Formelsammlung zur Statistik

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1 Darstellug uivariater Date Formelsammlug zur Statistik Urliste x i : x 1,... x, aufsteiged geordete Urliste x (i) Die k (verschiedee) Auspräguge: a 1 <... < a k h i absolute Häufigkeit, kumulierte absolute Häufigkeit: H i h i = (Azahl der Date) f i relative Häufigkeit, kumulierte relative Häufigkeit: F i f i = h i / ud k f i = 1 Empirische Verteilugsfuktio: Treppefuktio x-achse: x i, y-achse: kumulierte Häufigkeite F i Maßzahle eier Verteilug Lagemaße Modus: häufigste Merkmalsausprägug Media/Quatile aus Urliste: geordete Liste!, Azahl der Beobachtuge: Media x 0,5 Azahl der Beobachtuge ugerade x 0,5 = x ( +1 Azahl der Beobachtuge gerade x 0,5 = x ( ) oder x 0,5 = x ( +1) für metrische Merkmale, gerade x 0,5 = 1 (x ( ) + x ( +1)) ) Quatile x p p icht gazzahlig, (C(p): ächst größere gaze Zahl) x p = x (C(p)) p gazzahlig x p = x (p) oder x p = x (p+1) für metrische Merkmale, p gazzahlig x p = 1 (x (p) + x (p)+1 ) Q 1, Q, Q 3 =Uteres (0,5), mittleres (0,5), oberes (0,75) Quartil: T 1, T =Terzile (1\3, \3) Q 0 =kleister Wert der aufsteiged geordeter Urliste Q 4 =größter Wert der aufsteiged geordeter Urliste Q 3 Q 1 =Iterquartilabstad IQR Q 4 Q 0 =Spaweite R Media/Quatile aus Häufigkeitstabelle F i > p ud F i 1 < p a i = x p F i p ud F i 1 = p a i 1 ud a i sid x p (ordiales Merkmal) x p = 1 (a i 1 + a i ) (metrisches Merkmal) Boxplots graphische Darstellug eies Datesatzes mit Ausgabe vo Q 0 ud Q 4 als Zäue (Wiskers), Q 1 ud Q 3 als Rechteck (box) ud Q als dicker Strich im Rechteck Arithmetisches Mittel (metrisches Merkmal) x = 1 x i = 1 h i a i = f i a i Geometrisches Mittel (isb. für de durchschittliche Wachstumsfaktor der x i = 1 + pi 100 ) G x = x geo = x 1 x... x Für Wachstumsfaktor x i = 1 + pi G x mit Wachstumsrate pi 100 "durchschittl."wachstumsrate: p 100 = 1

2 Streuugsmaße mit Bezug auf das arithmetische Mittel Variaz = 1 (x i x) = 1 ( x i ) x = 1 h i (a i x) = 1 ( h i a i ) x = ( f i a i ) x Stadardabweichug: = Variatioskoeffiziet (relatives Streuugsmaß) v = / x Stichprobevariaz = empirische Variaz s = empirische Stadardabweichug s = s Streuugsmaß mit Bezug auf de Media 1 Gemittelte absolute Abstäde vom Media d 0,5 = 1 x i x 0,5 1=1 Trasformatioseigeschaft der Maßzahle Vo x i ach y i = a x i + b x 0,5 y 0,5 = a x 0,5 + b x ȳ = a x + b x y = a x Isbesodere für y i = x i x gilt ȳ = 0 ud y = 1 Klassebildug Klassegreze x 0 <... < x k aufsteiged sortiert, die Werte der Urliste dazwische erste Klasse [x 0; x 1], alle adere Klasse ( x i 1 ; ] x i Klassebreite i = x i x i 1 Absolute Häufigkeit h i Azahl der Date i der i-te Klasse, kumuliert H i Relative Häufigkeit f i = h i /, kumuliert F i Häufigkeitsdichte absolut h i = h i/ i Häufigkeitsdichte relativ fi = h i / = f i/ i Klassemitte m i = (x i + x i 1 )/ Klassemittelwert x i Mittelwert der Elemete der Urliste i der Klasse i Histogramm: x-achse: x i, Rechtecke der Breite i ud Höhe fi Approximierede empirische Verteilugsfuktio F : Polygozug durch die Pukte (x i ; F i ) Maßzahle bei klassierte Date (äherugsweise) Modus: Klasse mit dem größte Wert vo fi bzw. dere Klassemitte Media ud Quatile x p = x i 1 + (p F i 1)/fi mit F i 1 < p ud F i p Arithmetisches Mittel ud Variaz x = 1 h i x i = ( 1 h i x i ) x We x i ubekat, da durch m i ersetze Empirische Variaz s = 1 Relative Kozetratio (Disparität) Urliste aufsteiged sortiert! Merkmalssumme S = j=1 x (j) = k j=1 h j a j Relative Ateile q i = x (i) /S bzw. (h i a i )/S kumuliert Q i

3 Lorezkurve: Polygozug durch die Pukte (F i ; Q i ), bleibt uterhalb der Wikelhalbierede Gii-Koeffiziet G = 1 k f i(q i 1 + Q i ) ormierter Gii-Koeffiziet G orm = G max G = 1 G (=1 bei maximale Kozetratio) Klassierte Date : mit Klassemittelwerte x i mit Klassemitte m i Idizes Symbole: Beitrag der i-te Klasse zur Merkmalssumme s i = x i h i s i = m i h i (0) für Basiszeit (1) für Berichtzeit L für Laspeyres P für Paasche P für Preisidex (Preis variiert, Mege fest) Q für Megeidex (Mege variiert, Preis fest) Laspeyres Paasche Preisidizes LP 01 = Megeidizes LQ 01 = j=1 p(j) 1 q(j) 0 j=1 p(j) 0 q(j) 0 j=1 q(j) 1 p(j) 0 j=1 q(j) 0 p(j) 0 Zweidimesioale Stichprobe Korrelatioskoeffiziet ud Kovariaz Zweidimesioale Stichprobe (x 1, y 1 ),..., (x, y ) Kovariaz der Stichprobe (empirische Kovariaz) s xy = % P P 01 = 100% P Q 01 = j=1 p(j) 1 q(j) 1 j=1 p(j) 0 q(j) 1 j=1 q(j) 1 p(j) 1 j=1 q(j) 0 p(j) 1 (x k x)(y k ȳ) 100% 100% Wobei x ud ȳ die jeweilige arithmetische Mittel ud s x ud s y die jeweilige Stadardabweichuge der eidimesioale Stichprobe x 1,..., x ud y 1,..., y bezeiche. Korrelatioskoeffiziet ach Bravais-Pearso r xy = s xy s x s y = Lieare Regressio (x k x)(y k ȳ) = (x k x) (y k ȳ) Regressiosgerade: die Gerade f(x) = mx + b, Steigug m ud Achseabschitt b gegebe durch ( x k y k ) xȳ ( x k ) x ( x k y k ) xȳ s y m = r xy = s x (, b = ȳ m x, x k ) x ( yk ) ȳ Bestimmtheitsmaß für lieare Regressio R = r [0, 1] beschreibt "wie gut die Regressiosgerade die Date approximiert"(kleie Werte bedeute schlechte Übereistimmug) 3

4 Wahrscheilichkeitsrechug Ereigisraum Ω Mege der mögliche Ergebisse (=elemetare Ereigisse) Ω ist das sichere Ereigis, das umögliche Ereigis, Ā ist "icht A"(Negatio), A B bzw. A B ist "A oder B"bzw. "A ud B"(ist Vereiigug bzw. Schittmege) A\B ist A ohe B (Differez) A ud B uvereibar (disjukt: A B = ) A impliziert B heißt A B Zerlegug E i : die E i sid paarweise disjukt ud die Vereiigug aller E i ergibt Ω. P (A) Wahrscheilichkeit, dass das Ereigis A eitritt. P (A B) P (B A) = bedigte Wahrscheilichkeit P (A) Recheregel P (Ω) = 1 P ( ) = 0 P (A B) = P (A) + P (B) we A ud B disjukt P (A 1... A ) = P (A 1 ) +... P (A ) we A i paarweise disjukt P (A B) = P (A) + P (B) P (A B), Additiossatz P (Ā) = 1 P (A) P (A\B) = P (A) P (A B) P (A B) = P (A B)/P (B) P (A B) = P (A B) P (B), Multiplikatiosatz A ud B heiße stochastisch uabhägig we P (A) P (B) = P (A B) Satz der totale Wahrscheilichkeit Seie E 1, E,..., E disjukte Teilmege, die vereit die Grudmege ergebe. Da gelte für jedes Ereigis A P (A) = P (A E k) = P (A E k) P (E k ) Satz vo Bayes Seie E 1, E,..., E disjukte Teilmege, die vereit die Grudmege ergebe ud A ei Ereigis mit P (A) > 0 ud P (A E i ) > 0 für midestes ei i. Da ist P (E i A) = P (A E i) P (E i ) P (A) = P (A E i ) P (E i ) P (A E k) P (E k ) 4

5 Zufallsvariable X : Ω R Zufallsvariable Diskret Stetig Realisieruge x i Wahrscheilichkeitsfuktio f(x i ) = P (X = x i ) ud f(x) = 0 für x x i Dichtefuktio f = F, P (X = x) = 0 für alle x Verteilugsfuktio F (x) = P (X x) F (x) = x f(x i ) F (x) = f(u) du x i x P (a < X b) = F (b) F (a) P (a X b) = P (a < X) = 1 F (a) Erwartugswert E(X) = µ b a f(u) du = F (b) F (a) P (a X) = P (a < X) = 1 F (a) µ = x k f(x k ) µ = xf(x) dx k Variaz Var(X) = E ( (X E(X)) ) = E(X ) E(X) = = ( ) (x k µ) f(x k ) = x k f(x k) µ = (x µ) f(x) dx k k Stadardabweichug Std(X) = (Var(X)) = Sei X eie Zufallsvariable ud a, b R beliebig. Für Erwartugswert E ud Variaz Var gilt: E(aX + b) = a E(X) + b, Var(aX + b) = a Var(X) Die Liste der Paare (x i, f(x i )) heißt Verteilug der diskrete Zufallsvariable X ud (x i, F (x i )) heißt kumulierte Verteilug der diskrete Zufallsvariable X. Für eie stetige Zufallsvariable X mit Verteilugsfuktio F (x) ud p (0, 1) heißt der Wert x p mit F (x p ) = p das p-quatil vo X. Das Quatil zu p = 0.5 heißt Media. Fakultät, Biomialkoeffiziet! = 1 3 für N, 0 0! = 1 (! k) = für, k N k k! ( k)! 5

6 Diskrete ZV Bezeichug Realisieruge Wahrscheilichkeitsfuktio Erwartugswert Variaz Diskr. Gleichv. U(m, ) x = m,..., m + 1 f(x) = 1 m Berouilli-V Be(p) x = 0, 1 f(1) = p f(0) = 1 p p p(1 p) Biomial-V B(, p) x = 0, 1,..., f(x) = ( x) p x (1 p) x p p(1 p) P o(p) falls 50 ud p 0, 1 oder 30 ud p 0, 05 Geometrische V Geom(p) x = 1,,... f(x) = p(1 p) x 1 1 p 1 p p F (x) = 1 (1 p) x für x = 1,,... Hypergeom. V H(, M, N) x = 0,..., mi(m, ) f(x) = (M x )( N M x ) ( N ) M N M N (1 M N ) N N 1 B(, M N ) falls /N 0, 05 Poisso-V P o(λ) x = 0, 1,... f(x) = λx x! e λ λ λ auch P s(λ), (1) Stetige ZV Bezeichug Dichte Erwartugswert Variaz Gleichv. Parameter a, b f(x) = 1 a+b b a x [a, b], 0 sost (a b) 1 Stadardormalv. ϕ(z) = 1 π e z 0 1 Verteilugsfuktio Φ(x) tabelliert Normalv. N(µ, ) f(x) = 1 { Expoetialv. λ f(x) = x µ ϕ( ) µ () λe λx, für x 0 0, für x < 0. 1 λ 1 λ F (x) = 1 e λx für x 0, 0 sost (1) für uabhägige X1 P o(λ1), X P o(λ) ist X1 + X P o(λ1 + λ) () Für X ormalverteilt mit Parameter µ ud gelte folgede Zusammehäge zwische der Verteilugsfuktio F ud Dichte f vo X ud de etsprechede Größe der Stadardormalverteilug Φ ud ϕ: F (x) = Φ ( x µ ) f(x) = 1 ϕ ( x µ Für die p-quatile gilt: xp = Φ 1 (p) + µ, Φ 1 (p) = Φ 1 (1 p) (3) Biomialverteilte Zufallsvariable X mit Parameter ud p mit p(1 p) 9 lässt sich durch Normalverteilug mit µ = p ud = p(1 p) aäher, bzw. Poisso verteilte Zufallsvariable X mit Parameter λ 9 lässt sich durch die Normalverteilug mit µ = λ ud = λ aäher, d.h: FX(x) Φ ( x µ ) ) 6