Mathematik 2 für Naturwissenschaften

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1 Has Walser Mathematik 2 für Naturwisseschafte Modul 209 Tabelle

2 Has Walser: Modul 209, Tabelle ii Ihalt Fakultäte... 2 Biomialkoeffiziete Biomische Verteilug Biomische Verteilug (ohe Summatio) Summierte biomische Verteilug Summierte biomische Verteilug, p = q = Normalverteilug Studetsche t-verteilug Mittelwert eier Stichprobe. Vertrauesitervall Vergleich der Mittelwerte zweier Normalverteiluge Uabhägige Stichprobe Gepaarte Stichprobe Schrake der F-Verteilug für das Sigifikaziveau 5% Ma-Whitey-U-Test. Kritische utere Schrake Sigifikaziveau 2.5%, eiseitig. Sigifikaziveau 5%, zweiseitig Sigifikaziveau 5%, eiseitig. Sigifikaziveau 0%, zweiseitig Korrelatiosaalyse Kritische Werte für de Korrelatioskoeffiziete ach Pearso Kritische Werte für de Korrelatioskoeffiziete ach Spearma Chi-Quadrat-Tabelle Modul 209 für die Lehrverastaltug Mathematik 2 für Naturwisseschafte Sommer 2006 Probeausgabe Sommer 2007 Korrekture. MathType. Ergäzuge Frühjahr 2008 Grafische Überarbeitug. Kleie Ergäzuge Frühjahr 2009 Fehlerkorrekture Frühjahr 20 Fehlerkorrekture. Kürzug Frühjahr 204 Kleie Überarbeitug last modified: 0. November 203 Has Walser Mathematisches Istitut, Rheisprug 2, 405 Basel

3 Has Walser: Modul 209, Tabelle Fakultäte! = 2 3 = k k= Azahl Permutatioe vo Elemete!

4 Has Walser: Modul 209, Tabelle 2 2 Biomialkoeffiziete ( k ) =! k! ( k)! Azahl Möglichkeite, aus Elemete dere k auszuwähle Beispiele 4 ( ) = ( 4 ) = ( 5 ) = 628 (Symmetrie ausütze) \ k

5 Has Walser: Modul 209, Tabelle 3 3 Biomische Verteilug Biomische Verteilug (ohe Summatio) Es ist p die Erfolgswahrscheilichkeit im Eizelversuch Ferer ist q = p die Misserfolgswahrscheilichkeit im Eizelversuch Gesucht ist die Wahrscheilichkeit P ( k), auf Versuche geau k Erfolge zu habe P ( k) = ( k ) p k q k Summierte biomische Verteilug Es ist p die Erfolgswahrscheilichkeit im Eizelversuch Ferer ist q = p die Misserfolgswahrscheilichkeit im Eizelversuch Gesucht ist die Wahrscheilichkeit, auf Versuche höchstes x Erfolge zu habe P ( k x) = P ( 0) + P ( ) + + P ( x) = P ( k) x k=0

6 Has Walser: Modul 209, Tabelle 4 3. Biomische Verteilug (ohe Summatio) P ( k) = ( k ) p k q k 6 Beispiel: P 6 ( 4) = ( 4 ) = p / k

7 Has Walser: Modul 209, Tabelle 5 Biomische Verteilug (ohe Summatio) P ( k) = k ( ) p k q k Beispiel: P 9 4 ( ) = 4 9 ( ) = 0.72 p / k

8 Has Walser: Modul 209, Tabelle 6 Biomische Verteilug (ohe Summatio) P ( k) = k ( ) p k q k Beispiel: P 20 4 ( ) = 4 20 ( ) = 0.30 p / k

9 Has Walser: Modul 209, Tabelle Summierte biomische Verteilug ( ) = P ( k) P k x x Beispiel: p = 0.4 P 5 k 3 k=0 3 = 0.93 ( ) = P 5 ( k) p / x k=

10 Has Walser: Modul 209, Tabelle 8 Summierte biomische Verteilug ( ) = P ( k) P k x x Beispiel: p = 0.4 P 9 k 5 k=0 5 = 0.90 ( ) = P 9 ( k) p / x k=

11 Has Walser: Modul 209, Tabelle 9 Summierte biomische Verteilug ( ) = P ( k) P k x x Beispiel: p = 0.25 P 20 k 7 k=0 ( ) = P 20 ( k) 7 = p / x k=

12 Has Walser: Modul 209, Tabelle Summierte biomische Verteilug, p = q = 0.5 ( ) = P ( k) P k x x Beispiel: P 20 k 7 k=0 ( ) = P 20 ( k) 7 = x k= x

13 Has Walser: Modul 209, Tabelle Summierte biomische Verteilug, p = q = 0.5 ( ) = P ( k) P k x x Beispiel: P 27 k 7 k=0 ( ) = P 27 ( k) 7 = x k=0

14 Has Walser: Modul 209, Tabelle 2 4 Normalverteilug ( ) = Φ u u x = k µ σ 2π e 2 x2 dx 0.4 Tabellewert: Problemstellug: b Beispiel Φ.5 u =.5 Was die Tabelle liefert.5 ( ) = dx = π e 2 x2 σ P = 2 dk = dx = σ 2π e a () Umreche der Greze: k µ ( σ ) 2 b µ a µ σ 2π e 2 x2 u b u a 2π e 2 x2 dx (2) Die Tabelle liefert: u b = b µ σ u a = a µ σ (3) Berechug des Itegrals u b ( ) = Φ u P = u a u 2π e 2 x2 2π e 2 x2 dx dx = Φ( u b ) Φ( u a )

15 Has Walser: Modul 209, Tabelle 3 Die zweite Stelle ach dem Dezimalpukt für de Iput u wird der oberste Zeile etomme. Beispiel: Φ(.26) = u Negatives u: Φ( 0.7) = Φ( 0.7) = =

16 Has Walser: Modul 209, Tabelle 4 5 Studetsche t-verteilug 5. Mittelwert eier Stichprobe. Vertrauesitervall Testgröße für µ 0 als Mittelwert: t = x µ 0 SE x Vertrauesitervall zum Niveau α : x t α,ν SE x, x + t α,ν SE x Dabei bedeutet t α,ν die kritische Schrake für das Sigifikaziveau α ud ν Freiheitsgrade, ν = Schreibweise: x ± t α,ν SE x Beispiele t 5% zweiseitig, 8 = t 5% eiseitig, 2 = Vergleich der Mittelwerte zweier Normalverteiluge 5.2. Uabhägige Stichprobe Nullhypothese: µ x = µ y α wähle. Etscheide, ob zweiseitig oder eiseitig teste Testgröße: t Exp = x y SE x y = x y Freiheitsgrad: ν = x + y 2 Aus Tabelle t krit ablese. x y x + y x + y 2 s 2 x ( x )+s 2 y y ( ) Falls t Exp > t krit Nullhypothese verwerfe Gepaarte Stichprobe Nullhypothese: µ x = µ y α wähle. Etscheide, ob zweiseitig oder eiseitig teste Testgröße: t Exp = Freiheitsgrad: ν = Aus Tabelle t krit ablese. d = d, dabei ist d SE d sd i = x i y i Falls t Exp > t krit Nullhypothese verwerfe

17 Has Walser: Modul 209, Tabelle 5 Studetsche t-verteilug FG ν Irrtumswahrscheilichkeit α für de zweiseitige Test FG ν Irrtumswahrscheilichkeit α für de eiseitige Test

18 Has Walser: Modul 209, Tabelle 6 6 Schrake der F-Verteilug für das Sigifikaziveau 5% Nullhypothese: σ x = σ y () Sigifikaziveau wähle (2) Testgröße bereche: F = s x 2, Zähler größer als Neer (3) Freiheitsgrade: ν x = x, ν y = y (4) Kritische Schrake aus der Tabelle s y 2 (5) Vergleich mit Testgröße. Nullhypothese beibehalte, we Testgröße kleier als kritische Schrake. Sost verwerfe. Resultat i Worte formuliere

19 Has Walser: Modul 209, Tabelle 7 Schrake der F-Verteilug für das Sigifikaziveau 5% Freiheitsgrade für de Zähler (größere Variaz) Freiheitsgrade für de Neer (kleiere Variaz)

20 Has Walser: Modul 209, Tabelle 8 Schrake der F-Verteilug für das Sigifikaziveau 5% Freiheitsgrade für de Zähler (größere Variaz) Freiheitsgrade für de Neer (kleiere Variaz)

21 Has Walser: Modul 209, Tabelle 9 Schrake der F-Verteilug für das Sigifikaziveau 5% Freiheitsgrade für de Zähler (größere Variaz) Freiheitsgrade für de Neer (kleiere Variaz)

22 Has Walser: Modul 209, Tabelle 20 Schrake der F-Verteilug für das Sigifikaziveau 5% Freiheitsgrade für de Zähler (größere Variaz) Freiheitsgrade für de Neer (kleiere Variaz)

23 Has Walser: Modul 209, Tabelle 2 Schrake der F-Verteilug für das Sigifikaziveau 5% Freiheitsgrade für de Zähler (größere Variaz) Freiheitsgrade für de Neer (kleiere Variaz)

24 Has Walser: Modul 209, Tabelle 22 7 Ma-Whitey-U-Test. Kritische utere Schrake Ragtest für zwei uabhägige Stichprobe Stichprobeumfäge, 2, Ragsumme R, R 2 Testgröße: U Exp = 2 + ( +) R 2 Die Formel für U Exp ist asymmetrisch, die erste Gruppe wird bevorzugt. Die Tabelle gibt utere kritische Schrake. Die Tabelle so orgaisiert, dass 2 ; es muss daher die größere Gruppe als erste Gruppe gewählt werde. Kritische obere Schrake = 2 kritische utere Schrake 2 = 2.5% 2 = 2.5% utere Schrake. 2 2 U obere Schrake =. 2 utere Schrake Schrake Falls Testgröße U Exp außerhalb der kritische Schrake, Gruppeuterschied sigifikat. Gleichheit vo U Exp ud Schrakewert gilt als sigifikat

25 Has Walser: Modul 209, Tabelle Sigifikaziveau 2.5%, eiseitig. Sigifikaziveau 5%, zweiseitig Kritische utere Schrake für de Ma-Whitey-U-Test \

26 Has Walser: Modul 209, Tabelle Sigifikaziveau 5%, eiseitig. Sigifikaziveau 0%, zweiseitig Kritische utere Schrake für de Ma-Whitey-U-Test \

27 Has Walser: Modul 209, Tabelle 25 8 Korrelatiosaalyse 8. Kritische Werte für de Korrelatioskoeffiziete ach Pearso Voraussetzug: Bivariate Normalverteilug. Nullhypothese: Keie Korrelatio Testgröße: r x,y = c x,y s x s y = i= ( x i x ) y i y i= ( x i x ) 2 ( ) i= ( y i y ) 2 Bei r x,y > r krit, Tabelle Nullhypothese verwerfe. = 2 x i i= x i y i x y i= x 2 2 y i y 2 i= α (zweiseitig) α (zweiseitig) 0% 5% 2% % 0% 5% 2% %

28 Has Walser: Modul 209, Tabelle Kritische Werte für de Korrelatioskoeffiziete ach Spearma Keie bivariate Normalverteilug vorhade. Nullhypothese: Keie Korrelatio Testgröße: r Spearma = 6 2 d 3 i i=, wobei d i = Ragdiffereze Bei r Spearma > r krit, Tabelle Nullhypothese verwerfe. α (zweiseitig) α (zweiseitig) 0% 5% 2% % 0% 5% 2% %

29 Has Walser: Modul 209, Tabelle 27 9 Chi-Quadrat-Tabelle m Felder habe m ( )( ) Freiheitsgrade. Nullhypothese H 0 : stochastische Uabhägigkeit Aus Radhäufigkeite die Erwartugswerte bei H 0 bereche Differeze zwische de beobachtete Werte ud de Erwartugswerte. Quadrate davo. Relatio zu de Erwartugswerte. Summe dieser Zahle ist χ 2 2 Tabelle gibt χ krit. Bei χ 2 2 > χ krit Nullhypothese H 0 verwerfe. Freiheitsgrad α = 0% α = 5% α = 2.5% α = % α = 0.5%