2.3 Einführung der Bruchzahlen

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1 . Eiführug der Bruchzahle..1 Bruchzahlaspekte Sei m (mit m ), eie Bruchzahl. (1) Teil vom Gaze (Siehe dazu de folgede Abschitt..!) () Maßzahl: Bezeichug vo Größe [Siehe Abschitt., Teil I (Größekozept). ] () Operator Multiplikative Hadlugsaweisuge, die auf Größe agewadt werde solle. [Siehe Abschitt., Teil II (Operatorkozept). ] (4) Verhältis Beispiele sid etwa: Maßstäbe, Formate, Chace, Torverhältisse (Verhältis vo erzielte Tore zu higeommee Tore)! Zusammehag zu Brüche: Uterscheidug: Ieres Verhältis (IV) Äußeres Verhältis (ÄV) Beispiel: IV: A Schule X ist das Verhältis vo SuS i der S II zu SuS i der S I wie folgt gegebe: 178 : ÄV: A Schule X sid 178 SuS vo 154 SuS i der S II ud 1076 SuS vo 154 SuS i der S I. Bei Verhältisagabe wird (meistes) das (iere) Verhältis agegebe, also m:. m Die zugehörige Brüche (das äußere Verhältis) laute aber,. m m (5) Quotiet Ergebis vo Divisiosaufgabe der Form m: (mit m, ) [Erierug: m heißt Divided, heißt Divisor]. (6) Lösug der lieare Gleichug x = m. (Siehe Abschitt., Teil III [Gleichugskozept]. ) (7) Skalewert Wichtiges Beispiel: Zahlestrahl! (8) Quasi-Kardialität

2 Quasi-Aalogie zum Kardialzahlaspekt der atürliche Zahle Kardialzahlaspekt bei atürliche Zahle: Mächtigkeit eier Mege M = Azahl der Elemete vo M. Quasi-Kardialzahlaspekt bei Bruchzahle: Die Bruchzahl m wird als m - tel aufgefasst. Also gilt: Die Maßzahl ist m, die Größeeiheit ist 1.Die Bruchzahl m gibt die Azahl der - tel a. Beispiel: 4 Drei Viertel... Zwei Grudvorstelluge eies Bruchs Ziel: Geauere Utersuchug des Bruchzahlaspekts (1) aus Abschitt..1. A. Bruch als Teil eies Gaze Beispiele: (1) 4 Pizza. () Ikoische Darstellug: Drei Viertel eier Pizza schraffiere. dm. 5 Ikoische Darstellug: Drei Füftel eies Quadratdezimeters schraffiere. Allgemei: Sei G ei divisibler Größebereich, e eie Größeeiheit. m Da hat ma: e e : m. Verbal: Ei Repräsetat vo e wird i gleich große Teile geteilt; da werde m dieser Teile zusammegefasst. Wichtig ist aber auch die Eisicht, dass ei gegebeer Bruch bei der Veraschaulichug keie feste Größe hat, soder uterschiedlich groß dargestellt werde ka, ud dass er auch keie feste Form hat, soder i völlig uterschiedliche Forme dargestellt werde ka. Dazu folgede Schulbuchbeispiele (zitiert ach [FP & SW], 6/7). [Beispiel 1 zum Stammbruch 1 4 ; Beispiel zum Nicht-Stammbruch 4 ] Bild 1 i der Vorlesug! Bild i der Vorlesug!

3 B. Bruch als Teil mehrerer Gazer Beispiele: (1) 4 Pizza. Eaktive Lösug: Mehrere Variate! () Ikoische Darstellug: Ei Viertel vo drei Pizze schraffiere. dm. Eaktive Lösug: Mehrere Variate! 5 Ikoische Darstellug: Ei Füftel vom drei dm schraffiere. Allgemei: Sei G ei divisibler Größebereich, e eie Größeeiheit. Da hat ma: m e m e : Verbal: m Repräsetate vo e werde zu eiem Repräsetate der Größe m e zusammegefasst. Dieser eue Repräsetat für m e wird i gleich große Teile geteilt; davo wird ei Teil ausgewählt. C. Gleichwertigkeit der beide Grudvorstelluge Im Uterricht gibt es mehrere Zugagsmöglichkeite bezüglich der Eisicht i die Gleichwertigkeit der beide Grudvorstelluge. (1) Vergleich auf der ikoische Ebee () Vergleich kokreter Verteilugssituatioe Schulbuch-Beispiel (zitiert ach [FP & SW], 0) : Eierseits das Teile eier Pizza i füf gleich große Teile, vo dee drei Teile geomme werde; adererseits das gerechte Verteile vo drei Pizze a füf Kider. Bild i der Vorlesug!

4 () Übergag zu kleiere Maßeiheite Beispiel: Eierseits m 1 m : cm : 4 5 cm 75 cm 4 ; adererseits m : 4 00 cm: 4 75 cm. Also: :4 4 m m. Vorsicht: Weg () ist icht geerell beutzbar! [Warum?] (4) Nutzug des Quasikardialzahlaspekts Beispiel: Pizze : 4 =1 Viertel Pizze : 4 = Viertel Pizze = Pizza 4... Bruch ud Repräsetat des Bruchs Fähigkeit 1: Gegebe ist ei Bruch. Gesucht: Veraschaulichug (Repräsetat) dieses Bruchs. Dazu gibt es Grudvorstelluge (Abschitt..). Fähigkeit : Gegebe ist die Veraschaulichug (der Repräsetat) eies Bruchs. Gesucht: Bruch. Dazu eiige Beispiele. Beispiel 1: Kompeteze bei der Ermittlug eies Bruchs: 5 Frage ([FP & SW], 8) Der Flächeihalt des folgede Quadrates sei 1 dm. Um de schraffierte Teil als dm idetifiziere zu köe, müsse die Schüler folgede Frage 4 richtig verstehe, beatworte ud ihre Atworte begrüde köe. (1) Was ist die Eiheit? () I wie viele Teile ist die Eiheit zerlegt worde? () Sid die Teile jeweils gleich groß? (4) Wie groß ist jedes Teil (bezoge auf die Eiheit)? (5) Wie viele Teile sid hier zusammegefasst worde? Beispiel : Eiübe der wichtige Frage (i Beispiel 1): Sid die Teile, i die die Eiheit zerlegt wurde, gleich groß?

5 Schüler/i/e achte häufig icht auf die gleiche Größe der Teile.; deshalb sid Gegebeispiele wichtig. Beispiel : Verschiedee Uterteiluge eier Eiheit i gleich große Teile. Stadardforme der Veraschaulichug vo Brüche: Rechteck, Quadrat, Kreis. Zur didaktische Bewertug dieser Stadard-Veraschaulichugsforme ka ma sich die folgede Frage stelle: Eiheit klar erkebar? Uterteilug leicht durchführbar? Eisetzbarkeit beim weitere Verlauf der Bruchrechug (isbesodere beim Erweiter/Kürze ud bei de Recheoperatioe)? Übug dazu!..4 Bruch ud Bruchzahl Erierug: Äquivalezklassekozept (Abschitt., Teil IV) m ab, m b a Bruchzahl m Pukt auf dem Zahlestahl. <Skizze!> Griffiger Merksatz: Bruchzahle besitze uedlich viele Name!..5 Grudaufgabe der Bruchrechug

6 Ma ka beim Uterricht zur Bruchrechug drei Grudaufgabe uterscheide: Typ I Typ II Typ III Gazes gegebe gegebe? Bruch (teil) gegebe? gegebe Teil? gegebe gegebe I der achfolgede Abbildug sid diese drei Grudaufgabe ahad eies Beispiels (bei dem das Gaze ei Kuche, der Bruch (teil) ud der Teil ei Teilstück des Kuches ist), schö verdeutlicht (zitiert ach [FP & SW], 5). Bild i der Vorlesug! Aufgabe 1: Überlege Sie sich zu eier selbstgewählte Sachsituatio drei Aufgabestelluge, die de drei obe geate Type etspreche! Aufgabe : Warum ist der Aufgabetyp III für Schüler/ie icht leicht? Geauer: Welche mathematische Operatioe müsse durchgeführt werde, um vom gegebee Bruch m Gaze zu komme? ud eiem gegebee Teil (Rechteck) zum [Etwa: Bruch ud Rechteck mit eier Läge vo 6 cm (waagerecht) ud eier Breite vo cm 7 (sekrecht).]