Einstichprobentests für das arithmetische Mittel

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1 Eistichprobetests für das arithmetische Mittel H 0 : = 0 bzw. H 0 : 0 H 1 : 0 zweiseitiger Test) H 1 : 0 zweiseitiger Test) Uter Gültigkeit vo H 0 ist die achfolgede Teststatistik stadardormalverteilt. Sie ka als stadardisierte Abweichug des empirische Mittelwertes vom Wert der Nullhypothese Z x 0 x 0 x Z ~ N (0;1) Statistik für SoziologIe 1

2 Eistichprobetests für das arithmetische Mittel Nur falls die Variaz der Grudgesamtheit bekat ist ka die Teststatistik umittelbar berechet werde Beispiel: Produktiosprozess mit Sollwert: 500g Aus lagjähriger Beobachtug weiß ma, dass die Variaz 9g² beträgt. Stichprobe: 36 x 501g H 0 : = 0 =500 H 1 : zweiseitiger Test) Uter H 0 N(0;1) Statistik für SoziologIe 2 Z Z ~ x 0 x x 0

3 Beispiel: =0,05 z=1,96 Kritischer Bereich (Ablehugsbereich): [-,-1,96] [1,96,+ ] Aahmebereich: x 3 / 36 0,5 [-1,96,+1,96] Z 2 0,5 Iterpretatio: Da der Mittelwert eier Stichprobe vo 36 Verpackugseiheite 501 beträgt, wird die Nullhypothese verworfe, ud ma ka mit eier 95%-ige Sicherheit davo ausgehe, dass die Norm i der Produktio icht eigehalte wird. Statistik für SoziologIe 3

4 Beispiel: Aahmebereich i der Origialskala: z 0 1 / ,960, ,98 d.h. für user obiges Beispiel ergibt sich ei Tolerazbereich vo 499,02 bis 500,98 für das durchschittliche Gewicht bei eier Losgröße vo 36. Statistik für SoziologIe 4

5 Eistichprobetests für das arithmetische Mittel I der Praxis wesetlich bedeutsamer ist der Fall der ubekate Variaz der Grudgesamtheit Eisetze der Schätzug für die Variaz auf Basis der Stichprobe t-verteilug Uter H 0 : T x x x 0 0 s 1/( 1) ( x x) T~ t 1 i1 i 2 Statistik für SoziologIe 5

6 Beispiel: Produktiosprozess mit Sollwert: 500g Stichprobe: H 0 : = 0 =500 Statistik für SoziologIe 6 H 1 : = 0,05 t 0,975;35 = 2,03 Kritischer Bereich (Ablehugsbereich): [- -2,03] [2,03;+ ] Aahmebereich: [-2,03;+2,03] Nr Gewicht Nr Gewicht Nr Gewicht 1 502, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,2

7 Beispiel: Nr Gewicht Nr Gewicht Nr Gewicht 1 502, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,2 Mittelwert 501,04 Variaz der Stichporbe 2,41 Stadardabweichug 1,55 Stadardfehler 0,26 Teststatistik 4,03 kritischer Wert bei =0,05 2,03 T ,26 4,03 1 ˆ ( ) ˆ 2 2 xi x 1 i1 Iterpretatio: Da der Mittelwert eier Stichprobe vo 36 Verpackugseiheite 501g beträgt, wird die Nullhypothese verworfe, ud ma ka mit eier 95%-ige Sicherheit davo ausgehe, dass die Norm i der Produktio icht eigehalte wird. Statistik für SoziologIe 7

8 Beispiel: Aahmebereich i Origialskala: t 0 1 /2; ,030, ,53 Nr Gewicht Nr Gewicht Nr Gewicht 1 502, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,2 Mittelwert 501,04 Variaz der Stichporbe 2,41 Stadardabweichug 1,55 Stadardfehler 0,26 Teststatistik 4,03 kritischer Wert bei =0,05 2,03 Aahmebereich 499,47 500,53 Statistik für SoziologIe 8

9 Excel-Sheet Stichprobeergebisse = 36 xq= 501,04 s= 1,55 s(xq)= 0,258 Irrtumswahrscheilichkeit alpha= 0,05 Freiheitsgrade= 35 kritischer t-wert= 2,0301 kritischer t-wert= 1,6896 bei zweiseitigem Test bei eiseitigem Test Hypothese über de Erwartugswert H0: 500,00 Wert der Teststatistik: 4,03 p-value= 0,0001 bei eiseitigem Test p-value= 0,0003 bei zweiseitigem Test Legede: xq...arithmetisches Mittel (x-quer) s...stadardabweichug der Stichprobewerte s(xq) Stadardfehler Statistik für SoziologIe 9

10 Aalyse mit SPSS Statistik für SoziologIe 10

11 Aalyse mit SPSS Statistik für SoziologIe 11

12 Beispiel Caadia Survey of Labour ad Icome Dyamics Gesamt-Mittelwert für de Studeloh beträgt 15,55 $ Im Rahme eier Erhebug i eier Regio wird eie Stichprobe vo =200 Agestellte befragt um festzustelle, ob sich der Loh i dieser Regio sigifikat vom Gesamtmittel uterscheidet. H 0 : Lohiveau gleich H A : Lohiveau ugleich H 0 : = 0 =15,55 H 1 : zweiseitiger Test) Mittelwert der Stichprobe: 14,86 Stadardabweichug: 7,2 Test-Statistik: -1,36 p-value (2-seitiger Test): 0,1769 Statistik für SoziologIe 12

13 Beispiel Stichprobeergebisse = 200 xq= 14,86 s= 7,2 s(xq)= 0,509 Irrtumswahrscheilichkeit alpha= 0,05 Freiheitsgrade= 199 kritischer t-wert= 1,9720 kritischer t-wert= 1,6525 bei zweiseitigem Test bei eiseitigem Test Hypothese über de Erwartugswert H0: 15,55 Wert der Teststatistik: -1,36 p-value= 0,0884 bei eiseitigem Test p-value= 0,1769 bei zweiseitigem Test Legede: xq...arithmetisches Mittel (x-quer) s...stadardabweichug der Stichprobewerte s(xq) Stadardfehler Statistik für SoziologIe 13

14 Beispiel I eier empirische Studie werde 10 Raucher befragt, wie viele Zigarette sie täglich rauche: Date: 26, 34, 5, 20, 50, 44, 18, 39, 29, 19 Überprüfe Sie die Hypothese, dass durchschittlich mehr als 25 Zigarette täglich geraucht werde mit eiem =0,01. H 0 : 0 25 H 1 : 0 >25 Statistik für SoziologIe 14

15 Berechug x x 1 x x s 9 28, 4 25 s 13,64 T 0,789 13,64 / T ˆ s 1/( 1) xi x ˆ x ˆ i , 4, i , 4 186, 04 Tabellewert t (0,995;9) =3,25 offesichtlich kei sigifikates Ergebis Die Nullhypothese wird beibehalte Statistik für SoziologIe 15