Formelsammlung Mathematik

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1 Formelsammlug Mathematik 1 Fiazmathematik 1.1 Reterechug Sei der Zissatz p%, der Zisfaktor q = 1 + p 100. Seie R die regelmäßig zu zahlede Rate, die Laufzeit. Edwert: Barwert: achschüssig R = R q 1 q 1 R 0 = 1 q R q 1 q 1 = R q vorschüssig R = (q R) q 1 q 1 R 0 = 1 q R q 1 1 q 1 = R q 1.2 Tilgugsrechug Sei der Zissatz p%, der Zisfaktor q = 1 + p 100. Seie K 0 die Kreditsumme, die Laufzeit Auitätetilgug (Gleich hohe Auitäte) A = K 0 q q 1 q 1.. Auitat K t = K 0 q t A qt 1 q 1 Restschuld ach Ablauf vo t Jahre Ratetilgug (Gleich hohe Tilgugsrate) K t = K t 1 K0 Restschuld ach Ablauf vo t Jahre 1.3 Festverzisliche Wertpapiere Sei der omielle Jahreszissatz p %. Redite = Effektivzissatz p eff %, so dass für q eff = 1 + p eff 100 gilt: Emissioskurs C 0 = 1 q eff ( ) p q eff 1 q eff 1 + C 1

2 1.4 Ivestitiosrechug Sei der Kalkulatioszissatz p%, der Zisfaktor q = 1 + p 100. Seie R 0 R 1... R die Zahlugsreihe, die Laufzeit. Kapitalwert C 0 = k=0 1 q k R k = EV q Edvermögesdifferez EV = k=0 q k R k = C 0 q Iterer Zissatz = Effektifzissatz = p it %, so dass C 0 (q it )= 0 ist 2 Aalysis 2.1 Logarithme Umrechug vo Logarithme zu verschiedee Base: log a (x) = log b (x) log b (a) 2.2 Differetialrechug Tagetegleichug Sei f eie differezierbare Fuktio. Tagete a de Graphe vo f im Pukt x 0 : t(x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) Ableitugsregel Produktregel: Quotieteregel: Ketteregel: (u v) (x) = u (x) v(x) + u(x) v (x) ( u v) (x) = u (x) v(x) u(x) v (x) v 2 (x) ( 1 v) (x) = v (x) v 2 (x) (u v) (x) = u (v(x)) v (x) Elastizität ǫ f,x = f (x) x f(x).. fur eie Fuktio f eier Variable ǫ f,xi = f x i x i f(x).. fur eie Fuktio f mehrerer Variable 2

3 2.2.4 Lagrage-Fuktio eier Nutzefuktio U uter Budgetbeschräkug Sei eie Budgetgerade gegebe durch p 1 x 1 + p 2 x 2 = C. Lagragefuktio: L(x 1, x 2, λ) = U(x 1, x 2 ) + λ (p 1 x 1 + p 2 x 2 C) Im Haushaltsoptimum gilt das 2. Gossesches Gesetz 1 p 1 U x 1 = 1 p 2 U x 2 3 Lieare Gleichugssysteme 3.1 Iverse eier 2 2 Matrix ( a b Ist A = c d mit deta = a d c b ) eie ivertierbare 2 2 Matrix, so ist A 1 = 1 deta ( d b c a ) 3.2 Lieare Optimierug Gegebe: Lieare Zielfuktio Z(x 1, x 2 ) Restriktioe der Gestalt a 11 x 1 + a 12 x 2 b 1.. ud / oder a m1 x 1 + a m2 x 2 b m c 11 x 1 + c 12 x 2 d 1.. c 1 x 1 + c 2 x 2 d Gesucht: Zulässiger Bereich: Optimum der Zielfuktio Z uter de Nebebediguge Bereich der Werte x i 0, die alle Restriktioe erfülle 3.3 Leistugsverflechtug (Leotief-Modell) ( ) x1 Sei x = der Vektor der vo zwei Produzete hergestellte Mege. x 2 Sei B die Leistugsverflechtugsmatrix: B ethält die Eigeverbrauchsateile jedes Produzete. Beziehuge zwische hergestellte Mege x, Eigeverbrauchsmege w ud für de Verkauf übrige Mege v: Eigeverbrauch: w = B x Hergestellt: x = B 1 w falls B ivertierbar Verkaufsmege: v = (E B) x Hergestellt: x = (E B) 1 v falls E B ivertierbar 3

4 Formelsammlug Statistik 4 Grudlage der Wahrscheilichkeitsrechug Sei Ω die Ergebismege eies Zufallsexperimets. Sei P(A) die Wahrscheilichkeit eies Ereigisses A Ω. 4.1 Additiosgesetz der Wahrscheilichkeitsrechug P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 4.2 Bedigte Wahrscheilichkeit Bedigte Wahrscheilichkeit vo A uter der Bedigug B: P(A B) = P(A B).. P(B) fur P(B) > 0 Recheregel für bedigte Wahrscheilichkeite (i) Multiplikatiossatz P(A B) = P(A B) P(B) = P(B A) P(A) (ii) (iii) Sei A 1, A 2,..., A eie vollstädige Ereigisdisjuktio. Satz vo der totale Wahrscheilichkeit P(B) = i=1 P(B A i) P(A i ) Formel vo Bayes P(A B) = P(B A) P(A) P(B) 4.3 Uabhägige Ereigisse A ud B sid uabhägig geau, we gilt P(A B) = P(A) geau, we gilt P(B A) = P(B) geau, we gilt P(A B) = P(A) P(B) 4

5 5 Zufallsvariable Sei Ω die Ergebismege eies Zufallsexperimets. Sei X eie Zufallsvariable auf Ω mit Wertebereich W. Sei P zugehörige Wahrscheilichkeit. Sei F(x) = P(X x) die Verteilugsfuktio vo X. 5.1 Eidimesioale Zufallsvariable Lageparameter Erwartugswert eier diskrete ZufallsvariableX: E(X) = µ = i=1 x i P(X = x i ) Erwartugswert eier stetige ZufallsvariableX: E(X) = µ = x f(x)dx Media eier diskrete ZufallsvariableX: Zahl µ, so dass gilt: Falls F(x) fur alle x : µ ist miimal mit F( µ) > 1 2 Falls F(x i ) = 1 2 : xi+xi+1 µ = 2 Media eier stetige ZufallsvariableX: Zahl µ mit F( µ) = 1 2 α-quatil eier diskrete ZufallsvariableX: Eie Zahl µ α, so dass gilt: Falls F(x) α fur.. alle x : µ α ist miimal mit F( µ α ) > α Falls F(x i ) = α : µ α = xi+xi+1 2 α-quatil eier stetige ZufallsvariableX: Eie Zahl µ α mit F( µ α ) = α Streuugsparameter diskreter Zufallsvariable Variaz: V ar(x) = σ 2 = i (x i µ) 2 P(x i ) = i x2 i P(x i) µ 2 Stadardabweichug: σ = σ Stadardisierug eier Zufallsvariable X: X = X µ σ. Es gilt: E(X ) = 0, V ar(x ) = 1. 5

6 5.2 Paare diskreter Zufallsvariable Seie X, Y Zufallsvariable auf Ω. Bezeichug: p ij = P(X = x i, Y = y j ) Radverteiluge =Verteiluge der eizele Variable P(X = x i ) = k p ik P(Y = y j ) = l p lj Bedigte Verteiluge P(Y = y j X = x i ) = pij P(X=x i) P(X = x i Y = y j ) = pij P(Y =y j) Uabhägigkeit X ud Y sid uabhägig, we für alle Wertepaare gilt: p ij = P(X = x i ) P(Y = y j ) Kovariaz ud Korrelatioskoeffiziet Cov(X, Y ) = σ XY = i j (x i µ X ) (y j µ Y ) p ij ρ(x; Y ) = σx,y σ X σ Y Korrelatioskoeffiziet 6 Spezielle Verteiluge 6.1 Die diskrete gleichmäßige Verteilug Sei X gleichverteilte diskrete Zufallsvariable mit Wertebereich W = {1,...,m}. Wahrscheilichkeits verteilug : P(X = k) = 1 m.. fur 1 k m Verteilugsfuktio: F(k) = k m.. fur 1 k m Erwartugswert : µ = m+1 2 Variaz : σ 2 = m

7 6.2 Die Biomialverteilug Die Erfolgswahrscheilichkeit bei eiem Zufallsexperimet sei p. X zähle die Erfolgs-Häufigkeit bei Versuche. X B(, p). Wahrscheilichkeits ( verteilug : P(X = k) = k ) p k (1 p) k.. fur 0 k Verteilugsfuktio: F(k) = k i=0 ( i ) p i (1 p) i.. fur 0 k Erwartugswert : µ = p Variaz : σ 2 = p (1 p) 6.3 Die geometrische Verteilug Die Erfolgswahrscheilichkeit bei eiem Zufallsexperimet sei p. X zähle die beötigte Azahl vo Versuche bis zum Erfolg. Wahrscheilichkeits verteilug : P(X = k) = p (1 p) k 1.. fur k 1 Verteilugsfuktio: F(k) = 1 (1 p) k.. fur k 1 Erwartugswert : Variaz : µ = 1 p σ 2 = 1 p p 2 7

8 6.4 Die Poisso-Verteilug Die Erfolgswahrscheilichkeit bei eiem Zufallsexperimet sei p. X zähle die Erfolgs-Häufigkeit. Näherugsweise Awedug für biomial verteilte Zufallsvariable mit λ = p, we 50, p 0.1. Wahrscheilichkeits verteilug : Verteilugsfuktio: Erwartugswert : Variaz : P(X = k) = λk k! e λ.. fur k 0 F(k) = k i=0 λi i! e λ.. fur k 0 µ = λ σ 2 = λ 7 Kofidezitervalle ud Testverfahre für de Erwartugswert bei ubekater Variaz Voraussetzug: Normalverteilte Zufallsvariable X, Y oder 30. Die Quatile der t Verteilug zu Niveaus 1 α 2 t 1;1 α = t 2 1; α ud t 2 1;1 α = t 1;α. ud 1 α seie 7.1 Für eie Erwartugswert Seie x 1,..., x die Werte eier Stichprobe der Läge. Sei x = i=1 xi der Stichprobemittelwert. Sei s 2 = 1 1 i=1 (x i x) 2 diestichprobevariaz Kofidezitervalle eies Erwartugswerts µ zum Niveau 1 α bei ubekater Variaz zweiseitig: [ x t 1;1 α s 2, x + t 1;1 α s 2 ] eiseitig: [ x t 1;1 α s, ) ud [, x + t 1;1 α s ] 8

9 7.1.2 Test eies Erwartugswerts µ bei ubekater Variaz (t Test) zweiseitiger Test vo H 0 : µ = µ 0 : Ablehug vo H 0, we für τ = x µ0 s gilt: τ / [ t 1;1 α, t 2 1;1 α ] 2 eiseitiger Test vo H 0 : µ µ 0 : Ablehug vo H 0, we für τ = x µ0 s gilt: τ > t 1;1 α Ablehug vo H 0, vo H 0 : µ µ 0 : we für τ = x µ0 s gilt: τ < t 1;1 α 7.2 Vergleich zweier Erwartugswerte bei verbudee Stichprobe Seie (x 1, y 1 ),..., (x, y ) die Ergebisse eier zweidimesioale Stichprobe der Läge. Seie x = i=1 xi, ȳ = i=1 yi die Stichprobemittelwerte. Sei die Stichprobe der Differeze d 1 = x 1 y 1,..., d = x y. Seie d = x ȳ der zugehörige Stichprobemittelwert ud s 2 d die Stichprobevariaz. Sei µ D der Erwartugswert der Differez D = X Y Kofidezitervalle vo µ D zum Niveau 1 α zweiseitig: [ d t 1;1 α sd 2, d + t 1;1 α sd 2 ] eiseitig: [ d t 1;1 α sd, ) ud [, d + t 1;1 α sd ] Test vo µ D zum Niveau 1 α zweiseitiger Test vo H 0 : µ D = 0: Ablehug vo H 0, we für τ = d s d gilt: τ / [ t 1;1 α 2, t 1;1 α 2 ] eiseitiger Test vo H 0 : µ D 0 : Ablehug vo H 0, we für τ = d s d gilt: τ > t 1;1 α vo H 0 : µ D 0: Ablehug vo H 0, we für τ = d s d gilt: τ < t 1;1 α 9

10 Ahag: Quatile t ;1 α der t-verteilug 1 α