Dritter Zirkelbrief: Ungleichungen

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1 Matheschülerzirkel Uiversität Augsburg Schuljahr 014/015 Dritter Zirkelbrief: Ugleichuge Ihaltsverzeichis 1 Grudlage vo Ugleichuge 1 Löse vo Ugleichuge 3 3 Mittel 4 4 Mittelugleichuge 5 5 Umordugsugleichug 6 6 Weitere Ugleichuge 7 7 Aufgabe 7 I diesem Brief geht es um Ugleichuge, isbesodere die Mittelugleichuge sowie die Umordugsugleichug Bevor wir aber über Beweise vo Ugleichuge spreche wolle wir die Grudlage geauer aschaue sowie das Löse vo Ugleichuge verstehe 1 Grudlage vo Ugleichuge Eie Ugleichug besteht geauso wie eie Gleichug aus eier like ud eier rechte Seite sowie eiem Vergleichsoperator dazwische Hier ist dies aber u icht das Gleichheitszeiche =, soder <, >, oder Die beide Seite werde miteiader vergliche ud köe reelle Zahle sei oder Terme, die Variable vo reelle Zahle beihalte Aber am Ede sollte da Objekte stehe, die ma irgedwie orde ka, also zum Beispiel ebe reelle Zahle Beispiele Beispiele für erste Ugleichuge Es gilt 3 3, < 5, 4 ud x 0 für alle reelle Zahle x Dagege sid 7 < 7 ud 3 5 falsch ud x > x gilt ur für reelle x, die größer als 1 sid Ählich wie Gleichuge ka ma Ugleichuge maipuliere, also zum Beispiel auf beide Seite de gleiche Term addiere oder abziehe Geau wie bei Gleichuge darf ma icht mit Null multipliziere, da diese Umformug icht rückgägig machbar ist Der größte Uterschied ist jedoch, dass ma aufpasse muss, sobald ma eie Ugleichug mit eier egative Zahl multipliziert Die folgede Tabelle fasst so ziemlich alle Recheoperatioe zusamme Versucht doch mal, diese zu bearbeite

2 Aufgabe 1 Recheregel für Ugleichuge Im folgede ist N + eie atürliche Zahl größer Null ud a, b, c ud d sid reelle Zahle mit zusätzliche Bediuge, die i der erste Spalte stehe I der zweite Spalte steht die Folgerug, allerdigs fehle die Vergleichszeiche Deie Aufgabe ist, diese zu fide Voraussetzug Folgerug a > b, b > c a c a > b a + c b + c a > b, c > 0 ac bc a > b, c > 0 a > b, c < 0 ac bc a b a > b, c < 0 c c 1 1 a b > 0 a b a > b, c > d a + c b + d a b > 0, c d > 0 ac bd a > b > 0 a b a > b 0 a b 1 > a 0 a a a 1 a a a c b c Gaz gaz wichtig ist die erste Aussage: Aus a > b ud b > c folgt a > c Ma muss aber ubedigt beachte, dass aus a > b ud b < c ichts für a ud c folgt!

3 Löse vo Ugleichuge Ählich wie bei Gleichuge ka ma Ugleichuge mit Variable versuche zu löse, also so äquivalet 1 umzuforme, dass ma am Ede die Mege aller mögliche Werte für die Variable ablese ka, für die die Ugleichug stimmt Solche Lösugsmege köe auch leer sei! Beispiele Erstes Beispiel des Löses eier Ugleichug Was ist die Mege aller x R, so dass 3x + > 4x + 7 gilt? Wir köe auf beide Seite 7 abziehe ud sehe, dass 3x 5 > 4x gelte muss Nu ziehe wir auf beide Seite 3x ab ud erhalte 5 > x Da beide Umformuge Äquivalezumformuge ware (ma ka ja die jeweilige Terme wieder zurückaddiere) ist die Lösugsmege gegebe durch L = {x x < 5} Aufgabe Bestimme die Lösugsmege der folgede Ugleichuge ud zeiche sie i die reelle Zahlegerade a) x + 5 > x 5 b) x + 5 x + 7 c) x + 8 x 3 d) x e) 1 x > x+3 Hiweis für die Teilaufgabe e): Beachte, dass es verschiedee Fälle für das Vorzeiche vo x ud vo x + 3 gibt! Oft stößt ma auf Ugleichuge zwische Beträge vo reelle Zahle Der Betrag x vo x R ist defiiert als { x x 0 x := x x < 0 Aufgabe 3 Überzeuge dich vo de folgede Recheregel für Beträge vo reelle Zahle a ud b: a = a, a b = b a, ab = a b, 1 a = 1 a Gilt a + b = a + b? We a b ist, was folgt daraus für a ud b? 1 Äquivalet bedeutet, dass ma die Umformug umkehre ka Das heißt, dass ma aus der eue Versio wieder die ursprügliche Aussage herleite ka 3

4 Lass us u zuächst mal die folgede Ugleichug löse x 3 < 4 Je ach Vorzeiche vo x 3 erhält ma verschiedee Ausdrücke Da ma hier schell Fehler macht, führe wir eifach eie Falluterscheidug durch Im erste Fall ist x 3 Da ist die Ugleichug äquivalet zu x 3 < 4, was us x < 7 gibt Im zweite Fall x < 3 erhalte wir (x 3) < 4, also 3 x < 4 oder x > 1 Die Lösugsmege ist also der Streckeabschitt L = {x R 1 < x < 7} Aufgabe 4 Bestimme alle x R, die die folgede Ugleichuge erfülle a) x + 1 > x 1 + x 3 b) x > ud x 1 x+1 x x+1 3 Mittel I diesem Kapitel werde wir vier sogeate Mittel defiiere Dies sid Fuktioe, die aus (i userem Fall) zwei Zahle eie gemittelte Zahl mache I der Statistik gibt es verschiedee Mittel für verschiedee Zwecke Defiitio Das arithmetische Mittel AM(a, b) vo de reelle Zahle a ud b ist defiiert als AM(a, b) := a + b Das arithmetische Mittel ist also das gaz ormale Mittel oder der gaz ormale Durchschitt vo zwei Zahle Darüberhiaus gibt es aber zum Beispiel och das geometrische Mittel Defiitio Das geometrische Mittel GM(a, b) vo de reelle Zahle a ud b ist defiiert als GM(a, b) := ab Aufgabe 5 I der folgede Skizze siehst du eie Halbkreis, desse Durchmesser die Läge a + b hat Wo siehst du das arithmetische Mittel ud wo das geometrische Mittel i der Zeichug? Welches Mittel scheit immer größergleich dem adere zu sei? Defiitio Das harmoische Mittel HM(a, b) sowie das quadratische Mittel QM(a, b) der reelle Zahle a ud b sid defiiert als HM(a, b) := 1 QM(a, b) := a + 1 b a + b = ab a + b, 4

5 4 Mittelugleichuge Satz Die HM-GM-AM-QM-Ugleichug Für alle positive reelle Zahle a ud b gilt die folgede Ugleichug mi(a, b) ab a + b ab a + b a + b max(a, b) Beweis Wir beweise die Ugleichuge i der Reihefolge gaz liks, AM GM, GM HM, QM AM ud da die rechte Ugleichug (i) Da eies der a ud b das kleiste oder das größte ist, gilt ab mi(a, b) max(a, b) mi(a, b) max(a, b) = = mi(a, b) a + b mi(a, b) + max(a, b) max(a, b) Die Ugleichug gilt, weil ei Bruch aus positive Zahle kleier wird, we ma de Neer größer macht (ii) Da Quadrate vo reelle Zahle immer positiv oder Null sid, gilt (a b) 0 = a + b ab 0 = a + ab + b 4ab = (a + b) 4ab = a + b ab = a + b ab Beachte, dass a ud b icht-egativ sid, weshalb wir die Wurzel so ziehe dürfe (iii) Hier beutze wir die ebe bewiesee Ugleichug a + b ab = ab(a + b) ab = ab ab a + b (iv) Wie vorhi gilt für alle relle Zahle a, b, dass (a b) 0 ist Daraus folgt a + b ab 0 = a + b ab + a + b = (a + b ) (a + b) = a + b a = + b (a + b) 4 a + b 5

6 (v) Ählich wie am Afag müsse wir hier ur bemerke, dass eies der a ud b das größte ud das adere das kleiste Elemet ist Da erhält ma a + b = mi(a, b) + max(a, b) max(a, b) = max(a, b) Aufgabe 6 Überlege dir eie Beweis der Mittelugleichug ahad der geometrische Iterpretatio vo Aufgabe 5 sowie dem folgede Bild Dies wird ei Beweis ohe Worte 5 Umordugsugleichug Seie a 1,, a sowie b 1,, b Folge vo positive reelle Zahle Da gilt Satz Umordugsugleichug Die Größe S = a 1 b a b ist maximal, we (a 1,, a ) ud (b 1,, b ) gleich geordet sid S ist miimal, we die zwei Folge etgegegesetzt geordet sid Beweis Sei (c 1,, c ) eie Permutatio 3 vo (b 1,, b ) ud sei obda 4 a r > a s Da köe wir betrachte Nu gilt S = a 1 c a r c r + + a s c s + + a c, S = a 1 c a r c s + + a s c r + + a c S S = a r c s + a s c r a r c r a s c s = (a r a s )(c s c r ), }{{} >0 woraus folgt, dass c s > c r = S > S sowie c s < c r = S > S Jetzt schaue wir us a, was diese Rechuge bedeute Ageomme, die a-folge war absteiged sortiert, also r < s ud a r a s > 0 Da sehe wir, dass die bezüglich r ud s geauso absteiged sortierte b-folge mit c r c s > 0 ergibt, dass S S < 0 gilt ud damit S < S Das heißt, dass die Folge, wo wir c s ud c r vertausche (dere Summe wir mit S bezeiche), die Summe S kleier macht Aalog sieht ma, dass we die b-folge icht geauso wie die a-folge sortiert ist, aus c r c s < 0 folgt S S > 0 ud damit, dass die umgedrehte Folge die größere Summe S liefert Außerdem folge alle Gleichheitsfälle ud adere Sortieruge für die a-folge mit geau de gleiche Argumete Gleichgeordet bedeutet hier, dass etweder beide Folge absteiged oder beide Folge austeiged geordet sid 3 Eie Permutatio ist eie Umordug der Elemete Das heißt hier, dass die jedes c i gleich eiem b j ist, so, dass alle b s geau eimal bei de c s vorkomme 4 Ohe Beschräkug der Allgemeiheit Dies bedeutet, dass wir eie Aahme treffe, ohe, dass diese die Gesamtaussage beeirächtige würde Hier wähle wir eifach zwei Idizes r ud s, so dass a r > a s gilt 6

7 Aufgabe 7 Erstes Beispiel Beweise für a, b, c 0 gilt a 3 + b 3 + c 3 a b + b c + c a Aufgabe 8 Drei Folge Beweise a 4 + b 4 + c 4 a bc + b ca + c ab für abc 0 Aufgabe 9 Weiteres Beispiel Beweise a+b+c abc 1 a + 1 b + 1 c für a, b, c > 0 Aufgabe 10 Chebyshevs Ugleichug Beweise Chebyshevs Ugleichug 5 für gleich geordete Folge a 1,, a ud b 1,, b vo ichtegative reelle Zahlee a a b1 + + b a 1b a b Aufgabe 11 Nesbitts Ugleichug Beweise Nesbitts Ugleichug 6 für a, b, c > 0 a b + c + b a + c + c a + b 3 Aufgabe 1 Allgemeie Mittelugleichuge Beweise die allgemei AM GM-Ugleichug für reelle Zahle x 1,, X > 0 aus der Umordugsugleichug x1 x x x 6 Weitere Ugleichuge 7 Aufgabe 7