Wahrscheinlichkeit & Statistik

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1 Wahrscheilichkeit & Statistik created by Versio: 3. Jui Mege als Sprache der Wahrscheilichkeitsrechug, Begriffe, Grudregel Ereigisraum: Ω Ω Mege aller mögliche Ergebisse eies Zufallseperimets Ereigis:, B, C,... Ereigisse umfasse verschiedee Ergebisse aus dem Wahrscheilichkeitsraum. Ereigisse sid Teilmege vom Ereigisraum Ω: Ω. Wahrscheilichkeit: P ( P ( [0, 1] (Wahrscheilichkeite liege zwische 0 ud 100% P ( 0 ( ist das umögliche Ereigis P (Ω 1 (Ω ist das sichere Ereigis Gegeereigis: Das Gegeereigis umfasst alle Ergebisse, die icht i ethalte sid. Es gilt: P ( 1 P ( zwei Ereigisse, B: B B umfasst alle Ergebisse, die i, i B oder i beide ethalte sid ( oder B. Es gilt: B für Ereigisse ohe gemeisame Ergebisse ( B : P ( B P ( + P (B für Ereigisse mit gemeisame Ergebisse ( B : P ( B P ( + P (B P ( B B B B umfasst alle Ergebisse, die i ud i B gleichzeitig vorkomme ( ud B. Es gilt: für uabhägige Ereigisse: P ( B P ( P (B für abhägige Ereigisse: P ( B P ( P (B Bedigte Wahrsch keit, uabhägige Ereigisse: P ( B Die bedigte Wahrscheilickeit gibt die Wahrscheilickeit für ei Ereigis a, we ma scho weiss, dass das Ereigis B eigetrete ist. P ( B P ( B P (B Zwei Ereigisse, B sid uabhägig falls: P ( B P ( absolute Häufigkeit, relative Häufigkeit: H ( h ( Wird ei Eperimet mal hitereiader durchgeführt, da bezeichet ma mit der absolute Häufigkeit H ( die zahl Eperimete, bei dee das Ereigis eigetrete ist. Die relative Häufigkeit h ( gibt de Prozetuale teil der Eperimete a, bei welche das Ereigis eigetrete ist. Wird ei Eperimet sehr oft wiederholt, ähert sich die relative Häufigkeit h ( a die Wahrscheilichkeit P ( a. H ( h ( P ( (für geüged grosse

2 Baumdiagramme Bei mehrstufige Eperimete ka ist es oft hilfreich, ei Baumdiagramm zu zeiche. Jeder st etspricht eier mögliche Kombiatio der Ereigisse der verschiedee Stufe. Für die Berechug der Wahrscheilichkeite gilt: Stufe 1 p 1 p B Etlag eies stes müsse die Wahrscheilichkeite multipliziert werde Die Wahrscheilichkeite mehrer Äste müsse addiert werde. Baumdiagramme sid vor allem sivoll bei zwei- oder dreistufige Eperimete. q 1 q r 1 r Stufe C D C D, C, D B, C B, D Eizele Äste: P (, C p 1 q 1 P (, D p 1 q Mehrere Äste: P (, C oder B, D p 1 q 1 + p r Bedigte Wahrscheilichkeit, Satz vo Bayes, Totale Wahrscheilichkeit, Uabhägigkeit Bei der bedigte Wahrscheilicheit iteressiert us die Wahrscheilichkeit eies Ereigisses, we wir scho wisse, dass B eigetrete ist (z.b. wie gross die Wahrscheilichkeit für Farbeblidheit ist, we ma weiss, dass die Perso weiblich ist. Diese Bedigte Wahrscheilichkeit wird mit P ( B bezeichet ud es gilt: P ( B P ( B P (B Zwei Ereigisse ud B heisse uabhägig, we P ( P ( B gilt. Isbesodere gilt für uabhägige Ereigisse: P ( B P ( P (B Typisches Gegebe: Satz vo Bayes, Totale Wahrscheilichkeit: P ( P ( P (B P ( B P ( B P ( B B B B B B B B B Totale Wahrscheilichkeit: P (B P ( P (B + P ( P ( B Satz vo Bayes: P ( B P ( P (B P ( B P (B P ( P (B + P ( P ( B Eie Krakheit tritt i der Bevölkerug mit eier Wahrscheilichkeit vo % auf: P (K 0.0 Ist eie Perso gesud, liefert der Test zum Nachweis dieser Krakheit i 3% der Fälle fälschlicherweise ei positives Resultat: P ( P K 0.03 Bei eier krake Perso zeigt der Test i 10% der Fälle ei egatives Resultat: P ( P K 0.1 Gesucht: Wie gross ist die Wahrscheilichkeit, dass ei Test positiv ist? Wie gross ist die Wahrscheilichkeit, dass eie Perso tatsächlich krak ist, we der Test positiv ausgefalle ist? Lösug: P (Test positiv P (P P (K P (P K + P ( K P ( P K 4.74% P (Krak, falls Test positiv P (K P P (K P (P K P (K P (P K + P ( K P ( P K 37.97%

3 Laplace Eperimete, Kombiatorik We alle mögliche Ergebisse eies Zufalleperimets die gleiche Wahrscheilichkeit habe, et ma dieses Zufalleperimet ei Laplace Eprimet. I solche Fälle lasse sich die Wahrscheilichkeite vo Ereigisse besoders eifach bereche: P ( zahl güstige Ergebisse zahl mögliche Ergebiss Ω g m Wobei mit g die zahl der güstige Ergebisse ud mit m Ω die zahl der mögliche Ereigisse bezeichet werde. Das bzähle vo solche zahle gehört zum Thema der Kombiatorik. Kombiatorik Permutatioe verschiedee Elemete Elemete, vo dee je k 1, k,... idetisch sid zahl Möglichkeite, Elemete azuorde! Es gibt 4! 4 Möglichkeite, die Buchstabe, B, C, D azuorde.! k 1! k! 6! Es gibt 3!! Möglichkeite, die Buchstabe,,, B, B, C, D azuorde. uswähle ohe Zurücklege zahl Möglichkeite, k Elemete aus auswähle ohe Zurücklege (d.h. ohe Wiederholuge ohe Berücksichtigug der Reihefolge ( k! k!( k! ( 1( k+1 k! Es gibt ( Möglichkeite, 6 Zahle aus 45 auszuwähle (Schweizer Zahlelotto. mit Berücksichtigug der Reihefolge! ( k! ( 1 ( k + 1 Es gibt 0! 17! verschiedee Möglichkeite für die erste 3 Plätze bei eiem Ree mit 0 Teilehmer. uswähle mit Zurücklege zahl Möglichkeite, k Elemete aus auswähle mit Zurücklege (d.h. mit Wiederholuge ohe Berücksichtigug der Reihefolge ( + k 1 ( + k 1! k k! ( 1! Bei eiem Quiz bekommt i jeder der 10 Rude eier der 4 Teilehmer eie Pukt. Es gibt da ( ( mögliche Pukte-Edstäde. mit Berücksichtigug der Reihefolge k Es gibt Möglichkeite, mit de Buchstabe, B,..., Z ei Passwort mit 4 Buchstabe zu bilde. Produktregel: Ka ei Eperimet i ei mehrstufiges Eperimet zerlegt werde, so ka ma die zahl Möglichkeite für ei Ereigis bereche, idem ma die zahl Möglichkeite der Teilereigisse miteiader multipliziert. Wie viele Möglichkeite gibt es, beim Schweizer Zahlelotto (6 ( aus 45 3 Richtige zu ziehe? 6 zahl Möglichkeite, aus de 6 Richtige 3 auszuwähle: ( 3 39 zahl Möglichkeite, 39 Falsche 3 auszuwähle: ( ( zahl Möglichkeite Total für 3 Richtige: 3 3

4 Beroulli-Eperimet mehrmaliges Wiederhole eies Eperimets mit usgäge K K Z Z K K Ei idealer Würfel wird 10 mal geworfe. Wahrscheilichkeit für 7 Sechser: P (7 Treffer zahl Eperimete (zahl Müzwürfe k zahl Treffer (zahl Kopf p Trefferwahrscheilichkeit (z.b. ufaire Müze p 0.6 q 1 p Nietewahrscheilichkeit ( P (geau k Treffer p k q k k ( 10 7 ( ( % 6 Wahrscheil keit für weiger als 9 Sechser: P (weiger als 9 Treffer 1 P (9 oder 10 Treffer ( (10 ( 9 ( 1 ( ( 10 ( ( % Ureeperimete Ziehe vo Kugel mit oder ohe zurücklege Reihefolge spielt keie Rolle N R + B + G Kugel total R rote Kugel B blaue Kugel G grüe Kugel r + b + g gezogee Kugel r rote gezogee Kugel b blaue gezogee Kugel g grüe gezogee Kugel Wahrscheilichkeit p um geau r rote, b blaue ud g grüe Kugel zu ziehe: mit Zurücklege: p ( r ( r b ( r b g p rr p bb p g g wobei: p r R N, p b B N, p g G N ohe Zurücklege: p Die Formel gilt aalog auch für eie adere zahl Kugelfarbe. Für zwei verschiedee Farbe etspricht sie dem Beroullieperimet. ( R ( r B ( b G r ( N Die Formel gilt aalog auch für eie adere zahl Kugelfarbe. Mit dieser Formel ka ma auch die Wahrscheilichkeite beim Lotto aus N bereche. z.b. Wahrscheilichkeit für 4 Richtige beim Schweizerzahlelotto 6 aus 45: ( 6 ( P (4 Richtige 4 39 ( % 6

5 Zufallsvariable Wird jedem Ergebis eies Eperimets eie Zahl zugeordet, da et ma diese Zuordug eie Zufallsvariable oder eie Zufallsgrösse (übliche Symbole für Zufallsgrösse: X, Y, Z. Diskrete Zufallsvariable Stetige Zufallsgrösse Zufallsvariable X : Ω { 1,, 3,... } (abzälbar Beispiele: X ugesumme beim Würfel X zahl Treffer eier Beruoullikette X : Ω R (überabzählbar Beispiele: X Zeitpukt eies Ufalls X Oberfläche eies Regetropfes Wahrscheilichkeit Wahrscheilichkeitsverteilug: ls Formel: P (X i... Dichte: f ( Verteilugsfuktio: ls Tabelle: i 1 P (X i P (X 1 P (X... F ( P (X Wahrscheilichkeit: f (t dt P ( 1 X 1 f (t dt F ( F ( 1 Grafische Darstellug P (X i f ( i a F (a P (X a Erwartugswert E (X µ i i P (X i E (X µ t f (t dt E (ax + b a E (X + b E (X + Y E (X + E (Y Falls X ud Y uabhägig: E (X Y E (X E (Y Variaz V (X i ( i µ P (X i V (X (t µ f (t dt V (X E ( X µ V (ax + b { a V (X V (X + V (Y für X, Y uabh. V (X + Y V (X + V (Y + [E (X Y E (X E (Y ] allgemei Stadardabweichug V (X V (X Spezielle Verteiluge Ugleichug vo Tschebycheff Gleichverteilug Biomialverteilug Poissoverteilug Hypergeometrische Verteilug Geometrische Verteilug Gleichverteilug Normalverteilug Epoetialverteilug P ( X µ c c oder P ( X µ c 1 c Isbesodere: Der Wert eier Zufallsvariable liegt zu midestes 75% i [µ, µ + ] Der Wert eier Zufallsvariable liegt zu midestes 89% i [µ 3, µ + 3]

6 Diskrete Verteiluge Gleichverteilug: X G( : Ω {1,,..., } p P ( X G( k 1 µ E ( X G( + 1 wedug: V ( X G( ( 1 ( ud ( 1 ( + 1 Beim eimalige Würfel mit eiem ideale Würfel ist die ugesumme gleichverteilt zum Parameter 6. 1 Biomialverteilug: X B(,p : Ω {0, 1,,..., } P ( X B(,p k ( p k (1 p k k µ E ( X B(,p p V ( X B(,p p (1 p ud p (1 p wedug: pproimatio durch die Poissoverteilug: pproimatio durch die Normalverteilug: Die zahl Treffer bei eier Beroullikette der Läge mit Erfolgswahrscheilickkeit p ist Biomialverteilt mit de Parameter ud p. Für sehr gross ud p sehr klei (Faustformel: p 0.05 ud 50 ka die Biomialverteilug durch die Poissoverteilug zum Parameter µ p ageährt werde: P ( X B(,p k µk k! e µ Für p (1 p > 9 ka die Wahrscheilichkeit P ( k 1 X B(,p k mit Hilfe der Stadardormalverteilug ageähert werde: P ( X B(,p k ( k µ Φ P ( X B(,p k ( k µ 1 Φ P ( ( ( k µ k1 µ k 1 X B(,p k Φ Φ ( P X B(,p µ c ( c Φ 1 ( P X B(,p µ c ( c Φ Poissoverteilug: X P(λ : Ω {0, 1,,... } P ( X P(λ k λk k! e λ µ E ( X P(λ λ V ( X P(λ λ ud λ wedug 1: wedug : Die Häufigkeit eies völlig zufällig eitretede Ereigis mit Erwartugswert µ ist Poissoverteilt zum Parameter µ. uf eiem Strassestück ereige sich im Jahr im Durchschitt 10 Ufälle. We X die Zufallsgrösse ist, welche die zahl Ufälle pro Tag agibt, da ist X Poissoverteilt zum Parameter λ ud es gilt: P (X k ( 36 1 k k! e 1 36 äherug eier Biomialverteilug (siehe Biomialverteilug.

7 Stetige Verteiluge Gleichverteilug: X G([a,b] : Ω [a, b] { 1 f ( b a für [a, b] 0 sost F ( 1 b a µ E ( X G([a,b] a + b V ( X G([a,b] (b a 0 für < a a für [a, b] b a 1 für > b 1 ud b a 1 1 b a 1 F ( f ( F ( F ( P ( X G([a,b] a b a b wedug: Möchte ma mit eiem Zug wegfahre, welcher im Halbstudetakt fährt ud ma zu eiem völlig zufällige Zeitpukt zum Bahhof geht, da ist die Wartezeit i Miute eie stetige gleichverteilte Zuvallsvariable für das Itervall [0, 30]. Normalverteilug: X N(µ, : Ω R Stadardormalverteilug (µ 0, 1: ϕ ( 1 π e 1 Φ ( 1 π e 1 d Die Verteilugsfuktio Φ ka ur äherugsweise ausgewertet werde, deshalb beutzt ma etweder eie Tabelle (siehe ächste Seite oder eie Tascherecher. ϕ ( Φ ( P ( X N(0,1 Φ ( 1 Φ ( µ E ( X N(0,1 0 V ( X N(0,1 1 ud 1 llgemeie Normalverteilug (µ, : wedug 1: wedug : P ( X N(µ, ( µ Φ P ( X N(µ, ( µ 1 Φ P ( ( ( µ 1 µ 1 X N(µ, Φ Φ ( P X N(µ, µ c ( c Φ 1 ( P X N(µ, µ c ( c Φ Die Normalverteilug kommt i der Prais recht häufig zumidest Näherugsweise vor. Bei eier Produktio müsse Teile vo eier bestimmte Läge gefertigt werde. Die tatsächliche Läge weiche jedoch immer ei weig vo dieser Läge ab. Die bweichug vo der geforderte Läge ist ormalverteilt mit µ 0 ud eiem vom Produktiosvorgag abhägede. äherug der Biomialverteilug (siehe Biomialverteilug

8 Die Verteilugsfuktio Φ für die Stadardormalvertilug Positive Werte: Φ ( ϕ ( Φ ( Bsp: Φ ( Negative Werte: Φ ( 1 Φ ( ϕ ( Φ ( 1 Φ ( Bsp: Φ ( Φ ( Eiige besodere Werte: Φ (

9 Beurteilede Statistik: Grudbegriffe I der Beurteilede Statistik versucht ma, aus de bei mehrmalige Durchführuge eies Zufallseperimetes aufgetretee Ergebisse auf die ubekate, dem Zufallseperimet tatsächlich zugrudeliegede Wahrscheilichkeitsverteilug zu schliesse. Stichprobe: 1,,..., Die Werte 1,,... sid Ergebisse eies mehrmalig durchgeführte Zufallseperimets mit der ubekate Zufallsgrösse X. Stichprobeumfag: zahl der Messuge i eier Stichprobe. Mittelwert: 1 Stichprobevariaz: S S 1 1 i1 i ( i Stichprobemittel: X Das Stichprobemittel X 1 (X 1 + X + + X gibt de Durchschittswert a, we ei Zufallseperimet mit der Zufallsgrösse X mal wiederholt wird. Es gilt: µ X µ X i1 X X bzw. X X µ X schätze: µ X Schätzwert für µ X ist X schätze: X Schätzwert für X ist S Das Stichprobemittel ist für eie grosse Stichprobeumfag ageähert ormalverteilt, uabhägig vo der Verteilug vo X. p schätze: p P ( Schätzwert für p ( ist h ( H( Vertrauesitervall für de ubekate Erwartugswert µ X der Zufallsgrösse X Der ubekate Erwartugswert µ X liegt mit der Sicherheitswahrscheilichkeit γ im Vertrauesitervall [ c γ, + c γ ]. Es gilt: γ P ( ( cγ X µ X c γ Φ 1 bzw. Φ X ( cγ X 1 + γ Damit lässt sich aus eiem gegebee γ der Wert c γ oder umgekehrt bestimme. Falls X icht bekat ist, ka ma de Schätzwert S beutze. Vertrauesitervall für eie ubekate Wahrscheilickkeit p p ( Die ubekate Wahrscheilichkeit p p ( eies Ereigisses liegt mit der Sicherheitswahrscheilichkeit γ im Vertrauesitervall [p 1, p ]. Vorgehe für die Ermittlug der Itervallsgreze p 1, p : 1 Bestimme de Stichprobeumfag, die relative Häufigkeit h h ( ud die Sicherheitsw keit γ. Welcher Wert für c ergibt sich aus Φ (c 1 + γ? 3 Welche Itervallsgreze p 1 ud p ergebe sich aus (h p c p (1 p (ach p auflöse.