Kontingenztabellen. Chi-Quadrat-Test. Korrelationsanalyse zwischen kategorischen Merkmalen. 1. Unabhängigkeitstest

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1 Kotigeztabelle. Chi-Quadrat-Test KAD Uabhägigkeitstest. Apassugstest. Homogeitätstest Beispiel 1 ohe Frau Ma ? Korrelatiosaalyse zwische kategorische Merkmale Häufigkeitstabelle (Kotigeztabelle): eie tabellarische Darstellug der gemeisame Häufigkeitsverteilug zweier Variable X (z.b. Geschlecht) ud Y (trägerschaft) ohe Frau a=8 b=75 1 Ma c=48 d= Uabhägigkeitstest Frage: uterscheidet sich die Häufigkeit eies feststellbare Merkmals (Symptoms) i zwei Populatioe? H : Geschlecht ud trägerschaft sid voeiader uabhägig (es gibt keie Uterschied) Wie gross wäre die erwartete Häufigkeit (expected frequecy) i der Zelle a, we die Nullhypothese gültig ist? Azahl der Fraue: a + b = 1 Azahl der Persoe : a + c = 76 Aufstellug der Nullhypothese Proportio der Fraue i der Stichprobe: P(Frau) = (a + b)/= 1/ Proportio der Persoe : P( ) = (a + c)/= 76/ a' c' b' d' oder a' b' c' d' ohe Frau a =? b =? 1 Ma c =? d =? erwartete (expected) Erwartete Häufigkeite. Aahme: H ist gültig Geschlecht ud trägerschaft sid uabhägige Ereigisse a b a c a b a c erwartete Häufigkeit i der erwartete Häufigkeit i der erwartete Häufigkeit i der erwartete Häufigkeit i der ohe F a=8 b=75 1 M c=48 d= empirische (observierte, observed) Zelle liks obe : a' a b b d Zelle rechts obe : b' c d a c Zelle liks ute : c' c d b d Zelle rechts ute : d' a b b d c d a c c d b d ohe F 1*76/ 1*14/ 1 M 97*76/ 97*14/ erwartete (expected) 4

2 Die erwartete Häufigkeite aus der empirische Häufigkeite ohe F a=8 b=75 1 M c=48 d= empirische (observed) erwartete Häufigkeit ohe F a =9.14 b = M c =6.86 d = erwartete (expected) Spaltesumme Zeilesumme Azahl der Date i der Stichprobe 5 We die Nullhypothese ist gültig: Die Werte i der etsprechede Zelle der Kotigeztabelle empirische ud erwartete Häufigkeite sid ugefähr gleich. Die folgede Prüfgrösse (gewichtete quadratische Summe) zeigt Chi-quadrat Verteilug: O i Ei, Prüfgrösse i Ei wobei O i die empirische (observed) E i die erwartete (expected) Häufigkeit i der i-te Zelle sid. Freiheitsgrad: (Azahl der Zeile 1)*(Azahl der Spalte 1) für eidimesioale Tabelle: -1 z.b. * (vierfelder-) Tabelle: 1 6 Wiederholug Wichtige Verteiluge der aalytische Statsitik Chi-Quadrat ( ) Verteilug We x 1, x,. x uabhägige stadardormalverteilte Zufallsgrösse sid, da hat die Zufallsgrösse x1 x... x eie sogeate Verteilug Freiheitsgrade Bediguge der Durchführug (Stichprobeumfag) soll geüged gross sei I der Kotigeztabelle der erwartete Häufigkeite solle alle Zellewerte grösser als 1 sei. I der Kotigeztabelle der erwartete Häufigkeite soll die Azahl der Zelle, i de der Wert zwische 1 ud 5 ist, weiger als % der Stichprobeumpfag sei. (z.b. Vierfeldertabelle: alle Elemete solle grösser als 5 sei) Modus =, we FG =1 bzw. Modus = (FG-), we FG > 7 8

3 Spezielfall für Vierfeldertabelle (Praktikumsbuch.b.) Vierveldertest f 1.5 Chi-Quadrat-Verteilug dem Freiheitsgrad 1 1 % die origiale Verteilug M ad bc a bc d a cb d Die Bedigug der Durchführug: das Produkt der zwei kleiste Teilsumme soll grösser sei als 5 a b c d ad bc 9 (1%) f 1 (5%) f 1 9 % 95 % die bei.71 abgeschittee Verteilug.71 Restfläche: 1 % die bei.84 abgeschittee Verteilug Restfläche: 5 % 1 f Chi-Quadrat-Verteilug dem Freiheitsgrad.5 1 % die origiale Verteilug f (1%).5 die bei 6.5 abgeschittee Verteilug f (5%).5 9 % Restfläche: 1 % die bei 7.8 abgeschittee Verteilug 95 % Restfläche: 5 %

4 Beispiel 1 Die Bedigug des Tests: das Produkt der zwei kleiste Teilsumme soll grösser sei als 5 ohe Frau a=8 b=75 1 Ma c=48 d= ( ) M > krit =,84 H ist falsch 76*97 = 77 > 5* =1 Ma darf de Chi- Quadrat-Test awede Es gibt eie Zusammehag zw. dem Geschlecht ud der trägerschaft (Mäer trage öfter) 1 ( ) M > krit =.84 H ist falsch 1.54 > krit =6.6 H ist falsch eiem Sigifikaziveu: <.1 14 Beispiel ohe Frau 1 4 Ma Kalkulatio Excel? 4*6 = 4 < 5*1 =6 Dürfe wir i diesem Fall de Chi-Quadrat- Test icht awede. 15

5 Erhöhug des Umfages der Stichprobe Beispiel H : die Häufigkeit vo Lugekrebs bei Raucher ud Nichtraucher ist idetisch, d.h. =. H 1 : die beide Häufigkeite uterscheide sich, also ist. I der Tabelle sid die Häufigkeite der zwei Kollektive aus der Stichprobe eier Lugefürsorge dargestellt. ohe F 1 4 M ohe ohe es gibt eie Vermutug, aber der Nachweis geht icht 1 Fraue Mäer ohe F M ohe ohe vergrössert sich (1 ): der Nachweis geht 17 Da 7 = 61 > 561 = 5, ka der Test durchgeführt werde. 61( ) M Es ist zu sehe, dass M ist, aber ist der Uterschied auch sigifikat (oder ur zufällig)? Sei das Sigifikaziveau: 5%. Der Freiheitsgrad (x Tabelle) ist: > krit =,84 H ist falsch Daach ist der Uterschied i der Häufigkeit vo Lugekrebs bei Raucher ud Nicht-raucher sigifikat (bei eiem Sigifikaziveau vo 5%). Pr.Buch.b.9 (Bemerkug 15) 18 Beispiel 4 (Pr. Buch, R.1.) Über eie erfolgreiche operative Korrektio eier bestimmte Augekrakheit (ischaemische optische Neuropathie vom icht-arteriale Typ) wurde im Jahre 1989 eie Veröffetlichug ausgegebe. Da i dieser Krakheit früher keierlei wirksame Behadlugsmethode bekat war, wurde dieser Eigriff verbreitet agewedet. Kürzlich erschiee jedoch Berichte auch vo erfolglose Eigriffe, daher hat ma 44 solche Krake i 5 kliische Zetre statistisch erfasst, vo dee bei 119 Persoe die Operatio durchgeführt wurde, bei 15 Krake jedoch icht. Die Beobachtuge i tabellarischer Form: empirische Häufigkeite erwartete Häufigkeite operiert icht op. isg. operiert icht op. isg. verbessert verbessert icht verbessert icht verbessert verschlechtert verschlechtert 1 44 isgesamt isgesamt Es ist statistische Methode zu prüfe, ob die Azahl der Besseruge ohe Operatio tatsächlich höher war? H : keie Differez khi = ( ) /44.87+(5 47.1) /47.1 +(5 5.67) /5.67+(56 55.) /55. +(8 1.46) /1.46+(16.54) /.54 = Weil 5.47 < 5.991= krit, FG=, ablehe wir die H icht.. Apassugstest (reier) Apassugstest (Vergleich der beobachtete Häufigkeite Häufigkeite eier bekate Verteilug) auf Gleichverteilug Würfelversuch Prüfug der Verteiluge auf weitere Verteiluge bekate Parameter die beobachtete Messwerte passe zu eier Verteilug a? Apassugstest Parameterschätzug (Parameter der Verteilug sid aus der beobachtete Häufigkeite geschätzt) Normalitätstest (goodess of fit) auf weitere Verteiluge

6 Apassugstest auf Gleichverteilug Die Kotigeztabelle beobachtete Häufigkeite (O) wird der erwartete Häufigkeite ergätzt (E). H :, Der Würfel ist regelmässig, die 6 mögliche Ereigisse habe dieselbe Wahrscheilichkeit: 1/6 = 16.7 chi = (1 16.7) /16.7 +( ) / ( ) / ( ) / ( ) /16.7 +( ) /16.7 = =.6 < 11.7= krit, FG.=5, H wird ageomme. Der Würfel ist regelmässig. Summe 1 Prüfug der Verteiluge, Normalverteilug H : der lägere Durchmesser der Froscherythrozyte ist ormalverteilt / d ( 1/ m) / d ( 1/ m) Ma schätzt die theoretische Werte der Verteilug de Stichprobeparameter. FG = -m-1, m: Azahl der geschätzte Parameter (hier: )... p =.9 >.5 H : ist richtig / d ( 1/ m) / d ( 1/ m) d (m) A B O Ecot d (m) 1 C O E d (m) D (O E)^/E d (m) 4-1 O E. Homogeitätstest Kolloquiumsote Frau Ma, Biophysik Prüfug der Homogeität (test for homogeeity) H : die Biophysik Kolloquiumsote*-Verteilug i der weibliche Gruppe hat die gleiche Verteilug wie i der mäliche (die Verteiluge sid homogee Verteiluge) Kolloquiumsote Frau Ma, Biophysik IQ m Uabhägigkeit Arte vo Abhägigkeitsbeziehuge Körpergrösse Assoziatiosaalyse Korrelatiosaalyse Körpergrösse stochastische Beziehug Geschmack vermischt Färbug Abhägigkeit determiistische Beziehug Kozetratio empirische (observed) erwartete (expected) *Date: 9 Herbst Semester p =.7 >.5 H : ist richtig umerisch ordial omial umerisch 4