AT AB., so bezeichnet man dies als innere Teilung von

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1 Teilverhältisse Aus der Geometrie der Dreiecke ket ma die Aussage, dass der Schwerpukt T eies Dreiecks die Seitehalbierede im Verhältis : teilt. Für die Strecke AT ud TM gilt gemäß der Abbildug AT : TM : bzw. AT AM Drückt ma diese Sachverhalt durch Vektore aus, so sid AT ud TM parallele Vektore, d.h. AT TM bzw. AT AM Betrachtet ma u allgemei drei verschiede Pukte A, B ud T, die alle auf eier Gerade liege. Iere Teilug Liegt der Pukt T auf der Strecke AB ud teilt diese im Verhältis m:, so gilt: AT :TB m: m Vektoriell gilt: m AT TB bzw. m AT AB m Allgemei gilt: Ist AT TB mit IR Pukt T., so bezeichet ma dies als iere Teilug vo AB durch de. Äußere Teilug Liegt dagege der Pukt T auf der Gerade AB, icht aber auf der Strecke AB, da sid die Vektore AT ud TB etgegegesetzt gerichtet. I diesem Fall ist AT TB mit IR. Ma spricht vo eier äußere Teilug der Strecke AB durch de Pukt T.

2 Defiitio: (Teilug eier Strecke) Seie A, B ud T drei Pukte mit T AB. Die reelle Zahl, die durch die Bedigug AT TB AB. festgelegt ist heißt Teilverhältis vo T bezüglich der Strecke (Diese Defiitio garatiert, dass die Pukte A, B ud T auf eier Gerade liege, sie legt A als Afagspukt fest ud liefert außerdem och das richtige Vorzeiche vo. Weil für Vektore kei Quotiet defiiert ist, ka ma das Teilverhältis icht als Quotiet zweier Vektore schreibe; ma muss daher i der Defiitio die Produktform wähle) I der folgede Abbildug sid die uterschiedliche Werte vo agegebe, we der zugehörige Teilpukt T die Gerade AB durchläuft. äußerer Teilpukt ierer Teilpukt äußerer Teilpukt ; ; ; ; Dem Pukt B wird keie Zahl als Teilverhältis zugeordet. Zu gibt es keie Teilpukt. Beispiele: Ermittel Sie, i welchem Verhältis der Pukt T die Strecke AB teilt. Gebe Sie auch a ob der Pukt T ierer oder äußerer Teilpukt ist ud ob er äher a A oder äher a B liegt. A 0 B 4 T.), ud 0 0 löst auch die erste Gleichug AT TB T ist ierer Teilpukt. T teilt die Strecke AB im Verhältis : AT : TB :. T liegt äher a A..) A, B4 7 7 ud T AT TB T ist äußerer Teilpukt. T liegt äher a A. Aufgabe:.) I welchem Verhältis teilt T die Strecke AB? Gebe Sie auch a ob der Pukt T ierer oder äußerer Teilpukt ist ud ob er äher a A oder äher a B liegt. T 0 7 A 0 B 4 9 a),, b) T4, A 7, B c) T t t, A 0 4, B 0 d) T8 8, A 4, B 0 ; bereche Sie t ud t

3 .) P teilt AB im Verhältis. Zwische welche Greze liegt, we a) P zwische A ud B liegt? b) A zwische B ud P liegt? c) B zwische A ud P liegt? d) P zwische A ud dem Mittelpukt vo.) A 9, B, C 4 a) C die Strecke AB? b) B die Strecke AC? c) A die Strecke BC? AB liegt?. I welchem Verhältis teilt. Bestimmug des Teilpuktes bei gegebee Verhältis Sid der Afagspukt A, der Edpukt B ud das Teilverhältis gegebe, da führt eie kurze Rechug mit Ortsvektore zum gesuchte Teilpukt T. AT TB t a b t t a b t t t a b t a b a b t für Ist jedoch, so folgt aus vorletzter Gleichug: t a b 0 t a b 0 a b a b Also sid die beide Pukte A ud B idetisch. Aufgabe: 4.) Gegebe sid die Pukte A0 ud B 8 die AB im Verhältis i teile: ; ; ; 4. Bereche Sie die Teilpukte T i,.) Gegebe sid die Pukte T ud B 0. T teilt 4. Bereche Sie die Koordiate des Puktes A. BA im Verhältis.) Gegebe sid die Pukte A 0 ud B8. S ud T teile gleiche Teile. Bereche Sie S ud T. AB i drei

4 7.) Bestimme Sie für die Strecke AB mit A ud B0 4 des Teilpuktes T0 t t ud das Teilverhältis. 8.) Bestimme Sie für die Strecke AB mit A ud B0 4 des Teilpuktes Tt t 0 ud das Teilverhältis. die Koordiate die Koordiate Bemerkug: Wird die Strecke AB durch zwei Pukte T ud T so geteilt, dass für die zugehörige Teilverhältisse gilt, so sagt ma, die Strecke AB wird durch die Pukte T ud T harmoisch geteilt. 9.) Gegebe sid die Pukte A, B 9 ud T 4 T so, dass die Strecke de Pukt wird. 0.) Gegebe ist für AB der Teilpukt T A 4. Bestimme Sie AB durch die Pukte T ud T harmoisch geteilt mit 0, ud der Pukt. Bereche Sie die Koordiate des Puktes B..4 Schwerpukte I der Physik versteht ma uter dem Schwerpukt eies Körpers de Pukt, i dem ma sich die Masse des Körpers kozetriert vorstellt. Für de Ortsvektor des Schwerpuktes S der Strecke AB gilt: s a b Das ist aber auch gerade der Mittelpukt der Strecke AB. S teilt somit die Strecke AB im Verhältis :. Für de Ortsvektor des Schwerpuktes S des Dreiecks ABC gilt: s a b c Der Schwerpukt des Dreiecks ist der Schittpukt der Seitehalbierede, er teilt diese im Verhältis : Für de Ortsvektor des Schwerpuktes S des Tetraeders ABCD gilt: 4 s a b c d Verbidet ma eie Eckpukt des Tetraeders mit dem Schwerpukt der gegeüberliegede Dreiecksseite, so wird diese Strecke vom Schwerpukt des Tetraeders im Verhältis : geteilt. Allgemei gilt für de Schwerpukt des Vielecks AAA...A : s a a a... a 4

5 . Berechug vo Teilverhältisse i ebee Figure Beispiel: Ei Parallelogramm ABCD wird vo de Vektore a AB ud b AD aufgespat. Der Pukt E teilt die Strecke BC im Verhältis :. I welchem Verhältis teilt da der Pukt T die Strecke AE bzw. BD? Wir wisse BE : EC : bzw. BE BC ud suche: BT TD bzw. BT BD AT TE bzw. AT AE b a Zuächst wählt ma sich eie geschlossee Streckezug, der de Pukt T als Ecke ethält (z.b. ABTA). Da gilt: AB BT TA 0 Da stellt ma alle Vektore als Liearkombiatio der liear uabhägige Vektore a ud b dar: AB a BT BD b a TA AT AE AB BE AB BC a b mit de Ubekate ud. Diese Liearkombiatioe setzt ma i Gleichug ei. a b a a b 0 a b a a b 0 a a a b b 0 a b 0 Aus der lieare Uabhägigkeit der beide Vektore a ud b folgt da: 0 0 Addiert ma diese beide Gleichuge, so erhält ma: 0 ud eigesetzt i : Jetzt folgt: BT BD BT BT TD BT BT TD BT TD BT TD 0 AT AE AT AT TE AT AT TE AT TE AT TE

6 T teilt die Strecke BD im Verhältis :. T teilt die Strecke AE im Verhältis :. Aufgabe:.) Ei Rechteck ABCD wird vo de Vektore a AB ud b AD aufgespat. Der Pukt E teilt die Strecke BC im Verhältis :. Bereche Sie i welchem Verhältis die Diagoale BD die Strecke AE teilt. (Fertige Sie zuächst eie Skizze a).) Ei Rechteck ABCD wird vo de Vektore a AB ud b AD aufgespat. Die Strecke AB wird durch E im Verhältis 4 :, BC durch F im Verhältis : geteilt, Wie teile sich folgede Strecke? (Skizze!) a) AF ud CE b) AF ud DE c) DF ud EC.) Ei Parallelogramm ABCD wird vo de Vektore a AB ud b AD aufgespat. E teilt die Strecke AD im Verhältis :, F die Seite BC im Verhältis :. Wie teile sich die Strecke CE ud DF? (Skizze!) 4.) Zeige Sie, dass der Schwerpukt eies Dreiecks die Seitehalbierede im Verhältis : teilt.