Ulrich Stein Fehlerrechnung

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1 Fehlerrechug Verteilug vo Messwerte Mittelwert Stadardabweichug Stadardfehler Rude vo Messwerte Darstellug vo Messwerte (Stellezahl) Fehlerfortpflazug Messergebisse Messug physikalische Realität Messgerät, das Ergebisse eier Messug liefert Messwert-Abweichug: exakte Messuge, z.b. wie viele Räder hat ei Auto systematische Fehler, z.b. durch schlecht eigestellte Messgeräte machmal systematisch korrigierbar, z.b. we Messwert immer um eie feste Betrag zu groß zufällige Abweichuge bei wiederholter Messug (Messusicherheit), da reelle Werte ur bis zu eier Geauigkeit ablesbar Fehlerrechug zur Behadlug dieser zufällige Abweichuge Stichwörter: Mittelwert, Stadardabweichug, Stadardfehler EPh-Labor 1

2 Verteilug der Messergebisse Beispiel: Messug der Körpergröße bei 1000 Jugedliche, Azahl für Itervalle vo 2 cm Messergebisse liege mehr oder weiger um 175 cm Mittelwert. Es gibt aber auch eiige weige, relativ kleie ( cm) ud eiige große ( cm) Breite der Verteilug (Stadardabweichug) Mathematische Beschreibug Absoluter Fehler = Messwert wahrer Wert im Allgem. sid weder der absolute Fehler och der wahre Wert bekat gesucht: Abschätzug für de Fehler Beispiel: Messug ergibt Brücke bricht bei eier Belastug vo 100 kn (etspricht Masse vo 10 t) zusamme Frage: Wie geau ist usere Messug? Auf 0.5 t, auf 5 t? Also Gefahr ab 9.5 t oder bereits ab 5 t? Wiederholte Messuge, z.b. Stichprobe vom Umfag (Messwerte: g 1, g 2, g 3,... g ) streue im Allgem. um de wahre Wert. Häufigkeitsverteilug der Messwerte bei zufällige Abweichuge i Glockeform Normalverteilug EPh-Labor 2

3 Mittelwert Maximum der Verteilugskurve liegt i der Nähe des wahre Wertes, falls keie systematische Fehler Schätzwert für de wahre Wert: arithmetischer Mittelwert (für Messuge: g 1, g 2, g 3,... g ) 1 g g i i 1 Eie schmale Verteilugskurve erhält ma bei geriger g Streuug, Maß für die Streuug: Stadardabweichug (mittlere Abweichug der Messwerte vom Mittelwert = Breite der Verteilug) Tascherecher!!! ( gi g) 1 i 1 Messergebis Stadardfehler bei Messuge g 1 g Frage: Wie geau liegt der Mittelwert am wahre Wert? Messergebis = Mittelwert +/- Stadardfehler Usicherheitsbereich um de Mittelwert g g g Im Itervall [g- g, g+ g] liege ca. 2/3 der Messwerte. Relativer Fehler: v := g / g (wird oft i Prozet agegebe) Beispiel: g = ( 2.0 +/- 0.5 ) m d.h. Itervall zwische ud EPh-Labor 3

4 Darstellug des Messwerts Rude reeller Zahle Messergebisse habe oft reelle Maßzahle, abgelese mit eier gewisse Zahl vo Stelle, z.b. x = m y = m Zahl der agegebee Stelle sagt etwas über die Messgeauigkeit aus, ma rudet de Messwert auf eie gewisse Stellezahl, ab 5 auf, bis 4 ab, z.b. bei ur zwei Nachkommastelle x = m x = 0.38 m y = m y = 0.16 m Darstellug des Messwerts (2) Aussage der Stellezahl Was ist der Uterschied zwische dem Messwert x = 0.3 m ud x = 0.30 m? x = 0.3 m ist das Ergebis eier Rudug, d.h. das Ergebis vor der Rudug lag zwische 0.25 m ud m, d.h. die Aussage 0.3 m ist auf 0.1 m geau. x = 0.30 m ist das Ergebis eier Rudug, d.h. das Ergebis vor der Rudug lag zwische m ud m, d.h. die Aussage 0.30 m ist auf 0.01 m geau. die gewüschte Geauigkeit legt die Stellezahl fest. EPh-Labor 4

5 Darstellug des Messwerts (3) Frage: Wie viele Stelle solle es sei? Atwort: Das hägt davo ab, wie groß der Fehler g ist Ei Fehler g vo 0.1 m liefert ei ugeaueres Ergebis als g = 0.01 m Wie geau, d.h. mit wie viele Stelle, soll g agegebe werde? Für g immt ma 1 oder maximal 2 sigifikate Stelle. Sigifikate Stelle: Zahl der Stelle, ohe die führede Nulle, z.b. 12 1,2 2 sigifikate ifik Stelle 0, sigifikate Stelle 0,01 1 sigifikate Stelle g beschreibt user Uwisse zu g. Die 1. bis max. 2. sig. Stelle legt die Größeordug des Uwisses fest. 0,010 2 sigifikate Stelle, die letzte Null ist keie führede Null! Darstellug des Messwerts (4) Frage: Wie viele Stelle soll der Mittelwert habe? Atwort: Auch das hägt davo ab, wie groß der Fehler g ist Ei Fehler g vo 0.1 m liefert ei ugeaueres Ergebis als g = 0.01 m Mit wie viele Stelle soll der Mittelwert agegebe werde? Für g immt ma geau so viele Nachkomma-Stelle wie für g. Die sigifikate Stelle vo g lege die Zahl der Nachkomma-Stelle sowohl vo g als auch vo g fest, z.b. g = 0,012 m, also 2 sigifikate Stelle, ergebe hier 3 Nachkomma-Stelle, d.h. auch g muss mit 3 Nachkomma-Stelle agegebe werde, z.b. g = 234,2457 m wird auf 3 Nachkomma-Stelle gerudet: 234,246 m Damit erhalte wir als Messergebis: g = (234,246 +/- 0,012 ) m EPh-Labor 5

6 Darstellug des Messwerts (5) Weitere Beispiele: g = 2 m, also 1 sigifikate Stelle, ergibt hier keie Nachkomma-Stelle, g = 234,2457 m wird auf keie Nachkomma-Stelle gerudet: 234 m Messergebis: g = (234 +/- 2 ) m g = 0,0008 m, also 1 sigifikate Stelle, ergibt hier 4 Nachkomma-Stelle, g = 234,2457 m hat 4 Nachkomma-Stelle, braucht icht gerudet zu werde Messergebis: g = (234,2457 +/- 0,0008 ) m g = 100 m, also 3 sigifikate Stelle, was icht erlaubt ist (zu exakt) Lösug: Ma spaltet Zeherpoteze ab: g = 0, m = 0,1 km g = 234,2457 m = 0, m, wird gerudet auf: 0, m Messergebis: g = (0,2 +/- 0,1) 10 3 m = (0,2 +/- 0,1) km Wo ist das Komma? Darstellug des Messwerts (6) Fehlerhafte Darstelluge: Messergebis: g = ( 42 +/ ) m Messergebis: g = ( /- 5 ) m Messergebis: g = ( /- 0.7 ) m Messergebis: g = ( / ) m Messergebis: g = ( / ) m EPh-Labor 6

7 Fehlerfortpflazug Fuktioe vo Messwerte Machmal iteressiere wir us icht direkt für eie Messwert, soder für eie Fuktio des Messwerts. Beispiel: Erdaziehugskraft F = m g, g = 9.81 m/s 2 Die Masse sei gewoge worde: m = ( 12,42 +/- 0,03 ) kg Mittelwert vo F = m g= 12,42 kg 9,81 m/s 2 = 100,602 kg m/s 2, aber wie groß ist F? Der Fehler vo m bestimmt F, aber F ist icht gleich m, allei scho icht wege der uterschiedliche Eiheit kg bzw. kg m/s 2. Für Fuktioe f(x) eier Variable x gilt: df f x dx hier: F = df/dm m = g m = 9.81 m/s 2 0,03 kg = 0,29 kg m/s 2 F = ( 100,6 +/- 0,3 ) kg m/s 2 ( F agegebe mit eier sig. Stelle) Fehlerfortpflazug (2) Fuktioe vo mehrere Veräderliche Für Fuktioe f(x 1,x 2,...x ) vo Variable x 1, x 2,... x gilt: f k 1 f ( x k 2 x ) k Beispiel: Erdaziehugskraft F = mg, jetzt: g = ( 9,81 +/- 0,01 ) m/s 2 Die Masse sei gewoge worde: m = ( 12,42 +/- 0,03 ) kg Frage: Wie groß ist der Fehler für F bei F = F( m, g ) mit 2 fehlerbehaftete Größe m ud g? Part. Ableituge: F/ m = g, m = 0,03 kg, F/ g = m, g = 0,01 m/s 2 F = ( g m ) 2 + ( m g ) 2 = ( 9,81 m/s 2 0,03 kg ) 2 + ( 12,42 kg 0,01 m/s 2 ) 2 = 0,3194 kg m/s 2 F = (100,6 +/- 0,3 ) kg m/s 2 (d.h. F hat sich vergrößert, vorher 0,29 kg m/s 2 ) EPh-Labor 7

8 Fehlerfortpflazug (3) Weiteres Beispiel Trägheitsmomet J eies düe homogee Stabes der Masse m, Läge L, bezüglich eier Achse sekrecht zur Läge, durch de Schwerpukt: J = 1/12 m L 2 Frage: Wie groß ist J, we sowohl m als auch L mit Fehler behaftet sid? Part. Ableituge: J/ m = 1/12 L 2, J/ L = 1/12 m 2 L J ( L m ) ( m 2L L ) Beispiel: m = (120,12 +/- 0,28) g, L = (21,3 +/- 0,1) cm J = 4541,4369 g cm 2, J = 44 g cm 2 (gerudet auf 2 sig. Stelle) Messergebis: J = (4541 +/- 44) g cm 2 2 EPh-Labor 8