Formelsammlung. PD Dr. C. Heumann

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1 Formelsammlug zur Vorlesug Statisti I PD Dr. C. Heuma

2 Formelsammlug Statisti I Desriptive Statisti Häufigeitsverteiluge Darstellugsforme vo Date Rohdate: x 1, x 2,..., x x i Azahl der Beobachtuge Mermalsausprägug des i-te Objets Geordete Date: x (1), x (2),..., x () x (i) Azahl der Beobachtuge i-t größte Mermalsausprägug Klassierte Date (bei stetige Mermale), z.b.: K j e j 1 e j x (1), x (2), x (3) }{{} d j e j e j 1 a j 1 2 (e j + e j 1 ) j f j j x (4), x (5) }{{} K 1 K 2 x (6),......, x () }{{} K Azahl der Klasse j-te Klasse utere Greze der j-te Klasse obere Greze der j-te Klasse Klassebreite der j-te Klasse Klassete der j-te Klasse absolute Häufigeit i der j-te Klasse relative Häufigeit i der j-te Klasse Häufigeitstabelle für uterschiedliche Mermalsauspräguge: a j j f j f (a j ) j a 1, a 2,..., a Azahl uterschiedlicher Mermalsauspräguge j-te Mermalsausprägug absolute Häufigeit vo a j relative Häufigeit vo a j Empirische Verteilugsfutio Für Häufigeitstabelle: F(x) f (a j ) a j x PD Dr. C. Heuma 1

3 Formelsammlug Statisti I Desriptive Statisti Lagemaße Modus Für Häufigeitstabelle bzw. bei gruppierte Date: Media x M a j j max{ 1, 2,..., } x 0,5 Bei lassierte Date: x 0,5 e m 1 + { x((+1)/2) falls ugerade, 1 2 (x (/2) + x (/2+1) ) falls gerade. 0,5 m 1 f j d m f m wobei m folgedermaße bestimmt ist: m 1 f j < 0,5 ud m f j 0,5 Quatile x () falls α eie gaze Zahl ist, ist da die leiste, x α gaze Zahl > α, 1 2 (x (α) + x (α+1) ) falls α gazzahlig ist. Arithmetisches Mittel x 1 x i Bei Häufigeitstabelle bzw. bei gruppierte Date: x 1 j a j f j a j Falls beat werde im lassierte Fall statt der Klassete a j die Klassetelwerte x j verwedet. Geometrisches Mittel ( ) 1 x G x i x i Für Häufigeitstabelle bzw. bei gruppierte Date: x G a j j ( a j j Falls beat öe im lassierte Fall statt der Klassete a j auch die lassespezifische geometrische Mittel verwedet werde. x G x 1... x B B 0 B 0 B i B x i B i B i 1 Harmoisches Mittel x H w i w i x i ) 1 B B 0 x 1... x Afagsbestad Bestad zum Zeitput i 1,..., Edbestad i-ter Wachstumsfator Für Häufigeitstabelle bzw. bei gruppierte Date: x H j a j 1 f j a j Falls beat öe im lassierte Fall statt der Klassete a j auch die lassespezifische harmoische Mittel verwedet werde. PD Dr. C. Heuma 2

4 Formelsammlug Statisti I Desriptive Statisti Streuugsmaße Spaweite R x () x (1) Quartilsabstad d Q x 0,75 x 0,25 (Empirische) Variaz s 2 1 i x) (x 2 1 x 2 i x 2 Für Häufigeitstabelle bzw. bei gruppierte Date: s 2 1 Streuugszerlegug: j (a j x) 2 1 s 2 s 2 zwische + s2 ierhalb j a 2 j x 2 s 2 zwische 1 s 2 ierhalb 1 j ( x j x) 2 j s 2 j s 2 j 1 j x i K j (x i x j ) 2 x j 1 j x i K j x i (Empirische) Stadardabweichug s s 2 1 Variatiosoeffiziet v s x (x i x) 2 Kozetratiosmaße Lorezurve u 0 0, v 0 0 u i i, i 1,..., v i i x ( j), x ( j) Bei gruppierte Date: ũ 0 0, ṽ 0 0 ũ i ṽ i i f j, i f j a j f j a j i 1,..., i 1,..., i j a j x, i 1,..., Falls beat werde im gruppierte Fall statt der Klassete a j die Klassetelwerte x j verwedet. Gii-Koeffiziet G Bei gruppierte Date: G ix (i) ( + 1) x (i) 0 G 1 x (i) j (ṽ j 1 + ṽ j ) 1 1 (v i 1 + v i ) Normierter Gii-Koeffiziet (Lorez-Müzer-Koeffiziet): G + 1 G 0 G + 1 PD Dr. C. Heuma 3

5 Formelsammlug Statisti I Desriptive Statisti Maßzahle für de Zusammehag zweier Mermale Schema eier l - Kotigeztafel Mermal Y y 1 y j y l x j 1l Mermal X x i i1 i j il i x 1 j l j +l Bei ordiale Mermale: K i<m j< i j m D i<m j> i j m T X im j< i j m T Y i<m j i j m Schema eier Kotigeztafel Mermal X χ 2 -Statisti χ 2 Mermal Y y 1 y 2 x 1 a b a + b x 2 c d c + d a + c b + d l ( i j i+ + j i+ + j 0 χ 2 (mi(,l) 1) Spezialfall: 2 2-Tafel: χ 2 Phi-Koeffiziet Φ Azahl oordater Paare Azahl disordater Paare Azahl Biduge bzgl. X Azahl Biduge bzgl. Y ) 2 (ad bc) 2 (a + b)(c + d)(a + c)(b + d) χ 2 0 Φ mi(,l) 1 Spezialfall: 2 2-Tafel: Φ ad bc (a + b)(c + d)(a + c)(b + d) ( l 2 i j i+ + j 1 ) Kotigezoeffiziet C C χ 2 χ 2 + mi(,l) 1 0 C mi(, l) Korrigierter Kotigezoeffiziet C orr C orr 0 C orr 1 Odds-Ratio OR ad bc 0 OR < mi(, l) mi(,l) 1 χ 2 χ 2 + Gamma ach Goodma ud Krusal γ K D K + D 1 γ 1 Kedalls τ b τ b K D (K + D + TX )(K + D + T Y ) 1 τ b 1 Cramers V V 0 V 1 χ 2 (mi(,l) 1) Kedalls/Stuarts τ c τ c 2mi(,l)(K D) 2 (mi(,l) 1) 1 τ c 1 PD Dr. C. Heuma 4

6 Formelsammlug Statisti I Desriptive Statisti Ragorrelatiosoeffiziet ach Spearma Korrelatiosoeffiziet ach Bravais-Pearso Ohe Biduge: r Covar(X,Y ) S xy Var(X) Var(Y ) Sxx S yy R 1 6 di 2 ( 2 1) R(x i ) R(y i ) d i R(x i ) R(y i ) Rag der i-te Beobachtug vo X Rag der i-te Beobachtug vo Y Ragdifferez (x i x)(y i ȳ) (x i x) 2 (y i ȳ) 2 x i y i xȳ ( xi 2 x2 )( y 2 i ȳ2 ) Mit Biduge: ( 2 1) 1 2 R J b j (b 2 j 1) 1 2 K 1 c (c 2 1) 6 di 2 ( 2 1) J b j (b 2 j ( 1) 2 1) K c (c 2 1) 1 S xx S yy S xy ud (x i x) 2 (y i ȳ) 2 (x i x)(y i ȳ) x 2 i x 2 y 2 i ȳ 2 x i y i xȳ J K b j c Azahl uterschiedl. Mermalsauspräguge bei X Azahl uterschiedl. Mermalsauspräguge bei Y abs. Häufigeit der j-te Mermalsausprägug bei X abs. Häufigeit der -te Mermalsausprägug bei Y Var(X) 1 S xx Var(Y ) 1 S yy Covar(X,Y ) 1 S xy 1 R 1 1 r 1 PD Dr. C. Heuma 5

7 Formelsammlug Statisti I Desriptive Statisti Lieare Eifachregressio Modell Y a + bx + e Streuugszerlegug SQ Total SQ Regressio + SQ Residual KQ-Schätzer ˆb S xy S xy Syy Syy r S xx Sxx Syy S xx S xx â ȳ ˆb x Eigeschafte der Regressiosgerade ŷ i â + ˆbx i ȳ + ˆb(x i x) ê i y i ŷ i y i (â + ˆbx i ) ê i y i (ȳ + ˆb(x i x)) y i ȳ ˆb (x i x) ȳ ȳ ˆb( x x) 0 ŷ 1 ŷ i 1 (ȳ + ˆb( x x)) ȳ SQ Total SQ Regressio SQ Residual Es gilt: S yy SQ Total Bestimmtheitsmaß R 2 SQ Regressio SQ Total 0 R 2 1 (y i ȳ) 2 (ŷ i ȳ) 2 (y i ŷ i ) 2 (y i (â + ˆbx i )) 2 S yy ˆb 2 S xx S yy (S xy) 2 S xx 1 SQ Residual SQ Total r 2 PD Dr. C. Heuma 6

8 Formelsammlug Statisti I Desriptive Statisti Verhältiszahle ud Idizes Idexzahle Eifache Idexzahl (oder Messzahl): I 0t x t x 0 x 0 x t Wert der Maßzahl i der Basisperiode Wert der Maßzahl i der Berichtsperiode t Veräderug des Basisjahres: I t x t x Verettugsregel: I 0t I 0 I t Defiitioe p 0 (i) p t (i) q 0 (i) q t (i) x t x 0 x x 0 I 0t I 0 p 0 (p 0 (1),...,, p 0 ()) p t (p t (1),..., p t ()) q 0 (q 0 (1),..., q 0 ()) q t (q t (1),..., q t ()) Preis vo Gut i 1,..., i der Basisperiode Preis vo Gut i 1,..., i der Berichtsperiode t Mege vo Gut i 1,..., i der Basisperiode Mege vo Gut i 1,..., i der Berichtsperiode t Preisidex ach Laspeyres P0t L p tq 0 p 0 q p t(i)q 0 (i) 0 p 0(i)q 0 (i) Preisidex ach Paasche P0t P p tq t p 0 q p t(i)q t (i) t p 0(i)q t (i) Megeidex ach Laspeyres Q L 0t p 0 q t p 0 q p 0(i)q t (i) 0 p 0(i)q 0 (i) Megeidex ach Paasche Q P 0t p tq t p tq 0 p t(i)q t (i) p t(i)q 0 (i) Umsatzidex (Wertidex) W 0t p tq t p 0 q p t(i)q t (i) 0 p 0(i)q 0 (i) Erweiterug des Wareorbs Eiführug des eue Guts ( Nummer + 1) zum Zeitput t : P L t,t +1 (erweitert) p t +1 q 0 + p t +1( + 1)q t ( + 1) p t q 0 + p t ( + 1)q t ( + 1) Subidizes P L 0,t +1 (verettet) PL 0,t PL t,t +1 (erweitert) P L 0t w I P L 0t(I) + w II P L 0t(II) P L 0t(I) m p t(i)q 0 (i) m p 0(i)q 0 (i) P0t(II) L im+1 p t(i)q 0 (i) im+1 p 0(i)q 0 (i) U p 0 (i)q 0 (i) w I m p 0(i)q 0 (i) U w II 1 w I im+1 p 0(i)q 0 (i) U Zeitreihe Additives Kompoetemodell y t g t + s t + r t, t 1,...,T y t g t s t r t Beobachtug zum Zeitput t glatte Kompoete zum Zeitput t saisoale Kompoete zum Zeitput t Restompote zum Zeitput t Gleitede Durchschitte ugerader Ordug 2 + 1: yt y t+ j j gerader Ordug 2: ( yt y t + 1 j +1 y t+ j y t+ ) PD Dr. C. Heuma 7