Robuste Asset Allocation in der Praxis

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1 Fiazmarkt Sachgerechter Umgag mit Progosefehler Robuste Asset Allocatio i der Praxis Pesiosfods ud adere istitutioelle Aleger sid i aller Regel a ei bestimmtes Rediteziel (Rechugszis) gebude, das Jahr für Jahr i der Kapitalalage erreicht werde muss. Bei der Methode der robuste Optimierug wird ebe dem Ivestmetrisiko auch das Progoserisiko i Bezug auf die erwartete Redite i die Modellierug der Asset Allocatio eibezoge. Damit soll sichergestellt werde, dass ei Aleger seie Rediteziele auch bei fehlerhafte Progose zuverlässig erreicht. Marko Hirsch Joche M. Kleeberg Y Keywords: Portfoliomaagemet, Asset Allocatio Die Vorgabe bestimmter Rediteziele für die Ivestmets vo istitutioelle Ivestore ist bei der Gestaltug der Asset Allocatio zu berücksichtige. Zur Lösug dieser Aufgabestellug wird i der Praxis häufig die klassische Asset Allocatio-Optimierug ach Markowitz eigesetzt. Das wesetliche praktische Problem des Markowitz-Asatzes besteht dari, dass die zur Optimierug der Asset Allocatio beötigte erwartete Redite, Variaze ud Korrelatioe zum Plaugszeitpukt ubekat sid ud deshalb progostiziert werde müsse. Progosefehler köe dazu führe, dass die erwartete Redite des optimierte Portfolios tatsächlich geriger ist als im Modellrahme ageomme ud damit möglicherweise de Rechugszis uterschreitet. I diesem Fall wird das Rediteziel mit eier Wahrscheilichkeit vo über 50 % verfehlt. Die Methode der robuste Asset Allocatio hilft, dieses Problem zu löse. Klassische Asset Allocatio- Optimierug Bei der klassische Asset Allocatio-Optimierug ach Markowitz werde Portfo- lios ahad vo zwei Kezahle bewertet: Der erwartete Redite ud dem Ivestmetrisiko, das mit der Stadardabweichug der Portfolioredite gemesse wird. Auf Basis dieser Größe werde effiziete Portfolios ermittelt, also Portfolios, die bei gegebeem Ivestmetrisiko die höchste erwartete Redite bzw. bei gegebeer erwarteter Redite das gerigste Ivestmetrisiko aufweise. Die Mege aller effiziete Portfolios bildet dabei die so geate Effiziezliie. Vergleich der Optimierugsasätze i (i) (ii) (iii) (iv) Markowitz-Optimierug j=1 x i x j i j ij mi! i x i = r Ziel x i = 1 x i 0, i =1,..., : Azahl der Assetklasse s i : Erwartete Redite der Assetklasse i i : Stadardabweichug der Redite der Assetklasse i ij : Redite-Korrelatio der Assetklasse i ud j x i : Ateil der Assetklasse i am Portfolio r Ziel : Zielredite P Zur Bestimmug eies effiziete Portfolios bei eiem gegebee Rediteziel r Ziel wird dabei wie folgt vorgegage 1: Als Iputparameter werde für alle i die Plaug eibezogee Assetklasse die Erwartugswerte, Stadardabweichuge ud Korrelatioe der Redite zu Grude gelegt. Zielsetzug ist die Miimierug des Ivestmetrisikos des Portfolios (i) uter folgede Nebebediguge: Die erwartete Portfolioredite soll der Zielredite r Ziel etspreche (ii), das Portfolio soll zu 100 % ivestiert sei (iii), ud es (i) j=1 (ii) (iii) (iv) Robuste Optimierug : Schätzfehler der erwartete Redite der Assetklasse i; Zufallsvariable, ormalverteilt mit Erwartugswert 0 ud Stadardabweichug i : Wahrscheilichkeitsmaß : Wahrscheilichkeit, mit der r Ziel erreicht werde muss x i x j i j ij mi! P( ) ( i +s i )x i r Ziel x i = 1 x i 0, i =1,..., 1 20 diebak

2 Fiazmarkt ò schätzt. 2 Als Progosewerte für die erwartete Redite werde hier zur Veraschaulichug der Methodik die historische Redite dieses Zeitraumes verwedet 3 2. Bei Betrachtug der effiziete Portfolios, die sich aus diese Parameter mittels eier Markowitz-Optimierug ergebe, zeigt sich, dass Portfolios mit geriger Das Ergebis der Asset Allocatio hägt wesetlich vo der Qualität der Progose ab. erwarteter Redite vo Rete Eurolad domiiert werde, währed Portfolios mit hoher erwarteter Redite sich ausschließlich aus de beide Assetklasse Aktie Eurolad ud Rete UK zusammesetze 3. Aktie UK besitze i Allokatioe mit geriger erwarteter Redite zudem Beimischugscharakter, weitere Assetklasse spiele i de Allokatioe keie Rolle. Überrasched ist isbesodere, dass US- Aktie gäzlich uberücksichtigt bleibe, obwohl sie ei ähliches Redite-Risikoprofil aufweise wie Eurolad-Aktie: US- Aktie habe im Vergleich zu Eurolad- Aktie zwar eie leicht gerigere erwartete Redite (10,04% vs. 10,81% p.a.), adererseits aber auch eie gerigere Stadardabweichug (19,53% vs. 19,98% p.a.). Die Portfoliostrukture etlag der Effiziezliie erscheie isgesamt sehr uausgewoge: ei Ergebis, das bei der praktische Awedug der klassische Markowitz-Optimierug häufig auftritt. Berücksichtigug des Schätzrisikos Da es sich bei de Iputparameter der Portfoliooptimierug um Progose hadelt, stellt sich die Frage, iwiefer mögliche Schätzfehler bezüglich der erwartete Redite das Ergebis beeiflusse köe. Betrachte wir i obigem Beispiel das mit eier Zielredite r Ziel = 7,5% optimierte Portfolio 4. Wir ehme a, sämtliche Parameter seie korrekt geschätzt worde mit Ausahme der erwartete Redite des Eurolad-Retemarktes, die tatsächlich deutlich geriger ist. Das optimierte Portfolio, das mit 87 % eie beträchtliche Rete Eurolad- Ateil aufweist, würde damit die geforderte Zielredite vo 7,5% p.a. im Erwartugswert etspreched deutlich uterschreite. Zur Erreichug der Zielredite wäre i diesem Fall ei Portfolio optimal, das eie deutlich gerigere Exposure i Rete Eurolad Y aufweist 2 Redite- ud Risikoprogose (Puktschätzer) Aktie Eurolad Aktie UK Aktie USA Aktie Asie/Pazifik Rete Eurolad Rete UK Rete USA Erwartete Redite p.a. 10,81 % 9,43 % 10,04 % 2,10 % 7,23 % 7,75 % 6,12 % Stadardabweichug p.a. 19,98 % 15,08 % 19,53 % 20,43 % 3,17 % 4,44 % 4,59 % Korrelatioe Aktie Eurolad 1,00 0,83 0,81 0,59-0,18-0,13-0,33 Aktie UK 0,83 1,00 0,84 0,62-0,12-0,13-0,28 Aktie USA 0,81 0,84 1,00 0,69-0,11-0,10-0,25 Aktie Asie/Pazifik 0,59 0,62 0,69 1,00-0,12-0,15-0,23 Rete Eurolad -0,18-0,12-0,11-0,12 1,00 0,80 0,75 Rete UK -0,13-0,13-0,10-0,15 0,80 1,00 0,69 Rete USA -0,33-0,28-0,25-0,23 0,75 0,69 1,00 sid keie Leerverkäufe zulässig (iv). I der Praxis komme dabei häufig weitere Nebebediguge hizu, wie z.b. die Festlegug eier maximale Aktiequote. Durch Variatio der Zielredite lässt sich im Rahme der Optimierug jedes Portfolio auf der Effiziezliie bereche. Etscheided ist, dass im Markowitz- Asatz die otwedige Iputparameter als bekat vorausgesetzt werde. I der Praxis müsse diese Redite- ud Risikoparameter jedoch progostiziert werde. Das Ergebis der Asset Allocatio-Optimierug hägt somit wesetlich vo der Qualität dieser Progose ab. 1 Zur Illustratio soll das folgede Beispiel diee: Ei deutscher Ivestor möchte sei Vermöge strategisch i globale Aktiemärkte (Eurolad, UK, USA, Asie/Pazifik) ud globale Retemärkte (Eurolad, UK, USA) ivestiere. Dabei werde auf der Reteseite sämtliche Währugsrisike abgesichert, auf der Aktieseite erfolgt keie Währugssicherug. Bei möglichst gerigem Risiko soll eie Zielredite i Höhe vo 7,5% p.a. erreicht werde. Als Iputparameter werde die Stadardabweichuge ud Korrelatioe der Redite auf Basis der 120 stetige Moatsredite des Zeitraums Oktober 1995 bis September 2005 gediebak

3 Fiazmarkt Y ud stattdesse stärker i Rete UK ivestiert. Für dieses Portfolio resultiert aber das gleiche Problem, we statt Rete Eurolad die Assetklasse Rete UK reditemäßig überschätzt ist. Durch eie stärkere Diversifikatio zwische diese beide Assetklasse lasse sich die Folge eier Überschätzug der erwartete Redite vo Rete Eurolad oder UK reduziere. Völlig beseitigt werde köe sie damit jedoch icht: Sobald die erwartete Redite vo ur eier im Portfolio ethaltee Assetklasse überschätzt wird, liegt die erwartete Portfolioredite c.p. uterhalb der Zielredite. Um das zu vermeide, muss vo vorherei ei Portfolio mit eier höhere erwartete Redite (im Beispiel > 7,5% p.a.) gewählt werde. Die Berücksichtigug vo mögliche Fehler bei der Progose erwarteter Redite eizeler Assetklasse hat somit zwei Implikatioe: ò Das optimale Portfolio muss stärker diversifiziert sei. ò Die erwartete Redite des optimale Portfolios muss über der Zielredite liege. Die simultae Berücksichtigug des Progoserisikos ud des Ivestmetrisikos ist Gegestad der robuste Asset Allocatio. Modellierug des Progoserisikos Die Berücksichtigug des Progoserisikos ist Gegestad der robuste Asset Allocatio. Die Usicherheit vo Iputparameter wird explizit i der robuste Modellierug berücksichtigt, idem Puktschätzuge durch Schätzbereiche ersetzt werde. 4 Im Folgede ehme wir a, dass Schätzfehler, die bei der Progose der erwartete Redite der Assetklasse auftrete, ormalverteilte Zufallsvariable sid. Die Schätzuge für die erwartete Redite laute damit i = i + s i, wobei i eie Puktschätzug der erwartete Redite der Assetklasse i ist (idetisch zum Schätzwert im Rahme der klassische Markowitz-Optimierug) ud s i eie ormalverteilte Zufallsvariable mit Erwartugswert 0 ud Stadardabweichug i. Der Erwartugswert vo 0 bewirkt, dass im Mittel eie erwartete Redite i Höhe der Puktschätzug i realisiert wird; die Stadardabweichug i quatifiziert das Schätzrisiko. Die Schätzfehler s i seie für die verschiedee Assetklasse uabhägig voeiader. Statt eies fixe Schätzwertes für die erwartete Redite eier Assetklasse ( i = i ) erhalte wir somit eie Schätzbereich i Form eies Kofidezitervalls, i das die wahre erwartete Redite dieser Assetklasse mit eier vorgegebee Wahrscheilichkeit hieifällt. Für die Herleitug der Stadardabweichug der Schätzfehler i werde i userem Beispiel approximativ die Schwakuge der zehjährige mittlere Redite p.a. verwedet: Sid diese für eie Assetklasse sehr hoch, zeugt dies vo eier schwierige Progostizierbarkeit der etsprechede erwartete Redite. Zur Bestimmug der Schwakugsitesität (Stadardabweichug) der zehjährige mittlere Redite p.a. wird ei Bootstrappig-Verfahre verwedet. Dazu werde für alle betrachtete Assetklasse aus 213 Beobachtuge des Zeitraums Jauar 1988 bis September 2005 jeweils 120 stetige Moatsredite ( mit Zurücklege ) gezoge. Aus diese wird da der Mittelwert p.a. errechet. Diese Prozedur wird mal wiederholt. Aus de so erzeugte Mittelwerte lässt sich u für jede Assetklasse die Stadardabweichug der zehjährige mittlere Redite p.a. herleite 5. Diese wird da durch eie Progosegüte-Faktor dividiert, um Effiziete Allokatioe ach Markowitz 100 % Allokatio 90 % 80 % 70 % 60 % 50 % 40 % 30 % 20 % 10 % 0% 7,5 % 8,0 % 8,5 % 9,0 % 9,5 % 10,0 % 10,5 % Erwartete Redite p.a. Aktie Eurolad Aktie UK Aktie USA Aktie Asie/Pazifik Rete Eurolad Rete UK Rete USA 3 Markowitz-Allokatio ud robuste Allokatio im Vergleich Markowitz- Robuste Allokatio Allokatio r Ziel =7,5% p.a. r Ziel =7,5% p.a. Erwartete Redite p.a. 7,50 % 7,94 % Stadardabweichug p.a. 3,04 % 3,88 % Allokatio Aktie Eurolad 5,08 % 8,30 % Aktie UK 3,08 % 5,28 % Aktie USA 0,00 % 3,61 % Aktie Asie/Pazifik 0,00 % 0,00 % Rete Eurolad 87,09 % 43,93 % Rete UK 4,75 % 38,88 % Rete USA 0,00 % 0,00 % 4 22 diebak

4 Fiazmarkt ò so de Wert für das Schätzrisiko i zu erhalte. Dabei steht ei hoher (iedriger) Wert des Progosegüte-Faktors für ei starkes (geriges) Vertraue i die Puktschätzuge. Wir verwede hier beispielhaft eie Progosegüte-Faktor vo 3. Aus dem Schätzrisiko resultiere etsprechede Kofidezitervalle: Die Progose für Aktie Eurolad lautet so z.b.: Mit 90-prozetiger Wahrscheilichkeit liegt die erwartete Redite p.a. zwische 8,3 ud 13,4%. Robuste Portfolios weise ausgewogeere Allokatiosstrukture auf. mierug deutlich ausgewogeere Allokatiosstrukture aufweise 6. Im Aktiebereich sid ebe Eurolad auch die Märkte USA ud UK stark vertrete. Auch im Retebereich fidet zwische Eurolad ud UK eie stärkere Diversifikatio statt, hier allerdigs auf Grud der gerigere Schätzrisike weiger ausgeprägt. Aktie Asie/Pazifik ud Rete USA spiele auch i de robuste Portfolios auf Grud ihres gerige Reditepotezials keie Rolle: Zur stärkere Diversifikatio der robuste Portfolios werde also ur Assetklasse mit attraktivem Redite-Risiko-Profil heragezoge (z.b. Aktie USA). Für de Ivestor mit eiem Rediteziel vo 7,5% p.a. ist isbesodere der Vergleich des klassische Markowitz-Portfolios mit dem auf diese Zielwert optimierte robuste Portfolio iteressat 4. Währed bei dem mittels der klassische Optimierug kostruierte Portfolio die erwartete Redite der Zielredite vo 7,5% p.a. etspricht, liegt sie beim robuste Portfolio mit 7,94% p.a. deutlich höher. Für das Markowitz-Portfolio beträgt die Wahrscheilichkeit, dass die tatsächliche erwartete Redite auf Grud vo Schätzfehler geriger ist als 7,5% p.a., wege der Normalverteilugsaahme 50%; die Utergreze des 90%-Kofidezitervalls der erwartete Portfolioredite ist 7,06% p.a. (mit adere Worte: mit eier Wahrscheilichkeit vo 95% ist die erwartete Portfolioredite größer als 7,06% p.a.). Im robuste Portfolio ist dagege das Schätzrisiko berücksichtigt: die Utergreze des 90%-Kofidezitervalls der erwartete Portfolioredite etspricht wie gefordert der Zielredite vo 7,5% p.a. Das Ivestmetrisiko des robuste Portfolios ist mit 3,88% p.a. allerdigs auch höher als beim Markowitz-Portfolio (3,04% p.a.). Die Reduktio des i der klassische Markowitz-Optimierug uberücksichtigte Schätzrisikos wird also mit eier Erhöhug des Ivestmetrisikos erkauft. Deoch ist das robuste Portfolio auch im klassische zweidimesioale Rahmewerk aus erwarteter Redite ud Stadardabweichug och ahezu effiziet. Die moderate Effiziezverluste robuster Portfolios verdeutlicht eie Gegeüberstellug der Effiziezliie 7. Trete keie Schätzfehler auf, d.h. die erwartete Redite etspreche de Puktschätzer, verläuft die robuste Effiziezliie kostruktiosbedigt uterhalb der klassische Effiziezkurve. Das Ivestmetrisiko steigt allerdigs bei gegebeer erwarteter Redite ur moderat a. Um u de mögliche Eifluss des Schätzrisikos i die Darstellug mit Y eizubeziehe, köe wiederum Quatifizierug des Schätzrisikos Aktie Eurolad Aktie UK Aktie USA Aktie Asie/Pazifik Rete Eurolad Rete UK Rete USA Stadardabweichug 4,66 % 4,20 % 4,73 % 5,43 % 0,86 % 1,38 % 1,19 % der 10-jährige mittlere Redite p.a. Progosegüte-Faktor Stadardabweichug 1,55 % 1,40 % 1,58 % 1,81 % 0,29 % 0,46 % 0,40 % der Schätzfehler ( i ) 90 %-Kofidezitervall [8,3 %; 13,4 %] [7,1 %; 11,7 %] [7,4 %; 12,6 %] [-0,9 %; 5,1 %] [6,8 %; 7,7 %] [7,0 %; 8,5 %] [5,5 %; 6,8 %] der erwartete Redite 5 Robuste Asset Allocatio Die auf diese Weise modellierte Schätzfehler müsse u i das Rahmewerk der Portfoliooptimierug eigebude werde: Die Zielredite r Ziel soll auch uter Berücksichtigug des Schätzrisikos mit großer Wahrscheilichkeit erreicht werde. Dazu ist die Nebebedigug (ii) des Markowitz-Asatzes etspreched zu modifiziere 1. 5 Auch im Rahme der robuste Optimierug köe durch Variatio der Zielredite sämtliche Portfolios der (robuste) Effiziezliie berechet werde. Im Beispielfall soll die erwartete Portfolioredite die vorgegebee Zielredite mit eier Wahrscheilichkeit vo 95% übertreffe. Bei Verwedug der hergeleitete Redite-, Ivestmetrisiko- ud Schätzrisiko-Parameter zeigt sich u, dass die optimale robuste Portfolios im Vergleich zur klassische Markowitz-Optidiebak

5 Fiazmarkt Y Kofidezitervalle heragezoge werde: Werde die erwartete Redite derart überschätzt, dass die tatsächliche erwartete Portfolioredite ur der Utergreze ihres 90 %-Kofidezitervalls etspreche, bewirkt dies eie Verschiebug beider Effiziezliie ach ute. Dabei verläuft die robuste Effiziezliie u deutlich oberhalb der klassische Effiziezliie. Durch die explizite Berücksichtigug des Schätzrisikos im Optimierugskalkül verädert sich die robuste Effiziezliie bei fehlerhafte Pro- gose also deutlich weiger als die klassische Markowitz-Effiziezliie. So wird sichergestellt, dass das Reditepotezial des Portfolios auch bei fehlerhafte Progose och mit dem Rediteziel des Alegers kompatibel ist. Fazit Werde Asset Allocatio-Etscheiduge auf Basis der klassische Portfoliooptimierug getroffe, köe überschätzte erwartete Redite zu eier Verfehlug der Rediteziele des Alegers führe. Die Verwedug robuster Modelle ka dieser Gefahr durch eie explizite Berücksichtigug des Schätzrisikos etgegewirke. I der hier vorgestellte robuste Optimierug ergebe sich dabei stärker diversifizierte Portfoliostrukture. Auf Grud dieser ausgewogeere Portfoliozusammesetzug ka weitestgehed auf Restriktioe zur Beschräkug der Gewichte eizeler Assetklasse verzichtet werde. Die Ergebisse erscheie isgesamt auch ituitiv plausibler, so dass sie auch auf der Alegerseite auf höhere Akzeptaz stoße werde. ò Effiziete Allokatioe bei robuster Optimierug 100 % Allokatio 90 % 80 % 70 % 60 % 50 % 40 % 30 % 20 % 10 % 0% 7,29 % 11,0 % 10,5 % 10,0 % 9,5 % 9,0 % 8,5 % 8,0 % 7,5 % 7,0 % 6,5 % 0,0 % 7,44 % 7,64 % 7,94 % 8,33 % 8,76 % 9,17 % 9,68 % Erwartete Redite p.a. Erwartete Redite p.a. Aktie Eurolad Aktie UK Aktie USA Aktie Asie/Pazifik Rete Eurolad Rete UK Rete USA Effiziezliie mit ud ohe Berücksichtigug vo Schätzfehler 5,0 % 10,0 % 15,0 % 20,0 % 25,0 % Markowitz-Effiziezliie ohe Schätzfehler Ivestmetrisiko p.a. Robuste Effiziezliie ohe Schätzfehler Robuste Effiziezliie mit überschätzte Rediteerwartuge Markowitz-Effiziezliie mit überschätzte Rediteerwartuge 6 7 Autore: Marko Hirsch ist Cosultat, Dr. Joche M. Kleeberg geschäftsführeder Gesellschafter bei alpha portfolio advisors GmbH, Bad Sode am Tauus. Literatur * Chopra, V. K./Ziemba, W.T.: The Effect of Errors i Meas, Variaces, ad Covariaces o Optimal Portfolio Choice, i: The Joural of Portfolio Maagemet 19, Witer 1993, S * Herold, U.: Asset Allocatio ud Progoseusicherheit, Uhlebruch Verlag, Bad Sode/Ts * Kempf, A./ Memmel, C.: Schätzrisike i der Portfoliotheorie, i: Hadbuch Portfoliomaagemet, 2. Auflage, Uhlebruch Verlag, Bad Sode/Ts. 2002, S * Lobo, S.: Robust ad Covex Optimizatio with Applicatios i Fiace, * Lueberger, D. G.: Ivestmet Sciece, Oxford Uiversity Press, New York * Markowitz, H. M.: Portfolio Selectio, i: The Joural of Fiace 7, 1952, S * Tütücü, R. H./ Koeig, M.: Robust Asset Allocatio, i: Aals of Operatios Research 132, 2004, S Die Schätzug der erwartete Redite ist dabei wesetlich kritischer als die Schätzug der Risikoparameter (vgl. z.b. Chopra/Ziemba 1993, Kempf/Memmel 2002 sowie Herold 2004). Deshalb erscheit die Verwedug historischer Stadardabweichuge ud Korrelatioe als akzeptabel, währed Rediteprogose durch Fortschreibug historischer Date für die praktische Awedug grudsätzlich icht geeiget sid. 2 Verwedet werde stetige Redite, da diese eher der Normalverteilugsaahme etspreche als diskrete Redite. Sämtliche Berechuge basiere auf de jeweilige MSCI Aktie- bzw. Merrill Lych Govermet Bod-Idizes. 3 Die hier präsetierte Ergebisse gelte uabhägig davo, ob historische Redite oder solche aus eiem geeigetere ud komplexere Progoseprozess verwedet werde. Etscheided ist lediglich die Tatsache, dass die Progose usicher sid. 4 Eie Möglichkeit besteht dari, Schätzitervalle der Form M i = [ mi max i, i ] für die erwartete Redite zu verwede (Tütücü/Koeig, 2004). Dabei wird eie Optimierug uter der Aahme durchgeführt, dass sämtliche erwartete Redite fehlerhaft geschätzt sid. Dadurch resultiere Portfolios, die i ur weige risikoarme Assetklasse ivestiert sid ud i eiem egative Szeario eie akzeptable Performace liefer. 5 Dieses Programm ka als so geates Secod Order Coe Programm (SOCP) formuliert werde. Hierfür wurde i de letzte Jahre effiziete Lösugsalgorithme etwickelt (vgl. Lobo, 2000). 24 diebak