Univariate Verteilungen

Transkript

1

2 (1) Aalyse: "deskriptive Statistike" Aalysiere -> deskriptive Statistike -> deskriptive Statistik Keie tabellarische Darstellug der Häufigkeitsverteilug

3 () Aalyse: "Häufigkeitsverteilug" Aalysiere -> deskriptive Statistike -> Häufigkeitsverteilug Tabellarische Häufigkeitsverteiluge Quartile, Perzetile, Media Modalwert, Mittelwert Variaz, Stadardabweichug Spaweite, Stadardfehler Balkediagramm, Histogramm Häufigkeitsverteilug 3

4 Optioe "Häufigkeitsverteilug" Häufigkeitsverteilug 4

5 Zugehöriger Sytaxbefehl: Frequecies Beispiel: frequecies v5. oder: frequ v5. Liefert lediglich tabellarische Häufigkeitsverteilug. Für weitere Optioe siehe Sytaxreferez oder wähle im Meü eifüge. Häufigkeitsverteilug 5

6 1 Häufigkeitsauszählug für V18 ( Uterstützugspersoe ) 1: Aufgetretee Auspräguge : Absolute Häufigkeite, mit die eizele Auspräguge aufgetrete sid 3: Gesamt-Fallzahl (Azahl der Datevektore im Datesatz) 4: Valide Fallzahl: Azahl a Datevektore mit gültiger Ausprägug vo V : Missig-Fälle: Azahl a Fälle mit icht defiierte (fehlede) Werte bei V

7 Häufigkeitsauszählug für V18 ( Uterstützugspersoe ) 6: Relative Häufigkeite iklusive der Missig-Fälle. (Prozetuierugsbasis ist 46) 7: Valide relative Häufigkeite ohe Missig-Fälle. (Prozetuierugsbasis ist 45) 8: Kumulierte relative Häufigkeite. z.b. Rud drei Viertel aller Befragte (75,5%) ate bis zu 1 Uterstützugspersoe

8 Beispiel: Uterschiedliche Arte vo Missig-Values i Häufigkeitsverteiluge: Auspräguge 8 ud 9 wurde als beutzerdefiiert fehled codiert. Zusätzlich sid System-fehlede Werte vorhade. Alle drei Arte fehleder Werte bleibe bei der Berechug der valide relative Häufigkeite uberücksichtigt. Häufigkeitsverteilug 8

9 Grafische Veraschaulichug der Verteilug Balkediagramm Bei viele Auspräguge ugüstig Nicht besetzte Auspräguge werde icht dargestellt. Daher ist die Skalierug der x-achse icht kostat! Häufigkeitsverteilug 9

10 Grafische Veraschaulichug der Verteilug Histogramm: Vorteil: Die Skalierug der x-achse ist kostat. Nicht besetzte Ausprägugsbereichte werde dargestellt. Automatische Klasseeiteilug (i diesem Fall i -er Schritte) Die Fläche etspreche der Häufigkeit. Häufigkeitsverteilug 10

11 Lagemaße Modalwert ab omialem Messiveau Media, Quartile, Perzetile ab ordialem Messiveau Arithmetisches Mittel ab itervallskale-niveau Streuugsmaße Variaz ab itervallskale-niveau Stadardabweichug ab itervallskale-niveau Quartilsabstad ab ordialem Messiveau (als Abstad vo Ragplätze) Rage ab Itervallskale Niveau Lage- ud Streuugsmaße 11

12 Lagemaße Modus: die am häufigste vorkommede Ausprägug. Der Modus muss icht eideutig sei (z.b. Bimodale Verteilug) Media: Merkmalswert, der i der Mitte eier geordete Messreihe liegt. Über dem Media liege geau so viele Fälle (50%) wie daruter. Der Media teilt die Verteilug i zwei Hälfte. Lagemaße 1

13 Quartile: Eie geordete Messreihe wird i vier gleiche Abschitte uterteilt. 1.Quartil: 5%,.Quartil: Media, 3.Quartil: 75% 1.Qu..Qu. 3.Qu. Media 5% 5% 5% 5% Perzetile: Verallgemeierug für beliebige prozetuelle Abschitte. Das 5%-Perzetil etspricht dem 1. Quartil Lagemaße 13

14 Lagemaße 14

15 Arithmetisches Mittel: x 1 i 1 x i Das Arithmetische Mittel ist der Schwerpukt eier Verteilug, vo dem die Summe der Abweichuge der eizele Werte gleich Null ist: i 1 ( x i x) 0 Eie Lieartrasformatio i x führt zur selbe Lieartrasformatio des Mittelwertes: x i a + b* xi x a + b* x Wird der Mittelwert mit multipliziert, da erhält ma die Summe der Merkmalsauspräguge i der Stichprobe. x * i 1 x i zu beachte: Das Arithmetische Mittel ist empfidlich gegeüber Ausreißer! Lagemaße 15

16 Lagemaße 16

17 Streuugsmaße / Dispersiosmaße Lagemaße sid bei mache Verteiluge bedigt iformativ. Z.B. Durchschittsote bei eier Klausur 3. Es köte beispielsweise alle ei Befriediged habe oder aber 50% sehr gut ud 50% icht geüged. Daher ist zusätzlich zu eiem Lagemaß ei Streuugsmaß agebracht. Variatiosbreite (Rage): Spaweite bzw. Differez zwische größtem ud kleistem Meßwert. Der Rage ka vo Extremwerte stark beeiflusst werde. Daher wird der Rage häufig als Differez vo Perzetilwerte berechet (z.b. Differez zwische 5%- ud 95%-Perzetil Quartilsabstad: Abstad zwische 1. ud 3. Quartil Streuugsmaße 17

18 Rage Rage basiered auf dem Abstad zwische dem 5. ud dem 95. Perzetil ,7 Quartilsabstad1-66, d.h., die mittlere 50% der Verteilug gabe zwische 6 ud 1 Uterstützugspersoe a. Sie uterscheide sich daher i eiem Ausmaß vo 6 agegebee Persoe. Streuugsmaße 18

19 Exkurs: Perzetilberechug i SPSS: Die Ermittlug erfolgt durch eie gewichtete Durchschitt. z.b. Beim 95% Perzetil wird zuächst errechet, dass bei 45 der Ragplatz, bei dem die erste 95% der Stichprobe überschritte werde bei 33,7 liegt. Das Perzetil wäre sozusage die Ausprägug des 33,7. Falles der geordete Messreihe. Da es ur gazzahlige Ragplätze gibt, wird ei Durchschitt zwische der Ausprägug der 33. ud der 34. Perso als Perzetilwert berechet. I de Durchschitt geht die Ausprägug des 33. Falles mit eiem Gewicht vo 0.3 ud die Ausprägug des 34. Falles mit 0.7 ei. I diesem Beispiel: 33. Fall besitzt Ausprägug 0, 34.Fall besitzt Ausprägug 1. Daher wird als 95%-Perzetil (0.3*0+0.7*1)/0.7 ermittelt. Streuugsmaße 19

20 Variaz: s 1 ( x ) i x i 1 Mittlere quadratische Abweichug vom Mittelwert. Da sich die Eiheit der Variaz auf die quadrierte Skalierug vo X bezieht, ist diese schwer iterpretierbar. Daher wird die Wurzel der Variaz i Form der Stadardabweichug berechet. s s ( Mittlere Abweichug vom Mittelwert ) Streuugsmaße 0

21 Beispiel: Mittelwert / Stadardabweichug Note: x s s (3 3) + (3 3) + (3 3) 5 + (3 3) + (3 3) x s s (5 3) + (5 3) + (3 3) 5 + (1 3) + (1 3) x s s (1 3) + ( 3) + (3 3) 5 + (4 3) + (5 3) Streuugsmaße 1

22 Das quadriere der Abweichuge vom Mittelwert bei der Variazberechug lässt eierseits das Vorzeiche der Abweichug uberücksichtigt (für die Streuug eier Variable ist es uerheblich ob Abweichug vom Mittelwert überdurchschittlich oder uterdurchschittlich ist). Weiterhi bekomme dadurch aber auch größere Abweichuge stärkeres Gewicht. Wird icht quadriert soder der Absolutwert verwedet, da würde die AD- Streuug (average deviatio) resultiere: AD 1 x i x 1 Streuugsmaße

23 Beispiel (z.b. erreichte Pukte bei eiem Test): Gruppe 1 (6 Persoe):,,, 6, 6, 6. Mittelwert: 4 / 6 4 Gruppe (6 Persoe): 0, 3, 3, 5, 5, 8. Mittelwert: 4 / 6 4 Gruppe 1: x i x i x ( x x) i -4 (-4) 4-4 (-4) 4-4 (-4) (6-4) (6-4) (6-4) 4 Σ AD x x s 6 Gruppe : x i 1 i ( xi x) s 4 x i x ( x x) i (0-4) (3-4) (3-4) (5-4) (5-4) (8-4) 16 Σ AD x x s 6 1 i i ( x x) s 6,

24 SPSS berechet die Variaz icht ach der dargestellte Formel, soder die korrigierte Stichprobevariaz. Dabei wird icht durch, soder durch -1 dividiert (ei relevater Uterschied ergibt sich ur bei kleie Stichprobe). s 1 1 ( x i x) i 1 Umrechug auf die zuvor dargestellte Variaz durch Multiplikatio mit Im Beispiel: 1 Gruppe 1: korrigierte Variaz4,8. Variaz4,8 * 5/6 4 Gruppe : korrigierte Variaz7,. Variaz7, * 5/6 6 Streuugsmaße 4

25 Exkurs: Korrigierte Stichprobevariaz Die korrigierte Stichprobevariaz ist da ötig, we auf Basis der Variaz i eier Stichprobe auf die Variaz i der Grudgesamtheit geschlosse werde soll. Es ka gezeigt werde, dass die Mittelwerte vo Variaze aus uedlich viele Stichprobe des Umfags der Grudgesamtheit die Variaz i der Grudgesamtheit um de Faktor (-1)/ uterschätzt. (-> die Stichprobevariaz ist kei erwartugstreuer Schätzer" des Populatiosparameters). We somit auf Basis der Stichprobevariaz auf die Variaz i der Grudgesamtheit geschlosse werde soll, da ist die Variaz icht mit soder mit (-1) im Neer zu bereche. Streuugsmaße 5

26 Die Befragte ate durchschittlich 10,5 Uterstützugspersoe. Die mittlere Abweichug vo diesem Durchschitt beträgt 6,8 Uterstützugspersoe Streuugsmaße 6

27 Ergäzede Literaturempfehlug: Beighaus, Has (001). Eiführug i die Sozialwisseschaftliche Dateaalyse. Müche, Oldebourg, 6.Auflage oder höher. 7