Nachtrag. Alternatives Buch zum Satz von Fermat 1999 bei amazon nur noch gebraucht

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1 Nachtrag Alteratives Buch zum Satz vo Fermat 1999 bei amazo ur och gebraucht 1

2 Uedliche (Zahle-) Mege 2

3 Wiederholug Steuer Bei eiem Eikomme vo ud eiem Steuersatz vo 33% müsse Sie Steuer zahle. Da werde vo Bruttoeikomme Steuer abgezoge. Was bleibt da übrig? Atwort 1:, das ist die Rechug Gleiches mius Gleiches ud das ergibt Null Atwort 2: Bei eiem Steuersatz vo 33% bleibe als Nettoeikomme 67% vom Bruttoeikomme. Das ist bei eiem Eikomme vo auch wieder. Also gilt hier: = 3

4 Mathematisch allgemei Was ist? Die Frage ist zu ubestimmt. Wir müsse präzisiere, wie Uedlich realisiert werde soll. 1. Möglichkeit Ei Recheterm mit eier Variable, i die Zahle so eigesetzt werde, dass das Ergebis im Grezprozess uedlich groß wird. Beispiele: lim 2 lim x 0 1 x Das Problem erhält ma da, we zwei (verschiedee) Recheterme gleichzeitig uedlich groß werde ud voeiader abgezoge werde. 4

5 Beispiele: lim 2 lim + 4 lim Rechug: 2 (+ 4)= 2 4 = ( 1) 4 Ergebis: lim ( 2 (+ 4) ) =? ( ( 1) 4) = Beispiele: lim Rechug: Ergebis: lim = lim = 4 = 4 lim ( )=? ( 4) = 4 Beispiele: lim Rechug: Ergebis: lim = = 4 lim lim = 0 =? Die Rechug ist ubestimmt ud ka prizipiell jede Wert aehme. 5

6 Was geht scheller gege Uedlich? Für das Bereche vo Grezwerte gege Uedlich sid Ketisse hilfreich, welche Recheterme scheller (stärker) gege Uedlich gehe als adere. Für de Vergleich immt ma üblicherweise icht die Differez soder de Quotiete. Zählerterm Neerterm uedlich - der Zählerterm wächst stärker Zahl 0 - beide Terme wachse gleich stark 0 - der Neerterm wächst stärker 6

7 Was geht scheller gege Uedlich? Poteze: a ud b Der Term mit dem höhere Expoete geht scheller gege Uedlich, was ma durch eifaches Kürze sofort sieht. Beispiele: 5 ud ud 4 = = = 3 = 1 0 für gege uedlich für gege uedlich 7

8 Was geht scheller gege Uedlich? Expoetialfuktioe: a a >1 Die Expoetialfuktioe wachse scheller als jede Potez. Beispiele: 2 ud 1,2 ud ,2 1,2 1,44 1,73 2,49 6,19 15,4 38,3 allgemeie Argumetatio: a) additiv -> +1 wird kostat 1 addiert 1,2 1,2 +1 = 1,2 1,2 = 1,2 +0,2 1,2 Es wird also immer das 0,2-fache des erreichte Bestades addiert. Das wird aber bestädig größer. 8

9 Was geht scheller gege Uedlich? Expoetialfuktioe: a a >1 Die Expoetialfuktioe wachse scheller als jede Potez. allgemeie Argumetatio: b) multiplikativ 1,2 1,2 +1 = 1,2 1,2 Es wird kostat mit 1,2 multipliziert. +1 = +1 = 1+ 1 Es wird fortlaufed mit 1+ 1 multipliziert. Dieser Faktor wird mit wachsedem immer kleier ud geht gege 1. Also: Jede Expoetialfuktio wächst scheller als. 9

10 Was geht scheller gege Uedlich? Expoetialfuktioe: a a >1 Die Expoetialfuktioe wachse scheller als jede Potez. 2 ud allgemeie Argumetatio: 2 = = = 2 4 ( 1,19 ) 4 Gerade wurde gezeigt, dass 1,19 letztlich scheller wächst als. Also wächst ( 1,19 ) 4 2 scheller als 4. 10

11 Was geht scheller gege Uedlich?! wächst scheller als jede Expoetialfuktio. Beispiel: ! wächst scheller als! !

12 Mathematisch allgemei Was ist? Die Frage ist zu ubestimmt. Wir müsse präzisiere, wie Uedlich realisiert werde soll. 2. Möglichkeit Uedlich ist eie Mege mit uedlich viele Elemete, vorzugsweise die Mege der atürliche Zahle IN. weitere Beispiele: Die Mege der gerade Zahle, der Brüche Das Problem erhält ma da, we ma zwei uedliche Mege Eis-zu-Eis vergleicht ud testet, ob Elemete dabei übrig bleibe. 12

13 Hilberts Hotel De elemeteweise Vergleich mit de atürliche Zahle übersetzt ma aschaulich i eie Hotel mit uedlich viele Eizelzimmer, die durchummeriert sid. Die zweite (uedliche) Mege sid da die Gäste. Ma fragt, ob alle Gäste i das Hotel passe oder ob die Gäste alle Zimmer belege. Für eie mathematisch geaue Lösug muss ma Gleichuge agebe, die a) für eie vorgegebee Zimmerummer bereche, welche Zahl als Gast dari utergebracht ist b) für eie vorgegebee Gastummer bereche, i welchem Zimmer sie utergebracht ist. Sid alle Gäste utergebracht ud ist das Hotel vollstädig belegt, so heißt die Mege der Gäste abzählbar (uedlich) 13

14 Hilberts Hotel 1. Problem Es kommt ei Bus mit uedlich viele Gäste. Zimmer Gast I Zimmer Nummer z woht Gast Nummer g. z = g 14

15 Hilberts Hotel 2. Problem Das Hotel ist durch de Bus mit de uedlich viele Gäste belegt. Nu kommt och ei Kleibus mit 8 Gäste. {-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0} Zimmer Gast Zimmer z gegebe, Gast g gesucht. g = z 8 Gast g gegebe, Zimmer z gesucht. z = g + 8 Die atürliche Zahle, vereiigt mit eier edliche Mege, sid abzählbar uedlich. 15

16 Hilberts Hotel 3. Problem Der Bus mit de uedlich viele Gäste wird aufgeteilt. Die ugerade Zahle steige i eie weitere Bus. Der Bus mit de gerade Zahle kommt a Hilberts Hotel. Wird es voll werde? Zimmer Gast Zimmer z gegebe, Gast g gesucht. g = 2 z Gast g gegebe, Zimmer z gesucht. z = g:2 I jedem Zimmer woht ei Gast. Das Hotel ist voll belegt. Die gerade Zahle sid abzählbar uedlich. Gerade Zahle ud atürliche Zahle sid gleich mächtig. 16

17 Hilberts Hotel 3. Problem Der Bus mit de uedlich viele Gäste wird aufgeteilt. Die ugerade Zahle steige i eie weitere Bus. Der Bus mit de gerade Zahle kommt a Hilberts Hotel. Wird es voll werde? Ei alterativer Asatz ist dekbar: Gast g kommt i Zimmer z mit z=g, also Gast 2 i Zimmer 2, Gast 4 i Zimmer 4, u.s.w. Folglich bliebe das halbe Hotel leer. Zimmer Gast Dieser Asatz eröffet da aber auch adere Zimmerbeleguge: Gast g kommt i Zimmer z mit z=2 g, also Gast 2 i Zimmer 4, Gast 4 i Zimmer 8, u.s.w. Hierbei komme da auf ei belegtes Zimmer drei leere, das Hotel wäre ur zu eiem Viertel belegt. Zimmer Gast

18 Hilberts Hotel Hier führt die Aalogie i die Irre Abstrakt mathematisch geht es um die Frage, ob sich die utersuchte Mege (Gäste) durchummeriere lässt. Das erste Elemet bekommt immer die Nummer 1, das zweite immer die 2, u.s.w. Ergibt sich dabei eie umkehrbar eideutige Zuordug, so ist die utersuchte Mege abzählbar uedlich. Die Mege der gerade Zahle ist i diesem Sie abzählbar uedlich ud hat damit die gleiche Mächtigkeit wie die atürliche Zahle. 18

19 Hilberts Hotel 4. Problem Es komme zwei Busse mit jeweils uedlich viele Gäste. Bus 1: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Bus 2: 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, Zimmer Gast Zimmer z gegebe, Gast g gesucht. Ist z gerade: g = z:2 Ist z ugerade: g = -(z-1):2 Gast g gegebe, Zimmer z gesucht. Ist g positiv: z = 2 g Ist g icht positiv: z = -g Die gaze Zahle Z={, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } sid abzählbar. Die gaze Zahle ud die atürliche Zahle sid gleich mächtig. 19

20 Hilberts Hotel 5. Problem Es komme uedlich viele Busse mit jeweils uedlich viele Gäste (1;1) (1;2) (1;3) (1;4) (1;5) (1;6) (1;7) (1;8) (1;9) (1;10) (1;11) (1;12) (1;13) (2;1) (2;2) (2;3) (2;4) (2;5) (2;6) (2;7) (2;8) (2;9) (2;10) (2;11) (2;12) (2;13) (3;1) (3;2) (3;3) (3;4) (3;5) (3;6) (3;7) (3;8) (3;9) (3;10) (3;11) (3;12) (3;13) (4;1) (4;2) (4;3) (4;4) (4;5) (4;6) (4;7) (4;8) (4;9) (4;10) (4;11) (4;12) (4;13) (5;1) (5;2) (5;3) (5;4) (5;5) (5;6) (5;7) (5;8) (5;9) (5;10) (5;11) (5;12) (5;13) Die Zimmerverteilug geschieht mit dem Diagoalverfahre. Zimmer Gast (1;1) (2;1) (1;2) (3;1) (2;2) (1;3) (4;1) (3;2) (2;3) (1;4) (5;1) (4;2) (3;3) 20

21 Zimm er Hilberts Hotel 5. Problem Es komme uedlich viele Busse mit jeweils uedlich viele Gäste Gast (1;1) (2;1) (1;2) (3;1) (2;2) (1;3) (4;1) (3;2) (2;3) (1;4) (5;1) (4;2) (3;3) (2;4) (1;5) (6;1) (5;2) (4;3) Gast (b;g) gegebe, Zimmer z gesucht. Zimmer z gegebe, Gast (b;g) gesucht. 1 Diagoalummer = aufger. 8z Jedem Gast ka also umkehrbar eideutig ei Zimmer zugewiese werde. z = ( ) b = +1 ( b+ g 1) ( b+ g) ( b 1) 2 ( ) z+1 2 g = +1 b 21

22 Hilberts Hotel 5. Problem Es komme uedlich viele Busse mit jeweils uedlich viele Gäste (1;1) (1;2) (1;3) (1;4) (1;5) (1;6) (1;7) (1;8) (1;9) (1;10) (1;11) (1;12) (1;13) (2;1) (2;2) (2;3) (2;4) (2;5) (2;6) (2;7) (2;8) (2;9) (2;10) (2;11) (2;12) (2;13) (3;1) (3;2) (3;3) (3;4) (3;5) (3;6) (3;7) (3;8) (3;9) (3;10) (3;11) (3;12) (3;13) (4;1) (4;2) (4;3) (4;4) (4;5) (4;6) (4;7) (4;8) (4;9) (4;10) (4;11) (4;12) (4;13) (5;1) (5;2) (5;3) (5;4) (5;5) (5;6) (5;7) (5;8) (5;9) (5;10) (5;11) (5;12) (5;13) Mathematisch: Die Mege der Gäste ka idetifiziert werde mit der Mege der positive Brüche. Diese Mege ist abzählbar. Die Mege der Brüche (positiv ud egativ) ud die Mege der atürliche Zahle ist gleich mächtig. 22

23 Zusammefassug Die Mege IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, } {-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, } {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, } Z = {, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } Q = die Mege aller Brüche sid alle abzählbar uedlich. Das bedeutet auch, dass sie alle die gleiche Mächtigkeit habe. Gibt es ebe dem abzählbar uedlich och eie adere Art vo Uedlich? JA! 23

24 Verschiedee Arte vo Uedlich Alle mögliche Dezimalzahle zwische 0 ud 1 sid mehr als abzählbar. Beweis (Georg Cator 1877) Ageomme, es gäbe eie Liste aller Dezimalzahle zwische 0 ud 1 0, , , , , , , Nu kostruiere wir damit eie eue Zahl, die mit Sicherheit och icht i der Liste ist. Wir begie mit 0,. Ist die erste Stelle ach dem Komma i der erste Zahl keie 5, so setze wir eie 5 als erste Stelle, asoste eie 4. -> 0,5 Ebeso etscheidet die zweite Stelle i der zweite Zahl, ob wir a die zweite Stelle eie 5 oder 4 setze. -> 0,54 Dieses Verfahre wird uedlich fortgesetzt ud somit eie Dezimalzahl kostruiert, die och icht i der Liste ist. 24

25 Verschiedee Arte vo Uedlich Also: Gäbe es eie abzählbare Liste aller Dezimalzahle zwische 0 ud 1, da wäre sie uvollstädig. Also ka ma die Dezimalzahle zwische 0 ud 1 icht i eie Liste schreibe. Es sid mehr als abzählbar uedlich viele. (Sie passe icht alle i Hilberts Hotel.) Das ist die Mächtigkeit der reelle Zahle (aller Zahle auf der Zahlegerade). Eie eue, größere Mächtigkeit erhält ma, we ma alle mögliche Mege betrachtet, die ma aus reelle Zahle bilde ka. (Potezmege) mehr mehr atürliche Zahle reelle Zahle Potezmege der reelle Zahle 25

26 Verschiedee Arte vo Uedlich mehr mehr atürliche Zahle reelle Zahle Potezmege der reelle Zahle M ä c h t i g k e i t ℵ 0 ℵ 1 ℵ 2 Diese Kette ka beliebig fortgesetzt werde. Daher gibt es uedlich viele Stufe der Mächtigkeit uedlicher Mege. 26

27 Verschiedee Arte vo Uedlich atürliche Zahle mehr reelle Zahle M ä c h t i g k e i t ℵ 0 ℵ 1 Gibt es Mege, dere Mächtigkeit zwische ℵ 0 ud ℵ 1 liegt? Die Atwort ist sehr schwierig: Kotiuumshypothese: Es gibt keie Mächtigkeit zwische ud. ℵ 0 ℵ 1 Ma ka beweise, dass ma auf der Basis der Megelehre die Kotiuumshypothese weder beweise och widerlege ka. Paul Cohe, 1966 Fields-Medaille 27

28 Ausgagsmege Potezmege Die Potezmege eier Mege hat immer eie größere Mächtigkeit als die Ausgagsmege. (G. Cator 1890) Beweis illustriert am Beispiel der atürliche Zahle {3,5,11,17} { } {1,10,23} {12} {15,24} {1} {1,2,3,4,5} {2,5} alle gerade Zahle {1,2,5} Ageomme, beide hätte die gleiche Mächtigkeit. Da gibt es zu jeder Zahl geau eie Mege. Wir köe da wieder die Mege der Potezmege i eie uedliche Liste schreibe. atürliche Zahle Potezmege der atürliche Zahle 28

29 Ausgagsmege Potezmege Wir köe da wieder die Mege der Potezmege i eie uedliche Liste schreibe. Nu gibt es liks Zahle, die i ihrer zugeordete Mege rechts icht ethalte sid. Diese Zahle fasse wir zu eier Mege M zusamme. M ist die Mege aller Zahle, die i ihrer zugeordete Mege icht ethalte sid. M ist eie Mege vo atürliche Zahle, kommt also i der Liste vor. 1 < > {2,3,8} 2 < > {1,2,3,8} 3 < > {2,5,8} 4 < > {2,3,4,5,6} 5 < > {1,5,11,22,83} 6 < > { } 7 < > {1,2,55} 8 < > {2,4,8} 9 < > gerade Zahle 10 < > {11} m < > M M ist folglich eie atürliche Zahl m zugeordet. Ist m i M ethalte? Ja, m ist i M. Also ist m i der zugeordete Mege icht ethalte. Das ist aber M. Also ist m i M icht ethalte. Nei, m ist icht i M. Also ist m i der zugeordete Mege ethalte. Das ist aber M. Also ist m i M ethalte. 29