Fehlerrechnung und Fehlerabschätzung

Transkript

1 Fehlerrechug ud Fehlerabschätzug Vorbemerkug Eiteilug der Meßfehler. Grobe Fehler. Systematische Fehler.3 Zufällige oder statistische Fehler Fehlerrechug ud Fehlerabschätzug. Bei direkte Messuge.. Durchschittlicher Fehler.. Stadardabweichug (= mittlerer quadratischer Fehler). Bei idirekte Messuge.. Methode der Mehrfachrechug.. Methode der partielle Differetiatio..3 Zusammewirke eizeler Fehler..3. Fehler im ugüstigste Fall..3. Gaußsches Fehlerfortpflazugsgesetz.3 Agabe vo Fehlerabschätzuge.4 Über das Zahlereche Vorbemerkug Die Messug eier physikalische Größe beruht auf eiem Vergleich der zu messede Größe mit eier Eiheit der gleiche Art. Dieser Vergleich führt zu eier Maßzahl, die agibt, wie oft die Eiheitsgröße i der Meßgröße ethalte ist: Meßgröße = Maßzahl x Eiheit. I der Natur des Vergleiches liegt es begrüdet, daß dabei Fehler auftrete. Diese sid je ach Meßverfahre vo uterschiedlicher Art ud Größe. Ohe Agabe über die Größe der mögliche Fehler eier Messug ist die Aussagekraft des Meßergebisses (Meßgröße) ud damit seie Vergleichbarkeit mit adere Meßergebisse eigeschräkt. Die Agabe eies Meßergebisses sollte daher ie ohe eie Fehlerabschätzug erfolge: Meßgröße = Maßzahl x Eiheit + Fehlerabschätzug. Die gebräuchliche Methode der Fehlerabschätzug bzw. der Fehlerrechug ud die mögliche Meßfehler werde im folgede behadelt.

2 Eiteilug der Meßfehler Das Auftrete vo Meßfehler ka verschiedee Ursache habe. Diese diee im folgede für eie Klassifizierug der Fehler.. Grobe Fehler Grobe Fehler beruhe auf der Beutzug eies falsche Meßmittels, eies falsche Meßverfahres oder auf falscher Ablesug. Beispiele: Messug der Durchschittsgeschwidigkeit eies Läufers, we seie Mometageschwidigkeit gemesse werde sollte; Uaufmerksamkeit bei der Ablesug des Meßgerätes. Die grobe Meßfehler sid icht Gegestad der Fehlerrechug bzw. der Fehlerabschätzug. Für diese Betrachtuge geht ma vo der Voraussetzug aus, ma habe keie grobe Fehler begage.. Systematische Fehler Systematische Fehler beruhe auf der Uvollkommeheit der Meßgeräte, der Meßverfahre,der Meßgegestäde, auf falscher Eichug der Meßgeräte, sowie auf Umwelteiflüsse ud persöliche Eiflüsse der Beobachter. Systematische Fehler uterliege eier Gesetzmäßigkeit. Beispiel: Hadstoppug bei leichtathletische Laufwettbewerbe: Reaktioszeit der Zeitehmer verkürzt die Meßzeit. Sofer die systematische Fehler erfaßbar sid, köe sie durch eie Korrektur des Meßergebisses berücksichtigt, d.h. elimiiert werde..3 Zufällige oder statistische Fehler Zufällige oder statistische Fehler etstehe durch icht beeiflußbare Äderuge im Meßgerät, i der Umwelt ud durch de Beobachter. Beispiel: Temperatur- ud Luftdruckschwakuge währed der Messug.

3 Die Fehlerursache sid zwar - zum Teil weigstes - bekat, doch stelle sich die Fehler i zufälliger, icht vorhersagbarer Weise ei, d.h. ihr Auftrete ka icht gesetzmäßig erfaßt werde. Im Gegesatz zu grobe ud systematische Fehler sid zufällige Fehler icht zu vermeide, bzw zu kompesiere. Liege weder grobe och systematische Fehler vor, so zeigt sich, daß bei lägere Reihe vo utereiader gleichartige Beobachtuge die Fehler mit großer Geauigkeit folgede Gesetzmäßigkeite befolge (Hardtwig, S.): () Gleich große positive ud egative Fehler sid gleich häufig. () Je kleier der Betrag eies Fehlers ist, um so häufiger tritt dieser Fehler auf. (3) Am häufigste tritt der Fehler Null auf. Fehlerrechug ud Fehlerabschätzug Gegestad der Fehlerrechug sid ausschließlich die zufällige oder statistische Fehler. Im Rahme eier mathematische Theorie der Fehlerrechug bleibe grobe ud systematische Fehler uberücksichtigt.. Bei direkte Messuge Als direkte Messuge bezeichet ma Messuge, dere Meßergebis durch umittelbares Alege ud Ablese eies "Maßstabes" gewoe wird. Beispiele: Lägemessug, Wägug mit eier Balkewaage. Die hierbei auftretede Fehler werde oft als direkte Fehler bezeichet. Führt ma eie direkte Messug mehrfach aus, so erhält ma eie Azahl utereiader gleichberechtigter Meßwerte x i. Als Meßergebis gibt ma i diesem Fall das arithmetische Mittel a: x = x i = (x + x x i= ) Es bedeutet: x (sprich: x quer) x i arithmetisches Mittel Azahl der Messuge Meßwert der i-te Messug. Als Meßfehler werde üblicherweise die durchschittliche Abweichug oder die mittlere quadratische Abweichug, die sogeate Stadardabweichug der Meßwerte x i vom arithmetische Mittel x agegebe.

4 .. Durchschittlicher Fehler Die Defiitio des durchschittliche Fehlers lautet: x = i= x i x Es bedeutet: x (sprich: Delta x quer): durchschittlicher Fehler Azahl der Messuge x i Meßwert der i-te Messug x arithmetisches Mittel aus de Werte x bis x.. Stadardabweichug (=mittlerer quadratischer Fehler) Die Defiitio der Stadardabweichug lautet: s = ( x i x) i= Es bedeutet: s x i x Stadardabweichug Azahl der Messuge Meßwert der i-te Messug arithmetisches Mittel aus de Werte x bis x Beispiel für.. ud..: x [Skt] x [Skt] ( x) [Skt²] 5,3 0,0 0,000 5, 0, 0,044 5,4 0,09 0,008 5,3 0,0 0,000 5,5 0,9 0,036 5,0 0,3 0,096 5,6 0,9 0,084 = 07, =, = 0, 687 x = 5,3 x = 0, 6 s = 0,

5 Es bedeutet: [ ] Eiheit Skt Skaleteile x x x ( x) ( ) i x x i. Bei direkte Messuge Im Gegesatz zu de direkte Messuge erhält ma bei idirekte Messuge das Meßergebis ur uter Ausutzug bekater physikalischer Gesetze. Beispiele: Fallweg s beim Freie Fall aus Zeitmessuge: s = gt Schwigugsdauer T eies Pedels aus der Läge l: T = π l g Häufig beruht eie idirekte Messug auch auf mehrere uterschiedliche Eizelmessuge, dere Meßergebisse miteiader über ei physikalisches Gesetz verküpft das Meßergebis der idirekte Messug ergebe. Beispiel: Messug der mittlere Geschwidigkeit eies Gegestades zwische zwei Licht schrake: Weg- ud Zeitmessug, de v = s t Die meiste physikalische Messuge sid idirekte Messuge. Für die Fehlerabschätzug bei idirekte Messuge lautet die Frage: We eie Größe x mit adere Größe u,v,w... i eiem gegebee mathematische Zusammehag x = x(u,v,w,...) steht ud diese Größe u,v,w... um u, v, w,... ugeau sid, welcher Fehler x ist da für die Größe x zu erwarte? Um diese Frage beatworte zu köe, betrachtet ma zuächst die sogeate Eizelfehler u x, v x, w x,... Diese Eizelfehler erhält ma, idem ma die Auswirkuge jedes eizele Fehlereiflusses u, v, w,... auf die Usicherheit der Größe x gesodert bestimmt: Ma berechet hierzu jeweils de Fehlerbereich der Größe x (z.b. u x) uter der Aahme, daß ur jeweils eie Eigagsgröße um eie bestimmte Betrag usicher sei (i userem Beispiel u um u), die restliche Eigagsgröße (i userem Beispiel v, w,...) dagege geau. Dies erfolgt i de Abschitte.. ud.., dara aschließed wird im Abschitt..3 über das Zusammewirke der Eizelfehler berichtet.

6 .. Methode der Mehrfachrechug Gegebe sei x = x(u,v,w...) Um mit Hilfe der Methode der Mehrfachrechug die Eizelfehler u x, v x, w x,... zu bestimme, geht ma wie folgt vor: () Ma bestimmt die arithmetische Mittelwerte u, v, w,... ud berechet: x = x( u, v, w,... ) () Da bestimmt ma = x( u + u, v, w,... ) x (3) Ma bildet die Differez x x = x( u, v, w,... ) x( u + u, v, w,... ) = x u (4) Zur Bestimmug vo v x, w x,... geht ma aalog zu () bis (3) vor. Beispiel: Bestimmug der mittlere Geschwidigkeit v mittel eier Versuchsperso zwische zwei Lichtschrake. Um de Weg s = l0 m zwische de Lichtschrake zurückzulege, beötigte die Versuchsperso die Zeit t =,3 s. Die Ugeauigkeit i der Wegmessug war s = 0,03 m, die der Zeitmessug t = 0,0l s. Es ist: v mittel = s/t = 7,69 m/s v mittel = s+ s /t = (l0 m + 0,03 m )/, 3 s = 7,7 m/s ud damit: s v mittel = v mittel - v mittel = 0,03 m/s Etspreched erhält ma für t v mittel = 0,06 m/s... Methode der partielle Differetiatio Gegebe ist x = x(u,v,w,...). Ma berechet die partielle Ableituge ux ux(u, v, w,...) =, u u ud bestimmt die Eizelfehler zu: v, w,...) x ux(u, u = u, v x =... u vx vx(u, v, w,...) =,... v v {Partielle Differetiatio ach u bedeutet: betrachte die Fuktio x(u,v,w... ) ur als Fuktio der Variable u (die adere Größe v,w,... seie kostat) ud differeziere ach de bekate Regel der Differetialrechug.}

7 Beispiel: Bestimmug der mittlere Geschwidigkeit v mittel = s/t eier Versuchsperso zwische zwei Lichtschrake. (Zahlewerte wie uter..) Es ist ud s v mittel = s v mittel = /t s = /,3s 0,003m = 0,0 m/s s t tv t mittel s = t t v mittel = -s/t² t = -(0m/,3² s²) 0,0s = - 0,059 m/s..3 Zusammewirke eizeler Fehler Die Gesamtusicherheit eies Meßergebisses ergibt sich aus dem Zusammewirke der mögliche Eizelfehler. Allerdigs hat die Betrachtug der eizele Fehlereiflüsse für sich allei ( u x, v x, w x,...) de Vorteil, daß ma erket, bei welcher Eizelmessug ma zweckmäßigerweise die Meßgeauigkeit erhöht, um ei geaueres Gesamtresultat zu erziele...3. Fehler im ugüstigste Fall Der Fehler im ugüstigste Fall ist defiiert als: x = x + x + x... (arithmetische Summe) u v w..3. Gaußsches Fehlerfortpflazugsgesetz Der Gesamtfehler ach dem Gaußsche Fehlerfortpflazugsgesetz ergibt sich zu: ( x) + ( x) + ( x)... x = (geometrische Summe) u v w + Das Gaußsche Fehlerfortpflazugsgesetz berücksichtigt, daß eie gewisse Wahrscheilichkeit besteht, daß sich die Fehlereiflüsse teilweise kompesiere. Der mit Hilfe des Gaußsche Fehlerfortpflazugsgesetzes ermittelte Usicherheitsbereich ist immer kleier als der Fehler im ugüstigste Fall..3 Agabe vo Fehlerabschätzuge Die Agabe vo Fehlerabschätzuge erfolgt etweder als Zusatz zum Meßergebis: z.b. 5,5 m/s ± 0,04 m/s oder idem ma ur soviele Stelle der Maßzahl agibt, daß geau die letzte Stelle usicher ist: also: 5,5 m/s

8 Weitere Beispiele: 7,8 0 m oder 0,078 m Dagege beihalte 6,48 0 ud s icht dieselbe Meßgeauigkeit - im erste Fall ist die Huderterstelle usicher, währed im zweite Fall ur die Eierstelle usicher ist!.4 Über das Zahlereche Bei alle Rechuge mit Meßgröße ist zu beachte, daß diese mit eier gewisse Ugeauigkeit behaftet sid. Dies ist auch beim Zahlereche zu berücksichtige. Die Ugeauigkeit eies Recheergebisses wird hierbei immer vo dem prozetisch ugeaueste Eigagswert der Rechug bestimmt. Beispiel: 98,67 m x 7,4 m = 73o,58 m² Da jedoch der Wert 7,4 m ur auf Stelle geau ist, ka auch das Ergebis ur auf Stelle geau agegebe werde. Also 98,67 m x 7,4 m = 7,3 0 m² Ei Auf- oder Abrude des Recheergebisses ka etfalle, da die letzte Stelle sowieso ugeau ist. Literatur Erwi Hardtwig: Fehler- ud Ausgleichsrechug BI -Hochschultaschebücher Nr. 6/6a Maheim 968 Wilhelm Walcher: Praktikum der Physik, Stuttgart 974