C. Eicher Analysis Study Center ETH Zürich HS Summen. k=1

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1 C Eicher Aaysis Study Ceter ETH Zürich HS 015 Summe Die Summe vo mehrere Zahe a 1, a,, a a mit Hife des Summezeiches geschriebe werde a 1 + a + + a a Hier heisst Laufvariabe oder Summatiosidex ud 1 bzw ist ihre utere bzw obere Greze Die Laufvariabe wird auch as gebudee Variabe bezeichet, da sie icht mehr frei wähbar ist Sid Zahe a 11, a 1,, a 1, a 1,, a,, a m1,, a m durch zwei Idizes bezeichet, so a ma dere Summe as a 11 + a a 1 +a 1 + a + + a + +a m1 + a m + + a m m a 1 + a + + a m a schreibe Der etzte Ausdruc heisst Doppesumme, dari ist ud m die äussere Summe die iere Geöste Aufgabebeispiee: 1 Seie a 1, a,, a N+1 beiebige Zahe ud N Zeige N a +1 a a N+1 a Erste Lösug: Wir schreibe die Summe aus a +1 a a +1 a + a + a a N+1 a N Bitte wede!

2 ud beobachte, dass a +1 im erste Summade mit a +1 im zweite Summade etc ürzt a +1 a + a + a a N+1 a N a + a N+1 Ma spricht vo eier Teesopsumme Zweite Lösug: Wir zeige u, wie ma das geiche Resutat ohe Ausschreibe der Summe erhät Wir schreibe die Summe vo Differeze as Differez vo Summe a +1 a a a +1 I der erste Summe führe wir u die eue Laufvariabe : + 1 ei Wei vo bis N äuft, äuft vo + 1 bis N + 1 a + N+1 +1 We wir i der Differez der Summe die Laufvariabe der zweite Summe vo ach umbeee, erhate wir eie Differez vo Summe über, die sich ur i der utere ud obere Greze der Laufvariabe uterscheide N+1 +1 a a a N a a a + +1 a a N+1 a Zeige : gerade { gerade +1 ugerade Hier ist mit : gerade uter der Summe agezeigt, dass ma ur über die gerade summiert Lösug: Die der Lösug zu Grude iegede Idee ist, dass jede gerade atüriche Zah eideutig as für eie atüriche Zah geschriebe werde a Wir betrachte zuerst de Fa, wo gerade ist Da äuft vo 1 bis eie atüriche Zah ud wir öe die Summe über as Summe über schreibe : gerade Siehe ächstes Batt!

3 Wir bemere u + 1 Im Fa wo ugerade ist, sid die gerade Zahe zwische 1 ud gegebe durch, 4,, 1 Fogich äuft vo 1 bis 1 ei Eemet vo N 0, wir öe die Summe über as Summe über schreibe ud erhate wie im erste Fa : gerade Wir bemere, dass es für 1 ei gibt, dass die Bediguge erfüt Die Summe heisst da eer ud ihr Wert ist u Dieser Fa ist bereits durch die Forme für agemeie ugerade abgedect, da 1 0 für 1 ist 3 Zeige j, : j + 1 Lösug: Ausführicher geschriebe ist die ie Seite j, : j 1 j1 : j I der iere Summe ist j aber icht eie freie Variabe Die iere Summe a as j geschriebe werde ud fogich ist j1 : j j j1 j j1 + 1 Bemerug: Geauso öte ma die ie Seite as j, : j 1 j1 : j schreibe Nu ist j1 : j j ud fogich j1 : j j + 1 Bitte wede!

4 Führe wir die Laufvariabe : +1 ei, so geht diese vo + 1 bis 1 +, aso ist Wir habe verwedet, dass + 1 eie Bijetio der Idexmege {1,,, } mit sich sebst ist 4 Zeige +1 : ugerade + 1 Hier sid +1 Biomiaoeffiziete Lösug: We durch die ugerade Zahe zwische 1 ud +1 äuft, öe wir durch + 1 eie eue Laufvariabe eiführe, die vo 0 bis äuft Aso öe wir die Summe as : ugerade schreibe Mit der Pasca sche Idetität fide wir Wei +1 0 git, öe wir die obere Greze der erste Summe durch 1 ersetze Nu äuft +1 durch ae ugerade Zahe zwische 0 ud, we vo 0 bis 1 äuft, ud äuft durch ae gerade Zahe zwische 0 ud, we vo 0 bis äuft Aso git we wir de biomische Lehrsatz verwede 1 + 1, j 5 Zeige mit Hife des biomische Lehrsatzes die Idetität für Biomiaoeffiziete m + m Siehe ächstes Batt!

5 Hiweis: 1 + x m+ 1 + x m 1 + x Lösug: Der biomische Lehrsatz besagt 1 + x N 0 N x Eisetze i die im Hiweis gegebee Idetität 1 + x m+ 1 + x m 1 + x ergibt m+ m + m m x x x j i 1 j i i0 Wir bereche die rechte Seite mit Hife der Cauchy-Produtforme m+ m+ m x x m j j x 1 ist eie Geichheit vo Poyome Diese git geau da, we die Koeffiziete geich sid Die Geichheit der Koeffiziete ist die gesuchte Idetität m + m