Statistik I für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende

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1 Name: Matrikelummer: Formelsammlug zur Vorlesug Statistik I für Studierede der Soziologie ud Nebefachstudierede Prof Dr Helga Wager Dipl-Soz MSc Julia Kopf, Dipl Stat Gero Walter WS 2010/11 Zur Klausur ist ausschließlich eie Versio ohe eigee Eitraguge (außer Markieruge ud Eitraguge auf der letzte Seite am Ede DiA4) erlaubt Diese ist zur Klausur mitzubrige 1 Eiführug 11 Grudbegriffe Notatio: Merkmale werde typischerweise mit Großbuchstabe bezeichet (X, Y, Z, etc), Auspräguge mit dem zugehörige Kleibuchstabe (x, y, z) Der Wertebereich wird mit W x, W y, W z bzw W bezeichet Formal ist jedes Merkmal eie Fuktio X : Ω W ω X(ω) Merkmalstype Stetige, quasi-stetige ud diskrete Merkmale Skaleiveaus Qualitative ud quatitative Merkmale 1

2 2 2 Häufigkeitsverteiluge Ausgagssituatio: A Eiheite ω 1,, ω sei das Merkmal X beobachtet worde Die verschiedee potetiell mögliche Merkmalsauspräguge werde mit a 1,, a k bezeichet 21 Häufigkeite Absolute Häufigkeite der Merkmalsauspräguge: Für jedes a j, j = 1,, k, bezeiche h j ud h(a j ) die absolute Häufigkeit der Ausprägug a j, dh die Azahl der x i aus x 1,, x mit x i = a j Formal: Es gilt: h j := h(a j ) := {ω Ω X(ω) = a j } h j = Relative Häufigkeite der Merkmalsauspräguge: Für jedes a j, j = 1,, k, bezeiche f j ud f(a j ) die relative Häufigkeit der Ausprägug a j, also f j := f(a j ) := h j f 1, f 2,, f k et ma die relative Häufigkeitsverteilug Es gilt: f j = 1 Häufigkeitstabelle: Allgemeie Form: j a j h j f j 1 a 1 h 1 f 1 2 a 2 h 2 f 2 3 a 3 h 3 f 3 k a k h k f k 1

3 22 Kumulierte Häufigkeite ud empirische Verteilugsfuktio 3 22 Kumulierte Häufigkeite ud empirische Verteilugsfuktio Gegebe sei die Urliste x 1,, x eies (midestes) ordialskalierte Merkmals mit der Häufigkeitsverteilug h 1,, h k bzw f 1,, f k Da heißt H(x) = j:a j x absolute kumulierte Häufigkeitsverteilug ud h(a j ) = F (x) = H(x)/ = f(a j ) = 1 j:a j x j:a j x j:a j x h j h(a j ) relative kumulierte Häufigkeitsverteilug bzw empirische Verteilugsfuktio Gruppierte Date: Allgemeie Formulierug: k Klasse [c 0, c 1 ),, [c j 1, c j ),, [c k 1, c k ], h j Häufigkeit i j-ter Klasse, j = 1,, k Verwede bei eiem x aus der Klasse [c j 1, c j ) als Approximatio für H(x) folgede, aus der lieare Iterpolatio gewoee Pukt: H(x) H(c j 1 ) + h j (c j c j 1 ) (x c j 1) 3 Lage- ud Streuugsmaße 31 Lagemaße 311 Arithmetisches Mittel Defiitio: Sei x 1,, x die Urliste eies (midestes) itervallskalierte Merkmals X Da heißt x := 1 x i das arithmetische Mittel der Beobachtuge x 1,, x

4 31 Lagemaße 4 Alterative Berechug basiered auf Häufigkeite: Hat das Merkmal X die Auspräguge a 1,, a k ud die (relative) Häufigkeitsverteilug h 1,, h k bzw f 1,, f k, so gilt x = 1 a j h j = a j f j Satz: Arithmetisches Mittel ud lieare Trasformatioe Gegebe sei die Urliste x 1,, x eies (midestes) itervallskalierte Merkmals X Betrachtet wird das (liear trasformierte) Merkmal Y = a X +b ud die zugehörige Auspräguge y 1,, y Da gilt für das arithmetische Mittel ȳ vo Y : ȳ = a x + b Defiitio: Arithmetisches Mittel bei gruppierte Date: Sei X ei itervallskaliertes Merkmal, das i gruppierter Form mit k Klasse [c 0, c 1 ), [c 1, c 2 ),, [c k 1, c k ] erhobe wurde Mit h l, l = 1, k, als absoluter Häufigkeit der l te Klasse, f l als zugehöriger relativer Häufigkeit ud m l := c l+c l 1 als der jeweilige Klassemitte defiiert 2 ma als arithmetisches Mittel für gruppierte Date x grupp := 1 h lm l = f l m l Satz: Arithmetisches Mittel bei geschichtete Date: Zerfällt die Grudgesamtheit i z Schichte, so ka x aus de Schichtmittel x l, l = 1,, z, berechet werde: x = 1 z l x l Dabei bezeichet l die Azahl der Elemete i der l-te Schicht 312 Media & Quatile Media: Gegebe sei die Urliste x 1,, x eies (midestes) ordialskalierte Merkmals X Jede Zahl x med mit heißt Media {i x i x med } 05 ud {i x i x med } 05 Quatile: Gegebe sei die Urliste x 1,, x eies (midestes) ordialskalierte Merkmals X ud eie Zahl 0 < α < 1 Jede Zahl x α mit heißt α 100%-Quatil {i x i x α } α ud {i x i x α } 1 α

5 31 Lagemaße 5 Spezielle Quatile: Media: x 05 = x med Quartile: x 025, x 075 Dezile: x 01, x 02,, x 08, x 09 Alterative Defiitio des Medias über die geordete Urliste x (1) x (2) x () : ( ) 1 x 2 x med := ( 2 ) + x ( +1) für gerade 2 x ( +1 für ugerade 2 ) Satz: Sei x 1, x 2,, x die Urliste eies (midestes) ordialskalierte Merkmals X Ferer sei g eie streg mooto steigede Fuktio ud y 1 = g(x 1 ),, y = g(x ) die Urliste des Merkmals Y = g(x) Da gilt für de Media y med vo Y : y med = g(x med ) 313 Modus Defiitio: Sei x 1,, x die Urliste eies omialskalierte Merkmals mit de Auspräguge a 1,, a k ud der Häufigkeitsverteilug h 1,, h k, so heißt a j Modus x mod geau da, we h j h j, für alle j = 1,, k 314 Geometrisches Mittel Sei Ω = {0,, } eie Mege vo Zeitpukte ud B(i) =: b i ei zum Zeitpukt i erhobees Merkmal, Für i = 1,, heißt der i-te Wachstumsfaktor ud x i = b i b i 1 die i-te Wachstumsrate Da bezeichet ma x geom := r i = b i b i 1 b i 1 = x i 1 ( x i ) 1 = (x 1 x 2 x ) 1 als das geometrische Mittel der Wachstumsfaktore x 1,, x

6 32 Streuugsmaße 6 Es gilt b = b 0 ( x geom ) 315 Harmoisches Mittel Sei x 1,, x mit x i 0 für alle i die Urliste eies verhältisskalierte Merkmals X Da heißt 1 x har := 1 1 das harmoische Mittel der x 1,, x x i 32 Streuugsmaße 321 Variaz ud Stadardabweichug Defiitio: Sei x 1,, x die Urliste eies itervallskalierte Merkmals X Da heiße s 2 X := 1 (x i x) 2 die (empirische) Variaz oder Stichprobevariaz ud s X := s 2 X die empirische Streuug, Stichprobestreuug oder Stadardabweichug vo X Sid die Auspräguge a 1,, a k mit (relativer) Häufigkeitsverteilug h 1,, h k bzw f 1,, f k gegebe, so gilt s 2 X = 1 h j (a j x) 2 = f j (a j x) 2 Satz: Sei x 1,, x die Urliste eies midestes itervallskalierte Merkmals X mit s X > 0 ud y 1,, y die zugehörige Urliste des Merkmals Y = a X + b Da gilt ud s 2 Y = a 2 s 2 X s Y = a s X Verschiebugssatz: Es gilt s 2 X = 1 x 2 i ( 1 ) 2 x i = x 2 ( x) 2

7 32 Streuugsmaße 7 Variazzerlegug / Streuugszerlegug: Variaz bei geschichtete Date mit Schicht 1,, l,, z z Besetzugszahle 1,, l,, z ; l = Mittelwerte x 1,, x l,, x z Variaze s 2 1,, s 2 l,, s2 z Mit sowie gilt s 2 ierhalb := 1 s 2 zwische := 1 z l s 2 l z l ( x l x) 2 s 2 = s 2 ierhalb + s2 zwische Korrigierte empirische Variaz: Sei x 1,, x die Urliste eies itervallskalierte Merkmals X Da heißt s 2 X := 1 (x i x) 2 1 die korrigierte empirische Variaz oder korrigierte Stichprobevariaz vo X 322 Weitere Streuugsmaße Variatioskoeffiziet: Ist x > 0, so heißt die Größe Variatioskoeffiziet des Merkmals X v X := s X x Iter-Quartils-Abstad: Merkmals, so heißt der Iterquartilsabstad Sid x 025 ud x 075 das obere ud das utere Quartil eies d QX := x 075 x 025 Media-Absolute-Deviatio: Der Media der Werte x i x med, i = 1,,, heißt Media-Absolute-Deviatio vo X (MAD X )

8 8 Spaweite: Die Größe heißt Spaweite vo X R X := x () x (1) 4 Kozetratiosmessug Durchgägige Aahme i diesem Kapitel: X sei ei verhältisskaliertes Merkmal (mit Urliste x 1,, x ) x i 0, für alle i = 1,,, ud x i > 0 (dh midestes ei Wert ist vo Null verschiede) Betrachtet werde die der Größe ach geordete Date: x (1) x (2) x () 41 Relative Kozetratiosmessug 411 Lorezkurve Defiitio: Sei ud u j := j j j v j := x (i) = x i x (i) x (i) da heißt die stückweise lieare Kurve durch die Pukte (0, 0), (u 1, v 1 ), (u 2, v 2 ),, (u, v ) = (1, 1) Lorezkurve Berechug über die Häufigkeite: Sid die relative/absolute Häufigkeite f 1,, f k bzw h 1,, h k der der Größe ach geordete Merkmalsauspräguge a 1 < a 2 < < a k gegebe, so gilt für j = 1,, k u j = j h l = j f l = F (a j )

9 41 Relative Kozetratiosmessug 9 ud j j h l a l f l a l v j = = h l a l f l a l Berechug bei klassierte Date: Bei klassierte Date mit de Klasse [c 0, c 1 ), [c 1, c 2 ),, [c k 1, c k ] ud Klassemitte m l = c l 1+c l (mit l = 1,, k ) verwedet 2 ma als Approximatio j j h l m l f l m l v j = = h l m l f l m l 412 Gii-Koeffiziet Defiitio Gegebe sei die geordete Urliste x (1), x (2),, x () eies verhältisskalierte Merkmals X Da heißt G := 2 i x (i) x i + 1 Gii-Koeffiziet ud G := 1 G ormierter Gii-Koeffiziet (Lorez-Müzer-Koeffiziet) Bemerkug: Betrachtet ma die geordete Auspräguge a 1 < a 2 < < a k mit de Häufigkeite h 1, h 2,, h k, so gilt G = (u l 1 + u l )f l a l 1 = f l a l (u l 1 + u l )h l a l h l a l 1 = 1 f l (v l 1 + v l )

10 41 Relative Kozetratiosmessug 10 mit u j = 1 j h l ud u 0 := Quatilsbezogee relative Kozetratiosmessug Sei für das (l α) 100% Quatil z l derjeige Merkmalsateil, der auf das l-te Quatil etfällt Da gilt für die etsprechede v-werte der Lorezkurve: v j = jα x (i) = z l l j x (i) Berechug des Gii-Koeffiziete: We im jeweilige Quatil alle Eikomme gleich sid, so hat ma Häufigkeitsdate mit de Auspräguge a 1, a 2,, a k vorliege, dh a l ist der Wert im l-te Quartil ud ma erhält G = (u l 1 + u l )f l a l 1 f l a l = (u l 1 + u l ) f l a l 1 f l a l ( ) = (u l 1 + u l ) z l Weitere quatilsbasierte Maße Robi-Hood-Idex Wie viel müsste de Reiche weggeomme werde, um zu eier Kozetratio vo 0 zu komme?

11 42 Absolute Kozetratiosmessug 11 Ermittle für jedes j für das j α-quatil de Abstad seies Ateils zu α Aufaddiere der positive Abstäde liefert de Robi-Hood-Idex Quatilverhältisse Bilde das Verhältis vo (1 α)- ud α-quatil, zum Beispiel: x 09 x 01 Dezilverhältis (falls x 01 > 0) 42 Absolute Kozetratiosmessug Defiitio: Sei 0 x (1) x (2) x () die geordete Urliste eies verhältisskalierte Merkmals mit x i > 0 Mit p (i) := x (i) x j heißt CR g := Kozetratiosrate (vom Grade g) i= g+1 p (i) Defiitio: Sei 0 x (1) x (2) x () die geordete Urliste eies verhältisskalierte Merkmals mit x i > 0 Mit p (i) := x (i) x j heißt H := p 2 (i) = Herfidahl-Idex Die Größe 1 H wird auch als Rae-Idex bezeichet effektive Parteie (Marktteilehmer) p 2 i 1 H heißt Zahl der

12 12 5 Assoziatiosmessug i Kotigeztafel 51 Multivariate Merkmale 52 Assoziatiosmessug i Kotigeztafel 521 Gemeisame Verteilug, Radverteilug, Kotigeztafel Betrachtet wird ei zweidimesioales Merkmal (X, Y ) bestehed aus de diskrete Merkmale X ud Y ud die zugehörige Urliste (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),, (x, y ) Wir wolle ferer aehme, dass X ud Y ur edlich viele ( weige ) verschiedee Werte a 1,, a i,, a k bzw b 1,, b j, b m aehme köe Gemeisame relative ud absolute Häufigkeitsverteilug: h ij = h(a i, b j ), i = 1,, k, j = 1,, m, Azahl vo Beobachtuge mit x = a i ud y = b j f ij = h ij / = f(a i, b j ), i = 1,, k, j = 1,, m, Ateil vo Beobachtuge mit x = a i ud y = b j Ma et (h ij ) ud (f ij ), i = 1,, k, j = 1,, m, die gemeisame Verteilug vo (X, Y ) i absolute bzw relative Häufigkeite Darstellug der Häufigkei- Kotigeztafel / Kotigeztabelle / Kreuztabelle: te i Form eier (k m)-dimesioale Häufigkeitstabelle mit de Radverteiluge b 1 b j b m a 1 h 11 h 1j h 1m h 1 a 2 h 21 h 2j h 2m h 2 a i h i1 h ij h im h i a k h k1 h kj h km h k h 1 h j h m h i = h i1 + + h im = h(a i ), i = 1,, k, für X

13 52 Assoziatiosmessug i Kotigeztafel 13 ud h j = h 1j + + h kj = h(b j ), j = 1,, m, für Y Kotigeztafel der relative Häufigkeitsverteilug: b 1 b j b m a 1 f 11 f 1j f 1m f 1 a 2 f 21 f 2j f 2m f 2 a i f i1 f ij f im f i a k f k1 f kj f km f k f 1 f j f m 1 mit der relative Häufigkeite f ij = h ij ud de Radverteiluge ud f i = h i = f i1 + + f im = f(a i ), i = 1,, k, für X f j = h j = f 1j + + f kj = f(b j ), j = 1,, m, für Y 522 Bedigte Häufigkeitsverteiluge Defiitio: Seie h i > 0 ud h j > 0 für alle i, j Für jedes i = 1,, k heißt f Y (b 1 a i ) := h i1 = h(a i, b 1 ) h i h(a i ),, f Y (b m a i ) := h im = h(a i, b m ) h i h(a i ) bedigte (relative) Häufigkeitsverteilug vo Y uter der Bedigug X = a i Aalog heißt für jedes j = 1,, m f X (a 1 b j ) := h 1j = h(a 1, b j ),, f X (a k b j ) := h kj = h(a k, b j ) h j h(b j ) h j h(b j ) bedigte (relative) Häufigkeitsverteilug vo X uter der Bedigug Y = b j Bedigte Verteiluge werde immer als relative Häufigkeite ausgedrückt Für die Berechug gilt ud aalog f(a i b j ) = h ij h j = f(b j a i ) = h ij h i h ij h j = f ij f i = f ij f j

14 53 (Empirische) Uabhägigkeit ud χ (Empirische) Uabhägigkeit ud χ 2 Empirische Uabhägigkeit: Die beide Kompoete X ud Y eies bivariate Merkmals (X, Y ) heiße voeiader (empirisch) uabhägig, falls für alle i = 1,, k ud j = 1,, m ud gilt f(b j a i ) = f j = f(b j ) (1) f(a i b j ) = f i = f(a i ) (2) Satz: a) Es geügt, etweder (1) oder (2) zu überprüfe: Mit eier der beide Beziehuge gilt auch die adere b) X ud Y sid geau da empirisch uabhägig, we für alle i = 1, k ud alle j = 1, m gilt: c) Gleichug (3) ist äquivalet zu f ij = f i f j (3) h ij = h i h j (4) χ 2 -Abstad, χ 2 -Koeffiziet: wird defiiert: Mit χ 2 := h ij := h i h j m (h ij h ij ) 2 h ij Alterative Berechug vo χ 2 i Vierfeldertafel: χ 2 = (h 11h 22 h 12 h 21 ) 2 h 1 h 2 h 1 h 2 (5) χ 2 -basierte Maßzahle a) Kotigezkoeffiziet ach Pearso: χ K := 2 (6) + χ 2

15 53 (Empirische) Uabhägigkeit ud χ 2 15 b) Korrigierter Kotigezkoeffiziet: mit K max := K := K K max (7) mi{k, m} 1 mi{k, m} c) Kotigezkoeffiziet ach Cramér (Cramérs V): V = = χ 2 (mi{k, m} 1) χ 2 maximaler Wert (8) d) Bei der Vierfeldertafel (k = m = 2) gilt χ V = 2 (mi{k, m} 1) = Hierfür ist auch die Bezeichug Phi-Koeffiziet Φ üblich Mit (5) ergibt sich also χ 2 Φ = h 11 h 22 h 12 h 21 (9) h1 h 2 h 1 h 2 Lässt ma die Betragsstriche weg, so erhält ma de sigierte Phi-Koeffiziete oder Pukt-Korrelatioskoeffiziete Φ s = h 11h 22 h 12 h 21, h1 h 2 h 1 h 2 der häufig ebefalls als Phi-Koeffiziet bezeichet wird Korrekturverfahre für Φ 1 Bilde die strukturtreue Extremtabelle mit Eiträge h ij, dh i Bereche das Vorzeiche vo Φ s : Ist h 11 h 22 h 12 h 21 > 0, so setze mi(h 12, h 21 ) auf 0 Ist h 11 h 22 h 12 h 21 < 0, so setze mi(h 11, h 22 ) auf 0 ii Fülle die Tafel etspreched der Radverteilug auf! 2 Bereche de zugehörige Phi-Koeffiziete Φ extrem 3 Bereche de korrigierte Phi-Koeffiziete Φ korr := Φ Φ extrem bzw de zugehörige korrigierte sigierte Phi-Koeffiziete Φ s,korr := Φ s Φ extrem

16 54 Weitere Methode für Vierfeldertafel Weitere Methode für Vierfeldertafel Aus der mediziische Statistik kommed wird die bedigte relative Häufigkeit f(b j a i ) oft auch als Risiko für b j uter Bedigug a i bezeichet: R(b j a i ) := f(b j a i ) = h ij h i i, j = 1, 2 Relatives Risiko: Für eie Vierfelder-Tafel heißt RR(b 1 ) := f(b 1 a 1 ) f(b 1 a 2 ) = h 11/h 1 h 21 /h 2 relatives Risiko Prozetsatzdifferez: Die Größe heißt Prozetsatzdifferez für b j d%(b j ) := ( f(b j a 1 ) f(b j a 2 ) ) 100, j = 1, 2 Odds: Die Größe O(b 1 a i ) := R(b 1 a i ) 1 R(b 1 a i ) heißt Odds oder Chace vo b 1 uter der Bedigug a i i = 1, 2 Odds Ratio (Kreuzproduktverhältis): Es gilt: OR(b 1 ) := O(b 1 a 1 ) O(b 1 a 2 ) = h 11 h 22 h 12 h 21 Yules Q: heißt Yules Q Die Größe Q := h 11 h 22 h 12 h 21 h 11 h 22 + h 12 h PRE-Maße (Prädiktiosmaße) Defiitio: PRE = P roportioal Reductio i E rror P RE = E 1 E 2 E 1 = 1 E 2 E 1 wobei E 1 : Vorhersagefehler bei Modell 1 E 2 : Vorhersagefehler bei Modell 2

17 56 Zusammehagsaalyse bivariater ordialer Merkmale 17 Guttmas Lambda λ Y = λ X = ( ( m max(h ij ) j ) max(h j ) j ) max i (h ij ) max i (h i ) max(h j ) j max i (h i ) λ = max(h ij ) + j m max(h ij ) max(h j ) max(h i ) i j i 2 max(h j ) max(h i ) j i Goodmas ud Kruskals Tau: τ Y = τ X = m 1 m 1 f 2 ij f i m f 2 ij f j m f 2 j f 2 i f 2 j f 2 i τ = m f 2 ij f i + 2 m f 2 ij f j m f j 2 m f j 2 f 2 i f 2 i 56 Zusammehagsaalyse bivariater ordialer Merkmale 561 Kokordate Paare Defiitio: Gegebe sei die Urliste eies bivariate Merkmals (X, Y ), wobei X ud Y jeweils ordiales Skaleiveau besitze Ei Paar (i, j), i j, vo Eiheite mit de Auspräguge (x i, y i ) ud (x j, y j ) heißt

18 56 Zusammehagsaalyse bivariater ordialer Merkmale 18 a) kokordat (gleichläufig), falls etweder (x i > x j ud y i > y j ) oder (x i < x j ud y i < y j ) gilt b) diskordat (gegeläufig), falls etweder (x i > x j ud y i < y j ) oder (x i < x j ud y i > y j ) gilt c) ausschließlich i X gebude, falls (x i = x j ud y i y j ) d) ausschließlich i Y gebude, falls (x i x j ud y i = y j ) e) i X ud Y gebude, falls (x i = x j ud y i = y j ) Ferer bezeiche C die Azahl der kokordate Paare, D die Azahl der diskordate Paare, T X die Azahl der Paare mit Biduge ausschließlich i X, T Y die Azahl der Paare mit Biduge ausschließlich i Y, T XY die Azahl der Paare mit Biduge i X ud Y 562 Zusammehagsmaße τ a, τ b ud γ für ordiale Date Defiitio: Die Zusammehagsmaße für ordiale Date heiße Kedalls Tau a, τ b := τ a := C D ( 1) 2 C D (C + D + TX ) (C + D + T Y ) Kedalls Tau b ud Goodmas ud Kruskals Gamma γ := C D C + D

19 19 6 Korrelatios- ud Regressiosaalyse: Zusammehagsaalyse stetiger Merkmale 61 Korrelatiosaalyse 611 Kovaziaz ud Korrelatio Defiitio: Gegebe sei ei bivariates Merkmal (X, Y ) mit metrisch skalierte Variable X ud Y mit s 2 X > 0 ud s2 Y > 0 Da heiße Cov(X, Y ) := 1 (empirische) Kovariaz vo X ud Y, (x i x) (y i ȳ) ϱ(x, Y ) := (x i x) (y i ȳ) (x i x) 2 (y i ȳ) 2 (empirischer) Korrelatioskoeffiziet ach Bravais ud Pearso vo X ud Y, ud Bestimmtheitsmaß vo X ud Y R 2 XY := (ϱ(x, Y )) 2 Verschiebugssatz: Cov(X, Y ) = 1 x i y i xȳ ud damit x i y i x ȳ ϱ(x, Y ) = x 2 i x2 yi 2 ȳ2 Trasformatio: ϱ(x, Y ) ud RXY 2 sid ivariat gegeüber streg mooto steigede lieare Trasformatioe Geauer gilt mit X := a X + b ud Ỹ := c Y + d ϱ( X, Ỹ ) = ϱ(x, Y ) falls a c > 0 ud ϱ( X, Ỹ ) = ϱ(x, Y ) falls a c < 0

20 61 Korrelatiosaalyse Weitere Korrelatioskoeffiziete Awedug des Korrelatioskoeffiziete ach Bravais-Pearso auf dichotome omiale Merkmale Liege dichotome omiale Merkmale, dh Merkmale mit ur zwei ugeordete Auspräguge vor (zb ja/ei), ud kodiert ma die Ausprägug mit 0 ud 1, so ka ma die Formel des Korrelatioskoeffiziete ach Bravais-Pearso sivoll awede Ma erhält de sogeate Pukt-Korrelatioskoeffiziete, der idetisch zu Φ aus Kapitel 53 ist Im Fall eier dichotome ud eier metrische Variable ergibt sich bei Awedug des Korrelatioskoeffiziete ach Bravais-Pearso die sogeate Pukt-biseriale Korrelatio Ragkorrelatioskoeffiziet ach Spearma Wir betrachte ei bivariates Merkmal (X, Y ), wobei X ud Y ur ordialskaliert sid, aber viele uterschiedliche Auspräguge besitze Liege keie Biduge vor, da rechet ma statt mit (x i, y i ),, mit (rg(x i ), rg(y i )),, Dabei ist rg(x i ) = j : x i = x (j), Liege Biduge vor, so immt ma de Durchschittswert der i Frage kommede Räge Defiitio: ϱ S,XY := ( + 1 rg(x i ) rg(y i ) 2 ( ) ( + 1 (rg(x i )) 2 (rg(y i )) ) 2 ) 2 heißt (empirischer) Ragkorrelatioskoeffiziet ach Spearma Liege keie Biduge vor, so gilt 6 d 2 i ϱ S,XY = 1 ( 2 1) wobei d i := rg(x i ) rg(y i )

21 62 Regressio Regressio Defiitio: Gegebe seie zwei metrische Merkmale X ud Y ud das Modell der lieare Eifachregressio Da bestimme ma â ud ˆb so, dass mit das Kleiste-Quadrate-Kriterium y i = a + bx i + ε i, i = 1,, ˆε i := y i ŷ i = y i (â + ˆbx i ) miimal wird Die optimale Werte â ud ˆb heiße KQ-Schätzuge, ˆε i bezeichet das i-te (geschätzte) Residuum ˆε 2 i Satz: Für die KQ-Schätzer gilt (x i x)(y i ȳ) i) ˆb Cov(X, Y ) = = s 2 (x i x) 2 X ii) â = ȳ ˆb x, iii) ˆε i = 0 = ϱ X,Y s Y s X 621 Modellapassug: Bestimmtheitsmaß ud Residualplots Streuugszerlegug: SQT = SQR + SQE mit SQT := (y i ȳ) 2 (Gesamtstreuug / Gesamtvariatio der y i : sum of squares total ) SQR := (ŷ i y i ) 2 (Residualstreuug / Residualvariatio: sum of squared residuals ) SQE := SQT SQR = (ŷ i ȳ) 2 (durch das Regressiosmodel erklärte Streuug: sum of squares explaied )

22 63 Multiple lieare Regressio 22 Bestimmtheitsmaß: Es gilt SQT SQR SQT SQE SQT = R2 XY = SQE SQT 63 Multiple lieare Regressio Modellgleichug: y = a + b 1 x 1i + b 2 x 2i + + b p x pi + ε i Dabei bezeichet x i1 de für die i-te Beobachtug beobachtete Wert der Variable X 1, x i2 de Wert der Variable X 2, usw KQ-Prizip: Bestimme ˆβ 0, ˆβ 1, ˆβ 2,, ˆβ p so, dass mit ˆε i = y i ŷ i := y i ( ˆβ 0 + ˆβ 1 x 1i + ˆβ 2 x 2i + + ˆβ p x pi ) der Ausdruck miimal wird ˆε 2 i Bestimmtheitsmaß: R 2 = SQE SQT Korrigiertes Bestimmtheitsmaß: R 2 := 1 1 p 1 (1 R2 ) 631 SPSS-Output eier multiple Regressio: Coefficiets a Ustadardized Coefficiets Model B Std Error t Sig 1 (Costat) ˆβ0 ˆσ 0 T 0 p-wert X 1 ˆβ1 ˆσ 1 T 1 X 2 ˆβ2 ˆσ 2 T 2 X p ˆβp ˆσ p T p a Depedet Variable: Y

23 64 Nomiale Eiflussgröße, Variazaalyse Nomiale Eiflussgröße, Variazaalyse Dichotome Kovariable: Dichotome Variable köe, sofer sie mit 0 ud 1 (wichtig!) kodiert sid, ebefalls als Eiflussgröße zugelasse werde Dummykodierug: Mache aus eier kategoriale Variable mit k Auspräguge (k 1) Variable mit de Auspräguge 0 ud 1 Diese k 1 Dummyvariable dürfe da i der Regressio verwedet werde Iteraktioseffekte: Wechselwirkug zwische Kovariable lasse sich durch de Eibezug des Produkts als zusätzliche Kovariable modelliere y i = β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 2i + β 3 x 1i x 2i + ε i Variazaalyse: Ist ei omiales Merkmal X mit isgesamt k verschiedee Auspräguge die eizige uabhägige Variable, so führt die Regressiosaalyse mit de etsprechede k 1 Dummyvariable auf die sogeate (eifaktorielle) Variazaalyse: Das zugehörige Bestimmtheitsmaß wird üblicherweise mit η 2 bezeichet: η 2 = SQE SQT = j (ȳ j ȳ) 2 j (y ij ȳ j ) 2 η 2 ud η = η 2 werde auch als Maße für de Zusammehag zwische eier metrische Variable ud eier omiale Variable verwedet

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