Beispiel 4 (Die Urne zu Fall 4 mit Zurücklegen und ohne Beachten der Reihenfolge ) das Sitzplatzproblem (Kombinationen mit Wiederholung) Reihenfolge

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1 1 Beispiel 4 (Die Ure zu Fall 4 mit Zurücklege ud ohe Beachte der Reihefolge ) das Sitzplatzproblem (Kombiatioe mit Wiederholug) 1. Übersicht Ziehugsmodus ohe Zurücklege des gezogee Loses mit Zurücklege des gezogee Loses mit Beachte der Reihefolge ohe Beachte der Reihefolge Fall 4: N Eie Illustratio zum Häufigkeitsproblem des Falles 4 (Beispiel 1) Aus eier Ure mit drei Lose {A,B,C} werde acheiader drei Elemete gewählt. Nach Wahl eies Loses wird das Los i die Ure zurückgeta. Damit ka es für die zweite ud dritte Wahl ereut i Betracht komme. Das Schlußergebis ka wie folgt aussehe: AAA, BBB, CCC ( gleiche, davo gibt es Möglichkeite) AAC, AAB, BBA, BBC, CCA, CCB ABC (2 gleiche, davo gibt es 6 Möglichkeite) (0 gleich, alle verschiede, davo gibt es eie Möglichkeit) Isgesamt gibt es also 10 uterscheidbare Variate. Sie köe alterativ wie folgt dargestellt werde. Für das Auftrete der uterschiedliche Losummer {A,B,C} gibt es die Muster: Muster A B C

2 2 Auch dies ist ei geerelles Problem: Kombiatioe mit Wiederholug Es gibt N verschiedee Objekte, die aufgrud des Zurückleges ach Wahl jedes der Züge mehrfach, d.h. 0- bis zu -mal auftrete köe: N+ 1. Beweis der Wahlregel Satz Beim Ziehe vo aus N mit Zurücklege ud ohe Berücksichtigug der Reihefolge gibt es N+-1 Ziehugsmöglichkeite. Beweis (ach Feller, Itroductio to Probability Theory I, S. 6-7): Die Ure besteht (gedaklich) aus N Folgeure (Losummer, Zelle, Plätze, Löcher,...), i dee jeweils die Kugel (gezogee Lose) sei müsse. Die Zahl der Möglichkeite für die Wahl ist also die uterschiedliche Zahl der Beleguge der Zelle durch Kugel. Sei i (i=1, 2,..., N) die Zahl der Kugel eier Zelle (die Häufigkeit eier Losummer) mit i 0; N =. Heiße die Lose der Ure {Ziffer 1, Ziffer 2,, Ziffer N}, so sid i die absolute Häufigkeite der Ziffer i ach Abschluß der Wahl, die Belegug des Platzes i mit Häufigkeit i. Da es auf die Reihefolge icht akommt, sid ur die uterschiedliche Beleguge für die Wahl vo Iteresse. Dafür stelle ma eie spezielle Verteilug { i, i=1, 2,..., N} durch folgedes Strich- Ster-Muster dar, z.b. für 6 Zelle, 8 Kugel, d.h. eier Ure mit N=6 Lose ud mit 8 Ziehuge, = 8 Ziffer (Los) *** * **** mit der Belegug i Jede der Zelle wird durch zwei Striche eigerahmt, jede Kugel durch eie Ster repräsetiert. Ei jedes solches Strich-Ster-Muster begit mit eiem Strich, edet mit eiem Strich, ud zwische Afagsstrich ud Edstrich köe die übrige N+-1 Symbole ( Kugel, N-1 weitere Trestriche) beliebig verteilt werde. Damit folgt für die Kugel, daß sie aus N+-1 Möglichkeite ausgewählt werde köe, N+-1 d.h. es gibt uterschiedliche Möglichkeite der Belegug für die Kugel. Etsprechedes folgt für die (N-1) frei wählbare Trezeiche. Die Trestriche liks N+-1 auße ud rechts auße sid festgelegt, damit gibt es uterschiedliche N 1 Möglichkeite der Trezeichewahl. Selbstverstädlich sid beide Zahle für die Möglichkeite gleich: N+-1 N 1 = N+-1

3 Die Idetität folgt durch Auswertug der Biomialkoeffiziete: (N+-1)! (1) (N-1)!! = N+-1 = N+-1 = (N+-1)! N-1! (N-1)!. Ei Soderfall ist der, i dem i jeder Zelle midestes eie Kugel auftaucht, d.h. keie Zelle leerbleibt, bzw. daß keie zwei Striche ebeeiader stehe. Mit Stere ( N) ist da auf jede Fall eie Kugel festgelegt, m.a.w. die N-1 frei wählbare Trezeiche köe ur a -1 potetielle Positioe stehe, d.h. die Zahl uterschiedlicher Belegugsmöglichkeite bei Vorgabe eier Kugel je Zelle ist (-1)! (2) (N-1)!(-N)! = -1 N-1 = -1 -N = (-1)! q.e.d. (-N)! (N-1)! 4. Eiige umerische Beispiele Beispiel 2 Sei N=6, =8: (6+8-1)! (1)' (6-1)!8! = = = (6+8-1)! 8!(6-1)! = 1! 8!5! = 1! 8!5! = 1287 (2)' 7! 5!2! = = 7 5 = 7! 2!5! = 21 Für ei eifacheres Beispiel, das sich per Had überprüfe läßt, betrachte wir Beispiel. Beispiel Sei N=2, =4: (2+4-1)! (1)" (2-1)!4! = (2)" = ! 1!2! = = 1 =! 1!2! = = (2+4-1)! 4!(2-1)! = 5! 4!1! = 5 Die zugehörige Strich/Ster-Muster des Beispiels sid: ohe Vorbelegug Ziffer 1 Ziffer 2 Muster **** 1 *** * 2 ** ** * *** 4 **** 5 bzw. mit Vorbelegug Ziffer 1 Ziffer 2 Muster *** * 1 ** ** 2 * ***

4 4 Beispiel 4 Sei N=4, =2: N+-1 = 5 2 = 10 = 5 Seie aus der Ure {a,b,c,d} zwei Elemete gewählt: aa, bb, cc, dd (2 gleiche, davo 4) ab, ac, ad, bc, bd, cd (0 gleich, alle verschiede, davo 6) isgesamt 10 uterscheidbare Variate. Es ist zugleich die folgede Sitz-Häufigkeitsverteilug. Es gibt 4 Plätze. Mit zwei Kugel ka es die Besetzuge {0,1,2} gebe: sie verteile sich wie folgt (k = 1. Kugel; K = 2. Kugel): a b c d Die letze Spalte ist ur ei Merkposte. Obwohl es zwei Möglichkeite gibt, kk ud Kk, werde sie icht uterschiede, da es icht auf die Reihefolge akommt (s.o.)

5 5 5. Eiige Aufgabe Aufgabe 1 (Der leere Platz) Ageomme, uterscheidbare Bälle werde zufällig auf Plätze verteilt. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit dafür, daß geau ei Platz leer bleibt? Aufgabe 2 Drei Kugel solle auf drei Ure verteilt werde, wobei Mehrfachbeleguge zugelasse seie. Es bezeiche X die Azahl der besetzte Ure ud Y die Azahl vo Kugel i der erste Ure. Wieviele verschiedee Belegugsmöglichkeite gibt es? Lösug Es hadelt sich um ei Ziehe mit Zurücklege ud ohe Berücksichtigug der Reihefolge (s.o. Abschitt 2): + 1 = 5 = 10 Möglichkeite mit Type der Plazierug: Aufgabe (Plazierug mit Vorgabe) N uuterscheidbare Kugel werde auf M Plätze so verteilt, daß jeder Platz zumidest m i ( i = 1,..., M) Kugel ethält ( M m i N). i=1 Wieviel verschiedee Beleguge der Plätze sid möglich? Aufgabe 4 (Plazierug mit Vorgabe) Es solle Kugel auf Plätze verteilt werde. I wie viele der mögliche Beleguge bleibe a) geau ei Platz frei, b) midestes ei Platz frei, c) geau zwei Plätze frei, d) geau k Plätze frei?

6 6 Aufgabe 5 (Plazierug mit Vorgabe) Wieviele Möglichkeite gibt es, 7 gleiche Bobos auf 5 Kider zu verteile? Dabei soll kei Bobo übrigbleibe. Lösug Das ist ei Problem des Plazierugs-Typs Maximale Azahl Bobos für ei Kid Azahl der Möglichkeite = Sei (i,j, ) ei Muster für die Besetzug. i = 7, j = 0 i= 6, j= 1 i= 5, j= 2 i = 4, j = u.s.w.

7 Aufgabe 6 Wieviel Möglichkeite gibt es, bzw. 4 Lehrer auf Schule zu verteile? Hiweis: Es kommt icht darauf a, welcher Lehrer zu welcher Schule kommt. Lösug a) Lehrer auf Schule, es gibt verschiedee Muster: = = 6 = 1 10 allgemei: = = 10 b) 4 Lehrer auf Schule. Zu jeder der alte Lösug kommt möglicherweise "eie" Verteilugsmöglichkeit hizu: allgemei: = 6 4 = 15 c) Wieviel Möglichkeite gibt es, we jede Schule auf jede Fall eie Lehrer bekommt? Bei 4 Lehrer: Möglichkeite ud bei Lehrer: 1 Möglichkeit (keie Wahl) (COMBINATORICS, FACTORIAL, BINOMIAL)