Evaluation & Forschungsstrategien

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1 Evaluatio & Forschugsstrategie WS2/2 Prof. Dr. G. Meihardt Johaes Guteberg Uiversität Maiz

2 Prizipie des statistische Schliesses Samplig - Modellvorstellug Populatio Samplig Stichprobe Kewerte x Theoretische Statistik Welche Verteilug vo Kewerte wird sich ergebe, We ma de Samplig Vorgag uedlich oft wiederholt? Herleitug der Kewerte-Verteilug (Samplig Distributio) ud Beschreibug ihrer Parameter. Methode zur Schätzug der Parameter aus Stichprobedate sowohl für uivariate, als auch für multivariate Kewerteverteiluge

3 Samplig Distributio (D) Uivariate - Verteilug der Stichprobemittelwerte Samplig - Modellvorstellug Populatio Stichprobe des Umfags Bilde Mittelwert x. - mal: 2. - mal: x x 2 k. - mal: x x xk x k k- maliges Sample vo Stichprobe derselbe Größe ud Bereche der Stichprobemittelwerte führt auf eie Verteilug vo Stichprobemittelwerte (Samplig Distributio)

4 Mittelwerte Uivariate - Verteilug der Stichprobemittelwerte Samplig - Modellvorstellug Populatio k - Stichprobe des Umfags Verteilug vo Stichprobemittel x x x xk Samplig Distributio Erwartugswert Ex Erwartugswert Ex Erwartugstreue Die Samplig Distributio hat deselbe Erwartugswert wie die Populatio, aus der die Stichprobe gezoge wurde. Schätzstatistike, die deselbe Erwartugswert habe wie die Populatio, heisse erwartugstreu. Stichprobemittelwerte sid erwartugstreue Schätzuge des Populatiosparameters

5 Variaz Uivariate - Verteilug der Stichprobemittelwerte Samplig - Modellvorstellug Populatio k - Stichprobe des Umfags Verteilug vo Stichprobevariaze 2 s s s2 sk Variaz 2 Bias E s E s Erwartugstreue: Die Stichprobevariaz uterschätzt die Populatiosvariaz tedeziell: Stichprobevariaze sid keie erwartugstreue Schätzuge des Populatiosvariaz s 2

6 Uivariate - Verteilug der Stichprobemittelwerte Samplig - Modellvorstellug Bias-Faktor E s x Der Bias bei der Schätzug der Pop.Variaz aus der Stichprobevariaz ist die Variaz der Stichprobemittelwerte. ˆ E s s xi x 2 2 i 2 Erwartugstreue: Die Stichprobevariaz berechet aus korrigiertem Umfag - ist eie erwartugstreue Schätzug der Populatiosvariaz

7 Wahrscheilichkeitsdichte Methode der Uivariate - Verteilug der Stichprobemittelwerte Cetral Limit Theorem Die Verteilug vo Samplig-Mittelwerte äher sich mit wachsedem Umfag der Sample-Stichprobe eier Normalverteilug a. Für > 3 ist die Approximatio scho gut. f x..5 x Es gilt:. 2. E x x pop E x. m-2s x m-s x m+s x m+2s x x Theoretische Samplig Distributio Die theoretische Samplig Distributio ist die Grudlage des statistische Schliesses. Aussage über de Zusammehag vo Stichprobemittelwerte ud Populatioe werde mithilfe dieser Verteilug gewoe (Iferezstatistischer Schluss).

8 Uivariate - Verteilug der Stichprobemittelwerte Kofidez- Itervalle. 2. Awedug P x z x z / 2 x / 2 x P z x z / 2 x / 2 x WK- Aussage. Ma habe eie Mittelwert aus eier Stichprobe der Größe vorliege. I welchem Bereich um de Mittelwert ka ma de Populatiosparameter mit der Wahrscheilichkeit - erwarte? 2. Der Populatiosparameter sei bekat. I welchem Bereich um ih liege Mittelwerte mit der Wahrscheilichkeit -? z- Verteilug z x Pz z z x Mit Y der Verteilugsfuktio der Stadardormalverteilug. Für < 5 sollte die t- Verteilug mit df = verwedet werde.

9 Uivariate - Verteilug der Stichprobemittelwerte Hypothese t - ud F-Test t 2 F- Äquivalez t H : H : x P t t 2 t; df t ˆ / Es gilt t 2 df F ; df Äquivalez vo t- ud F- Test mit df Test- Äquivalez: Eie zweiseitige Wahrscheilichkeitsbestimmug auf der t Verteilug ist der (grudsätzlich eiseitige) Wahrscheilichkeitsbestimmug auf der F - Verteilug äquivalet. x ˆ / 2 Bemerke: 2 t x ˆ x 2

10 Wahrscheilichkeitsdichte Methode der Uivariate Mittelwertevergleiche t- Test für uabhägige Stichprobe Hypothese H : : H (ugerichtet) x H: Der Erwartugswert der Differeze vo Mittelwerte ist Null Samplig Distributio f x. Es gilt:. x 2. x wird geschätzt aus beide Stichprobe 3. x ist t- verteilt..5 x [t-test ausführlich?]. 2 x x x 2 x x

11 Uivariate Mittelwertevergleiche t- Test für uabhägige Stichprobe Statistik t x x x ˆ 2 pooled Etscheidug: a) Krit. t-wert b) Überschreitugs-WK Prüfgrösse t- verteilt mit + 2 Freiheitsgrade t t Ablehug vo H, df ; / 2 sost Beibehaltug oder P t t Ablehug vo H, sost Beibehaltug Voraussetzug. Für + < 5 ormalverteilte Stichprobedate 2. Homogee Stichprobevariaze 3. Uabhägige Messeiheite ierhalb ud zwische de Samples.

12 Wahrscheilichkeitsdichte Methode der Uivariate Mittelwertevergleiche t- Test für abhägige Stichprobe Hypothese H : : H (ugerichtet) H: Der Erwartugswert der Mittelwerte vo Differeze ist Null Samplig Distributio f. Es gilt:. 2. wird geschätzt aus Differezestichprobe 3. ist t- verteilt

13 Uivariate Mittelwertevergleiche Statistik t t- Test für abhägige Stichprobe s s Cov x x (, ) Etscheidug: a) Krit. t-wert b) Überschreitugs-WK Voraussetzug Prüfgrösse t- verteilt mit Freiheitsgrade ( = Azahl Paare) t t Ablehug vo H, df ; / 2 sost Beibehaltug oder P t t Ablehug vo H, sost Beibehaltug. Für < 3 ormalverteilte Stichprobedate 2. Homogee Stichprobevariaze müsse icht vorliege 3. Korrelatio der Meßreihe erhöht die Teststärke.

14 Uivariate ud multivariate Mittelwertevergleiche Sample uivariat multivariat Meßeiheite uabhägig abhägig uabhägig abhägig Samplig- Distributio Differeze vo Mittelwerte gepoolte Variaze Mittelwerte vo Differeze Differezvektor vo Cetroide Gepoolte Var-Covar Mat. Cetroide vo Differezvektore Test-Statistik t t T 2 T 2 Multivariate Mittelwertsvergleiche sid die direkte Etsprechug zu uivariate Vergleiche. Es gelte dieselbe Prizipie, lediglich agewedet auf mehrstellige Mittelwerte-Vektore ud Variaz- Covariaz Matrize statt Variaze.