= 3. = 14,38... = x neu x = 0, = 97,87...%. Wie verändert sich der arithmetische Mittelwert von 20 Zahlen, wenn...

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1 Mathemati macht Freu()de AB Statistische Kegröße ud Boxplot Arithmetischer Mittelwert x 1, x,..., x ist eie Liste vo reelle Zahle. Das arithmetische Mittel x der Zahle ist x = x 1 + x + + x. Arithmetischer Mittelwert a) Bereche de arithmetische Mittelwert vo 7,, 3, 1, 3, 6. x = 7 + ( ) = 3. b) Der arithmetische Mittelwert vo 30 Zahle ist x = 14,7. Wir füge 5 als 31. Zahl hizu. Um wie viel Prozet ist der eue arithmetische Mittelwert leier? x 1 + x + + x 30 = 30 x x eu = 30 x + x = 14,38... = x eu x = 0, = 97,87...%. Der eue arithmetische Mittelwert ist also um 0 % 97,87...% =,1...% leier als x. A de Schraube drehe Wie verädert sich der arithmetische Mittelwert vo 0 Zahle, we jede Zahl um 4 vergrößert wird? Er wird um 4 größer.... jede Zahl mit 3 multipliziert wird? Er wird mit 3 multipliziert.... die Zahle umgeordet werde? Er verädert sich icht.... der arithmetische Mittelwert vo jeder Zahl abgezoge wird? Der eue a. M. ist eie der Zahle um 000 vergrößert wird? Er wird um 500 größer. Arithmetisches Mittel Rechts sid zwei Zahle a ud b mit a < b auf der Zahlegerade dargestellt. Wo liegt das arithmetische Mittel vo a ud b? a + b a = a + b a = a + b a b a a+b b a b Variaz & Stadardabweichug Die Variaz s vo Zahle x 1, x,..., x mit arithmetischem Mittelwert x ist s = (x 1 x) + (x x) + + (x x). Die Variaz ist also der arithmetische Mittelwert der quadratische Abweichuge vo x. Warum ist die Variaz immer größer oder gleich Null? Bei welche Liste ist die Variaz gleich Null? Die Stadardabweichug s dieser Zahle ist da s = (x 1 x) + (x x) + + (x x). s hat die gleiche Eiheit wie die Werte x i. Datum: 1. Jui 018

2 Mathemati macht Freu()de AB Statistische Kegröße ud Boxplot Variaz & Stadardabweichug Der arithmetische Mittelwert der 5 Zahle 5, 7, 1, 3, 4 ist x = = 4. x i x i x (x i x) Die Variaz dieser 5 Zahle ist s = = 4. Die Stadardabweichug dieser 5 Zahle ist s = 4 =. Media Vor us liegt eie Liste mit reelle Zahle. Wir bereche de Media x der Liste wie folgt: Wir sortiere die Zahle i aufsteigeder Reihefolge: x 1, x,..., x Also: x 1 x x Ist ugerade, da ist x der mittlere Wert der sortierte Liste: x Ist gerade, da ist x das arithmetische Mittel der beide mittlere Werte: x Media a) Der Media vo 4, 1,, 3, 7, 7, 8 ist x = 3. b) Der Media vo 4, 1,, 7, 7, 8 ist x = +7 = 4,5. c) I der Tabelle siehst du die Ergebisse eier Prüfug. Was ist der Media der erhaltee Note bei dieser Prüfug? Note Häufigeit < 1, 1, 1, 1,,,,,,,,, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5 > }{{}}{{} 11 Zahle 11 Zahle Oder im Kopf: Die aufsteiged sortierte Liste a Note besteht aus 3 Zahle. Die 1. Zahl ist geau i der Mitte. Der Media ist also x =. Bei eier lage Zahleliste bist du so scheller. 50 %-Eigeschaft Erläre, warum der Media stets die folgede Eigeschaft hat: Midestes 50 % der Zahle sid leier oder gleich dem Media, ud midestes 50 % der Zahle sid größer oder gleich dem Media. Wie öe es mehr als 50 % sei? Die Zahleliste ist aufsteiged sortiert. Midestes die Hälfte der Zahle ist also bzw. dem Media. A de Schraube drehe Wie verädert sich der Media vo 0 Zahle, we jede Zahl um 4 vergrößert wird? Er wird um 4 größer.... jede Zahl mit 3 multipliziert wird? Er wird mit 3 multipliziert.... die füf leiste Zahle isgesamt um 60 verleiert werde? Er bleibt gleich.... die drittgrößte Zahl um 000 vergrößert wird? Er bleibt gleich.

3 Mathemati macht Freu()de AB Statistische Kegröße ud Boxplot Vor dir liegt eie Liste mit Zahle. p ist eie Zahl i [0; 1]. p-quatil Die Zahle i der Liste ee wir auch Listewerte oder urz Werte. Eie Zahl x heißt p-quatil, we sie die folgede beide Eigeschafte hat: Azahl Werte x p ud Der Media jeder Liste ist ei 50 %-Quatil. Azahl Werte x 1 p p-quatil Gegebe ist die Liste, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 8, 9, 9 mit Werte. 1) Erläre, warum die Zahl 4 ei 0 %-Quatil der Liste ist. Es sid 9 = 0 % der Werte 4 ud = 90 % der Werte 4. ) Erläre, warum auch die Zahl 4, ei 0 %-Quatil der Liste ist. Es sid 8 = 0 % der Werte 4, ud = 80 % der Werte 4,. 3) Erläre, warum die Zahl 4 auch ei 17 %-Quatil der Liste ist. Es sid 9 17 % der Werte 4 ud 83 % der Werte 4. 4) Die Zahl 7,3 ist ei 70 %-Quatil dieser Liste. 5) Für welche Zahle p ist die Zahl 8 ei p-quatil dieser Liste? Es sid 8 3 = 80 % der Werte 8 ud = 30 % der Werte 8. Für alle Zahle p i [70 %; 80 %] ist 8 ei p-quatil dieser Liste. Verteilugsfutio 3, 4, 4, 6, 6, 6, 6, 8, 8, 8 ethält = Werte. Wir ee die Futio F mit F (x) = Azahl Werte x die Verteilugsfutio der Liste. Es ist F (5,8) = 0,3 ud F (6) = 0,7. Die Verteilugsfutio a ur um gazzahlige Vielfache vo 0 % = 0,1 sprige. Verschiebe de blaue Put auf der x-achse. Was gibt der blaue Put auf der y-achse a? Was passiert bei x = 6? Zu jeder Zahl p i [0; 1] gibt es midestes ei p-quatil. Die 5 %-Quatile, 50 %-Quatile ud 75 %-Quatile heiße auch urz Quartile. Quartile Merhilfe: quarter ist eglisch für ei Viertel. Jedes 5 %-Quatil heißt auch erstes Quartil oder uteres Quartil. Jedes 50 %-Quatil heißt auch zweites Quartil oder mittleres Quartil. Jedes 75 %-Quatil heißt auch drittes Quartil oder oberes Quartil. 3

4 Mathemati macht Freu()de AB Statistische Kegröße ud Boxplot Beispiel: Vo = 80 Persoe wurde die Körpergröße (i cm) gemesse. Die Messwerte habe wir für dich aufsteiged sortiert: Boxplot Um diese Date i eiem Boxplot zu veraschauliche, bestimme wir füf Kegröße: x mi = 155 cm q 1 = 165,5 cm q = 169,5 cm q 3 = 174 cm x max = 190 cm Hast du eie Vermutug, wie wir diese füf Kegröße aus de 80 Messwerte bestimmt habe? 1) A de Stelle x mi ud x max zeiche wir jeweils eie Atee ei. ) Die Box zeiche wir als Rechtec im Itervall [q 1 ; q 3 ] ei. Atee Box Atee 3) A der Stelle q wird die Box durch eie serechte Strich i Teile geteilt. x mi ist der leiste Wert i der Messreihe. x max ist der größte Wert i der Messreihe. Die Quartile q 1, q ud q 3 sid 3 Zahle mit folgeder Eigeschaft: Sie teile das Itervall [x mi ; x max ] i 4 Teilitervalle [x mi ; q 1 ], [q 1 ; q ], [q ; q 3 ] ud [q 3 ; x max ], die jeweils midestes 5 % der Werte ethalte. Merhilfe: quarter ist eglisch für ei Viertel. Berechug der Quartile Die Quartile q 1, q ud q 3 bereche wir folgedermaße: 1) Für q verwede wir de Media der Werte. Da sid midestes 50 % der Werte leier oder gleich q ud midestes 50 % der Werte größer oder gleich q. ) Daach teile wir die sortierte Liste i gleich große Hälfte: Ist gerade, da öe wir die Liste i gleich große Hälfte aufteile. Ist ugerade, da solle auch beide Hälfte eie ugerade Azahl a Werte ethalte. Um das zu erreiche, musst du de Media zu beide Hälfte etweder dazuzähle oder jeweils icht dazuzähle. 3) Das utere Quartil q 1 ist der Media der Hälfte mit de leiere Werte. Das obere Quartil q 3 ist der Media der Hälfte mit de größere Werte. Eigeschafte der Quartile Jedes der 4 Itervalle [x mi ; q 1 ], [q 1 ; q ], [q ; q 3 ] ud [q 3 ; x max ] ethält midestes 5 % der Werte. Je zwei dieser Itervalle ethalte gemeisam midestes 50 % der Werte. Je drei dieser Itervalle ethalte gemeisam midestes 75 % der Werte. 4

5 Mathemati macht Freu()de AB Statistische Kegröße ud Boxplot Die Spaweite R (egl. rage) eier Zahleliste ist der Abstad zwische dem leiste ud dem größte Wert der Liste: R = x max x mi Die Spaweite ist im Boxplot also der Abstad zwische de beide Atee. Der Iterquartilsabstad I (urz: Quartilsabstad) ist der Abstad zwische dem erste Quartil ud dem dritte Quartil: I = q 3 q 1 Der Quartilsabstad ist im Boxplot also die Breite der Box. Spaweite & Iterquartilsabstad Bereche jeweils die Kegröße ud zeiche de zugehörige Boxplot. x mi q 1 q q 3 x max R I A = 1,, 3, 4 1 1,5,5 3,5 4 3 B = 1,, 3, 4, C = 1,, 3, 4, 5, 6 1 3, D = 1,, 3, 4, 5, 6, Boxplot vo A: Boxplot vo C: Boxplot Boxplot vo B: Boxplot vo D: Dieses Wer vo Mathemati macht Freu()de uterliegt eier CC BY-NC-ND 4.0 Lizez.