Übungen zu QM III Mindeststichprobenumfang

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1 Techische Hochschule Köl Fakultät für Wirtschafts- ud Rechtswisseschafte Prof. Dr. Arreberg Raum 221, Tel Übuge zu QM III Mideststichprobeumfag Aufgabe 12.1 Sie arbeite bei Lufthasa ud habe folgede Aufgabe zu erledige: Geschätzt werde soll der Ateil der Flugreisede, die mit Lufthasa durchschittlich dreimal oder öfter i eiem Moat fliege. a) Wie groß muss die hierzu beötigte Stichprobe midestes sei, we Folgedes bekat ist: 1. Der Vorstad lässt Sie wisse, dass für ih ei Ergebis mit eier maximale Abweichug vom wahre Wert um vier Prozetpukte ach ute ud obe akzeptabel ist. 2. Sie wolle zu 95% sicher sei, dass Ihre Schätzug mittels Stichprobe de wahre Ateil i der Grudgesamtheit plus/mius 0.04 trifft. 3. Ei Kollege teilt Ihe mit, dass i eier ähliche Studie, die vor zwei Jahre durchgeführt wurde, 30% aller Befragte agabe, dreimal oder öfter im vergagee Moat mit Lufthasa gefloge zu sei. b) Vo 750 Befragte gabe 248 a, im Schitt mehr als zweimal im Moat mit Lufthasa zu fliege. Welche Wert hat das approximative 0.95-Kofidezitervall? Aufgabe 12.2 Sie wolle ahad eies 0,90-Kofidezitervalls Aufschluss erhalte über die im Mittel aufgebrachte wöchetliche Arbeitszeit µ (i Stude) eies Studierede a der FH Köl i der Fakultät für Wirtschaftswisseschafte. a) Wie viele Studierede müsse Sie midestes befrage, damit das 0,90- Kofidezitervall die Breite sechs Stude hat? (I eier frühere ähliche Utersuchug betrug die Stadardabweichug i der Stichprobe s x = 12 Stude.) b) Bei eier Stichprobe vom Umfag = 50 ergabe folgede Date: Bereche Sie ahad dieser Date ei 0,90-Kofidezitervall für µ ud iterpretiere Sie aschließed de erhaltee Wert. 1

2 Aufgabe 12.3 Ei Marktforschugsistitut möchte de Bekatheitsgrad i der Bevölkerug des Produkts Wakeboard ud des Produkts Wakeskate schätze. a) Bei eier vorherige Umfrage kate 20% der Befragte das Produkt Wakeboard. Wie viele Persoe sid jetzt zu befrage, damit mit der Wahrscheilichkeit vo 95% davo ausgegage werde ka, dass die Abweichug vom wahre Ateilswert höchstes zwei Prozetpukte beträgt? b) Erfahrugsgemäß atworte bei Umfrage etwa 30% icht. Wie groß ist da der Stichprobeumfag uter a) zu wähle? c) Bei der Umfrage mit dem Stichprobeumfag aus a) wurde auch der Ateil i der Bevölkerug erhobe, die das Produkt Wakeskate kee. Dieser Ateil betrug 6%. Wie groß ist da - wiederum mit eier Wahrscheilichkeit vo 95% - die Abweichug vom wahre Ateilswert. 2

3 Lösug zu Aufgabe 12.1: Viel-Flieger : Jemad, der im Schitt dreimal oder öfter pro Moat mit der Lufthasa fliegt { 0; i te befragte Perso ist kei Viel-Flieger X i = 1; i te befragte Perso ist Viel-Flieger Gesucht: P (X i = 1) = p =? Y = X 1 + X X =Azahl der Viel-Flieger uter de Befragte Y B(; p) approximatives 0,95 Kofidezitervall für p: [ p 1,96 ; p + 1,96 ] Läge des approximative 0,95-KI für p: Obergreze Utergreze=2 1,96 a) Iformatio 1): Läge des KI = 0,08 Iformatio 2): Es soll ei 0,95-KI sei Iformatio 3): p alt = 0,30 Ohe Formel habe wir: 0,08 = 2 1,96 = 1,7964 = 22,4546 0,08 = 504,21 = 505 0,3 0,7 = 1,7964 Mit der Formel habe wir: (1,96)2 0,3 0,7 0,04 2 = 504,21 = 505 Wolle wir us icht auf de alte Wert p alt = 0,30 verlasse, so habe wir: (1,96)2 0,5 0,5 0,04 2 = 600,25 = 601 b) Faustregel 100 ist erfüllt p = 248 = 0, [ p 1,96 ; p + 1,96 ] = [0,3307 1,96 0,3307 0,6693 0,3307 0,6693 ; 0, ,96 ] = [0,3307 0,0337; 0, ,0337] = [0,2970; 0,3644] d.h. die ahad der obige Stichprobe berechete Schätzug für de Bereich, i dem der wahre ubekate Ateil p mit eier Wahrscheilichkeit vo 0,95 liegt, ist das Itervall [30%; 36%] Lösug zu Aufgabe 12.2: 3

4 a) (1,6449)2 (12) = 43,3 d.h. = 44 b) X = tatsächlich aufgebrachte wöchetliche Arbeitszeit eies Studierede (i Std.) Faustregel 30 ist erfüllt x = 32 ud s 2 x = 47,04 ud s x = 6,8586 0,90-Kofidezitervall für µ: [x 1,6449 sx ; x + 1,6449 sx ]= [32 1,6449 6, ; ,6449 6, ]= [32 1,5955; ,5955] = [30,4; 33,6] d.h. [30; 34] ist ei geschätztes Itervall für de Bereich, i dem µ mit Wahrscheilichkeit 0,90 liegt. Lösug zu Aufgabe 12.3: a) p alt = 0,2 ε = ±0,02 (1,96)2 0,2 0,8 (0,02) 2 = 1 536,6 = d.h. es sid Persoe zu befrage b) 70% = % = ,7 = d.h. es sid Persoe zu befrage c) Faustregel 100 ist erfüllt 0,95-KI für p: 0,06 0,94 0,06 0,94 [0,06 1,96 ; 0,06 + 1,96 ] = [0,06 0,0119; 0,06 + 0,0119] d.h. die Abweichug beträgt etwa 1,2 Prozetpukte. 4

5 Techische Hochschule Köl Fakultät für Wirtschafts- ud Rechtswisseschafte Prof. Dr. Arreberg Raum 221, Tel Übuge zur Vorlesug QM III Mideststichprobeumfag Arbeitsblatt Aufgabe 1 (Klausur vom ) I regelmäßige Abstäde beauftragt ei Uterehme eie Marktforschugsistitut, für de Marktateil seies wichtigste Produkts ei 0,95%-Kofidezitervall zu bereche. Bei eier Umfrage vo Persoe gabe Persoe a, das Produkt regelmäßig zu kaufe. Bestimme Sie aufgrud dieser Stichprobe ei 0,95%-Kofidezitervall für de Ateil der Persoe, die dieses Produkt regelmäßig kaufe. Iterpretiere Sie das Ergebis. Aufgabe 2 (Klausur vom ) I regelmäßige Abstäde beauftragt ei Uterehme ei Marktforschugsistitut, de Marktateil seies wichtigste Produkts zu utersuche. I der Vergageheit lag der beobachtete Marktateil bei ca. 3,7 %. Das Marktforschugsistitut rechet mit dem Uterehme folgedes Hoorar ab: Hoorar = Fixhoorar + Kostesatz mal Azahl der befragte Persoe = GE + 10 GE Azahl der befragte Persoe Das Uterehme bittet das Marktforschugsistitut, die ächste Befragug so zu gestalte, dass sich aus de Ergebisse ei Kofidezitervall mit der Breite vo höchstes füf Prozetpukte ableite lässt. a) Wie viele Persoe müsse midestes befragt werde, we das Kofidezitervall ei Kofideziveau vo 95 % habe soll? Welches Hoorar ergibt sich für das Marktforschugsistitut? b) Um wie viel Prozet erhöht sich das Hoorar, we astelle eies 95 %- Kofidezitervall ei 99 %-Kofidezitervall (ebefalls mit eier Breite vo höchstes füf Prozetpukte) als Ergebis agestrebt wird? Aufgabe 3 (Klausur vom ) Bei der letzte Budestagswahl am hat die SPD 38,5% aller Stimme erhalte. Für die ächste Budestagswahl im Jahr 2006 soll eie Wahlprogose für de Ateil der SPD-Wähler erstellt werde. Dazu wird vorgeschlage, ei 0,95- Kofidezitervall zu bereche. a) Wie viele Wahlberechtigte sid zu befrage, damit die maximale Abweichug vom wahre Ateil höchstes ±3%-Pukte beträgt? 1

6 b) Bei eier Umfrage uter Wahlberechtigte gabe 34% a, für die SPD stimme zu wolle. Bereche Sie aus diese Agabe das gewüschte Kofidezitervall. c) Iterpretiere Sie das uter b) berechete Itervall. Aufgabe 4 (Klausur vom ) I eier Stadt mit Eiwoher soll der Ateil der Raucher a der Gesamtbevölkerug geschätzt werde. Das Gesudheitsamt der Stadt verlagt, dass die durchzuführede Studie zu Ergebisse kommt, die mit eier Wahrscheilichkeit vo 95% zutreffe. Bei eier Umfrage uter 897 Eiwoher befade sich geau 269 Raucher. Schätze Sie ahad der Umfrage de Ateil der Raucher i der Stadt, we die obe geate Aforderug erfüllt werde soll. Ud iterpretiere Sie Ihr Ergebis. Aufgabe 5 (Klausur vom ) Eie Uterehmug führt für ihr Produkt A eie Kudeaalyse durch. Dabei iteressiert u.a., wie hoch der Ateil der treue Kude ist, d.h. derjeige Kude, die das Produkt A seit midestes zeh Jahre kaufe. a) Es soll ei 0,95-Kofidezitervall für de Ateil der treue Kude berechet werde. Wie viele Kude sid zu befrage, damit der Ateil der treue Kude i der Stichprobe höchstes um drei Prozetpukte vom Ateil der treue Kude i der Grudgesamtheit abweicht? b) Isgesamt wurde Kude befragt, seit wie viele Jahre sie scho das Produkt A kaufe: Jahre Azahl der Kude och kei Jahr bis uter 5 Jahre bis uter 10 Jahre bis uter 12 Jahre Jahre oder läger Bereche Sie ahad der Stichprobe ei 0,95-Kofidezitervall für de Ateil der treue Kude i der Grudgesamtheit. c) Iterpretiere Sie das erhaltee Itervall uter b). 2