Formelsammlung Statistik 29. Januar 2019

Transkript

1 Formelsammlug Statistik Seite 1 Formelsammlug Statistik 9. Jauar 019 Witersemester 018/19 Adreas Löpker, HTW Dresde 1. Deskriptive Statistik (F1) Stichprobe x vom Umfag, Stichprobe y vom Umfag m x = (x 1, x,..., x ) y = (y 1, y,..., y m ) (F) Ordugsstatistik x (.) = (x (1), x (),..., x () ) x (1) x ()... x () (F3) Defiitioe (Mittelwert, Variaz, Kovariaz,...) x = x i x = x i (cx) = cx i x + y = (x i + y i ) (xy) = (x iy i ) σ (x) = x (x) σ (x) = σ (x) s xy = (xy) x y (F4) Recheregel für das arithmetisches Mittel x + y = x + y (cx) = cx. x = (5, 7, 0), y = (1, 1, 4) Bsp (6, 8, 4) = 4 + = 6 (5/, 7/, 0) = 4/ =. (F5) Recheregel für die empirische Variaz σ (ax) = a σ (x), a R. σ (x + c) = σ (x), c R x = (5, 7, 0), σ (x) = 6/3 Bsp σ ( 15, 1, 0) = 9σ (x) = 78 σ (15, 17, 10) = σ (x) = 6/3 (F6) Recheregel für die empirische Stadardabweichug σ (ax) = a σ (x), a R σ (x + c) = σ (x), c R Bsp x = (5, 7, 0), σ (x) = 6/3 σ ( 15, 1, 0) = 3σ (x) = 3 6/3 σ (15, 17, 10) = σ (x) = 6/3 Formel (F8)

2 Formelsammlug Statistik Seite (F7) Variaz für gepoolte Date (Variazzerlegug) (F8) Gii-Maß (F9) Defiitio ud Recheregel für die empirische Kovariaz (F10) Korrelatioskoeffiziet (F11) Ragkorrelatioskoeffiziet σ (x) = m σ (x k ) k k=1 }{{} itere Variaz + G x = (i 1)x (i) 1 x Gx = 1 G x s xy = 1 s xy = s yx, (x i x) (y i y) s (ax+b)(cx+d) = a c s yx, s xx = σ (x) r xy = s xy σ (x) σ (y) m (x k x) k k=1 }{{} extere Variaz k=1 ρ xy = R(x i)r(y i ) R k=1 R(x i) R k=1 R(y i) R R = + 1 (F1) Ragkorrelatioskoeffiziet (ohe Biduge) ρ xy = 1 6 k=1 (R(x k) R(y k )) ( 1) (F13) Chi-Quadrat-Koeffiziet χ = k ( lij i j j=1 k = k = i j j=1 ) l ij 1 i j l h ij 1 h i h j j=1 zu bevorzuge (F14) Pearsoscher Kotigezkoeffiziet, korrigierter Pearsoscher Kotigezkoeffiziet für k l-tabelle χ C = m χ +, C = C, m = mi{k, l} m 1 Formel (F16)

3 Formelsammlug Statistik Seite 3. Wahrscheilichkeitstheorie (F15) Additiosregel für Ereigisse A ud B (gilt immer) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) (F16) Bedigte Wahrscheilichkeit (gilt immer we P (B) 0 ist) P (A B) P (A B) = P (B) (F17) Multiplikatiosformel (bei Uabhägigkeit vo A ud B) (F18) Zerlegugssatz (F19) Bayes-Formel I (F0) Bayes-Formel II P (A B) = P (A) P (B) P (B) = P (B A 1 ) P (A 1 ) + P (B A ) P (A ) P (B A ) P (A ). P (A B) = P (A i B) = P (B A) P (A) P (B) P (B A i ) P (A i ) k=1 P (B A k) P (A k ). (F1) Zusammehag vo Verteilugsfuktioe ud Wahrscheilichkeite P (X x) = F(x) P (X > x) = 1 F(x) P (x < X y) = F(y) F(x) Stadardormalverteilug: P (X 1) = Φ( 1) Bsp P (X > 6) = 1 Φ(6) P ( 4 < X 4) = Φ(4) Φ( 4) (F) Recheregel für de Erwartugswert (gilt immer) E (X + a) = E (X) + a E (cx) = ce (X) E (X) = 7 Bsp E (X + 9) = 16 E ( X) = 14 (F3) Recheregel für die Variaz ud die Stadardabweichug σ (ax + b) = a σ (X) σ (ax + b) = a σ (X) σ (X) = 5 Bsp σ (X 15) = 4 5 σ ( X + 81) = σ (X) (F4) Kovariaz s XY = E ((X E (X)) (Y E (Y ))) = E (XY ) E (X) E (Y ). (F5) Ukorreliertheit ist gleichwertig mit: E (XY ) = E (X) E (Y ). (F6) Variaz für Summe σ (X + Y ) = σ (X) + σ (Y ) + s XY σ (X) = 3, σ (Y ) = 6, s XY Bsp = 1 σ (X + Y ) = 8 Formel (F8)

4 Formelsammlug Statistik Seite 4 (F7) Variaz für Summe (bei Ukorreliertheit/Uabhägigkeit): σ (X + Y ) = σ (X) + σ (Y ) Bsp σ (X) = 3, σ (Y ) = 6 σ (X + Y ) = 9 (da s XY = 0) (F8) Biomialverteilug: Experimet mit zwei Ausgäge ud Erfolgswahrscheilichkeit p wird mal wiederholt. S ist die Azahl der Erfolge. Wahrscheilichkeits- Erwartugs- Variaz fuktio wert P (S = k) = ( k) p k (1 p) k E (S) = p σ (S) = p(1 p) (F9) Geometrische Verteilug vom Typ I (J), Typ II (M): Experimet mit zwei Ausgäge ud Erfolgswahrscheilichkeit p wird wiederholt. J ist die Nummer des Experimets, bei dem zum erste mal ei Erfolg eitritt. M = J 1 etspricht der Azahl der Misserfolge. Wahrscheilichkeits- Erwartugs- Variaz fuktio wert Typ I P (J = k) = (1 p) k 1 p E (J) = 1 p σ (J) = 1 p p Typ II P (M = k) = (1 p) k p E (M) = 1 p p σ (M) = 1 p p (F30) Multiomialverteilug (F31) Zetraler Grezwertsatz: P (N 1 = k 1, N = k,..., N m = k m ) ( ) = p(x 1 ) k 1 p(x ) k p(x m ) km k 1 k m S = X 1 + X X S = S E (X 1 ) σ (X1 ) P (S x) Φ(x) für (F3) Näherugsformel für Summe vo uabhägige ud idetisch verteilte Zufallsvariable: ( ) x µ P (S x) Φ σ (F33) Stadardormalverteilug: Dichtefuktio ϕ(x) = 1 π e x /. (F34) Allgemeie Normalverteilug: Dichtefuktio 1 x µ ϕ µ,σ (x) = e 1/( σ ) πσ (F35) Summe vo zwei ormalverteilte Zufallsvariable X + Y N (µ + ν, S) S = σ + τ + s XY X N(10, 4), Y N( 3, 3) Bsp s XY = 0 (X,Y ukorr.) X + Y N(7, 5) (F36) Summe vo uabhägige ormalverteilte Zufallsvariable X i N(µ, σ) Bsp { Xi N(1, ) X 1 + X X 100 N(100, 0) Formel (F38)

5 Formelsammlug Statistik Seite 5 (F37) Arithmetisches Mittel uabhägiger ormalverteilte Zufallsvariable X = X i N(µ, σ/ ) X i N(1, ) Bsp X 1 + X X 100 N(1, 0.) 100 (F38) Spiegelugsformel Φ( x) = 1 Φ(x) Φ( 1.4) = 1 Φ(1.4) Φ(8) = 1 Φ( 8) Bsp 1 Φ( 1) = Φ(1) 1 Φ(0.8) = Φ(0.8) (F39) Verwadte der Normalverteilug Stadardormalverteilug Chi- Quadrat- Verteilug t- Verteilug F- Verteilug Verwedug X X i 1 X X i 1 1 m X m Y i i P (X x) Φ(x) F χ F t F F α-quatil z α χ,α t,α f (,m),α Tabelle (F49), (F50) (F51) (F5) (F56) 3. Iduktive Statistik (F40) Stichprobe vom Umfag (F41) Erwartugstreue ud kosistete Schätzer für de Erwartugswert ud die Variaz (X 1, X,..., X ), X i uabhägig µ = X = 1 X i σ 1 = 1 σ = 1 1 ( ) X i X = ((X 1 ) (X) ) ( ) X i X (F4) Erwartugstreue eies ) Schätzers θ E ( θ = θ Bsp E ( µ) = µ ( E σ ) = σ (F43) Asymptotische Erwartugstreue eies Schätzers θ (F44) Kosistet eies erwartugstreue Schätzers ( θ) lim E = θ ( θ) { lim σ = 0 Bsp σ ( µ) = σ Formel (F46)

6 Formelsammlug Statistik Seite 6 (F45) Kofidezitervall zum Kofideziveau γ für de Erwartugswert I = µ σ t 1, [ γ+1, µ + σ ] t 1, γ+1 (F46) Kofidezitervall zum Kofideziveau γ für die Biomialverteilug I = [ p p(1 p) z 1+γ, p + p(1 p) z 1+γ ] (F47) Kofidezitervall zum Kofideziveau γ für die Variaz I = [ ( 1) σ, χ 1, 1+γ ] ( 1) σ χ 1, 1 γ Formel (F47)

7 Formelsammlug Statistik Seite 7 (F48) Wichtige Hypothesetests Verwedet werde die beide Schätzer aus (F41). Name/Voraussetzuge H 0 H 1 Teststatistik Ablehe falls: Eistichprobe-t-Test X 1,..., X N(µ, σ) µ, σ ubekat Eistichprobe-F-Test X 1,..., X N(µ, σ) µ, σ ubekat µ = µ 0 µ µ 0 µ > µ 0 µ < µ 0 σ = σ 0 σ σ 0 σ > σ 0 σ < σ 0 T = µ µ 0 σ ( ) T = ( 1) σ /σ 0 T > t 1,1 α/ T > t 1,1 α T < t 1,1 α T [χ 1,α/, χ 1,1 α/ ] T > χ 1,1 α T < χ 1,α Biomialtest X biomialverteilt p = p 0 p p 0 p > p 0 p < p 0 T = p p 0 p0 (1 p 0 ) T > z 1 α/ T > z 1 α T < z 1 α Zweistichprobe-t-Test X 1,..., X N(µ 1, σ 1 ) Y 1,..., Y m N(µ, σ ) Stichprobe uverbude µ 1, µ, σ 1, σ ubekat σ 1 = σ µ 1 = µ µ 1 µ T = µ 1 µ ( 1) σ 1 +(m 1) σ m(+m ) +m T > t +m,1 α/ Welch-Test X 1,..., X N(µ 1, σ 1 ) Y 1,..., Y m N(µ, σ ) Stichprobe uverbude µ 1, µ, σ 1, σ ubekat µ 1 = µ µ 1 µ T = µ 1 µ σ 1 + σ m T > t w,1 α/ w = ) + σ m ( σ 1 / ( σ 4 1 ( 1) + σ 4 m (m 1) ) Zweistichprobe-t-Test X 1,..., X N(µ 1, σ 1 ) Y 1,..., Y m N(µ, σ ) Stichprobe verbude µ 1, µ, σ 1, σ ubekat Zweistichprobe-F-Test X 1,..., X N(µ 1, σ 1 ) Y 1,..., Y m N(µ, σ ) µ 1, µ, σ 1, σ ubekat µ 1 = µ µ 1 µ T = µ 1 µ σ σ = σ 1 = σ σ 1 σ T = σ 1 σ (X i Y i µ 1 + µ ) 1 T > t 1,1 α/ T < f ( 1,m 1),α/ T > f ( 1,m 1),1 α/ χ -Apassugstest Erwartete Klassehäufigkeite: e (K i ) = P (X K i ) F = F 0 F F 0 T = m ((K i ) e (K i )) k=1 e (K i ) T > χ m 1,1 α χ -Homogeitätstest Abs. Häufigkeite: i,j F 1 = F F 1 F χ = χ -Uabhägigkeitstest Abs. Häufigkeite: i,j X,Y uabh. X,Y icht uabh. χ = r ( kij i j j=1 i j +m +m ( kij i j j=1 i j ) ) χ > χ k 1,1 α χ > χ l,1 α Formel (F48)

8 Formelsammlug Statistik Seite 8 4. Tabelle (F49) Quatile der Stadardormalverteilug α z α α z α (F50) Werte für die Verteilugsfuktio Φ(x) der Stadardormalverteilug Formel (F50)

9 Formelsammlug Statistik Seite 9 (F51) Quatile der t-verteilug mit Freiheitsgrade Formel (F51)

10 Formelsammlug Statistik Seite 10 (F5) Quatile der Chi-Quadrat-Verteilug mit Freiheitsgrade Formel (F5)

11 Formelsammlug Statistik Seite 11 (F53) Quatile der F-Verteilug für α = etspricht de Zeile, m de Spalte Formel (F53)

12 Formelsammlug Statistik Seite 1 (F54) Quatile der F-Verteilug für α =0.05. etspricht de Zeile, m de Spalte Formel (F54)

13 Formelsammlug Statistik Seite 13 (F55) Quatile der F-Verteilug für α =0.95. etspricht de Zeile, m de Spalte Formel (F55)

14 Formelsammlug Statistik Seite 14 (F56) Quatile der F-Verteilug für α = etspricht de Zeile, m de Spalte Formel (F56)