe 8 awede ud müsse utersuche: Für die -Werte aus dem obige Defiitiosbereich ist die Ugleichug äquivalet zu Wer am Ede seier Schulzeit alle "Fit i Mathe"-Aufgabeblätter eigestädig ud erfolgreich bearbeite ka, erfüllt usere Erwartuge a die Mathematikkompeteze userer Studieafäger. Die mathematische Voraussetzuge für eie erfolgreiche Studieeistieg a userer Hochschule sid damit gegebe.

5 Fit i Mathe Musterlösuge 5 April Klassestufe oder ach Ausmultipliziere , was zu 4 8 äquivalet ist. Das ist aber ur für 3 der Fall. Die Lösugsmege der Ugleichug ist mithi das Itervall, 3], d.h. die reelle Zahle mit dem Ausahmeitervall 3,. zu c) Zuächst muss sicher gestellt werde, dass die Terme uter de Wurzel icht egativ sid, d.h ud Der erste Ausdruck hat keie Nullstelle, ist also für alle größer Null. Der zweite hat die Nullstelle -1,5 ud 2, ist also im Itervall 1,5; 2 egativ. Dies muss ifolgedesse ausgeomme werde. Die Ugleichug ist also ur für R 1,5;2 defiiert. Hierfür ka ma wieder die Utersuchug auf richte. Diese Ugleichug ist äquivalet zu (*) Der quadratische Ausdruck hat Nullstelle bei -2 ud 8, d.h. ur i dem Itervall 2 ;8 ist die Ugleichug (*) erfüllt. Die Lösugsmege ist also das Itervall 2;8, es hat die Läge 10. Aders formuliert heißt das: Die Lösug sid die reelle Zahle mit de Ausahmeitervalle,2] [8. Das kürzeste Ausahmeitervall ist das aus Aufgabeteil a) mit der Läge 0. Die Lösugszahle i der Reihefolge der Aufgabe sid: Eperteaufgabe Für alle N ud R {1} gilt folgede Formel: = 1 Leite daraus her, dass für alle > 0 gilt: a) we 1 ist, da ist 1 1 b) we 0 1 ist, da ist 1 1 Leite weiterhi her, dass für alle 0 gilt: lim =1 Lösug Aus der obe agegebee Gleichug ka ma ableite, dass für alle positive - Werte 1 ud dasselbe Vorzeiche habe müsse, de die like Seite der Gleichug ist für positive immer positiv. Dasselbe gilt auch, we ma a Stelle vo i obiger Gleichug eisetzt. Diese Sachverhalt ka ma so formuliere: Wer am Ede seier Schulzeit alle "Fit i Mathe"-Aufgabeblätter eigestädig ud erfolgreich bearbeite ka, erfüllt usere Erwartuge a die Mathematikkompeteze userer Studieafäger. Die mathematische Voraussetzuge für eie erfolgreiche Studieeistieg a userer Hochschule sid damit gegebe.

6 Fit i Mathe Musterlösuge 6 April Klassestufe 10 We eie positive Zahl ist, da sid alle geau da größer 1, we größer 1 ist. Für beliebige folgt also: Ist 1 so auch 1 bzw. 1 1 oder ist 0 1, so auch 1 bzw Die obige Gleichug liefert aber och mehr, ämlich die Ugleichug (*) 1 1 de die like Seite der Gleichug ist größer als 1, weil zur 1 ur positive Poteze vo addiert werde. Das heißt im Fall 1 : 1 oder oder. Letzteres folgt, we ma i der Ugleichug zuvor durch ersetzt. Im Fall 0 1 wird die Ugleichug (*) zu 1 oder bzw. wie zuvor durch Eisetze vo für. Nu muss ma och zeige, dass im Fall 1 : 1 ist. Aus dem obe Gezeigte wisse wir, dass bei 1 gilt 1, also auch 1.Im Zähler ersetze wir durch ud im Neer durch 1 1, da wird aus der Ugleichug 1 gedruckte Aussage vo obe ur sei, we auch Das ka ach der fett 1 1 ist oder 1. Im Fall 0 1 köe wir so argumetiere: Wir wisse, dass i diesem Fall 0 1 ist, also auch 0 1.Im Zähler ersetze wir wieder durch ud im Neer durch 1 1, da wird aus der Ugleichug vo obe ur sei, we auch Damit sid alle Ugleichuge bewiese. Wie ist es mit dem Grezwert? Das ka wieder ach Aussage 0 lim 1 1 ist oder 0 1. Wir sehe, dass im Fall 1 der Term immer kleier wird, aber stets größer als 1 bleibt. Geht er im Grezwert gege 1? Nehme wir a, er bliebe stets oberhalb eies gewisse Wertes 1 ε, wobei ε ei Wert größer Null sei, d.h. für alle atürliche Zahle gelte 1 ε oder 1 ε 1. Das würde ach der fett gedruckte Aussage vo obe besage, dass Wer am Ede seier Schulzeit alle "Fit i Mathe"-Aufgabeblätter eigestädig ud erfolgreich bearbeite ka, erfüllt usere Erwartuge a die Mathematikkompeteze userer Studieafäger. Die mathematische Voraussetzuge für eie erfolgreiche Studieeistieg a userer Hochschule sid damit gegebe.

7 Fit i Mathe Musterlösuge 7 April Klassestufe 10 auch für alle -te Poteze 1 ε 1 ε 1 oder 1 ε sei würde. Das führt aber zu eiem Widerspruch, de ma fidet für jedes ud ε ei, so dass diese Ugleichug icht mehr gilt. Diese Aussage ließe sich wieder durch Abschätzuge ausgehed vo obiger Gleichug beweise. Wir verzichte hier auf de Beweis. Aalog ka ma im Fall 0 1 argumetiere. Nehme wir a, bliebe für alle atürliche stets uterhalb eiem 1 ε, wobei das gewählte ε kleier 1 sei soll. Das hieße für alle atürliche : 1. Nach der fett gedruckte Aussage 1 ε vo obe hieße das auch für alle atürliche : 1 ε 1 : Auch das führt zu eiem Widerspruch, de 1 ε sikt uter jedes, we ma ur groß geug 1 wählt. Diese Behauptug ist gleichbedeuted mit der Aussage, dass 1 ε über jedes 1 steigt, we ma ur groß geug wählt ud etspricht somit der Aussage für de Fall 1. Wer am Ede seier Schulzeit alle "Fit i Mathe"-Aufgabeblätter eigestädig ud erfolgreich bearbeite ka, erfüllt usere Erwartuge a die Mathematikkompeteze userer Studieafäger. Die mathematische Voraussetzuge für eie erfolgreiche Studieeistieg a userer Hochschule sid damit gegebe.