Mathematische und statistische Methoden I

Transkript

1 Methodelehre e e Prof. Dr. G. Meihardt 6. Stock, Wallstr. 3 (Raum ) Sprechstude jederzeit ach Vereibarug ud ach der Vorlesug. Mathematische ud statistische Methode I Dr. Malte Persike persike@ui-maiz.de WS 2010/2011 Fachbereich Sozialwisseschafte Psychologisches Istitut Johaes Guteberg Uiversität Maiz

2 Numerische Beschreibug: Darstellug I Maße der zetrale Tedez Mittelwert Streuugsmaße (Dispersiosmaße) Mittlere Differez (Abweichugs-)Quadratsumme Variaz a Stadardabweichug

3 Numerische Beschreibug: Mittelwert Darstellug I Der Mittelwert ist bei Beobachtuge x 1 x defiiert als 1 1 x = ( x1+ x2 + xn) = x = Ist durch extreme Werte beeiflussbar (ausreißerempfidlich) Ist der Schwerpukt der Beobachtuge, d.h. ( x ) i x = 0 i= 1 i 1 i

4 Numerische Beschreibug: Mittelwert Der Mittelwert stimmt häufig mit keier beobachtete Darstellug I Realisatio überei Der Mittelwert ist äquivariat gegeüber gewisse (z.b. lieare) Trasformatioe Isbesodere 1. Additio eier Kostate a zu alle Beobachtuge x 1 x x + a = x + a 2. Multiplikatio aller Beobachtuge x 1 x mit eier Kostate c a x= a x

5 Darstellug I Numerische Beschreibug: Mittelwert Lageregel für die Maße der zetrale Tedez Bei symmetrische Verteiluge: x x x med Bei likssteile Verteiluge: x > x x med mod mod Bei rechtssteile Verteiluge x < x x med mod

6 Numerische Beschreibug: Mittlere Abweichug Als mittlere Abweichug (MD) vo Beobachtuge Darstellug I x 1 x i eiem Datesatz wird die Summe aller Abweichugsbeträge zum Media bezeichet. 1 i i = 1 MD= x x Für jede adere Wert als für de Media ist der mittlere Abweichugsbetrag größer, d.h. 1 1 x i x xi c i= 1 i= 1

7 Numerische Beschreibug: Abweichugsquadratsumme Die Abweichugsquadratsumme (oder auch: Darstellug I Fehlerquadratsumme oder eifach Quadratsumme) ist die Summe der quadrierte Abweichuge aller Beobachtuge x 1 x vom Mittelwert. 1 = i i=1 QS x x x ( ) ( ) 2 Erfasst die Streuug um de Mittelwert Nur falls keie Streuug besteht, ist QS = 0, dh d.h. alle beobachtete Werte sid gleich. Sost: QS> 0 Je größer die Streuug, desto größer ist die QS Problem: Die Fehlerquadratsumme wird um so größer, je mehr Beobachtuge vorliege

8 Darstellug I Numerische Beschreibug: Variaz Die Variaz ist das mittlere Abweichugsquadrat aller Beobachtuge x 1 x vom Mittelwert. 2 1 s x = xi x i = 1 ( ) ( ) 2 Erfasst die mittlere Streuug um de Mittelwert Nur falls keie Streuug besteht, ist s² =0 0, dh d.h. alle beobachtete Werte sid gleich. Sost: s² > 0 Je größer die Streuug um de Mittelwert, desto größer ist die Variaz Ist afällig gegeüber Ausreißer

9 Darstellug I Numerische Beschreibug: Variaz Für jede adere Wert als für de Mittelwert ist die Summe der Abweichugsquadrate höher 1 1 ( ) 2 ( ) 2 xi x xi c i= 1 i= 1 Der Mittelwert miimiert also die quadrierte Abweichuge aller Beobachtuge.

10 Darstellug I Numerische Beschreibug: Variaz Die Formel für die Variaz lässt sich leicht umforme i eie recherisch machmal güstigere Variate: 1 1 ( ) i i= 1 i= 1 x x = x x = x x Die Variaz a ist aso also de die Differez e des Mittelwerts e ts der quadrierte Date ud dem quadrierte Mittelwert der Date. i Dies wird auch als Mometeschreibweise der Variaz bezeichet.

11 Darstellug I Numerische Beschreibug: Stadardabweichug Problem: Die Variaz ist icht äquivariat zu erlaubte Skaletrasformatioe s a x = a s x ( ) ( ) (mit a = cost.) Durch Wurzelziehe erhält ma die Stadardabweichug (SD, stadard deviatio) 1 2 s x = s x = xi x ( ) 2 ( ) ( ) 2 i = 1 Die Stadardabweichug ist äquivariat zu de erlaubte Skaletrasformatioe

12 Darstellug I Numerische Beschreibug: s² ud s Verhalte vo Variaz ud Stadardabweichug bei Trasformatioe der Beobachtuge x 1 x 1. Die Additio eier Kostate a zu alle Werte x verädert Variaz ud Stadardabweichug icht s²(x + a) = s²(x) s(x + a) = s(x) 2. Die Multiplikatio aller Werte x mit eier Kostate a führt zu eier Erhöhug der Variaz um a² ud der Stadardabweichug um a s²(a x) = a² s²(x) s(a x) = a s(x)

13 Darstellug I Mittelwert ud Variaz aus kategorisierte Date Liege itervallskalierte Date bereits i kategorisierter Form vor (z.b. i eier Häufigkeitstabelle), so köe daraus Mittelwert ud Variaz äherugsweise bestimmt werde. Es sei x jmid, = UG j + OG 2 j die Kategoriemitte der j-te vo isgesamt k Kategorie mit der Häufigkeit f j (x). Mittelwert Variaz k 2 k ( = 2 j) j, mid s ( x) f ( xj) ( x j, mid x) x = f x x j= 1 j= 1

14 Darstellug I Beschreibug: Fehlerbalkediagramm Das Fehlerbalkediagramm (Error Bar) veraschaulicht Mittelwerte ud die Streuug vo Date für midestes eie Stichprobe. Für die Läge der Fehlerbalke lk existiere verschiedee Kovetioe (± 1 SD, ± 1.96 SD, ± 2.58 SD) Kö Körpergröße i i cm cm (+/ (+/ SD) SD) Fraue Geschlecht Mäer

15 z-stadardisierug Trasformatiosregel Ziel: Agabe der relative Lage vo Werte i eier Verteilug. 1. Quatile: wie bereits gesehe 2. Agabe eier ormierte Differez eies Messwertes zum Mittelwert Berechugsvorschrift: Jede Differez eies Messwertes wird durch die Stadardabweichug aller Messwerte geteilt. Die erhaltee Werte werde als z-werte bezeichet. z x = x x s x

16 z-stadardisierug Eigeschafte Der z-wert ka auch als Differez eies ormierte Datewertes vom ormierte Mittelwert betrachtet werde, de z x x x x x = = s s s x x x Der Mittelwert t vo z-werte ist immer 0 Die Stadardabweichug vo z-werte ist immer 1

17 z-stadardisierug Eigeschafte Der z-wert ka auch als Differez eies ormierte Datewertes vom ormierte Mittelwert betrachtet werde, de z x x x x x = = s s s x x x Der Mittelwert t vo z-werte ist immer 0 Die Stadardabweichug vo z-werte ist immer 1

18 z-stadardisierug Skaletrasformatio Mithilfe der z-trasformatio köe Messdate mit beliebigem Mittelwert ud Stadardabweichug i Date trasformiert werde, die eie defiierte Mittelwert ud Stadardabweichug aufweise. Schritt 1: z-stadardisierug jedes Datepuktes Schritt 2: Trasformatio jedes Datepuktes i die eue Skala ( ) x = z s + x eu eu eu Beispiele: Hamburg-Wechsler IQ-Test (MW=100, s=15), IQ-Skala laut IST (MW=100, s=10), Staie- Skala (MW=5, s=2),

19 Methodelehre e e Relevate Excel Fuktioe ABS() ^-Operator für Quadrierug, POTENZ() WURZEL() MITTELWERT(), MITTELWERTWENN(), MITTELWERTWENNS() MITTELABW() QUADRATESUMME() VAR.P() STABW.N() STANDARDISIERUNG()